第5章：

測量不確定度

第5章：

測量不確定度1教學目的和要求：

通過本章內容的教學，使學生能夠對測量數(shù)據(jù)合理的、正確進行測量不確定度的評

定與表示。要求學生清楚測量不確定度的概念，明了不確定度的分類，掌握標準不確定度

A類和B類評定方法、合成標準不確定度和擴展不確定度的評定方法；正確進行測量不確

定度的報告和表示。

教學目的和要求：通過本章內容的教學，使學生能夠對測量數(shù)據(jù)合2主要內容：

1.測量不確定度的基本概念：產生背景、測量不確定度的定義及分類、測量誤差與測量不確定度、產生測量不確定度的原因、測量過程的數(shù)學模型的建立、測量不確定度傳播規(guī)律。

2.標準不確定度的A類評定：單次測量結果實驗標準差與算術平均值實驗標準差、測量過程的合并樣本標準差、不確定度A類評定的獨立性。

3.

標準不確定度的B類評定：B類不確定度評定的信息來源、B類不確定度的評定方法、B類不確定度評定的自由度及其意義、B類標準不確定度評定的流程。

4.合成標準不確定度的評定：輸入量不相關時不確定度合成、輸入量相關時不確定度合成、合成標準不確定度的自由度、合成標準不確定度的計算流程。

5.擴展不確定度的評定：輸出量的分布特征、擴展不確定度的含義、包含因子的選擇、評定流程。

6.測量不確定度的報告與表示：測量結果及其不確定度的報告、測量不確定度的報告方式、測量不確定度評定的總流程。

主要內容：

3第一節(jié)

研究不確定度的意義

第一節(jié)

研究不確定度的意義4一、研究不確定度的必要性

誤差概念和誤差分析在用于評定測量結果時,有時顯得既不完備，也難于操作。

一種更為完備合理、可操作性強的評定測量結果的方法。尋求誕生測量不確定度

一、研究不確定度的必要性誤差概念和誤差分析在用于評定測量結5二、不確定度的由來

1927年德國物理學家海森堡提出測不準關系，也稱為不確定度關系。1953年Y.Beers在《誤差理論導引》一書中給出實驗不確定度。1970年C.F.Dietrich出版了《不確定度、校準和概率》。1973年英國國家物理實驗室的J.E.Burns等指出，當討論測量準確度時，宜用不確定度。1978年國際計量局發(fā)出不確定度征求意見書，征求各國和國際組織的意見。1980年，國際計量局提出了實驗不確定度建議書INC-1（1980）。二、不確定度的由來1927年德國物理學家海森堡提出測不準關6不確定度的由來(續(xù))

1981年10月國際計量委員會提出了建議書（CI-1981），同意INC-1。1986年組成國際不確定度工作組，負責制定用于計量、生產、科學研究中的不確定度指南。1993年出版了《測量不確定度表示指南》（GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement，簡稱GUM）。1999年中國人民解放軍總裝備部批準發(fā)布了GJB3756-99《測量不確定度的表示及評定》。1999年國家質量技術監(jiān)督局批準發(fā)布了JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》,這規(guī)范原則上等同采用了GUM的基本內容。不確定度的由來(續(xù))1981年10月國際計量委員會提出了建7三、不確定度的應用領域

（1）一些產品生產過程中的質量檢測、質量保證與控制，以及商品流通領域中的商品檢驗等有關質量監(jiān)督、質量控制和建立質量保證體系的質量認證活動；（2）建立、保存、比較溯源于國家標準的各級標準、儀器和測量系統(tǒng)的校準、檢定、封緘和標記等計量確認活動；三、不確定度的應用領域（1）一些產品生產過程中的質量檢測、8（3）基礎科學和應用科學領域中的研究、開發(fā)和試驗，以及實驗室認可活動；（4）科學研究與工程領域內的測量，以及與貿易結算、醫(yī)療衛(wèi)生、安全防護、環(huán)境與資源監(jiān)測等有關的其他測量活動；（5）用于對可以用單值和非單值表征被測量的測量結果的評定，以及對測量和測量器具的設計和合格評定。

不確定度的應用領域(續(xù))

（3）基礎科學和應用科學領域中的研究、開發(fā)和試驗，以及實驗室9第二節(jié)

不確定度的基本概念第二節(jié)

不確定度的基本概念10一、不確定度的定義測量不確定度（uncertaintyofmeasurement）

測量結果帶有的一個參數(shù)，用于表征合理地賦予被測量值的分散性。該參數(shù)是一個表征分散性的參數(shù)。它可以是標準差或其倍數(shù)，或說明了置信水平的區(qū)間半寬度。

該參數(shù)一般由若干個分量組成，統(tǒng)稱為不確定度分量該參數(shù)是通過對所有若干個不確定度分量進行方差和協(xié)方差合成得到。所得該參數(shù)的可靠程度一般可用自由度的大小來表示該參數(shù)是用于完整地表征測量結果的一、不確定度的定義測量不確定度（uncertaintyof11二、不確定度的來源

（1）對被測量的定義不完整或不完善

（2）復現(xiàn)被測量定義的方法不理想

（3）測量所取樣本的代表性不夠

（4）對測量過程受環(huán)境影響的認識不周全，或對環(huán)境條件的測量與控制不完善（5）對模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏差

（6）儀器計量性能上的局限性

二、不確定度的來源（1）對被測量的定義不完整或不完善（212（7）賦予測量標準和標準物質的標準值的不準確

（8）引用常數(shù)或其它參量的不準確

（9）與測量原理、測量方法和測量程序有關的的近似性或假定性（10）在相同的測量條件下，被測量重復觀測值的隨機變化不確定度的來源（續(xù)）

（7）賦予測量標準和標準物質的標準值的不準確（8）引用常數(shù)13（11）對一定系統(tǒng)誤差的修正不完善

（12）測量列中的粗大誤差因不明顯而未剔除

（13）在有的情況下，需要對某種測量條件變化，或者是在一個較長的規(guī)定時間內，對測量結果的變化作出評定。應把該相應變化所賦予測量值的分散性大小，作為該測量結果的不確定度。

不確定度的來源（續(xù)）

（11）對一定系統(tǒng)誤差的修正不完善（12）測量列中的粗大誤14三、不確定度評定方法的分類

A類評定（typeAevaluationofuncertainty）

指用對樣本觀測值的統(tǒng)計分析進行不確定度評定的方法。

B類評定（typeBevaluationofuncertainty）

指用不同于統(tǒng)計分析的其他方法進行不確定度評定的方法。

三、不確定度評定方法的分類A類評定（typeAeva15不確定度評定方法的分類（續(xù)）標準不確定度（standarduncertainty）

用標準差表示測量結果的不確定度，一般用符號u來表示。對于不確定度分量，常在u上加小腳標進行表示，如u1，u2，……un等。合成（標準）不確定度（combinedstandarduncertainty）當測量結果由若干個其他量的值求得時，測量結果的合成標準不確定度等于這些量的方差和（或）協(xié)方差加權和的正平方根，其中權系數(shù)按測量結果隨這些量變化的情況而定。用符號uc表示。不確定度評定方法的分類（續(xù)）標準不確定度（standard16擴展不確定度（expandeduncertainty）

