*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積

第八章*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律例1.

證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)例1.證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角例2.

已知三點(diǎn)AMB.解:則求故例2.已知三點(diǎn)AMB.解:則求故為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積:的夾角為且為單位向量為).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(34.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見上冊(cè)附錄I:

P355～P358)向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見上冊(cè)附錄I:P355～例4.已知三點(diǎn)角形

ABC

的面積.解:

如圖所示,求三例4.已知三點(diǎn)角形ABC的面積.解:如圖所示,一點(diǎn)M

的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:

在軸l

上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l

上任取一點(diǎn)O,作它與則點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑一點(diǎn)M的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度繞l軸*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積.記作2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:

已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解例7.

已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四點(diǎn)共面,求點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z

所滿足的方程.解:

A、B、C、M

四點(diǎn)共面展開行列式即得點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程AM、AB、AC

三向量共面即例7.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:混合積:2.向量關(guān)系:混合積:2.向量關(guān)系:思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角的正弦與余弦.答案:2.證:由三角形面積公式所以因證:由三角形面積公式所以因P232,3,4,8,9,10,12第三節(jié)作業(yè)(3-6)P232,3,4,8,第三節(jié)備用題1.已知向量的夾角且解：備用題1.已知向量的夾角且解：在頂點(diǎn)為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有在頂點(diǎn)為三角形中,求AC邊上的高BD.解：三角形

由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即附錄：二階與三階行列式由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算11a主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算11a三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)對(duì)角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說明

對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)對(duì)角線法則注意紅線上三元例如余子式與代數(shù)余子式例如余子式與代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如在階行列式中，把元素所在的第行和定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即行列式按行（列）展開法則例如定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子行列式的性質(zhì)性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.行列式性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立.推論如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有性質(zhì)2互換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào).說明行性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)，等于用數(shù)乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．性質(zhì)４

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．性質(zhì)3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)性質(zhì)６

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如性質(zhì)６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積數(shù)量積向量積*混合積

第八章*三、向量的混合積第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的夾角為,稱

記作數(shù)量積(點(diǎn)積).引例.

設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F

所做的功為一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動(dòng),1.定義設(shè)向量的記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有記作故2.性質(zhì)為兩個(gè)非零向量,則有3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實(shí)上,當(dāng)時(shí),顯然成立;3.運(yùn)算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律例1.

證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)例1.證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角公式,得4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則當(dāng)為非零向量時(shí),由于兩向量的夾角例2.

已知三點(diǎn)AMB.解:則求故例2.已知三點(diǎn)AMB.解:則求故為

).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個(gè)面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時(shí)間內(nèi)流過的體積:的夾角為且為單位向量為).求單位時(shí)間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體二、兩向量的向量積引例.

設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個(gè)向量

M:的力F作用在杠桿的P點(diǎn)上,則力F

作用在杠桿上的力二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點(diǎn),有一個(gè)與1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向量積,稱引例中的力矩思考:

右圖三角形面積S＝1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(3)結(jié)合律(證明略)證明:2.性質(zhì)為非零向量,則∥∥3.運(yùn)算律(2)分配律(34.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則4.向量積的坐標(biāo)表示式設(shè)則向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見上冊(cè)附錄I:

P355～P358)向量積的行列式計(jì)算法(行列式計(jì)算見上冊(cè)附錄I:P355～例4.已知三點(diǎn)角形

ABC

的面積.解:

如圖所示,求三例4.已知三點(diǎn)角形ABC的面積.解:如圖所示,一點(diǎn)M

的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度繞l

軸旋轉(zhuǎn),導(dǎo)出剛體上的表示式.解:

在軸l

上引進(jìn)一個(gè)角速度向量使其在l

上任取一點(diǎn)O,作它與則點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離且符合右手法則的夾角為

,

方向與旋轉(zhuǎn)方向符合右手法則,向徑一點(diǎn)M的線速度例5.設(shè)剛體以等角速度繞l軸*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其*三、向量的混合積1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積.記作2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)2.混合積的坐標(biāo)表示設(shè)3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)稱性:(可用三階行列式推出)3.性質(zhì)(1)三個(gè)非零向量共面的充要條件是(2)輪換對(duì)例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解:

已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故例6.已知一四面體的頂點(diǎn)4),求該四面體體積.解例7.

已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(4,2,2)、四點(diǎn)共面,求點(diǎn)M的坐標(biāo)x、y、z

所滿足的方程.解:

A、B、C、M

四點(diǎn)共面展開行列式即得點(diǎn)M的坐標(biāo)所滿足的方程AM、AB、AC

三向量共面即例7.已知A(1,2,0)、B(2,3,1)、C(內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運(yùn)算加減:數(shù)乘:點(diǎn)積:叉積:混合積:2.向量關(guān)系:混合積:2.向量關(guān)系:思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角

的正弦與余弦.答案:2.用向量方法證明正弦定理:思考與練習(xí)1.設(shè)計(jì)算并求夾角的正弦與余弦.答案:2.證:由三角形面積公式所以因證:由三角形面積公式所以因P232,3,4,8,9,10,12第三節(jié)作業(yè)(3-6)P232,3,4,8,第三節(jié)備用題1.已知向量的夾角且解：備用題1.已知向量的夾角且解：在頂點(diǎn)為三角形中,求AC

邊上的高BD.解：三角形ABC的面積為2.而故有在頂點(diǎn)為三角形中,求AC邊上的高BD.解：三角形

由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義即附錄：二階與三階行列式由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算11a主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算11a三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.三階行列式定義記（6）式稱為數(shù)表（5）所確定的三階行列式.三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)對(duì)角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說明

對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)對(duì)角線法則注意紅線上三元例如余子式與代數(shù)余子式例如余子式與代數(shù)余子式在階行列式中，把元素所在的第