1實對稱矩陣的對角化第三節(jié)1實對稱矩陣第三節(jié)2

并非所有方陣都可對角化,但是實對稱矩陣必可對角化.

為了討論實對稱矩陣的有關(guān)性質(zhì)，需要研究向量內(nèi)積和正交的概念和性質(zhì)。2并非所有方陣都可對角化,但是實對稱矩陣必可對角化.3定義兩個n維向量向量的內(nèi)積具有如下基本特性：證略.一、向量的內(nèi)積,正交和長度3定義兩個n維向量向量的內(nèi)積具有如下基本特性：證略.一、向量4向量長度的性質(zhì):由定義可知定義例1證4向量長度的性質(zhì):由定義可知定義例1證5二、正交向量組和正交矩陣定義顯然零向量與任何向量都正交。??n維基本單位向量組是兩兩正交的。顯然有5二、正交向量組和正交矩陣定義顯然零向量與任何向量都正交。?6例2解即得所求向量為6例2解即得所求向量為7定義若非零向量兩兩正交，則稱之為正交向量組。定理正交向量組必線性無關(guān)。證設(shè)是正交向量組，7定義若非零向量兩兩正交，則稱之為正交向量組。定理正交向量組8施密特正交化方法證略。8施密特正交化方法證略。9例3解用施密特正交化方法，將下列向量組正交化：9例3解用施密特正交化方法，將下列向量組正交化：10例4解將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化.10例4解將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化.11再單位化,11再單位化,12例5解它的基礎(chǔ)解系為再正交化，12例5解它的基礎(chǔ)解系為再正交化，13正交矩陣的性質(zhì)：證定義若n階矩陣Q

滿足則稱

Q為

正交矩陣。13正交矩陣的性質(zhì)：證定義若n階矩陣Q滿足則稱Q為14

Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列向量組是單位正交向量組．證明定理14Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列向量組是單位正交15是單位正交向量組．同理,由可知Q的行向量組是單位正交向量組.15是單位正交向量組．同理,由可知Q的行向量組是單位正交向16Q為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：(3)Q的行向量是兩兩正交的單位向量.(4)Q的列向量是兩兩正交的單位向量.16Q為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：(3)Q的行17例6

判別下列矩陣是否為正交矩陣．解(1)不是正交矩陣．17例6判別下列矩陣是否為正交矩陣．解(1)不是正交矩18(2)所以它是正交矩陣．18(2)所以它是正交矩陣．19練習(xí)驗證矩陣是正交矩陣.

P每個列向量都是單位向量，且兩兩正交，所以P是正交矩陣。19練習(xí)驗證矩陣是正交矩陣.P每個列向量都是單位向20實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).三、實對稱矩陣的相似對角化定理并非所有方陣都可對角化,但是實對稱矩陣必可對角化.證證略.實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交.定理只證兩個特征向量的情況.20實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).三、實對稱矩陣的相似對角化定21定理證略.具體計算步驟如下：(1)求出實對稱矩陣A的全部特征值；(2)若特征值是單根，則求出一個線性無關(guān)的特征向量，并加以單位化；

若特征值是重根，則求出重數(shù)個線性無關(guān)的特征向量，然后用施密特正交化方法化為正交組，再單位化；

(3)將這些兩兩正交的單位特征向量按列拼起來，就得到了正交矩陣P。

21定理證略.具體計算步驟如下：(1)求出實對稱矩陣A的全22例7解設(shè)求正交陣P，再單位化,22例7解設(shè)求正交陣P，再單位化,23于是所求正交陣為使23于是所求正交陣為使24例8解設(shè)求正交陣P，特征向量24例8解設(shè)求正交陣P，特征向量25特征向量25特征向量26再單位化,拼起來得使26再單位化,拼起來得使27解例9設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值是1,2,3；屬于特征值1,2的特征向量分別為

(1)

求屬于特征值3的特征向量；(2)

求矩陣A.

矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有

由于實對稱即解齊次線性方程組,其系數(shù)矩陣為

27解例9設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值是1,2,3；屬于28屬于特征值3的特征向量為

(2)所以28屬于特征值3的特征向量為(2)所以29解例10

對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(1)第一步求的特征值29解例10對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣30解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系30解之得基礎(chǔ)解系解之得基礎(chǔ)解系31解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將特征向量單位化31解之得基礎(chǔ)解系第三步將特征向量正交化第四步將32323333343435于是得正交陣35于是得正交陣363637ENDEND37ENDEND38實對稱矩陣的對角化第三節(jié)1實對稱矩陣第三節(jié)39

并非所有方陣都可對角化,但是實對稱矩陣必可對角化.

