掌握余弦定理，熟記定理的結(jié)論，會利用向量的數(shù)量積證明余弦定理．理解余弦定理與勾股定理的關(guān)系．會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．1.2余弦定理【課標(biāo)要求】

【核心掃描】利用余弦定理求三角形中的邊角問題．(重點(diǎn))正、余弦定理的綜合應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

1．2．3．1．2．掌握余弦定理，熟記定理的結(jié)論，會利用向量的數(shù)量積證明余弦定理余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.自學(xué)導(dǎo)引1．余弦定理自學(xué)導(dǎo)引1．試一試：如何用坐標(biāo)法證明余弦定理？提示

如圖建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．由兩點(diǎn)間距離公式得＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2＝b2＋c2－2bccosA．同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.試一試：如何用坐標(biāo)法證明余弦定理？＝b2(sin2A＋cos想一想：余弦定理和勾股定理有何關(guān)系？提示

余弦定理可以看作勾股定理的推廣．在△ABC中，設(shè)A為最大角，①若a2<b2＋c2，則0°<A<90°，即三角形為銳角三角形；反之，若0°<A<90°，則a2<b2＋c2.②若a2＝b2＋c2，則三角形為直角三角形，即A＝90°；反之，若A＝90°，則a2＝b2＋c2.③若a2>b2＋c2，則180°>A>90°，即三角形為鈍角三角形，反之，若A為鈍角，則a2>b2＋c2.想一想：余弦定理和勾股定理有何關(guān)系？余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”、“夾角”、“余弦”．(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．名師點(diǎn)睛1．余弦定理的理解名師點(diǎn)睛1．利用余弦定理解三角形的步驟與注意事項(xiàng)：(1)利用余弦定理解三角形的步驟：(2)利用余弦定理解三角形的注意事項(xiàng)：余弦定理的每個等式中包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，要充分利用方程思想“知三求一”．

2．利用余弦定理解三角形的步驟與注意事項(xiàng)：(2)利用余弦定理解三

題型一已知兩邊及一角解三角形°【例1】[思路探索]可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角，也可以由余弦定理列出關(guān)于邊長a的方程，求出邊長a，再由正弦定理求角A、角C.題型一已知兩邊及當(dāng)C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，∴a＝3.當(dāng)C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，規(guī)律方法已知三角形的兩邊與一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以應(yīng)用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊(也可以兩次應(yīng)用正弦定理求出第三邊)．規(guī)律方法已知三角形的兩邊與一角解三角形，必須先判斷該角是給【訓(xùn)練1】°【訓(xùn)練1】°余弦定理課件優(yōu)秀課件余弦定理課件優(yōu)秀課件【例2】題型二

已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形【例2】題型二已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形余弦定理課件優(yōu)秀課件規(guī)律方法已知三邊解三角形的方法及注意事項(xiàng)：(1)由余弦定理的推論求三內(nèi)角的余弦值，確定角的大?。?2)由余弦定理的推論求一個內(nèi)角的余弦值，確定角的大??；由正弦定理求第二個角的正弦值，結(jié)合“大邊對大角、大角對大邊”法則確定角的大小，最后由三角形內(nèi)角和為180°確定第三個角的大?。?3)利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角，值為負(fù)，角為鈍角，思路清晰，結(jié)果唯一．規(guī)律方法已知三邊解三角形的方法及注意事項(xiàng)：

在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，則B的大小是________．【訓(xùn)練2】 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5(本題滿分12分)在△ABC中，a，b，c分別表示角A，B，C的對邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判斷三角形的形狀．審題指導(dǎo)借助正、余弦定理將條件轉(zhuǎn)化成只關(guān)于邊(或角)的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，但在應(yīng)用公式求解時，不能忽視三角形的固有條件，如三內(nèi)角的范圍是(0，π)，兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊等．【例3】題型三

利用余弦定理判斷三角形的形狀(本題滿分12分)在△ABC中，a，b，c分[規(guī)范解答]已知等式可化為a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．(3分)由正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，(8分)∴a＝b或a2＋b2＝c2，(10分)故△ABC為等腰三角形或直角三角形．(12分)[規(guī)范解答]已知等式可化為a2[sin(A－B)－si【題后反思】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理(有時還要結(jié)合正弦定理)把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．【題后反思】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·cosB·cosC，試判斷三角形的形狀．【訓(xùn)練3】4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0.又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC為直角三角形．法二將已知等式變形為：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC， 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·余弦定理課件優(yōu)秀課件已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍．[錯解]∵c>b>a且△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角．誤區(qū)警示

因忽視構(gòu)成三角形的條件而出錯【示例】已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c

忽略了隱含條件：k，k＋2，k＋4構(gòu)成一個三角形，k＋(k＋2)>k＋4.即k>2而不是k>0.