規(guī)定了測量結果取值區(qū)間的半寬度，該區(qū)間包含了合理賦予被測量值的分布的大部分。用符號U或UP表示。包含因子（coveragefactor）

為獲得擴展不確定度，對合成標準不確定度所乘的倍數(shù)因子。常用符號k或kP來表示。在國內，有的也其稱為覆蓋因子，其取值一般在2與3之間。不確定度評定方法的分類（續(xù)）擴展不確定度（expandeduncertainty）17四、測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別四、測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別18測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)19測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)20第三節(jié)標準不確定度A類評定第三節(jié)標準不確定度A類評定21續(xù)所以，當測量結果取觀測到的任一次xi時所對應的A類不確定度為

當測量結果取n次的算術平均值時，所對應的A類不確定度為

當測量結果取其中的m次的平均值時，所對應的A類不確定度

，和的自由度是相同的，都是＝n－1續(xù)所以，當測量結果取觀測到的任一次xi時所對應的A類不確定22例題例5－1對一等標準活塞壓力計的活塞有效面積進行檢定。在各種壓力下測得10次活塞有效面積S0與工作基準活塞面積Ss之比li如下：

0.2506700.250673

0.2506700.250671

0.2506750.250671

0.2506750.250670

0.2506730.250670則其最佳估計值為

例題例5－1對一等標準活塞壓力計的活塞有效面積進行檢定23例題＝0.250672

由貝塞爾公式求得單次測量標準差s（li）為

＝2.05×10－6

l由測量重復性導致的標準不確定度u1（l）為＝0.65×10－6

例題＝0.25067224例題上面u1（l））是表示一等標準活塞壓力計活塞有效面積S0與工作基準活塞面積Ss之比l的由測量重復性引起的不確定度分量（還有其他分量，如工作基準活塞面積Ss的不確定度、加力砝碼的質量、溫度影響等），由得到由測量重復性引起的S0的標準不確定度分量

u1（S0）＝Ss·u1（l）＝0.65×10－6Ss

以相對不確定度表示

＝2.6×10－6

例題上面u1（l））是表示一等標準活塞壓力計活塞有效面積S025二、測量過程的合并樣本標準差

對于一個測量過程，若采用核查標準或控制圖的方法使其處于統(tǒng)計控制狀態(tài)，則該測量過程的合并樣本標準差sp為

式中si為每次核查時的樣本標準差；k為核查次數(shù)。當每次核查，其自由度相同時，式（5－14）成立。合并樣本標準差sp為測量過程長期的組內標準差的平方平均值的正平方根。在此情況下，由該測量過程對被測量X進行n次觀測，以算術平均值作為測量結果時，其標準不確定度u（x）為

二、測量過程的合并樣本標準差對于一個測量過程，若采用核查標26三、規(guī)范測量中的合并樣本標準差

①若m個被測量Xi在重復性條件下，均進行了n次獨立觀測，測值分別為xi，1，xi，2，…，xi，n，其平均值為，則可得合并樣本標準差sp為

自由度為＝m（n－1）

②若

m個被測量重復的次數(shù)不完全相同，設各為

ni，Xi的標準差s（xi）的自由度分別為＝（ni－1），通過m個si與可得sp為自由度為三、規(guī)范測量中的合并樣本標準差①若m個被測量Xi在重復性條27四、A類不確定度評定的自由度和評定流程

四、A類不確定度評定的自由度和評定流程28四、A類不確定度評定的自由度和評定流程

對于A類評定，各種情況下的自由度為：

1．用貝塞爾公式計算實驗標準差時，若測量次數(shù)為n，則自由度

＝n－1。

2．當同時測量t個被測量時，自由度

＝n－t。

3．對于合并樣本標準差sp，其自由度為各組的自由度之和。例如，對于每組測量n次，共測量m組的情況，其自由度為m×（n－1）。

四、A類不確定度評定的自由度和評定流程對于A類評定，各種情29表5-3幾種A類評定不確定度的自由度

10.51２34567891015201234567891419Bessel公式最大誤差法極差法1.92.63.33.94.65.25.86.46.98.39.50.91.82.73.64.55.36.06.87.513.10.9表5-3幾種A類評定不確定度的自由度10.51２34530A類不確定度評定的流程圖

A類不確定度評定的流程圖

31第四節(jié)B類不確定度的評定

B類評定方法獲得不確定度，不是依賴于對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，他必然要設法利用與被測量有關的其他先驗信息來進行估計。因此，如何獲取有用的先驗信息十分重要，而且如何利用好這些先驗信息也很重要第四節(jié)B類不確定度的評定

B類評定方法獲得不確定度，32①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；⑥測量者的經驗與知識；⑦假設的概率分布及其數(shù)字特征。一、B類評定的信息來源②校準證書、檢定證書、測試報告及其他證書文件③生產廠家的技術說明書

④引用的手冊、技術文件、研究論文和實驗報告中給出的參考數(shù)據(jù)及不確定度值等

①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；一、33二、B類不確定度的評定方法

1．已知置信區(qū)間和包含因子

根據(jù)經驗和有關信息或資料，先分析或判斷被測量值落入的區(qū)間［－a，＋a］，并估計區(qū)間內被測量值的概率分布，再按置信水準p來估計包含因子k，則B類標準不確定度u（x）為

式中：a——置信區(qū)間半寬；

k——對應于置信水準的包含因子。

二、B類不確定度的評定方法

1．已知置信區(qū)間和包含因子342．已知擴展不確定度U和包含因子k

如估計值xi

來源于制造部門的說明書、校準證書、手冊或其他資料，其中同時還明確給出了其擴展不確定度U（xi）是標準差s（xi）的k倍，指明了包含因子k的大小，則標準不確定度u（x）可取U（xi）／k，而估計方差u2（xi）為其平方。

2．已知擴展不確定度U和包含因子k

如估計值xi來源于35例如校準證書上指出標稱值為1kg的砝碼的實際質量m＝1000.00032g，并說明按包含因子k＝3給出的擴展不確定度U＝0.24mg。則該砝碼的標準不確定度為u（m）＝0.24mg／3＝80μg，估計方差為u2（mi）＝（80μg）2＝6.4×10－9g2。相應的相對標準不確定度為

urel（m）＝u（m）/m＝80×10－9

在這個例子中，砝碼使用其實際值1000.00032g，而不使用其標稱值，即砝碼是以“等”使用。評定出的標準不確定度80μg是1000.00032g的標準不確定度。

例如校準證書上指出標稱值為1kg的砝碼的實際質量m＝10363．已知擴展不確定度Up和置信水準p的正態(tài)分布

如xi的擴展不確定度不是按標準差s（xi）的k倍給出，而是給出了置信水準p和置信區(qū)間的半寬Up，除非另有說明，一般按正態(tài)分布考慮評定其標準不確定度u（xi）。