為了討論實對稱矩陣的有關(guān)性質(zhì)，需要研究向量內(nèi)積和正交的概念和性質(zhì)。2并非所有方陣都可對角化,但是實對稱矩陣必可對角化.40定義兩個n維向量向量的內(nèi)積具有如下基本特性：證略.一、向量的內(nèi)積,正交和長度3定義兩個n維向量向量的內(nèi)積具有如下基本特性：證略.一、向量41向量長度的性質(zhì):由定義可知定義例1證4向量長度的性質(zhì):由定義可知定義例1證42二、正交向量組和正交矩陣定義顯然零向量與任何向量都正交。??n維基本單位向量組是兩兩正交的。顯然有5二、正交向量組和正交矩陣定義顯然零向量與任何向量都正交。?43例2解即得所求向量為6例2解即得所求向量為44定義若非零向量兩兩正交，則稱之為正交向量組。定理正交向量組必線性無關(guān)。證設(shè)是正交向量組，7定義若非零向量兩兩正交，則稱之為正交向量組。定理正交向量組45施密特正交化方法證略。8施密特正交化方法證略。46例3解用施密特正交化方法，將下列向量組正交化：9例3解用施密特正交化方法，將下列向量組正交化：47例4解將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化.10例4解將向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化.48再單位化,11再單位化,49例5解它的基礎(chǔ)解系為再正交化，12例5解它的基礎(chǔ)解系為再正交化，50正交矩陣的性質(zhì)：證定義若n階矩陣Q

滿足則稱

Q為

正交矩陣。13正交矩陣的性質(zhì)：證定義若n階矩陣Q滿足則稱Q為51

Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列向量組是單位正交向量組．證明定理14Q為正交矩陣的充分必要條件是Q的列向量組是單位正交52是單位正交向量組．同理,由可知Q的行向量組是單位正交向量組.15是單位正交向量組．同理,由可知Q的行向量組是單位正交向53Q為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：(3)Q的行向量是兩兩正交的單位向量.(4)Q的列向量是兩兩正交的單位向量.16Q為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立：(3)Q的行54例6

判別下列矩陣是否為正交矩陣．解(1)不是正交矩陣．17例6判別下列矩陣是否為正交矩陣．解(1)不是正交矩55(2)所以它是正交矩陣．18(2)所以它是正交矩陣．56練習(xí)驗證矩陣是正交矩陣.

P每個列向量都是單位向量，且兩兩正交，所以P是正交矩陣。19練習(xí)驗證矩陣是正交矩陣.P每個列向量都是單位向57實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).三、實對稱矩陣的相似對角化定理并非所有方陣都可對角化,但是實對稱矩陣必可對角化.證證略.實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交.定理只證兩個特征向量的情況.20實對稱矩陣的特征值都是實數(shù).三、實對稱矩陣的相似對角化定58定理證略.具體計算步驟如下：(1)求出實對稱矩陣A的全部特征值；(2)若特征值是單根，則求出一個線性無關(guān)的特征向量，并加以單位化；

若特征值是重根，則求出重數(shù)個線性無關(guān)的特征向量，然后用施密特正交化方法化為正交組，再單位化；

(3)將這些兩兩正交的單位特征向量按列拼起來，就得到了正交矩陣P。

21定理證略.具體計算步驟如下：(1)求出實對稱矩陣A的全59例7解設(shè)求正交陣P，再單位化,22例7解設(shè)求正交陣P，再單位化,60于是所求正交陣為使23于是所求正交陣為使61例8解設(shè)求正交陣P，特征向量24例8解設(shè)求正交陣P，特征向量62特征向量25特征向量63再單位化,拼起來得使26再單位化,拼起來得使64解例9設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值是1,2,3；屬于特征值1,2的特征向量分別為

(1)

求屬于特征值3的特征向量；(2)

求矩陣A.

矩陣的屬于不同特征值的特征向量彼此正交,于是有

由于實對稱即解齊次線性方程組,其系數(shù)矩陣為

27解例9設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值是1,2,3；屬于65屬于特征值3的特征向量為

(2)所以28屬于特征值3的特征向量為(2)所以66解例10

對下列各實對稱矩陣，分別求出正交矩陣，使為對角陣.(