第八章立體幾何8.7立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離第八章立體幾何8.7立體幾何中的向量方法(二)【知識梳理】1.

(1)異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍[0,π]求法cosθ=|cosβ|=【知識梳理】a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍[0,π](2)直線和平面所成角的求法:如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sinφ=|cosθ|=.(2)直線和平面所成角的求法:如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為(3)二面角的求法:a.如圖①,AB,CD是二面角α-l-β兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=.b.如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cosθ=__________或___________.cos<n1,n2>-cos<n1,n2>(3)二面角的求法:a.如圖①,AB,CD是二面角α-l-β2.

(1)利用可以求空間中有向線段的長度．(2)點面距離的求法.已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為＝.2.3.

(1)常用方法:利用向量求異面直線所成角、線面角、二面角及空間距離的方法.(2)數(shù)學思想:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.3.考點1

向量法求異面直線所成的角【典例1】(1)(2015·上饒模擬)如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,且AA1⊥面ABC,M是側(cè)棱CC1的中點,則異面直線AB1和BM所成的角的大小是

.考點1向量法求異面直線所成的角(2)(2015·岳陽模擬)如圖,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1,2,AB=4.①證明:PQ⊥平面ABCD.②求異面直線AQ與PB所成角的余弦值.(2)(2015·岳陽模擬)如圖,已知兩個正四棱錐【解答】(1)不妨設(shè)棱長為2，選擇基底則故異面直線AB1和BM所成的角的大小是90°.答案：90°【解答】(1)不妨設(shè)棱長為2，選擇基底(2)①如圖,連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,連接OP,OQ.因為P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.從而P,O,Q三點在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD.②由題設(shè)知,四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.(2)①如圖,連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,連接OP,O由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分別以CA,DB,QP為x,y,z軸建立空間直角坐標系O-xyz,由條件得P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),所以于是從而異面直線AQ與PB所成角的余弦值為.由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分別以CA,DB,QP為x,【規(guī)律方法】1.向量法求異面直線所成角的思路及關(guān)注點(1)思路:①選好基底或建立空間直角坐標系;②求出兩直線的方向向量v1,v2;③代入公式|cos<v1,v2>|=求解.(2)關(guān)注點:兩異面直線所成角的范圍是θ∈(0,],兩向量的夾角α的范圍是[0,π],當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,就是該異面直線的夾角;當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時,其補角才是異面直線的夾角.【規(guī)律方法】2.建立空間直角坐標系的策略(1)一般來說,如果已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點的三條直線時,就以這三條直線為坐標軸建立空間直角坐標系.(2)如果不存在這樣的三條直線,則應(yīng)盡可能找兩條垂直相交的直線,以其為兩條坐標軸建立空間直角坐標系,即坐標系建立時以其中的垂直相交直線為基本出發(fā)點.(3)建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系,在沒有現(xiàn)成的垂直關(guān)系時要通過其他已知條件得到垂直關(guān)系.2.建立空間直角坐標系的策略考點2