3．已知擴展不確定度Up和置信水準p的正態(tài)分布如xi的擴37

4．已知擴展不確定度Up以及置信水準p與有效自由度的t分布

若xi的擴展不確定度不僅給出了擴展不確定度Up和置信水準p，而且給出了有效自由度或包含因子kp，這時必須按t分布處理。

這種情況提供給不確定度評定的信息比較齊全，常出現(xiàn)在標準儀器的校準證書上。

4．已知擴展不確定度Up以及置信水準p與有效自由度的t分38

6．界限不對稱的考慮

在輸入量Xi可能值的下界a一和上界a＋相對于其最佳估計值xi不對稱的情況下，即下界a一＝xi一b－，上界a＋＝xi＋b＋，其中b－≠b＋。這時由于xi不處于a一至a＋區(qū)間的中心，Xi的概率分布在此區(qū)間內不會是對稱的，在缺乏用于準確判定其分布狀態(tài)的信息時，按矩形分布處理可采用下列近似評定

6．界限不對稱的考慮39例如設手冊中給出的銅膨脹系數(shù)a20（Cu）＝16.52×10－6℃－1，但指明最小可能值為16.40×10－6℃－1，最大可能值為16.92×10－6℃－1。這時，

b－＝（16.52－16.40）×10－6℃－1＝0.12×10－6℃－1

b＋＝（16.92－16.52）×10－6℃－1＝0.40×10－6℃－1

由式（5－24）得u（a20）＝0.15×10－6℃－1例如設手冊中給出的銅膨脹系數(shù)a20（Cu）＝16.52×140

7．由重復性限或復現(xiàn)性限求不確定度

在規(guī)定實驗方法的國家標準或類似技術文件中，按規(guī)定的測量條件，當明確指出兩次測量結果之差的重復性限r或復現(xiàn)性限R時，如無特殊說明，則測量結果標準不確定度為

u（xi）＝r／2.83或u（xi）＝R／2.83

這里，重復性限r或復現(xiàn)性限R的置信水準為95％，并作為正態(tài)分布處理。

7．由重復性限或復現(xiàn)性限求不確定度41

8．以“等”使用的儀器的不確定度計算

當測量儀器檢定證書上給出準確度等別時，可接檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的測量不確定度的大小，按上述第2或第3的方法計算標準不確定度分量。當檢定證書既給出擴展不確定度，又給出有效自由度時，按第4方法計算。

以“等”使用儀器的不確定度計算一般采用正態(tài)分布或t分布。

8．以“等”使用的儀器的不確定度計算42

9．以“級”使用儀器的不確定度計算

當測量儀器檢定證書上給出準確度級別時，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該級別的最大允許誤差進行評定。假定最大允許誤差為±A，一般采用均勻分布，得到示值允差引起的標準不確定度分量

9．以“級”使用儀器的不確定度計算43三、B類不確定度的自由度

B類不確定度分量的自由度與所得到的標準不確定度以u（xi）的相對標準不確定度σ［u（xi）］／u（xi）有關，其關系為：

式中，σ［u（xi）］是u（xi）的標準差，即σ［u（xi）］是標準差的標準差，不確定度的不確定度。

三、B類不確定度的自由度

B類不確定度分量的自由度與所得到44當不確定度的評定有嚴格的數(shù)字關系，如數(shù)顯儀器量化誤差和數(shù)據(jù)修約引起的不確定度計算，自由度為∞。

當計算不確定度的數(shù)據(jù)來源于校準證書、檢定證書或手冊等比較可靠資料時，可取較高自由度。

當不確定度的計算帶有一定主觀判斷因素，如指示類儀器的讀數(shù)誤差引起的不確定度，可取較低的自由度。

當不確定度的信息來源難以用有效的實驗方法驗證，如量塊檢定時標準量塊和被檢量塊的溫度差的不確定度，自由度可以非常低。

當不確定度的評定有嚴格的數(shù)字關系，如數(shù)顯儀器量化誤差和數(shù)據(jù)45四、B類標準不確定度評定的流程

四、B類標準不確定度評定的流程46第四節(jié)

合成標準不確定度的評定

第四節(jié)合成標準不確定度的評定

47一、A類評定方法采用統(tǒng)計分析的方法評定標準不確定度，用實驗標準差或樣本標準差表示。

單次測量值作為被測量的估計值當用n次測量的平均值作為被測量的估計值單次測量的實驗標準差n次測量的實驗標準差計算實驗標準差的方法：貝塞爾公式，極差法一、A類評定方法采用統(tǒng)計分析的方法評定標準不確定度，用實驗48二、B類評定方法

B類評定方法獲得不確定度，不是依賴于對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，他必然要設法利用與被測量有關的其他先驗信息來進行估計。因此，如何獲取有用的先驗信息十分重要，而且如何利用好這些先驗信息也很重要二、B類評定方法B類評定方法獲得不確定度，不是依賴49①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；⑥測量者的經驗與知識；⑦假設的概率分布及其數(shù)字特征。1、B類評定的信息來源②校準證書、檢定證書、測試報告及其他證書文件③生產廠家的技術說明書

④引用的手冊、技術文件、研究論文和實驗報告中給出的參考數(shù)據(jù)及不確定度值等

①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；1、502、B類評定的方法

（1）若由先驗信息給出測量結果的概率分布，及其“置信區(qū)間”和“置信水平”置信區(qū)間的半寬度置信水平的包含因子（2）若由先驗信息給出的測量不確定度U為標準差的k倍時（3）若由先驗信息給出測量結果的“置信區(qū)間”及其概率分布置信區(qū)間的半寬度置信水平接近1的包含因子2、B類評定的方法（1）若由先驗信息給出測量結果的概率分布51幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計（1）舍入誤差

舍入誤差的最大誤差界限為0.5（末），按均勻分布考慮，故標準不確定度為（2）引用誤差

測量上限為的級電表，其最大引用誤差限（即最大允許不確定度）為按均勻分布考慮，故標準不確定度為

幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計（1）舍入誤差52（3）示值誤差

某些測量儀器是按符合“最大允許誤差”要求而制造的，經檢驗合格，其最大允許誤差為按均勻分布考慮，故標準不確定度為

（4）儀器基本誤差

設某儀器在指定條件下對某一被測量進行測量時，可能達到的最大誤差限為按均勻分布考慮，故標準不確定度為

幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計（3）示值誤差某些測量儀器是按符合“最大允許誤差”要求而53（5）儀器分辨力設儀器的分辨力為，則其區(qū)間半寬度為按均勻分布考慮，故標準不確定度為

（6）儀器的滯后滯后引起的標準不確定度為幾種常見誤差的分布情形及其標準不確定度估計（5）儀器分辨力設儀器的分辨力為，則其區(qū)間半寬度為按54設校準證書給出名義值10Ω的標準電阻器的電阻，測量結果服從正態(tài)分布，置信水平為99％。求其標準不確定度?！纠?-1】【解】根據(jù)題意，該標準電阻器的置信區(qū)間半寬度

