2022年福建省福州一中自主招生數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（共10小題，滿分40分）.下列說法正確的是（ ）A.“明天會下雨”是必然事件B.想了解“五?一”期間福州市各家庭的消費(fèi)情況，適合的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查C.正方形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形D.120000用科學(xué)記數(shù)法表示是1.2XTOC\o"1-5"\h\z.下列運(yùn)算正確的是（ ）A.x-2x=xB.（孫）2=才c.V2xV3=V6D.（-V2）2=4.搶微信紅包成為節(jié)日期間人們最喜歡的活動之一.對某單位50名員工在春節(jié)期間所搶的紅包金額進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制成了統(tǒng)計圖.根據(jù)如圖提供的信息、，紅包金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）.某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（ ）A.圓錐 B.圓柱 C.長方體 D.四棱柱?2xI7vI1.若關(guān)于x的不等式組 的解集為x<3,則A的取值范圍為（ ）[x—k<2A.k>\ B.k<\ C.k^\ D..下列各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（ ）.從-1,1,2這三個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)作為一次函數(shù)y=h+〃的系數(shù)歷b,則一TOC\o"1-5"\h\z次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第四象限的概率是（ ）1111A.- B.- C.一 D.-6 2 3 4.有三位同學(xué)對校隊與市隊足球賽進(jìn)行估計，A說：校隊至少進(jìn)3個球，B說：校隊進(jìn)球數(shù)不到5個，C說：校隊至少進(jìn)1個球.比賽后，知道3個人中，只有1個人的估計是對的，你能知道，校隊踢進(jìn)球的個數(shù)是（ ）A.4個 B.3個 C.1個 D.0個.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC=6cm,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向以每秒尤cm的速度向終點(diǎn)8運(yùn)動；同時，動點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿8C方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，將△PQC沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P'.設(shè)。點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒，若四邊形QP'CP為菱形，貝h的值為（ ）A.V2 B.2 C.2V2 D.3.如圖，下列各圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律，圖形中M與,〃、n的關(guān)系是（ ）A.M=mn B.M=m（m+1）C.M=mn+lD.M=n（m+1）二.填空題（共5小題，滿分20分，每小題4分）.如圖，在△ABC中，CA=CB,NACB=90°,AB=2,點(diǎn)。為4B的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為圓心作圓心角為90°的扇形OE凡點(diǎn)C恰在弧EFL,則圖中陰影部分的面積為.

.如圖，AC是。。的直徑，弦8O_LA。，垂足為點(diǎn)E,連接8C,過點(diǎn)。作。尸，BC,垂足為F,若BD=8an,AE=2cm,則OF的長度是cm..如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=-9在第二象限分支上的一個動點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)8,以AB為底作等腰ZVIBC,且NACB=I2O°,點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y=（上運(yùn)動，則上的值為.一個盒子里裝有不多于200顆糖，如果每次2顆，3顆，4顆或6顆的取出，最終盒內(nèi)都只剩下一顆糖，如果每次以11顆的取出，那么正好取完，則盒子里共有顆糖.三.解答題（共7小題，滿分90分）（14分）⑴計算：（-2022）°+（-）'2-（-2）3.霓2 1 1（2）先將（——--）+烏化簡，然后請你選一個自己喜歡的x值，求原式的值.x+1 X+1X(12分)如圖，矩形A8CO中，AB=4cm,8c=6an,點(diǎn)P從8出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為lcm/s,點(diǎn)。