七年級學(xué)競賽第四講一元次方程方程是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容最簡單的方程是一元一次方程它是進一步學(xué)習(xí)代數(shù)方程的基礎(chǔ)多方程都可以通過變形化為一元一次方程來解決．本講主要介紹一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等號連結(jié)兩個代數(shù)式的式子叫等式果給等式中的文字代以任何數(shù)值等式都成立這種等式叫恒等式一個等式是否是恒等式是要通過證明來確定的．如果給等式中的文字(未知數(shù))代以某些值等式成立而代以其他的值，則等式不成立，這種等式叫作條件等式．條件等式也稱為方程．使方程成立的未知數(shù)的值叫作方程的解程的解的集合方程的解集方程就是求出方程的解集．只含有一個未知數(shù)(又稱為一元)其次數(shù)是1的方程叫作一元一次方程．任何一個一元一次方程總可以化為≠0)的形式，這是一元一次方程的標準形式(最簡形式)．解一元一次方程的一般步驟：(1)分母(2)去括號(3)項；(4)合并同類項，化為最簡形式(5)方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)，得出方程的解．一元一次方程的解由a，b的取值來確定：(2)若a=0，且b=0，方程變?yōu)?·x=0，則方程有無數(shù)多個解；(3)若a=0，且b≠0，方程變?yōu)?·x=b，則方程無解．例1解方程解法1從里到外逐級去括號．去小括號得去中括號得1去大括號得解法2按照分配律由外及里去括號．去大括號得化簡為去中括號得去小括號得例2已知下面兩個方程(x+2)=5x，①x3(a-x)=6x-7(ax)②有相同的解，試求a的值．分析本題解題思路是從方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=6，所x=3．由已知x=3也是方程②的解，根據(jù)方程解的定義，把代入方程②時，應(yīng)有24×33(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a3)-3(a-3)=1812，例3已知方程2(x+1)=3(x1)的解為a+2，求方程2[2(x+3)3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得．由題設(shè)知a+2=5，所以．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×，-2x=21，例4解關(guān)于的方程(mxn)(m+n)=0．分析這個方程中未知數(shù)是x，，n是可以取不同實數(shù)值的常數(shù)，因此需要討論m，n取不同值時，方程解的情況．解把原方程化為m

2x+mnx-mn-n

2

=0，整理得m(m+n)x=n(m+n)．當m+n≠0，且m=0時，方程無解；當m+n=0時，方程的解為一切實數(shù)．說明含有字母系數(shù)的方程，一定要注意字母的取值范圍．解這類方程時，需要從方程有唯一解、無解、無數(shù)多個解三種情況進行討論．例5解方程(a+x-b)(a-bx)=(a

2

-x)(b

2

+x)-a

2

b

2

．分析本題將方程中的括號去掉后產(chǎn)生x2項但整理化簡后，可以消去x

2

，也就是說，原方程實際上仍是一個一元一次方程．解將原方程整理化簡得(ab)2-x2=a2b+axb2x-x2a2b，即(a

2

-b

2

)x=(ab)

2

．3(1)當a2b2≠0時，即a≠±b時，方程有唯一解(2)當a2b2=0時即a=b或a=b時若a-b≠0即a≠b即a=-b時，方程無解；若ab=0，即a=b，方程有無數(shù)多個解．例6已知m

2-1)x

2

(m+1)x+8=0是關(guān)于x的一元一次方程，求代數(shù)式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因為(m-1)x2-(m+1)x+8=0關(guān)于x的一元一次方程，所以m

2

1=0，即m=±1．(1)當m=1時，方程變?yōu)?2x+8=0，因此x=4，代數(shù)式的值為199(1+4)(42×1)+1=1991；(2)當m=-1時，原方程無解．所以所求代數(shù)式的值為．例7已知關(guān)于的方程a(2x1)=3x-2無解，試求a的值．解將原方程變形為2ax-a=3x-2，即(2a-3)x=a-2．由已知該方程無解，所以例8k為何正數(shù)時，方程k

2

x-k

2

=2kx-5k的解是正數(shù)？來確定：(1)若b=0時，方程的解是零；反之，若方ax=b的解是零，則b=0成立．4若ab＞0時方程的解是正數(shù)反之方程ax=b的解是正數(shù)，則ab＞0成立．若ab＜0時方程的解是負數(shù)反之方程ax=b的解是負數(shù)，則ab＜0成立．解按未知數(shù)x整理方程得(k

2-2k)x=k

2-5k．要使方程的解為正數(shù)，需要(k

2-2k)(k

2

-5k)＞．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k(k-2)(k-5)．因為k

2

≥0，所以只要k＞或k＜2時上式大于零，所以k＜2或k＞5時，原方程的解是正數(shù)，所以＞5或0＜k＜2即為所求．例9若，解方程解因為abc=1，所以原方程可變形為化簡整理為化簡整理為說明像這種帶有附加條件的方程，求解時恰當?shù)乩酶郊訔l件可使方程的求解過程大大簡化．5例10若，b，c是正數(shù)，解方程解法1原方程兩邊乘以，得到方程ab(xa-b)+bc(x-b-ca)=3abc．移項、合并同類項得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x(a+b+c)]=0，因此有[x(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因為a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x(a+b+c)=0，即x=a+b+c為原方程的解．解法2將原方程右邊的3到左邊變?yōu)?3，再拆為三個-1”，并注意到其余兩項做類似處理．設(shè)m=a+b+c，則原方程變形為所以即x(a+b+c)=0．所以x=a+b+c為原方程的解．6說明注意觀察，巧妙變形，是產(chǎn)生簡單優(yōu)美解法所不可缺少的基本功之一．例11設(shè)為自然數(shù)，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，解方程：分析要解此方程須先去掉[]由n是自然數(shù)所以n(n+1)…，n[x]都是整數(shù)，所以x必是整數(shù)．解根據(jù)分，x必為整數(shù)，即，所以原方程化為合并同類項得故有所以x=n(n+1)為原方程的解．例12已知關(guān)于的方程且a為某些自然數(shù)時，方程的解為自然數(shù)，試求自然數(shù)的最小值．解由原方程可解得7a最小