查表得計算設校準證書給出名義值10Ω的標準電阻器的電阻55三、自由度三、自由度56研究自由度的意義

由于不確定度是用標準差來表征，因此，不確定度的評定質量就取決于標準差的可信賴程度。而標準差的信賴程度與自由度密切相關，自由度愈大，標準差愈可信賴。所以，自由度的大小就直接反映了不確定度的評定質量不確定度的評定質量標準差的可信賴程度自由度研究自由度的意義由于不確定度是用標準差來表征，因此，不57自由度的概念對于一個測量樣本，自由度等于該樣本數(shù)據(jù)中n個獨立測量個數(shù)減去待求量個數(shù)1。對某量X進行n次獨立重復測量，用貝塞爾公式估計實驗標準差的自由度為n-1。按估計相對標準差來定義的自由度稱為有效自由度（或）情形1情形2情形3自由度（degreesoffreedom）

計算總和中獨立項個數(shù)，即總和的項數(shù)減去其中受約束的項數(shù)。

自由度的概念對于一個測量樣本，自由度等于該樣本數(shù)據(jù)中n個獨58A類評定的自由度

最常用的是按貝塞爾公式計算標準差的自由度公式２34567891015201234567891419Bessel公式最大誤差法極差法1.92.63.33.94.65.25.86.46.98.39.50.91.82.73.64.55.36.06.87.510.513.1表7-3幾種A類評定不確定度的自由度

10.9A類評定的自由度最常用的是按貝塞爾公式計算標準差的自由度59B類評定的自由度

對于B類評定的不確定度，其自由度一般通過相對標準不確定度來折算。00.100.200.250.300.400.5050128632自由度表7-4相對標準不確定度與自由度的關系相對標準不確定度B類評定的自由度對于B類評定的不確定度，其自由度一般通過60四、應用舉例四、應用舉例61用游標卡尺對某一試樣的尺寸重復測量10次，得到的測量列如下（單位：mm）75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09，75.06，75.02，75.05，75.08求該重復測量中隨機變化引起的標準不確定度分量及其自由度?！纠?-2】【解】本例估計的是重復測量中隨機變化引起的標準不確定度分量，可根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)進行Ａ類評定用游標卡尺對某一試樣的尺寸重復測量10次，得到的測量列如下62按極差法求取極差

查表3-1得，

則標準差

查表7-3其自由度

用兩種方法估計得到的標準差很接近，但自由度有明顯不同，可見用貝塞爾公式更好一些。由貝塞爾公式其自由度計算結果按極差法求取極差查表3-1得，則標準差查表7-3其自由63某激光管發(fā)出的激光之波長，經檢定為后來又用更精確的方法，測得該激光管的波長為，試估計原檢定波長的標準不確定度及其自由度。【例7-3】【解】查表7-3其自由度用了更精確的方法測量激光管的波長，故可認為約定真值為則原檢定波長的真誤差為可用最大誤差法進行Ａ類評定，因n=1，查表得則標準差即原檢定波長的標準不確定度某激光管發(fā)出的激光之波長，經檢定為后來又用更64第四節(jié)合成不確定度第四節(jié)合成不確定度65一、

合成公式合成標準不確定度

當測量結果受多個因素影響而形成若干個不確定度分量時，測量結果的標準不確定度通過該多個標準不確定度分量合成得到的。第ｉ個標準不確定度分量第ｉ和第j個標準不確定度分量之間的相關系數(shù)不確定度分量的個數(shù)合成標準不確定度一、合成公式合成標準不確定度當測量結果受多個因素影響而66間接測量的合成標準不確定度公式

輸出量估計值的標準不確定度

輸入量估計值和的標準不確定度

函數(shù)在處的偏導數(shù)，稱為靈敏系數(shù)，在誤差合成公式中稱其為傳播系數(shù)；和在處的相關系數(shù)標準不確定度傳播公式

間接測量的合成標準不確定度公式輸出量估計值的標67不確定度分量合成公式直接測量的不確定度分量

直接測量的不確定度分量的合成公式記不確定度分量合成公式直接測量的不確定度分量直接測68簡單的合成公式當和相互獨立時,標準不確定度傳播公式

簡單的合成公式當和相互獨立時,標準不確定度傳播公式69常見的間接測量函數(shù)模型

（1）設,各之間互不相關，則有（2）設，各之間互不相關，則有

相對標準不確定度的表示形式

常見的間接測量函數(shù)模型（1）設,各之間互不相關70二、有效自由度

合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度，一般用來表示。設被測量有個影響測量結果的分量，記為，當各分量均服從正態(tài)分布，且相互獨立時，可根據(jù)韋爾奇-薩特思韋特（Welch-Satterthwaite）公式來計算其合成標準不確定度的有效自由度。二、有效自由度合成標準不確定度的自由度稱為有效自由度，一71合成標準不確定度的計算流程

合成標準不確定度的計算流程72三、應用舉例三、應用舉例73例題某測量結果含5個不確定度分量，每個分量的大小及自由度見下表，它們之間的協(xié)方差均為零，求其合成標準不確定度和有效自由度。來源序號12345合成結果基準尺讀數(shù)電壓表電阻表溫度1.01.01.42.02.05104161不確定度符號數(shù)值符號數(shù)值自由度3.57.8例題某測量結果含5個不確定度分量，每個分量的大小及自由度見74【解】根據(jù)題意，按式(1)計算合成標準不確定度有效自由度計算結果【解】根據(jù)題意，按式(1)計算合成標準不確定度有效自由度計75被測電壓的已修正結果為，其中重復測量6次的算術平均值=0.928571V，A類標準不確定度為。修正值，修正值的標準不確定度由B類評定方法得到，估計的相對誤差為25%。試求V的合成標準不確定度、相對標準不確定度及其自由度?！窘狻坑珊铣蓸藴什淮_定度的計算公式得

例題被測電壓的已修正結果為，其中重復測量6次的算術平均76自由度查B類評定自由度表得有效自由度

相對標準不確定度為

計算結果自由度查B類評定自由度表得有效自由度相對標準不確定度為77第五節(jié)擴展不確定度第五節(jié)擴展不確定度78一、概述擴展不確定度的兩種方法表示

在傳統(tǒng)場合多用合成標準不確定度來表示測量結果的分散性，但在許多領域，常要求用擴展不確定度來表示合成標準不確定度乘以包含因子給定的置信概率或置信水平

一、概述擴展不確定度的兩種方法表示在傳統(tǒng)場合多用合成標準79包含因子的確定方法自由度法簡易法擴展不確定度表示方法中，關鍵是確定包含因子常用方法包含因子的確定方法自由度法簡易法擴展不確定度表示方法中80自由度法