向量法求直線與平面所成的角【典例2】(2014·福建高考)在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.(1)求證:AB⊥CD.(2)若M為AD中點,求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.考點2向量法求直線與平面所成的角【解答】(1)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD,所以AB⊥CD.【解答】(1)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面B(2)過點B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD,如圖.由(1)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD,所以AB⊥BE,AB⊥BD.以B為坐標原點,分別以的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系.(2)過點B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD,如圖.依題意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),則設(shè)平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),則即依題意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0取z0=1,得平面MBC的一個法向量n=(1,-1,1).設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ,則即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.取z0=1,得平面MBC的一個法向量n=(1,-1,1).【易錯警示】解答本題有三點容易出錯:(1)在第(1)問證明AB⊥CD時,易忽視交待面面垂直性質(zhì)定理的條件及CD?平面BCD.(2)將相關(guān)點,相關(guān)向量的坐標及平面的法向量計算錯.(3)將直線的方向向量與平面的法向量的夾角誤認為直線與平面所成的角.【易錯警示】解答本題有三點容易出錯:【規(guī)律方法】1.平面法向量的求法若要求出一個平面的法向量的坐標,一般要建立空間直角坐標系,然后用待定系數(shù)法求解,一般步驟如下:設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(1)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(2)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組(3)解方程組,取其中的一組解,即得法向量.【規(guī)律方法】2.向量法求線面角的兩大途徑(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角).(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.提醒:在求平面的法向量時,若能找出平面的垂線,則垂線上取兩個點可構(gòu)成一個法向量.2.向量法求線面角的兩大途徑考點3向量法計算與應(yīng)用二面角的大小知·考情利用空間向量計算與應(yīng)用二面角大小,是高考考查空間角的一個熱點考向,常與線線、線面、面面位置關(guān)系等知識綜合以解答題第(2)或(3)問的形式出現(xiàn).考點3向量法計算與應(yīng)用二面角的大小明·角度命題角度1:計算二面角的大小【典例3】(2014·山東高考)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是線段AB的中點.(1)求證:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值.明·角度【解答】(1)連接AD1,因為ABCD-A1B1C1D1為四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因為M為AB的中點,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四邊形AMC1D1為平行四邊形,所以AD1∥MC1,又因為C1M?平面A1ADD1,AD1?平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.【解答】(1)連接AD1,(2)因為AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M與ABC1D1共面,作CN⊥AB,連接D1N,則∠D1NC即為所求二面角的平面角,在四邊形ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,(2)因為AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,在Rt△D1CN中，所以D1N=,所以cos∠D1NC=在Rt△D1CN中，令y1=2,所以n1=(0,2,1),顯然平面ABCD的法向量為n2=(0,0,1),所以顯然二面角為銳二面角，所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值為令y1=2,所以n1=(0,2,1),命題角度2:應(yīng)用二面角的大小或范圍【典例4】(2014·新課標全國卷Ⅱ)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB∥平面AEC.(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.命題角度2:應(yīng)用二面角的大小或范圍【解答】(1)連接BD,設(shè)AC與BD的交點為G,則G為CA,BD的中點,連接EG.在三角形PBD中,中位線EG∥PB,且EG在平面AEC內(nèi),所以PB∥平面AEC.(2)設(shè)CD=m,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),D(0,,0),所以【解答】(1)連接BD,設(shè)AC與BD的交點為G,則G為CA,設(shè)平面ADE的法向量為n1=(x1,y1,z1),則解得一個n1=(1,0,0).同理設(shè)平面ACE的法向量為n2=(x2,y2,z2),則解得一個設(shè)平面ADE的法向量為n1=(x1,y1,z1),因為=解得m=.設(shè)F為AD的中點，連接EF，則PA∥EF,且EF=,EF⊥平面ACD,所以EF為三棱錐E-ACD的高.所以所以三棱錐E-ACD的體積為因為悟·技法1.利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.悟·技法2.向量法應(yīng)用二面角大小(范圍)的技巧建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,將兩平面的法向量用與待求相關(guān)的參數(shù)(字母)表示,利用兩向量的夾角公式構(gòu)建方程或不等式或函數(shù),進而求解.2.向量法應(yīng)用二面角大小(范圍)的技巧考點4向量法計算空間距離【典例5】(1)(2013·北京高考)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為

.考點4向量法計算空間距離(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱,O1是A1C1和B1D1的交點.若點C到平面AB1D1的距離為,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱【解答】(1)方法一：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，則D1(0,0,2)，E(1,2,0)，

