專(zhuān)題：圓與相似⑴.如圖，AB是。。的直徑，弦CDLAB于H.點(diǎn)G在。。上，過(guò)點(diǎn)G作直線EF,交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.連接AG交CD于K,且KE=GE.(1)判斷直線EF與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；AH3(2)若AC〃EF,ac=5,FB=1,求。O的半徑..如圖，PB為。O的切線，B為切點(diǎn)，直線PO交。于點(diǎn)E,F,過(guò)點(diǎn)B作PO的垂線BA,垂足為點(diǎn)D,交。O于點(diǎn)A,延長(zhǎng)AO與。O交于點(diǎn)C,連接BC,AF.!(1)求證：直線PA為。O的切線；(2)試探究線段EF,OD,OP之間的等量關(guān)系，并加以證明；(3)若BC=6,tanZF=1,求cos/ACB的值和線段PE的長(zhǎng).2.如圖所示，AB是。O的直徑，AE是弦，C是劣弧AE的中點(diǎn)，過(guò)C作CD±AB于點(diǎn)D,CD交AE于點(diǎn)F,過(guò)C作CG〃AE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.連接OC交AE于點(diǎn)H。(1)求證:GCXOC.(2)求證:AF=CF.(3)若NEAB=30°,CF=2,求GA的長(zhǎng)..如圖，在^ABC,AB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E,點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，且NCBF=1ZCAB.2(1)求證：直線BF是。O的切線；(2)若AB=5,sinZCBF=j,求BC和BF的長(zhǎng).

.如圖，。。的弦AB=8,直徑CDLAB于M,0M：MD=3：2,E是劣弧CB上一點(diǎn),連結(jié)CE并延長(zhǎng)交CE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求：(1)O0的半徑；C(2)求CE?CF的值..如圖，已知在4ABP中，C是BP邊上一點(diǎn)，ZPAC=ZPBA,。。是^ABC的外接圓，AD是。。的直徑，且交BP于點(diǎn)E.(1)求證：PA是。0的切線；(2)過(guò)點(diǎn)C作CFLAD,垂足為點(diǎn)F,延長(zhǎng)CF交AB于點(diǎn)G,若AG?AB=12,求AC的長(zhǎng)；(3)在滿足(2)的條件下，若AF：FD=1：2,GF=1,求。。的半徑及sin/ACE的值..如圖，在^ABC中，ZC=90°,AC=3,BC=為BC邊上一點(diǎn)，以0為圓心，0B為半徑作半圓與BC邊和AB邊分別交于點(diǎn)D、點(diǎn)E,連接DE.(1)當(dāng)BD=3時(shí)，求線段DE的長(zhǎng)；(2)過(guò)點(diǎn)E作半圓。的切線，當(dāng)切線與AC邊相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為F.求證：4FAE是等腰三角形..如圖，在^ABC中，ZC=90°,NABC的平分線交AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作BE的垂線交AB于點(diǎn)F,。。是4BEF的外接圓.(1)求證：AC是。。的切線；(2)過(guò)點(diǎn)E作EHLAB,垂足為H,求證：CD=HF；(3)若CD=1,EH=3,求BF及AF長(zhǎng).