不是任意的三個正數(shù)都能構(gòu)成三角形，構(gòu)成三角形的三邊是需要滿足一定條件的．這個條件就是三角形中任意兩邊之和大于第三邊．

忽略了隱含條件：k，k＋2，k＋4構(gòu)成一個三角形85.有志之人立長志，無志之人長立志。5.當(dāng)你認(rèn)為自己傾盡全力時，往往才是別人的起點(diǎn)。49.成功的人排除萬難，失敗的人被萬難排除。94.你現(xiàn)在活的越歡，將來命運(yùn)越會給你拉清單。59.人生最精彩的不是實(shí)現(xiàn)夢想的瞬間，而是堅(jiān)持夢想的過程。12.一個人無法放棄過去的無知，就無法走進(jìn)智慧的殿堂。56.你生活在別人的眼神里，就迷失在自己的心路上。你永遠(yuǎn)無法滿足所有人，不必為了取悅這個世界而扭曲自己。28.天再高又怕什么，踮起腳尖就更能接近陽光。29.人生的成敗往往就在于一念之差。10.成長是一場和自己的比賽，不要擔(dān)心別人會做得比你好，你只需要每天都做得比前一天好就可以了。39.每一發(fā)奮努力的背后，必有加倍的賞賜。42.一份信心，一份努力，一份成功；十分信心，十分努力，十分成功。37.一個人能走多遠(yuǎn)，要看他有誰同行；一個人有多優(yōu)秀，要看他有誰指點(diǎn)；一個人有多成功，要看他有誰相伴。11.毀滅人只要一句話，培植一個人卻要千句話，請你多口下留情。92.你想要的未來，是一步步走出來的。43.自己打敗自己是最可悲的失敗，自己戰(zhàn)勝自己是最可貴的勝利。78.人生三大致命傷：埋頭苦干一成不變；努力結(jié)果無法積累；上一代努力下一代無法繼承。29.世界上沒有不成功的人，只有不努力的人。98.每一天為明天。80.如果做某一件事能給我?guī)砗眯那?，那么無論遇到什么樣的挫折，我都會竭力去做。41.靈魂在求知中凈化，信念在事業(yè)中升騰。5.成功與否，我們賭的是堅(jiān)持。在你堅(jiān)持的時候別人也許就放棄了。你堅(jiān)持的越久你就越容易成功。85.有志之人立長志，無志之人長立志。24掌握余弦定理，熟記定理的結(jié)論，會利用向量的數(shù)量積證明余弦定理．理解余弦定理與勾股定理的關(guān)系．會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．1.2余弦定理【課標(biāo)要求】

【核心掃描】利用余弦定理求三角形中的邊角問題．(重點(diǎn))正、余弦定理的綜合應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))

1．2．3．1．2．掌握余弦定理，熟記定理的結(jié)論，會利用向量的數(shù)量積證明余弦定理余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.自學(xué)導(dǎo)引1．余弦定理自學(xué)導(dǎo)引1．試一試：如何用坐標(biāo)法證明余弦定理？提示

如圖建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(c,0)，C(bcosA，bsinA)．由兩點(diǎn)間距離公式得＝b2(sin2A＋cos2A)－2bccosA＋c2＝b2＋c2－2bccosA．同理可證b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC.試一試：如何用坐標(biāo)法證明余弦定理？＝b2(sin2A＋cos想一想：余弦定理和勾股定理有何關(guān)系？提示

