4.5分部積分法分部積分公式例題小結(jié)思考題作業(yè)integrationbyparts解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式???特點(diǎn)被積函數(shù)是兩個(gè)不同函數(shù)的乘積.具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).兩邊積分一、分部積分公式

恰當(dāng)選取u和dv是一個(gè)關(guān)鍵,v要易求;分部積分公式選取u和dv的一般原則是:(1)(2)易求.例求解顯然,法二二、例題選擇不當(dāng),積分更難進(jìn)行.例求解（再次使用分部積分法）例求解?例求解注利用可把的積分.化為例求解注意循環(huán)形式uudvuudv注意前后幾次所選的應(yīng)為同類型函數(shù).例求解udv

循環(huán)型

使用分部積分法的關(guān)鍵是正確地選取(因?yàn)椤皟缛浮焙梅e,把被積函數(shù)視為兩個(gè)函數(shù)的乘積,按“反對冪三指”的順序,前者為后者為常用的方法:自己簡單.)小結(jié)“反對”的導(dǎo)數(shù)比它有時(shí)在用分部積分之前,須先變形.例求解解令則有于是練習(xí)在積分過程中常常兼用各種積分法.練習(xí)解令

分部積分

回代曾用換元積分做過,現(xiàn)可用分部積分做!例udvu

利用分部積分法可以得到一些遞推公式:例試證遞推公式

證由分部積分法得由此推出

利用這個(gè)遞推公式及公式

遞推型如遞推型

遞推公式,雖然積分沒有具體求出來,但每用一次公式n就降低一次至兩次,連續(xù)應(yīng)用.練習(xí)解定積分的分部積分公式二、定積分的分部積分法設(shè)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),則definiteintegralbyparts定理2由不定積分的分部積分法及N--L公式.例

解原式=例

解原式=例

解無法直接求出所以

因?yàn)闆]有初等原函數(shù),分析被積函數(shù)中含有“積分上限的函數(shù)”,用分部積分法做.選擇積分上限的函數(shù)為思考題解答例證明定積分公式證設(shè)n為正偶數(shù)n為大于1的正奇數(shù)J.Wallis公式十七世紀(jì)的英國數(shù)學(xué)家JohnWallis給出.積分關(guān)于下標(biāo)的遞推公式直到下標(biāo)減到0或1為止因?yàn)樗?當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí),例

為正偶數(shù)為大于1的正奇數(shù)上公式在計(jì)算其它積分時(shí)可以直接引用.注例

解用公式n為正偶數(shù)練習(xí)解用定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式三、小結(jié)定積分的換元公式奇、偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分性質(zhì)三角函數(shù)的定積分公式周期函數(shù)的定積分公式思考題1

試檢查下面運(yùn)算是否正確?如不正確,

希指出原因.解答注意必定大于零.上述運(yùn)算的問題在于引進(jìn)的變換不滿足換元法則的前提條件.思考題2解答解則是奇函數(shù),是偶函數(shù),

周期函數(shù)在任何長為一周期的區(qū)間上的定積分都相等.練習(xí)n為正偶數(shù)分部積分公式1.原則:2.

經(jīng)驗(yàn):3.題目類型

:化簡型;循環(huán)