從C出發(fā)，沿C-。-A方向運(yùn)動，速度為2cm/s,P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)終點(diǎn)4時，P、。兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動的時間為r(s).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)時，求AP的長;r為何值時，四邊形4QCP是平行四邊形;r為何值時，△PCQ是等腰三角形.(12分)如圖，一次函數(shù)yi=-X-1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)”=(圖象的一個交點(diǎn)為M(-2,m).(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)然＞力時，求x的取值范圍；(3)求點(diǎn)8到直線。歷的距離.（12分）如圖，△ABC內(nèi)接于。€。，NC=120°.請僅用無刻度的直尺，分別在下列兩個圖形中，根據(jù)條件在AB的下方作一個30°的圓周角.（保留作圖痕跡，不寫作法）.(1)在圖1中，AC=BCx(2)在圖2中，ACWBC.圖1 圖2（12分）已知，如圖，在坡頂A處的同一水平面上有一座古塔8C,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂8的仰角為45°,然后他們沿著坡度為1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡頂A處又測得該塔的塔頂8的仰角為76°.求:（1）坡頂A到地面PO的距離；（2）古塔BC的高度（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin76°=0.97,cos76°20.24,tan76°-4.01）(12分)在多項式中有一類比較有趣的因式分解，如我們已經(jīng)學(xué)過的1-?=(1-x)*(1+x)1-/=(1-x)*(1+x+x2)(1)證明：1-x4=(1-/)?(1+X+/+Q；(2)據(jù)此猜想，對任意正整數(shù)〃22,1-/=.(不必證明)；11 1 1(3)利用(2),求一+(-)2+(一)3+…+(-)2。19的值.2 2 2 2(16分)如圖所示，拋物線y=*+/?x+c經(jīng)過4、B兩點(diǎn),4、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(0,-3).(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，且DC=DE,求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；(3)在第二問的條件下，在直線OE上存在點(diǎn)P,使得以C、￡＞、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似，請你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).2022年福建省福州一中自主招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（共10小題，滿分40分）.下列說法正確的是（ ）A.“明天會下雨”是必然事件B.想了解“五?一”期間福州市各家庭的消費(fèi)情況，適合的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查C.正方形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形D.120000用科學(xué)記數(shù)法表示是1.2X106解：A、”明天會下雨”是隨機(jī)事件，故A錯誤；8、想了解“五?一”期間福州市各家庭的消費(fèi)情況，適合的調(diào)查方式是抽樣調(diào)查，故B正確；C、正方形是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故C錯誤；。、120000用科學(xué)記數(shù)法表示是1.2X105,故。錯誤；故選：B..下列運(yùn)算正確的是（ ）A.x-2x=xB.（盯）1=xyLC.V2xV3=V6D.（-V2）2=4解：A、x-2x=-x,此選項錯誤：B、（xy）2=x2y2,此選項錯誤；C、V2xV3=V6＞此選項正確；D、（-V2）~—1t此選項錯誤；故選：C..搶微信紅包成為節(jié)日期間人們最喜歡的活動之一.對某單位50名員工在春節(jié)期間所搶的紅包金額進(jìn)行統(tǒng)計，并繪制成了統(tǒng)計圖.根據(jù)如圖提供的信息，紅包金額的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）20解：捐款30元的人數(shù)為20人，最多，則眾數(shù)為30,中間兩個數(shù)分別為30和30,則中位數(shù)是30,故選：C..