余弦定理可以看作勾股定理的推廣．在△ABC中，設(shè)A為最大角，①若a2<b2＋c2，則0°<A<90°，即三角形為銳角三角形；反之，若0°<A<90°，則a2<b2＋c2.②若a2＝b2＋c2，則三角形為直角三角形，即A＝90°；反之，若A＝90°，則a2＝b2＋c2.③若a2>b2＋c2，則180°>A>90°，即三角形為鈍角三角形，反之，若A為鈍角，則a2>b2＋c2.想一想：余弦定理和勾股定理有何關(guān)系？余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”、“夾角”、“余弦”．(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．名師點(diǎn)睛1．余弦定理的理解名師點(diǎn)睛1．利用余弦定理解三角形的步驟與注意事項(xiàng)：(1)利用余弦定理解三角形的步驟：(2)利用余弦定理解三角形的注意事項(xiàng)：余弦定理的每個等式中包含四個不同的量，它們分別是三角形的三邊和一個角，要充分利用方程思想“知三求一”．

2．利用余弦定理解三角形的步驟與注意事項(xiàng)：(2)利用余弦定理解三

題型一已知兩邊及一角解三角形°【例1】[思路探索]可先由正弦定理求出角C，然后再求其他的邊和角，也可以由余弦定理列出關(guān)于邊長a的方程，求出邊長a，再由正弦定理求角A、角C.題型一已知兩邊及當(dāng)C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，∴a＝3.當(dāng)C＝120°時，A＝30°，△ABC為等腰三角形，規(guī)律方法已知三角形的兩邊與一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以應(yīng)用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊(也可以兩次應(yīng)用正弦定理求出第三邊)．規(guī)律方法已知三角形的兩邊與一角解三角形，必須先判斷該角是給【訓(xùn)練1】°【訓(xùn)練1】°余弦定理課件優(yōu)秀課件余弦定理課件優(yōu)秀課件【例2】題型二

已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形【例2】題型二已知三邊(或三邊關(guān)系)解三角形余弦定理課件優(yōu)秀課件規(guī)律方法已知三邊解三角形的方法及注意事項(xiàng)：(1)由余弦定理的推論求三內(nèi)角的余弦值，確定角的大?。?2)由余弦定理的推論求一個內(nèi)角的余弦值，確定角的大小；由正弦定理求第二個角的正弦值，結(jié)合“大邊對大角、大角對大邊”法則確定角的大小，最后由三角形內(nèi)角和為180°確定第三個角的大?。?3)利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角，值為負(fù)，角為鈍角，思路清晰，結(jié)果唯一．規(guī)律方法已知三邊解三角形的方法及注意事項(xiàng)：

在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，則B的大小是________．【訓(xùn)練2】 在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5(本題滿分12分)在△ABC中，a，b，c分別表示角A，B，C的對邊，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判斷三角形的形狀．審題指導(dǎo)借助正、余弦定理將條件轉(zhuǎn)化成只關(guān)于邊(或角)的關(guān)系，進(jìn)而判斷三角形的形狀，但在應(yīng)用公式求解時，不能忽視三角形的固有條件，如三內(nèi)角的范圍是(0，π)，兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊等．【例3】題型三

利用余弦定理判斷三角形的形狀(本題滿分12分)在△ABC中，a，b，c分[規(guī)范解答]已知等式可化為a2[sin(A－B)－sin(A＋B)]＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA．(3分)由正、余弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系得∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，(8分)∴a＝b或a2＋b2＝c2，(10分)故△ABC為等腰三角形或直角三角形．(12分)[規(guī)范解答]已知等式可化為a2[sin(A－B)－si【題后反思】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)(1)利用余弦定理(有時還要結(jié)合正弦定理)把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關(guān)系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．【題后反思】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(xiàng)

在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·cosB·cosC，試判斷三角形的形狀．【訓(xùn)練3】4R2sin2C·sin2B＋4R2sin2C·sin2B＝8R2sinB·sinC·cosB·cosC．又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0.又0°<B＋C<180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°，故△ABC為直角三角形．法二將已知等式變形為：b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC， 在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc·余弦定理課件優(yōu)秀課件已知鈍角三角形的三邊a＝k，b＝k＋2，c＝k＋4，求k的取值范圍．[錯解]∵c>b>a且△ABC為鈍角三角形，∴C為鈍角．誤區(qū)警示

因忽視構(gòu)成三角形的條件而出錯【示例】已知鈍角三角