=(-1,-2,2).設(shè)P(x,y,z),λ∈［0,1］,則=(x-1,y-2,z).所以(x-1,y-2,z)=λ(-1,-2,2).【解答】(1)方法一：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，解得x=1-λ,y=2-2λ,z=2λ．P(1-λ,2-2λ,2λ)．設(shè)點P在直線CC1上的垂足為Q，得Q(0,2,2λ),當λ=時，答案：解得x=1-λ,y=2-2λ,z=2λ．方法二:取B1C1的中點E1,連接D1E1,E1E,則CC1∥平面D1EE1.所以點P到直線CC1的距離的最小值即為CC1與平面D1EE1的距離.過點C1作C1F⊥D1E1于F,線段C1F的長即為所求.在直角△C1D1E1中,C1F=答案:方法二:取B1C1的中點E1,連接D1E1,E1E,(2)建立如圖空間直角坐標系，設(shè)AA1=h,有A(0,0,h),B1(1,0,0),D1(0,1,0)，C(1,1,h).=(1,0,-h),=(0,1,-h),=(1,1,0).設(shè)平面AB1D1的一個法向量為n=(x,y,z),因為所以所以取z=1，得n=(h,h,1),所以點C到平面AB1D1的距離為(2)建立如圖空間直角坐標系，設(shè)AA1=h,有A(0,0,h【規(guī)律方法】1.空間中兩點間的距離的求法兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量的模.因此,要求兩點間的距離除了使用距離公式外,還可轉(zhuǎn)化為求向量的模.【規(guī)律方法】2.求點P到平面α的距離的三個步驟:(1)在平面α內(nèi)取一點A,確定向量的坐標.(2)確定平面α的法向量n.(3)代入公式d=求解.2.求點P到平面α的距離的三個步驟:【解析】取CD中點O,連接OB,OM,則OB⊥CD,OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD,則MO⊥平面BCD.取O為原點,直線OC,BO,OM為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.OB=OM=,則各點坐標分別為C(1，0，0)，M(0，0，)，B(0，-，0)，A(0，-，2).【解析】取CD中點O,連接OB,OM,設(shè)n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，由n⊥,得x+y=0;由n⊥,得取n=(,-1,1),=(0,0,2),則答案：則設(shè)n=(x,y,z)是平面MBC的法向量，則把握規(guī)則爭取滿分1.恰當建系,準確確定相關(guān)點的坐標在解題過程中,要充分利用題設(shè)中的垂直關(guān)系,盡量使相關(guān)點在軸上,建立空間直角坐標系,看清題目中給出的各線段的長度,根據(jù)圖形的性質(zhì),準確求出相關(guān)點的坐標.把握規(guī)則爭取滿分2.準確求出直線的方向向量或平面的法向量在解題過程中,應(yīng)熟練運用求方向向量及法向量的方法,準確計算,如本例中,,n,n1,n2的坐標.確定一定要準,否則前功盡棄.3.關(guān)注所求為空間的什么角及范圍解題過程中,要隨時關(guān)注是二面角還是線面角,特別求cos<n1,n2>后應(yīng)結(jié)合實際驗證二面角的具體取值如何,如本例(3).2.準確求出直線的方向向量或平面的法向量ThankYou!ThankYou!第八章立體幾何8.7立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離第八章立體幾何8.7立體幾何中的向量方法(二)【知識梳理】1.

(1)異面直線所成角的求法設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍[0,π]求法cosθ=|cosβ|=【知識梳理】a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍[0,π](2)直線和平面所成角的求法:如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為e,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為φ,兩向量e與n的夾角為θ,則有sinφ=|cosθ|=.(2)直線和平面所成角的求法:如圖所示,設(shè)直線l的方向向量為(3)二面角的求法:a.如圖①,AB,CD是二面角α-l-β兩個半平面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=.b.如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足cosθ=__________或___________.cos<n1,n2>-cos<n1,n2>(3)二面角的求法:a.如圖①,AB,CD是二面角α-l-β2.

(1)利用可以求空間中有向線段的長度．(2)點面距離的求法.已知AB為平面α的一條斜線段，n為平面α的法向量，則B到平面α的距離為＝.2.3.

(1)常用方法:利用向量求異面直線所成角、線面角、二面角及空間距離的方法.(2)數(shù)學思想:轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程.3.考點1

向量法求異面直線所成的角【典例1】(1)(2015·上饒模擬)如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等,且AA1⊥面ABC,M是側(cè)棱CC1的中點,則異面直線AB1和BM所成的角的大小是

.考點1向量法求異面直線所成的角(2)(2015·岳陽模擬)如圖,已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1,2,AB=4.①證明:PQ⊥平面ABCD.②求異面直線AQ與PB所成角的余弦值.(2)(2015·岳陽模擬)如圖,已知兩個正四棱錐【解答】(1)不妨設(shè)棱長為2，選擇基底則故異面直線AB1和BM所成的角的大小是90°.答案：90°【解答】(1)不妨設(shè)棱長為2，選擇基底(2)①如圖,連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,連接OP,OQ.因為P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐,所以PO⊥平面ABCD,QO⊥平面ABCD.從而P,O,Q三點在一條直線上,所以PQ⊥平面ABCD.②由題設(shè)知,四邊形ABCD是正方形,所以AC⊥BD.(2)①如圖,連接AC,BD,設(shè)AC∩BD=O,連接OP,O由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分別以CA,DB,QP為x,y,z軸建立空間直角坐標系O-xyz,由條件得P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),B(0,2,0),所以于是從而異面直線AQ與PB所成角的余弦值為.由①知,PQ⊥平面ABCD,故可分別以CA,DB,QP為x,【規(guī)律方法】1.向量法求異面直線所成角的思路及關(guān)注點(1)思路:①選好基底或建立空間直角坐標系;②求出兩直線的方向向量v1,v2;③代入公式|cos<v1,v2>|=求解.(2)關(guān)注點:兩異面直線所成角的范圍是θ∈(0,],兩向量的夾角α的范圍是[0,π],當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時,就是該異面直線的夾角;當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時,其補角才是異面直線的夾角.【規(guī)律方法】2.建立空間直角坐標系的策略(1)一般來說,如果已知的空間幾何體中含有兩兩垂直且交于一點的三條直線時,就以這三條直線為坐標軸建立空間直角坐標系.(2)如果不存在這樣的三條直線,則應(yīng)盡可能找兩條垂直相交的直線,以其為兩條坐標軸建立空間直角坐標系,即坐標系建立時以其中的垂直相交直線為基本出發(fā)點.(3)建系的基本思想是尋找其中的線線垂直關(guān)系,在沒有現(xiàn)成的垂直關(guān)系時要通過其他已知條件得到垂直關(guān)系.2.建立空間直角坐標系的策略考點2