某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體是（ ）A.圓錐 B.圓柱 C.長方體 D.四棱柱解：???主視圖和左視圖都是長方形，.??此幾何體為柱體，?.?俯視圖是一個圓，???此幾何體為圓柱，故選：B.（2x+7>4x+1TOC\o"1-5"\h\z5.若關(guān)于x的不等式組?十 的解集為x<3,則％的取值范圍為（ ）—k<2A.k>l B.k<l C.攵21 D.kWl解：不等式整理得：［x<3 ,由不等式組的解集為xV3,得到女的范圍是221,故選：C..下列各正方形中的四個數(shù)之間都有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，x的值為（ ）：.b=9,:?a=b-1=8,.,.x=2fe2+a=162+8=170,故選：C..從-1,1,2這三個數(shù)中，任取兩個不同的數(shù)作為一次函數(shù)的系數(shù)hb,則一TOC\o"1-5"\h\z次函數(shù)y=h+6的圖象不經(jīng)過第四象限的概率是（ ）1111A.- B.- C?一 D.—6 2 3 4解：列表，如圖，k、人的取值共有6種等可能的結(jié)果；而一次函數(shù)y=fcc+6的圖象不經(jīng)過第四象限，則上＞0,6N0,，滿足條件的入6的取值有（1,2）,（2,1）,...一次函數(shù)y=kx+b的圖象不經(jīng)過第四象限的概率=|=1..有三位同學(xué)對校隊與市隊足球賽進(jìn)行估計，A說：校隊至少進(jìn)3個球，B說：校隊進(jìn)球數(shù)不到5個，C說：校隊至少進(jìn)1個球.比賽后，知道3個人中，只有1個人的估計是對的，你能知道，校隊踢進(jìn)球的個數(shù)是（ ）A.4個 B.3個 C.1個 D.0個解：若A真，則C真，顯然不符合題意的要求；若C真，則A、8必有一個是真命題，顯然也不符合題意：因此只有一種情況，即：8真，A、C為假命題，那么此時球隊踢進(jìn)求的個數(shù)是0個.故選：D.9.如圖，在RtZ\A8C中，N4C8=90°,AC=BC=6cv”，動點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，沿AB方向以每秒迎C7"的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動；同時，動點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，將△POC沿BC翻折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)P.設(shè)。點(diǎn)運(yùn)動的時間為，秒，若四邊形QP'CP為菱形，貝h的值為（ ）C AA.V2 B.2 C.2V2 D.3解：連接PP'交BC于O,?.?若四邊形QPCP'為菱形，：.PP'J_QC,/.ZPOQ=90°,VZACB=90°,J.PO//AC,.APCO?.—>ABCB?.?設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動的時間為r秒，：.AP=\[2t,QB=t,/.QC=6-r,.,.CO=3-1,"：AC=CB=6,NACB=90°,：.AB=6y/2,.低3-g6y12 6解得：r=2,故選：B.10.如圖，下列各圖形中的三個數(shù)之間均具有相同的規(guī)律.根據(jù)此規(guī)律，圖形中M與小、〃的關(guān)系是( )A.M=mn B.M=m(n+1)C.M=mn+\D.M=n(m+1)解：V1X(2+1)=3,3X(4+1)=15,5X(6+1)=35,.?.右下圓圈內(nèi)的數(shù)=上方圓圈內(nèi)的數(shù)X(左下圓圈內(nèi)的數(shù)+1),(n+1).故選：B.二.填空題(共5小題，滿分20分，每小題4分)11.如圖，在△ABC中，CA=CB,NACB=90°,AB=2,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)。為7T1圓心作圓心角為90°的扇形OE凡點(diǎn)C恰在弧EF上，則圖中陰影部分的面積為一--.―4 2―B解：連接CD,9：CA=CB,NACB=90°,AZB=45°,??,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，：.DC=^AB=BD=\,CD±AB,ZDCA=45°,：?/CDH=NBDG,/DCH=/B,在和AOBG中，(Z.CDH=乙BDG{CD=BD,(Z.DCH=Z.B:.△DCgADBG(ASA),,,S,,S四邊形 2sz\ABC=qX|AB.CD=1x2Xl=i；.S；.S陰影=Ssi?def-Sabdc=9t7T_14-2112.如圖，AC是。。的直徑，弦8OLAO,垂足為點(diǎn)E,連接BC,過點(diǎn)。作OFLBC,垂足為F,若BD=8cm,AE=2cm,則OF的長度是解：連接解：連接AB,'：BD±AO,：.BE=ED=聶￡)=4,由勾股定理得，AB=y/AE2+BE2=2西,■:OF1BC,:.CF=FB,又CO=Q4,OF=^AB=y/5(cm),故答案為：V5.

