10/10計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告（三）（一）數(shù)值微分法一、實(shí)驗(yàn)問(wèn)題已知函數(shù)y=f(x)的數(shù)值如下，利用兩點(diǎn)和三點(diǎn)數(shù)值微分公式計(jì)算f'1和x0.60.80.911.11.11.4y0.73600.83650.909511.11051.24461.6017二、問(wèn)題的分析（描述算法的步驟等）基本的數(shù)值微分公式：f其中節(jié)點(diǎn)等距（xi兩點(diǎn)數(shù)值微分公式：f'(x0)f'(x1)三點(diǎn)數(shù)值微分公式：f'(x1)二階數(shù)值微分公式：f''(x1)=(三、程序設(shè)計(jì)兩點(diǎn)數(shù)值微分公式——f0.m,f1.mf0.m:functiony0=f0(x1,x2,h)y0=(x1-x2)/h;endf1.m:functiony1=f1(x1,x2,h)y1=(x1-x2)/h;end三點(diǎn)數(shù)值微分公式——f11.mfunctiony11=f11(x2,x0,h)y11=(x2-x0)/(2*h);end二階數(shù)值微分公式——f2.mfunctionyy=f2(x2,x1,x0,h)yy=(x2-2*x1+x0)/(h*h);end得出f'1和f”(1)x=[0.60.80.911.11.21.4];y=[0.73600.83650.909511.11051.24461.6017];fori=1:3h=0.1*2^(i-1);d(1)=f0(y(4+i),y(4),h);d(2)=f1(y(4),y(4-i),h);d(3)=f11(y(4+i),y(4-i),h);d(4)=f2(y(4+i),y(4),y(4-i),h);fprintf('h=%.1f時(shí)：',h);d=vpa(d,5)end四、計(jì)算結(jié)果五、結(jié)果分析隨著h的增大，數(shù)值微分公式的截?cái)嗾`差越來(lái)越大。同時(shí)，在兩點(diǎn)誤差公式中很明顯計(jì)算f'(x0)的誤差與f'(六、實(shí)驗(yàn)的總結(jié)與體會(huì)數(shù)值微分公式的截?cái)嗾`差是隨步長(zhǎng)h的減小而減小的，但由于近似式本身均用h作除數(shù)，所以函數(shù)值計(jì)算的舍入誤差，將隨h的減小而給導(dǎo)數(shù)的計(jì)算帶來(lái)越來(lái)越大的誤差。因此h的選取不能過(guò)小，原則上不能使舍入誤差超過(guò)截?cái)嗾`差。在求解微分方程時(shí)，很明顯三點(diǎn)數(shù)值微分方程結(jié)果更加精確。（二）變步長(zhǎng)積分法一、實(shí)驗(yàn)問(wèn)題用變步長(zhǎng)辛浦生積分公式和龍貝格積分法計(jì)算下列積分。（1）0π2二、問(wèn)題的分析（描述算法的步驟等）（1）變步長(zhǎng)辛浦生積分法步驟，要求誤差小于ε令h=sL:令h令若（2）龍貝格積分法步驟，要求誤差小于ε：12令3三、程序設(shè)計(jì)變步長(zhǎng)辛浦生公式的函數(shù)——Simpson.mfunctionSvalue=Simpson(a,b,m)h=(b-a)/2;ss=f(a)+f(b);sss=f(a+h);ssss=0;s=(ss+4*sss)*(h/3);n=1;whilem>=nh=h/2;n=2*n;ssss=sss+ssss;sss=0;fori=1:n;sss=sss+f(a-h+2*i*h);ends=(ss+4*sss+2*ssss)*(h/3);endSvalue=vpa(s,7);end龍貝格積分法——Romberg.mfunctionRvalue=Romberg(a,b,m)h=b-a;R(1,1)=(ff(a)+ff(b))*(h/2);n=1;j=0;whilem>=(n/2)j=j+1;h=h/2;T=0;fori=1:nx=a+h*(2*i-1);T=T+ff(x);endR(j+1,1)=R(j,1)/2+h*T;fork=1:jR(j+1,k+1)=R(j+1,k)+(R(j+1,k)-R(j,k))/(4^k-1);endn=2*n;endR=vpa(R,6)Rvaule=vpa(R(j+1,j+1),6)nend第（1）題中的函數(shù)——f.mfunctiony=f(x)y=sin(x)/x;ifx==0y=1;endend第（2）題中的函數(shù)——ff.mfunctionyy=ff(x)yy=1/(1+x);end調(diào)用時(shí)的調(diào)用語(yǔ)句：（1）Svalue=Simpson(0,pi/2,3)Rvalue=Romberg(0,pi/2,3)（2）Svalue=Simpson(0,1,3)Rvalue=Romberg(0,1,3)四、計(jì)算結(jié)果（1）辛浦生公式的結(jié)果如下：龍貝格求積公式結(jié)果如下：（2）辛浦生公式的結(jié)果如下：龍貝格求積公式結(jié)果如下：五、結(jié)果分析由運(yùn)行結(jié)果可知，采用龍貝格求積的誤差