.如圖，BD是。。的直徑，OALOB,M是劣弧上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作。。的切線MP交0A的延長(zhǎng)線于P點(diǎn)，MD與0A交于N點(diǎn).(1)求證：PM=PN；(2)若BD=4,PA=AO,過(guò)點(diǎn)B作BC〃MP交。。于C點(diǎn)，求BC的長(zhǎng)..如圖是一個(gè)量角器和一個(gè)含30°角的直角三角板放置在一起的示意圖，其中點(diǎn)B在半圓。的直徑DE的延長(zhǎng)線上，AB切半圓。于點(diǎn)F,且BC=OE.(1)求證：DE〃CF；(2)當(dāng)0E=2時(shí)，若以0,B,F為頂點(diǎn)的三角形與^ABC相似，求0B的長(zhǎng)；(3)若0E=2,移動(dòng)三角板ABC且使AB邊始終與半圓0相切，直角頂點(diǎn)B在直徑DE的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，求出點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離.(1L如圖，AB、AC分別是。。的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DELAB分別交。。于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF.(1)求證：PC是。。的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF,為什么(3)在(2)的條件下，若OH=1,AH=2,求弦AC的長(zhǎng).12.如圖，在^ABC中，ZABC=90°,以AB的中點(diǎn)。為圓心、0A為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn)，連接DE,0E.(1)判斷DE與。。的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)求證：BC2=CD?2OE；(3)若cos/BAD=,BE=6,求OE的長(zhǎng).專(zhuān)題：圓與相似答案1.(1)相切，理由見(jiàn)解析；(2)4.(1)如圖，連接0G.VOA=OG,.*.ZOGA=ZOAG.VCDXAB,.*.ZAKH+ZOAG=90o.%VKE=GE,ZKGE=ZGKE=ZAKH.ZKGE+ZOGA=ZAKH+ZOAG=90.*.ZOGE=90o,即OGLEF.又TG在圓。上，???EF與圓0相切.VAC#EF,.*.ZF=ZCAH,RtAAHC^RtAFGO.CH=0GACOF則AC?.?在Rt^OAH中，AH=3，設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t..CH_4.OG_4??AC_5.??OF_5.《VFB=1.OG_4，解得：OG=4.OG+15???圓O的半徑為4.考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.切線的判定；3.相似三角形的判定與性質(zhì).2.（1）證明見(jiàn)解析；（2）EF2=4OD?OP,證明見(jiàn)解析；（3）3,10.53【解析】試題解析：（1）如圖，連接OB,VPB是。O的切線，.NPBO=90°.VOA=OB,BA±PO于D,AAD=BD,ZPOA=ZPOB.XVPO=PO,AAPAO^APBO（SAS）..ZPAO=ZPBO=90°..直線PA為。O的切線.(2)EF2=4OD?OP,證明如下:,.,ZPAO=ZPDA=90°,ZOAD+ZAOD=90,.,ZPAO=ZPDA=90°,ZOAD+ZAOD=90OAZOAD=ZOPA..".△OAD^AOPA.OP,ZOPA+ZAOP=90°.OD□口,ipOA2=OD?OP.OA又?.?EF=2OA,.，.EF2=4OD*OP.(3)VOA=OC,AD=BD,BC=6,.*.0D=1BC=32(三角形中位線定理).設(shè)AD=x,..，AD1?.tanZF==，..FD=2x,OA=OF=2x-3.FD2在RtAAOD中，由勾股定理，得(2x-3)2=X2+32,解得，x『4,x2=0(不合題意，舍去).AAD=4,OA=2x-3=5.：AC是。0直徑，AZABC=90°.「BC63XVAC=2OA=10,BC=6,.\cosZACB===AC10510,.,OA2=OD*OP,.*.3(PE+5)=25...PE=.33.試題解(1)證3.試題解(1)證VC是劣OCCGCG±//±析：明：如圖，連結(jié)OC,弧AE的中點(diǎn)，AE,AE,OC,$ACG是。0的切線；(2)證明：連結(jié)AC、BC,VAB是。。的直徑，.,.ZACB=90°,.*.Z2+ZBCD=90°,而CD±AB,ZB+ZBCD=90°,.*.ZB=Z2,VACM=CE弧,Z1=ZB,$.*.Z1=Z2,，AF=CF；(3)解：在Rt^ADF中，ZDAF=30°，F(xiàn)A=FC=2,

DF=1AF=1,2.*.AD=3DF=3,?「AF〃CG,ADA：AG=DF：CF,即3：AG=1：2,AAG=23..(1)證明：連接AE,VAB是。O的直徑，??.NAEB=90°,AN1+N2=90°.：AB=AC,AZ1=1ZCAB.VZCBF=1ZCAB,AZ1=Z22CBF,ANCBF+N2=90°,即NABF=90°,：ABABE=AB?sinZ1=5,VAB=AC,ZAEB=90°是。O的直徑，.?.直線BF是。OABE=AB?sinZ1=5,VAB=AC,ZAEB=90°(2)過(guò)點(diǎn)C作CGXAB于G.VsinZCBF=；,Z1=ZCBF,AsinZ1=；,V在RtAAEB中，ZAEB=90°,AB=5,理得AE=AB2—BE2=理得AE=AB2—BE2=25,AsinZ2==廣，cosZ2==〃，在RtACBG中，AB5AB5可求得GC=4,GB=2可求得GC=4,GB=2,AAG=3,VGC〃BF,???△AGC^△ABF,A=BFABBF=GC-BF=GC-ABAG20考點(diǎn)：1.切線的判定與性質(zhì)；2.勾股定理；3.圓周角定理；4.相似三角形的判定與性質(zhì);.試題解析：(1)如圖，連接AO,VOM:MD=3:2,A可設(shè)OM=3k,MD=2k(k>0),則OA=OD=5k.又V弦AB=8,直徑CD±AB于M,AAM=4.在Rt△OAM中，由勾股定理可得：k=1.A圓O的半徑為5.(2)如圖，連接AE,