13.如圖，點(diǎn)A是雙曲線y=-9在第二象限分支上的一個動點(diǎn)，連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)8,以AB為底作等腰ZVIBC,且NACB=I2O°,點(diǎn)C在第一象限，隨著點(diǎn)A的運(yùn)動，點(diǎn)C的位置也不斷變化，但點(diǎn)C始終在雙曲線y=（上運(yùn)動，則&的值為3.解：連接CO,過點(diǎn)4作A。Lr軸于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CELx軸于點(diǎn)E,?.?連接AO并延長交另一分支于點(diǎn)B,以AB為底作等腰△ABC,且NACB=120°,J.COLAB,ZCAB=30°,則NAO￡>+NCOE=90°,'：ZDAO+ZAOD=90°,:.NDAO=NCOE,又A。。=NCEO=90°,.△AO￡）s/\oc￡,ADODOA—=—ADODOA—=—=—=tan60°=EOS^AODS>EOCCE0C=（V3）2=3,?點(diǎn)A是雙曲線y=-9在第二象限分支上的一個動點(diǎn),1 9?Sa40D=2X優(yōu)yl=2,2 1 2?Saeoc=2'即5xOEXCE=.k=OEXCE=3,故答案為：3.故答案為：O一個盒子里裝有不多于200顆糖，如果每次2顆，3顆，4顆或6顆的取出，最終盒內(nèi)都只剩下一顆糖，如果每次以11顆的取出，那么正好取完，則盒子里共有，顆糖.解：已知如果每次11顆地取出正好取完，則盒子內(nèi)糖數(shù)必為11的倍數(shù).又知盒子里裝有不多于200顆糖，則盒子內(nèi)糖數(shù)可能為11、22、33、44、55、66、77、88>99、110、121、132、143、154、165、176、187、198.又已知如果每次2顆，3顆，4顆或6顆地取出，最終盒內(nèi)都只剩一顆糖，則盒子內(nèi)糖數(shù)為12的倍數(shù)+1.又知盒子里裝有不多于200顆糖則盒子內(nèi)糖數(shù)可能為13,25,37,49,61,73,85,97,109,121,133,145,157,169,181,193.取上面兩組數(shù)的交集可得121,故盒子里共有121顆糖.故答案為：121.三.解答題（共7小題，滿分90分）（14分）（1）計算：（-2007）°+（-）'2-（-2）3.（2）先將（—————）+弓化簡，然后請你選一個自己喜歡的x值，求原式的值.x+1x+1x解：（I）原式=1+4-（-8）=5+8=13；當(dāng)x=2時，原式=2.(12分)如圖，矩形ABCO中，AB^4cm,BC=6cm,點(diǎn)P從8出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，速度為kvn/s,點(diǎn)。從C出發(fā)，沿C-。-A方向運(yùn)動，速度為2cm/s,P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā),當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)終點(diǎn)A時，P、。兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動的時間為，(s).(1)當(dāng)點(diǎn)P是線段8c的中點(diǎn)時，求AP的長:(2)，為何值時，四邊形4QCP是平行四邊形;(3)，為何值時，△PC。是等腰三角形.解：(I)是BC的中點(diǎn)，.".BP=3cm,'：AB=4cm,NB=90°,.".AP—5cm；???四邊形AQC尸是平行四邊形，：.AQ=CP,：.10-2r=6-t,解得：t=4；(I)若0在CO邊上時，只有PC=CQ,即：6-t=2t,解得：r=2；(II)若。在4。邊上時，①當(dāng)PQ=CQ時，-(6-r)=2t-4,解得：仁等：②PC=C0時，(6-r)2=42+(2r-4)2,解得：r=2或f=g(舍去)；PQ=PC時，(6-f)2=42+(10-3Z)2,整理得：?-6r+10=0,△=36-40=-4<0,無解，14 ~所以當(dāng)f=2、石■時，△PCQ是等腰三角形.(12分)如圖，一次函數(shù)yi=-X-1的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)”=［圖象的一個交點(diǎn)為M(-2,/”).(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)”>yi時，求x的取值范圍：(3)求點(diǎn)B到直線OM的距離.