第三節(jié)格林公式及其應(yīng)用格林（Green）公式曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件小結(jié)、作業(yè)

設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.D單連通區(qū)域D復(fù)連通區(qū)域一、區(qū)域連通性的分類(lèi)邊界曲線L的正向:“人沿曲邊走，區(qū)域在左手”即當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊。二、Green公式定理1證明(1)yxoDabcdCEAByxodDcCE同理可證兩式相加得證明(2)D證明(3)DABCE由(2)知三、簡(jiǎn)單應(yīng)用1.簡(jiǎn)化曲線積分xyoLAB2.簡(jiǎn)化二重積分xyo解xyoLyxo(注意格林公式的條件)3.計(jì)算平面面積

例求橢圓xacosq

，ybsinq所圍成圖形的面積A．

解解例5計(jì)算星形線所圍圖形的面積解一用定積分，由對(duì)稱性，只需計(jì)算第一象限部分的面積解二用曲線積分如果在區(qū)域G內(nèi)有yxoGAB四、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定義曲線積分與路徑無(wú)關(guān)

這是因?yàn)樵O(shè)L1和L2是G內(nèi)任意兩條從點(diǎn)A到點(diǎn)B的曲線則L1(L2-)是G內(nèi)一條任意的閉曲線而且有五、曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件定理2充分性證明：必要性證明：可采用反證法。應(yīng)注意的問(wèn)題：

定理要求，區(qū)域G是單連通區(qū)域，且函數(shù)P(x,y)及Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)．如果這兩個(gè)條件之一不能滿足，那么定理的結(jié)論不能保證成立．

由曲線積分確定的函數(shù)：若起點(diǎn)(x0,y0)為G內(nèi)的一定點(diǎn)，終點(diǎn)(x,y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則為G內(nèi)的的函數(shù)．

討論：

1、在什么情況下曲線積分可化為二重積分計(jì)算？

2、在已知曲線積分與路徑無(wú)關(guān)條件下如何計(jì)算曲線積分？3、求曲線積分所確定的函數(shù)：并求u(x,y)的全微分．與曲線積分比較你能發(fā)現(xiàn)什么？Oxy(x0,y0)(x,y)(x,y0)提示：=x2y0-

x02y0+x2y-

x2y0=x2y-

x02y0．du(x,y)=2xydx+x2dy．六、二元函數(shù)的全微分求積定理3

必要性：假設(shè)存在某一函數(shù)u(x,y)，使得du

P(x,y)dxQ(x,y)dy，簡(jiǎn)要證明：則必有從而充分性：

在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)．設(shè)(x0,y0)為G內(nèi)一定點(diǎn)，(x,y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)镺xy(x,y)(x0,y0)(x0,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy是某一函數(shù)的全微分．充分性：

在G內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)．設(shè)(x0,y0)為G內(nèi)一定點(diǎn)，(x,y)為G內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)榧辞笤瘮?shù)的公式：Oxy(x,y)(x0,y0)(x,y0)(x0,y)與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題例6.

驗(yàn)證是某個(gè)函數(shù)的全微分,并求出這個(gè)函數(shù).證:

設(shè)則由定理2可知,存在函數(shù)u(x,y)使。。解解思考與練習(xí)1.2.例1.解