有效自由度

置信水平，常取95%或99%擴展不確定度近似按下兩式表示

包含因子可取為

當足夠大時,或自由度法有效自由度置信水平，常取95%或99%81設，輸入量、、服從正態(tài)分布，分別用獨立重復測量了=10、=5、=15次的算術平均值、和作為它們的估計值，相對標準不確定度分別為=0.25%、=0.57%、=0.82%，試計算相對合成標準不確定度、有效自由度和擴展不確定度（置信水平為95%）。【例7-7】【解】根據(jù)合成標準不確定度的計算公式，得

設，輸入量、、服從正態(tài)分布，分別82由于

則根據(jù)有效自由度計算

查t分布表得

最后得相對擴展不確定度

計算結果由于則根據(jù)有效自由度計算查t分布表得最后得相對擴展不確83簡易法

不知道自由度和有關合成分布的信息，被測量值的估計區(qū)間及其置信水平。怎么辦？取包含因子k=2或3簡易法簡易法不知道自由度和有關合成分布的信息，被測量值的估計區(qū)84擴展不確定度評定的流程

擴展不確定度評定的流程85例題用卡尺對某工件直徑重復測量了三次，結果為15.125，15.124和15.127mm。試寫出其測量的最佳估計值和測量重復性。已知該卡尺的產品合格證書上標明其最大允許誤差為0.025mm，假設測量服從三角分布（置信因子取），估計其不可信賴程度為25%。試表示其測量結果。【解】（1）計算算術平均值和測量重復性

因，用極差法估計s，有例題用卡尺對某工件直徑重復測量了三次，結果為15.125，86（2）用A類評定方法估計測量不確定度分量之一計算算術平均值的標準偏差，即多次測量的重復性

（3）用B類評定方法估計測量不確定度分量之二

（4）求合成標準不確定度

合成不確定度的計算（2）用A類評定方法估計測量不確定度分量之一計算算術平均值87求擴展不確定度自由度法

其不可信賴程度為25%，卡尺允許誤差極限分量的自由度為重復測量分量的自由度為

則有效自由度擴展不確定度

求擴展不確定度自由度法其不可信賴程度為25%，卡尺允許誤88第六節(jié)測量不確定度的報告與表示一個完整的測量結果被測量的最佳估計值，一般由算術平均值給出有關測量不確定度的信息

第六節(jié)測量不確定度的報告與表示一個完整的測量結果被測量的89一、測量結果報告的基本內容

測量不確定度用合成標準不確定度表示

合成標準不確定度自由度測量不確定度用擴展不確定度表示

擴展不確定度U

合成標準不確定度自由度包含因子置信水平

＋＋＋＋＋一、測量結果報告的基本內容測量不確定度用合成標準不確定度表90二、

測量結果的表示方式二、測量結果的表示方式91１、合成標準不確定度表示方式某標準砝碼的質量，其測量的估計值合成標準不確定度，自由度(1)，或，(2)(3)括號內的數(shù)值按標準差給出，其末位與測量結果的最低位對齊括號內的數(shù)值按標準差給出，單位同測量結果一樣

１、合成標準不確定度表示方式某標準砝碼的質量，其測量的估922、擴展不確定度表示方式

某標準砝碼的質量，其測量的估計值合成標準不確定度，自由度包含因子，擴展不確定度或或或2、擴展不確定度表示方式某標準砝碼的質量，其測量的估計93包含因子

或或擴展不確定度表示方式

擴展不確定度包含因子或或擴展不確定度表示方式擴展不確定度94三、數(shù)字位數(shù)與數(shù)據(jù)修約規(guī)則

在表示測量結果時，究竟取幾位數(shù)字為好呢？總結以下幾條原則(1)最后報告的不確定度有效位數(shù)一般不超過兩位當保留一位有效數(shù)字時，按“三分之一原則”進行修約。

多余部分推薦當保留兩位有效數(shù)字時，按“不為零即進位”；0.0011010.0012

0.0010010.001

三、數(shù)字位數(shù)與數(shù)據(jù)修約規(guī)則在表示測量結果時，究竟取幾位數(shù)字95多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原則進行舍棄截斷或進位截斷。(2)被測量的估計值的位數(shù)也要進行相應的修約修約后的不確定度數(shù)值的位數(shù)對齊被測量的估計值已修約的不確定度的數(shù)據(jù)修約的被測量的估計值20.000540.001220.000520.000560.001220.000620.000550.001220.0006四舍六入逢五取偶被測量的估計值的位數(shù)的修約多余部分按“四舍六入、逢五取偶”的原則進行舍棄截斷或進位截斷96在最終表示測量結果的場合，規(guī)范和完整的表示方式有以下兩種：（1）區(qū)間半寬度表示方式：測量結果=最佳估計值±測不準部分（單位）（置信水平，自由度）（2）標準偏差表示方式：測量結果=最佳估計值（測不準部分）（單位）（自由度）測量結果的最終表示在最終表示測量結果的場合，規(guī)范和完整的表示方式有以下兩種：97測量不確定度評定的總流程

測量不確定度評定的總流程98【例7-10】

用數(shù)字電壓表測量某直流電壓問題

用數(shù)字電壓表在標準條件下對10伏直流電壓進行了10次測量，得到10個數(shù)據(jù)如下表所示。由該數(shù)字電壓表的檢定證書給出，其示值誤差按3倍標準差計算為3.510-6V。同時，在進行電壓測量前，對數(shù)字電壓表進行了24小時的校準，在10V點測量時，24小時的示值穩(wěn)定度不超過15μV。試分析評定對該10伏直流電壓量的測量結果。1234567891010.00010710.00010310.00009710.00011110.00009110.00010810.00012110.00010110.00011010.000094【例7-10】用數(shù)字電壓表測量某直流電壓問題用數(shù)字電壓99計算最佳估計值10次電壓測量的算術平均值分析測量不確定度來源（3）數(shù)字電壓表測量重復性引起的不確定度u3

（1）數(shù)字電壓表示值穩(wěn)定度引起的不確定度u1

（2）數(shù)字電壓表示值誤差引起的不確定度u2

【解】計算步驟計算最佳估計值10次電壓測量的算術平均值分析測量不確定度100不確定度評定（1）數(shù)字電壓表示值穩(wěn)定度引起的不確定度分量u1

24小時的示值穩(wěn)定度不超過15μV。按均勻分布考慮，其置信因子為，則得標準不確定度分量

給出示值穩(wěn)定度的數(shù)據(jù)可靠，按不可靠性10%考慮，取其自由度不確定度評定（1）數(shù)字電壓表示值穩(wěn)定度引起的不確定度分量u101（2）數(shù)字電壓表示值誤差引起的不確定度分量u2

示值誤差按3倍標準差計算為故在10V點測量時，由其引起的標準不確定度分量由檢定證書給出的示值誤差數(shù)據(jù)可靠，取其自由度不確定度評定

（2）數(shù)字電壓表示值誤差引起的不確定度分量u2示值誤差按102（3）電壓測量重復性引起的不確定度分量u3

貝塞爾公式計算標準差算術平均值的標準差算術均值為測量結果重復性引起的不確定度分量其自由度不確定度評定（3）電壓測量重復性引起的不確定度分量u3貝塞爾公式計算標103計算合成標準不確定度