解：(1)把M(-2,m)代入y=-x-1得m=2-1=1,則M(-2,1),把M(-2,1)代入尸右得仁-2X1=-2,所以反比例函數(shù)解析式為尸一；JX⑵解方程組｛；二3得］端匕，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),當(dāng)-2<x<0或x>l時，”>yi；(3)y=-x-1與y軸交于點(diǎn)B所以B的坐標(biāo)為(0,-1),所以08=1,OM=a2+22=V5,Saomb=*x1X2=1,設(shè)點(diǎn)B到直線。例的距離為h,—?V5*/i=1?解得/z=2 32\/5即點(diǎn)B到直線OM的距離為一.5（12分）如圖，AABC內(nèi)接于。€。，ZC=120°.請僅用無刻度的直尺，分別在下列兩個圖形中，根據(jù)條件在AB的下方作一個30°的圓周角.（保留作圖痕跡，不寫作法）.（1）在圖1中，AC=BC；（2）在圖2中，AC^BC.圖1 圖2解：（1）如圖1所示：ZBDC=30°；(2)如圖2所示：ZADE=30°.（12分）已知，如圖，在坡頂4處的同一水平面上有一座古塔8C,數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)在斜坡底P處測得該塔的塔頂B的仰角為45°,然后他們沿著坡度為1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡頂4處又測得該塔的塔頂8的仰角為76°.求：（1）坡頂A到地面PO的距離；（2）古塔BC的高度（結(jié)果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin76°-0.97,cos76°=0.24,tan76°*4.01）解：(1)過點(diǎn)A作AHLPO,垂足為點(diǎn)H,.?斜坡AP的坡度為1：2.4,.AH5.=,PH12設(shè)A〃=5&,則P”=12A,由勾股定理，得AP=13億/.13)1=26,解得％=2,"〃=10,答：坡頂A到地面P0的距離為10米.(2)延長3c交尸。于點(diǎn)O,VBC1AC,AC//PO,：.BDA.PO,J四邊形A”QC是矩形，CO=A〃=10,AC=DH,??NBPD=45°,:.PD=BD,設(shè)8C=斯貝iJx+10=24+￡>〃，：.AC=DH=x-14,orx在RtZXABC中，tan76°=蕓，即 =4.01.解得x=?19.答：古塔BC的高度約為19米.B(12分)在多項式中有一類比較有趣的因式分解，如我們已經(jīng)學(xué)過的-7=(1-x)>(1+x)1-9=(1-%)?(1+x+x2)(1)證明：1-x4=(1-%)?(1+x+j^+x3)；(2)據(jù)此猜想，對任意正整數(shù)〃22,1-/= (1-x)?(l+x+/+/+???+/i).(不必證明)；(3)利用(2),求*(>2+43+.“+(32019的值.2 2 2 2解：(1)證明：V(1-x)?(l+x+/+/)=1+x+r+/- X，=1-3/.1-x4=(1-1)?(1+X+/+X3)；(2)根據(jù)題干所列的兩個等式及(1)中的等式猜想，對任意正整數(shù)1-/=(1-X”(1+穴+/+尸+…)；故答案為：(1-x)?(1+X+/+/+…+/I)；(3)Vl-ci)2020=(1-1)[1+1+(1)2+(|)3+-+(-)2019],.,.[1+1+(1)2+(1)3+-+(1)20|9]=[1-(1)20201-1,.-.[1+1+(-)2+(-)3+-+(-)2。19]=2_由2叫2 2 2 2 222.(16分)如圖所示，拋物線y=7+hx+c經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(0,-3).(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)點(diǎn)E為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一交點(diǎn)，點(diǎn)。為y軸上一點(diǎn)，且DC=DE,求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；(3)在第二問的條件下，在直線OE上存在點(diǎn)P,使得以C、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△DOC相似，請你直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).解：(1)?.?拋物線y=W+6x+c經(jīng)過A(-1,0)、B(0,-3),*fl—力+c=0"1=一3解得｛之二;,故拋物線的函數(shù)解析式為)，=/-2.3；(2)令