由垂徑定理可知：AEC=CAF,又?「ACF=ACF,ACEsFCA.AC=CE,即AC2=CECF.CFAC在Rt^ACM中，由勾股定理可得：AC2=AM2+CM2=16+64=80,ACECF=80..解：(1)證明：連接CD,VAD是。O的直徑，???NACD=90°。AZCAD+ZADC=90°o又?.?/PAC=NPBA,NADC=NPBA,AZPAC=ZADCoAZCAD+ZPAC=90°oAPAXOAo又?「AD是。O的直(2)由(1)知，徑，APA是。O的切線。PAXAD,XVCF±AD,ACF又「/PAC=ZPBA,又「ZCAG=Z.AC_AG?AB_AC〃PAoAZGCA=ZPACoAZGCA=ZPBAoBAC,AACAG^ABACoAC2=AG?ABo「「AG?AB=12,AAC2=12oAAC=23o(3)設(shè)AF=x,VAF：FD=1：2,A在RtAACD中，V解得；x=2oAAF=2,AD=6oA0O半徑為3o在RtAAFG中，VAF=2,GF=1,FD=2XoAAD=AF+FD=3XoCFXAD,AAC2=AF?AD,艮口3x2=12oA根據(jù)勾股定理得：AG_AF2+GF2_22+12_5o由(2)由(2)知，AG?AB=12,1255AAB_AG連接BD,VAD是。。的直徑，AZABD=90°在RtAABD中，VsinZADB=AB,AD=6,在RtAABD中，VsinZADB=AB,AD=6,

AD12AB_5525AsinZADB=525VZACE=ZACB=ZADB,AsinZACE=57.(1)解：VZC=90°,AC=3,BC=4,

.*.AB=5,VDB為直徑，.*.ZDEB=ZC=90o,又?「NB=NB,ADBE^AABC,即，(2)證法一：連接VEF為半圓0的切.*.ZDEO+ZDEF=90o,.*.ZAEF=ZDEO,VADBE^AABC,.*.ZA=ZEDB,XVZEDO=ZDEO,.*.ZAEF=ZA,??.△FAE是等腰三角形；證法二：連接0E?「EF為切線,.*.ZAEF+ZOEB=90o,VZC=90°,.*.ZA+ZB=90o,VOE=OB,.*.ZOEB=ZB,.*.ZAEF=ZA,AAFAE是等腰三角形.證明：(1)如圖，連接0E.VBEXEF,ZBEF=90°,???BF是圓。的直徑.?「BE平分NABC,.*.ZCBE=ZOBE,VOB=OE,.*.ZOEB=ZCBE,ZAEO=Z/.AC是。0的切(2)如圖，連結(jié)VZCBE=ZOBE,EC=EH..*.ZCDE=ZHFE.在ACDE與△HFE中，，.咨—處

,.咨—處

,?正=瓦,.*.DE=；0E,線，.*.ZOBE=ZOEB,.*.OE#BC,C=90°,線；DE.ECLBC于C,EHLAB于H,VZCDE+ZBDE=180°,ZHFE+ZBDE=180°,*.CD=HF.(3)由(2)得CD=HF,又CD=1,在RfAHFE中，EF=W十莊,VEF±BE,.*.ZBEF=90o,.*.ZEHF=ZBEF=90o,VZEFH=ZBFE,AEHF^ABEF,,IP=,.*.BF=10,.*.0E=BF=5,OH=5-1=4,.一△OHE中，cosZEOA=,.?."△EOA中，cosZEOA==,；.二,.*.OA=,.*.AF=-5=.(1)證明：連接OM,?「MP是圓的切線，.*.OM±PM,.*.ZOMD+ZDMP=90o,VOAXOB,.*.ZOND+ZODM=90o,VZMNP=ZOND,ZODM=ZOMD,.*.ZDMP=ZMNP,.*.PM=PN.(2)解：設(shè)BC交OM于E,VBD=4,OA=OB=BD=2,.*.PA=3,PO=5；VBC#MP,OM±MP,Z.OMXBC,.*.BE=BC；,.,ZBOM+ZMOP=90°,在直角三角形0Mp中，ZMPO+ZMOP=90°,.*.ZB0M=ZMP0；,.,ZBEO=ZOMP=90°,AOMP^ABEO,,即=,解得：BE=,.??BC=.(1)證明：連接OF,?「AB切半圓。于點(diǎn)F,OF是半徑,.*.ZOFB=90o.*.ZOFB=90o,VZABC=90°,.*.ZOFB=ZABC,BC=OE,OE=OF,，四邊形OBCF是.??DE〃CF；-?,VZA=30°,ZAC=4,又?.?0F=0E=2,若△BOFs^ACB,?—,于G.OA=3,艮口可.??OF〃BC,BC=OF,平行四邊形，(2)解：若△OBFs^ACB,.*.OB=,ABC=90°,BC=0E=2,AB=2..*.OB==；.*.OB=.*.OB==4；綜上，03=或4；(3)解：畫(huà)出移動(dòng)過(guò)程中的兩個(gè)極值圖，由圖知：點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段BE的長(zhǎng)，VZA=30°,ZABO=30°,BO=4,.*.BE=2,???點(diǎn)B移動(dòng)的最大距離是線段BE的長(zhǎng)為2.(1)證明：連接OC.VPC=PF,OA=OC,.,.ZPCA=ZPFC,ZOCA=ZOAC,VZPFC=ZAFH,DE±AB,ZAHF=90°,ZPCO=ZPCA+ZACO=ZAFH+ZFAH=90°,...PC是。0的切線.(