根據(jù)韋爾奇-薩特思韋特公式，其有效自由度為由于不確定度分量u1、u2、u3相互獨立，它們之間的相關系數(shù)為0。根據(jù)合成標準不確定度的計算公式得計算合成標準不確定度根據(jù)韋爾奇-薩特思韋特公式，其有效自由104計算擴展不確定度取置信概率為99%，包含因子故該電壓測量結果的擴展不確定度測量結果報告用數(shù)字電壓表測量該直流電壓的結果計算結果計算擴展不確定度取置信概率為99%，包含因子故該電壓測量105第5章：

測量不確定度

第5章：

測量不確定度106教學目的和要求：

通過本章內容的教學，使學生能夠對測量數(shù)據(jù)合理的、正確進行測量不確定度的評

定與表示。要求學生清楚測量不確定度的概念，明了不確定度的分類，掌握標準不確定度

A類和B類評定方法、合成標準不確定度和擴展不確定度的評定方法；正確進行測量不確

定度的報告和表示。

教學目的和要求：通過本章內容的教學，使學生能夠對測量數(shù)據(jù)合107主要內容：

1.測量不確定度的基本概念：產生背景、測量不確定度的定義及分類、測量誤差與測量不確定度、產生測量不確定度的原因、測量過程的數(shù)學模型的建立、測量不確定度傳播規(guī)律。

2.標準不確定度的A類評定：單次測量結果實驗標準差與算術平均值實驗標準差、測量過程的合并樣本標準差、不確定度A類評定的獨立性。

3.

標準不確定度的B類評定：B類不確定度評定的信息來源、B類不確定度的評定方法、B類不確定度評定的自由度及其意義、B類標準不確定度評定的流程。

4.合成標準不確定度的評定：輸入量不相關時不確定度合成、輸入量相關時不確定度合成、合成標準不確定度的自由度、合成標準不確定度的計算流程。

5.擴展不確定度的評定：輸出量的分布特征、擴展不確定度的含義、包含因子的選擇、評定流程。

6.測量不確定度的報告與表示：測量結果及其不確定度的報告、測量不確定度的報告方式、測量不確定度評定的總流程。

主要內容：

108第一節(jié)

研究不確定度的意義

第一節(jié)

研究不確定度的意義109一、研究不確定度的必要性

誤差概念和誤差分析在用于評定測量結果時,有時顯得既不完備，也難于操作。

一種更為完備合理、可操作性強的評定測量結果的方法。尋求誕生測量不確定度

一、研究不確定度的必要性誤差概念和誤差分析在用于評定測量結110二、不確定度的由來

1927年德國物理學家海森堡提出測不準關系，也稱為不確定度關系。1953年Y.Beers在《誤差理論導引》一書中給出實驗不確定度。1970年C.F.Dietrich出版了《不確定度、校準和概率》。1973年英國國家物理實驗室的J.E.Burns等指出，當討論測量準確度時，宜用不確定度。1978年國際計量局發(fā)出不確定度征求意見書，征求各國和國際組織的意見。1980年，國際計量局提出了實驗不確定度建議書INC-1（1980）。二、不確定度的由來1927年德國物理學家海森堡提出測不準關111不確定度的由來(續(xù))

1981年10月國際計量委員會提出了建議書（CI-1981），同意INC-1。1986年組成國際不確定度工作組，負責制定用于計量、生產、科學研究中的不確定度指南。1993年出版了《測量不確定度表示指南》（GuidetotheExpressionofUncertaintyinMeasurement，簡稱GUM）。1999年中國人民解放軍總裝備部批準發(fā)布了GJB3756-99《測量不確定度的表示及評定》。1999年國家質量技術監(jiān)督局批準發(fā)布了JJF1059-1999《測量不確定度評定與表示》,這規(guī)范原則上等同采用了GUM的基本內容。不確定度的由來(續(xù))1981年10月國際計量委員會提出了建112三、不確定度的應用領域

（1）一些產品生產過程中的質量檢測、質量保證與控制，以及商品流通領域中的商品檢驗等有關質量監(jiān)督、質量控制和建立質量保證體系的質量認證活動；（2）建立、保存、比較溯源于國家標準的各級標準、儀器和測量系統(tǒng)的校準、檢定、封緘和標記等計量確認活動；三、不確定度的應用領域（1）一些產品生產過程中的質量檢測、113（3）基礎科學和應用科學領域中的研究、開發(fā)和試驗，以及實驗室認可活動；（4）科學研究與工程領域內的測量，以及與貿易結算、醫(yī)療衛(wèi)生、安全防護、環(huán)境與資源監(jiān)測等有關的其他測量活動；（5）用于對可以用單值和非單值表征被測量的測量結果的評定，以及對測量和測量器具的設計和合格評定。

不確定度的應用領域(續(xù))

（3）基礎科學和應用科學領域中的研究、開發(fā)和試驗，以及實驗室114第二節(jié)

不確定度的基本概念第二節(jié)

不確定度的基本概念115一、不確定度的定義測量不確定度（uncertaintyofmeasurement）

測量結果帶有的一個參數(shù)，用于表征合理地賦予被測量值的分散性。該參數(shù)是一個表征分散性的參數(shù)。它可以是標準差或其倍數(shù)，或說明了置信水平的區(qū)間半寬度。

該參數(shù)一般由若干個分量組成，統(tǒng)稱為不確定度分量該參數(shù)是通過對所有若干個不確定度分量進行方差和協(xié)方差合成得到。所得該參數(shù)的可靠程度一般可用自由度的大小來表示該參數(shù)是用于完整地表征測量結果的一、不確定度的定義測量不確定度（uncertaintyof116二、不確定度的來源

（1）對被測量的定義不完整或不完善

（2）復現(xiàn)被測量定義的方法不理想

（3）測量所取樣本的代表性不夠

（4）對測量過程受環(huán)境影響的認識不周全，或對環(huán)境條件的測量與控制不完善（5）對模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏差

（6）儀器計量性能上的局限性

二、不確定度的來源（1）對被測量的定義不完整或不完善（2117（7）賦予測量標準和標準物質的標準值的不準確

（8）引用常數(shù)或其它參量的不準確

（9）與測量原理、測量方法和測量程序有關的的近似性或假定性（10）在相同的測量條件下，被測量重復觀測值的隨機變化不確定度的來源（續(xù)）

（7）賦予測量標準和標準物質的標準值的不準確（8）引用常數(shù)118（11）對一定系統(tǒng)誤差的修正不完善

（12）測量列中的粗大誤差因不明顯而未剔除

（13）在有的情況下，需要對某種測量條件變化，或者是在一個較長的規(guī)定時間內，對測量結果的變化作出評定。應把該相應變化所賦予測量值的分散性大小，作為該測量結果的不確定度。

不確定度的來源（續(xù)）

（11）對一定系統(tǒng)誤差的修正不完善（12）測量列中的粗大誤119三、不確定度評定方法的分類

A類評定（typeAevaluationofuncertainty）

指用對樣本觀測值的統(tǒng)計分析進行不確定度評定的方法。

B類評定（typeBevaluationofuncertainty）

指用不同于統(tǒng)計分析的其他方法進行不確定度評定的方法。

三、不確定度評定方法的分類A類評定（typeAeva120不確定度評定方法的分類（續(xù)）標準不確定度（standarduncertainty）

用標準差表示測量結果的不確定度，一般用符號u來表示。對于不確定度分量，常在u上加小腳標進行表示，如u1，u2，……un等。合成（標準）不確定度（combinedstandarduncertainty）當測量結果由若干個其他量的值求得時，測量結果的合成標準不確定度等于這些量的方差和（或）協(xié)方差加權和的正平方根，其中權系數(shù)按測量結果隨這些量變化的情況而定。用符號uc表示。不確定度評定方法的分類（續(xù)）標準不確定度（standard121擴展不確定度（expandeduncertainty）

規(guī)定了測量結果取值區(qū)間的半寬度，該區(qū)間包含了合理賦予被測量值的分布的大部分。用符號U或UP表示。包含因子（coveragefactor）

為獲得擴展不確定度，對合成標準不確定度所乘的倍數(shù)因子。常用符號k或kP來表示。在國內，有的也其稱為覆蓋因子，其取值一般在2與3之間。不確定度評定方法的分類（續(xù)）擴展不確定度（expandeduncertainty）122四、測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別四、測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別123測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)124測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)測量誤差于測量不確定度的主要區(qū)別續(xù)125第三節(jié)標準不確定度A類評定第三節(jié)標準不確定度A類評定126續(xù)所以，當測量結果取觀測到的任一次xi時所對應的A類不確定度為

當測量結果取n次的算術平均值時，所對應的A類不確定度為

當測量結果取其中的m次的平均值時，所對應的A類不確定度

，和的自由度是相同的，都是＝n－1續(xù)所以，當測量結果取觀測到的任一次xi時所對應的A類不確定127例題例5－1對一等標準活塞壓力計的活塞有效面積進行檢定。在各種壓力下測得10次活塞有效面積S0與工作基準活塞面積Ss之比li如下：

0.2506700.250673

0.2506700.250671

0.2506750.250671

0.2506750.250670

0.2506730.250670則其最佳估計值為

例題例5－1對一等標準活塞壓力計的活塞有效面積進行檢定128例題＝0.250672

由貝塞爾公式求得單次測量標準差s（li）為

＝2.05×10－6

l由測量重復性導致的標準不確定度u1（l）為＝0.65×10－6

例題＝0.250672129例題上面u1（l））是表示一等標準活塞壓力計活塞有效面積S0與工作基準活塞面積Ss之比l的由測量重復性引起的不確定度分量（還有其他分量，如工作基準活塞面積Ss的不確定度、加力砝碼的質量、溫度影響等），由得到由測量重復性引起的S0的標準不確定度分量

u1（S0）＝Ss·u1（l）＝0.65×10－6Ss

以相對不確定度表示

＝2.6×10－6

例題上面u1（l））是表示一等標準活塞壓力計活塞有效面積S0130二、測量過程的合并樣本標準差

對于一個測量過程，若采用核查標準或控制圖的方法使其處于統(tǒng)計控制狀態(tài)，則該測量過程的合并樣本標準差sp為

式中si為每次核查時的樣本標準差；k為核查次數(shù)。當每次核查，其自由度相同時，式（5－14）成立。合并樣本標準差sp為測量過程長期的組內標準差的平方平均值的正平方根。在此情況下，由該測量過程對被測量X進行n次觀測，以算術平均值作為測量結果時，其標準不確定度u（x）為

二、測量過程的合并樣本標準差對于一個測量過程，若采用核查標131三、規(guī)范測量中的合并樣本標準差

①若m個被測量Xi在重復性條件下，均進行了n次獨立觀測，測值分別為xi，1，xi，2，…，xi，n，其平均值為，則可得合并樣本標準差sp為

自由度為＝m（n－1）

②若

m個被測量重復的次數(shù)不完全相同，設各為

ni，Xi的標準差s（xi）的自由度分別為＝（ni－1），通過m個si與可得sp為自由度為三、規(guī)范測量中的合并樣本標準差①若m個被測量Xi在重復性條132四、A類不確定度評定的自由度和評定流程

四、A類不確定度評定的自由度和評定流程133四、A類不確定度評定的自由度和評定流程

對于A類評定，各種情況下的自由度為：

1．用貝塞爾公式計算實驗標準差時，若測量次數(shù)為n，則自由度

＝n－1。

2．當同時測量t個被測量時，自由度

＝n－t。

3．對于合并樣本標準差sp，其自由度為各組的自由度之和。例如，對于每組測量n次，共測量m組的情況，其自由度為m×（n－1）。

四、A類不確定度評定的自由度和評定流程對于A類評定，各種情134表5-3幾種A類評定不確定度的自由度

10.51２34567891015201234567891419Bessel公式最大誤差法極差法1.92.63.33.94.65.25.86.46.98.39.50.91.82.73.64.55.36.06.87.513.10.9表5-3幾種A類評定不確定度的自由度10.51２345135A類不確定度評定的流程圖

A類不確定度評定的流程圖

136第四節(jié)B類不確定度的評定

B類評定方法獲得不確定度，不是依賴于對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，他必然要設法利用與被測量有關的其他先驗信息來進行估計。因此，如何獲取有用的先驗信息十分重要，而且如何利用好這些先驗信息也很重要第四節(jié)B類不確定度的評定

B類評定方法獲得不確定度，137①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；⑥測量者的經驗與知識；⑦假設的概率分布及其數(shù)字特征。一、B類評定的信息來源②校準證書、檢定證書、測試報告及其他證書文件③生產廠家的技術說明書

④引用的手冊、技術文件、研究論文和實驗報告中給出的參考數(shù)據(jù)及不確定度值等

①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；一、138二、B類不確定度的評定方法

1．已知置信區(qū)間和包含因子

根據(jù)經驗和有關信息或資料，先分析或判斷被測量值落入的區(qū)間［－a，＋a］，并估計區(qū)間內被測量值的概率分布，再按置信水準p來估計包含因子k，則B類標準不確定度u（x）為

式中：a——置信區(qū)間半寬；

k——對應于置信水準的包含因子。

二、B類不確定度的評定方法

1．已知置信區(qū)間和包含因子1392．已知擴展不確定度U和包含因子k

如估計值xi

來源于制造部門的說明書、校準證書、手冊或其他資料，其中同時還明確給出了其擴展不確定度U（xi）是標準差s（xi）的k倍，指明了包含因子k的大小，則標準不確定度u（x）可取U（xi）／k，而估計方差u2（xi）為其平方。

2．已知擴展不確定度U和包含因子k

如估計值xi來源于140例如校準證書上指出標稱值為1kg的砝碼的實際質量m＝1000.00032g，并說明按包含因子k＝3給出的擴展不確定度U＝0.24mg。則該砝碼的標準不確定度為u（m）＝0.24mg／3＝80μg，估計方差為u2（mi）＝（80μg）2＝6.4×10－9g2。相應的相對標準不確定度為

urel（m）＝u（m）/m＝80×10－9

在這個例子中，砝碼使用其實際值1000.00032g，而不使用其標稱值，即砝碼是以“等”使用。評定出的標準不確定度80μg是1000.00032g的標準不確定度。

例如校準證書上指出標稱值為1kg的砝碼的實際質量m＝101413．已知擴展不確定度Up和置信水準p的正態(tài)分布

如xi的擴展不確定度不是按標準差s（xi）的k倍給出，而是給出了置信水準p和置信區(qū)間的半寬Up，除非另有說明，一般按正態(tài)分布考慮評定其標準不確定度u（xi）。

3．已知擴展不確定度Up和置信水準p的正態(tài)分布如xi的擴142

4．已知擴展不確定度Up以及置信水準p與有效自由度的t分布

若xi的擴展不確定度不僅給出了擴展不確定度Up和置信水準p，而且給出了有效自由度或包含因子kp，這時必須按t分布處理。

這種情況提供給不確定度評定的信息比較齊全，常出現(xiàn)在標準儀器的校準證書上。

4．已知擴展不確定度Up以及置信水準p與有效自由度的t分143

6．界限不對稱的考慮

在輸入量Xi可能值的下界a一和上界a＋相對于其最佳估計值xi不對稱的情況下，即下界a一＝xi一b－，上界a＋＝xi＋b＋，其中b－≠b＋。這時由于xi不處于a一至a＋區(qū)間的中心，Xi的概率分布在此區(qū)間內不會是對稱的，在缺乏用于準確判定其分布狀態(tài)的信息時，按矩形分布處理可采用下列近似評定

6．界限不對稱的考慮144例如設手冊中給出的銅膨脹系數(shù)a20（Cu）＝16.52×10－6℃－1，但指明最小可能值為16.40×10－6℃－1，最大可能值為16.92×10－6℃－1。這時，

b－＝（16.52－16.40）×10－6℃－1＝0.12×10－6℃－1

b＋＝（16.92－16.52）×10－6℃－1＝0.40×10－6℃－1

由式（5－24）得u（a20）＝0.15×10－6℃－1例如設手冊中給出的銅膨脹系數(shù)a20（Cu）＝16.52×1145

7．由重復性限或復現(xiàn)性限求不確定度

在規(guī)定實驗方法的國家標準或類似技術文件中，按規(guī)定的測量條件，當明確指出兩次測量結果之差的重復性限r或復現(xiàn)性限R時，如無特殊說明，則測量結果標準不確定度為

u（xi）＝r／2.83或u（xi）＝R／2.83

這里，重復性限r或復現(xiàn)性限R的置信水準為95％，并作為正態(tài)分布處理。

7．由重復性限或復現(xiàn)性限求不確定度146

8．以“等”使用的儀器的不確定度計算

當測量儀器檢定證書上給出準確度等別時，可接檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的測量不確定度的大小，按上述第2或第3的方法計算標準不確定度分量。當檢定證書既給出擴展不確定度，又給出有效自由度時，按第4方法計算。

以“等”使用儀器的不確定度計算一般采用正態(tài)分布或t分布。

8．以“等”使用的儀器的不確定度計算147

9．以“級”使用儀器的不確定度計算

當測量儀器檢定證書上給出準確度級別時，可按檢定系統(tǒng)或檢定規(guī)程所規(guī)定的該級別的最大允許誤差進行評定。假定最大允許誤差為±A，一般采用均勻分布，得到示值允差引起的標準不確定度分量

9．以“級”使用儀器的不確定度計算148三、B類不確定度的自由度

B類不確定度分量的自由度與所得到的標準不確定度以u（xi）的相對標準不確定度σ［u（xi）］／u（xi）有關，其關系為：

式中，σ［u（xi）］是u（xi）的標準差，即σ［u（xi）］是標準差的標準差，不確定度的不確定度。

三、B類不確定度的自由度

B類不確定度分量的自由度與所得到149當不確定度的評定有嚴格的數(shù)字關系，如數(shù)顯儀器量化誤差和數(shù)據(jù)修約引起的不確定度計算，自由度為∞。

當計算不確定度的數(shù)據(jù)來源于校準證書、檢定證書或手冊等比較可靠資料時，可取較高自由度。

當不確定度的計算帶有一定主觀判斷因素，如指示類儀器的讀數(shù)誤差引起的不確定度，可取較低的自由度。

當不確定度的信息來源難以用有效的實驗方法驗證，如量塊檢定時標準量塊和被檢量塊的溫度差的不確定度，自由度可以非常低。

當不確定度的評定有嚴格的數(shù)字關系，如數(shù)顯儀器量化誤差和數(shù)據(jù)150四、B類標準不確定度評定的流程

四、B類標準不確定度評定的流程151第四節(jié)

合成標準不確定度的評定

第四節(jié)合成標準不確定度的評定

152一、A類評定方法采用統(tǒng)計分析的方法評定標準不確定度，用實驗標準差或樣本標準差表示。

單次測量值作為被測量的估計值當用n次測量的平均值作為被測量的估計值單次測量的實驗標準差n次測量的實驗標準差計算實驗標準差的方法：貝塞爾公式，極差法一、A類評定方法采用統(tǒng)計分析的方法評定標準不確定度，用實驗153二、B類評定方法

B類評定方法獲得不確定度，不是依賴于對樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計，他必然要設法利用與被測量有關的其他先驗信息來進行估計。因此，如何獲取有用的先驗信息十分重要，而且如何利用好這些先驗信息也很重要二、B類評定方法B類評定方法獲得不確定度，不是依賴154①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；⑥測量者的經驗與知識；⑦假設的概率分布及其數(shù)字特征。1、B類評定的信息來源②校準證書、檢定證書、測試報告及其他證書文件③生產廠家的技術說明書

④引用的手冊、技術文件、研究論文和實驗報告中給出的參考數(shù)據(jù)及不確定度值等

①過去的測量數(shù)據(jù)⑤測量儀器的特性和其他相關資料等；1、1552、B類評定的方法

（1）若由先驗信息給出測量結果的概率分布，及其“置信區(qū)間”和“置信水平”置信區(qū)間的半寬度置信水平的包含因子（2）若由先驗信息給出的測量不確定度U為標準差的k倍時（3）若由先驗信息給出測量結果的“置信區(qū)間”及其概率分布置信區(qū)間的半寬度置信水平接近1的包含因子2、