向量法求直線與平面所成的角【典例2】(2014·福建高考)在平面四邊形ABCD中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD.將△ABD沿BD折起,使得平面ABD⊥平面BCD,如圖.(1)求證:AB⊥CD.(2)若M為AD中點,求直線AD與平面MBC所成角的正弦值.考點2向量法求直線與平面所成的角【解答】(1)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AB?平面ABD,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD.又CD?平面BCD,所以AB⊥CD.【解答】(1)因為平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面B(2)過點B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD,如圖.由(1)知AB⊥平面BCD,BE?平面BCD,BD?平面BCD,所以AB⊥BE,AB⊥BD.以B為坐標原點,分別以的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系.(2)過點B在平面BCD內(nèi)作BE⊥BD,如圖.依題意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),則設(shè)平面MBC的法向量n=(x0,y0,z0),則即依題意，得B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0取z0=1,得平面MBC的一個法向量n=(1,-1,1).設(shè)直線AD與平面MBC所成角為θ,則即直線AD與平面MBC所成角的正弦值為.取z0=1,得平面MBC的一個法向量n=(1,-1,1).【易錯警示】解答本題有三點容易出錯:(1)在第(1)問證明AB⊥CD時,易忽視交待面面垂直性質(zhì)定理的條件及CD?平面BCD.(2)將相關(guān)點,相關(guān)向量的坐標及平面的法向量計算錯.(3)將直線的方向向量與平面的法向量的夾角誤認為直線與平面所成的角.【易錯警示】解答本題有三點容易出錯:【規(guī)律方法】1.平面法向量的求法若要求出一個平面的法向量的坐標,一般要建立空間直角坐標系,然后用待定系數(shù)法求解,一般步驟如下:設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z).(1)找出(求出)平面內(nèi)的兩個不共線的向量a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).(2)根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于x,y,z的方程組(3)解方程組,取其中的一組解,即得法向量.【規(guī)律方法】2.向量法求線面角的兩大途徑(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角(或其補角).(2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角,取其余角就是斜線和平面所成的角.提醒:在求平面的法向量時,若能找出平面的垂線,則垂線上取兩個點可構(gòu)成一個法向量.2.向量法求線面角的兩大途徑考點3向量法計算與應(yīng)用二面角的大小知·考情利用空間向量計算與應(yīng)用二面角大小,是高考考查空間角的一個熱點考向,常與線線、線面、面面位置關(guān)系等知識綜合以解答題第(2)或(3)問的形式出現(xiàn).考點3向量法計算與應(yīng)用二面角的大小明·角度命題角度1:計算二面角的大小【典例3】(2014·山東高考)如圖,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是線段AB的中點.(1)求證:C1M∥平面A1ADD1.(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(銳角)的余弦值.明·角度【解答】(1)連接AD1,因為ABCD-A1B1C1D1為四棱柱,所以CD∥C1D1,CD=C1D1,又因為M為AB的中點,AB=2CD=2,所以AM=1,所以CD∥AM,CD=AM,所以AM∥C1D1,AM=C1D1,所以四邊形AMC1D1為平行四邊形,所以AD1∥MC1,又因為C1M?平面A1ADD1,AD1?平面A1ADD1,所以C1M∥平面A1ADD1.【解答】(1)連接AD1,(2)因為AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,所以平面D1C1M與ABC1D1共面,作CN⊥AB,連接D1N,則∠D1NC即為所求二面角的平面角,在四邊形ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,所以CN=,(2)因為AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,在Rt△D1CN中，所以D1N=,所以cos∠D1NC=在Rt△D1CN中，令y1=2,所以n1=(0,2,1),顯然平面ABCD的法向量為n2=(0,0,1),所以顯然二面角為銳二面角，所以平面C1D1M和平面ABCD所成角的余弦值為令y1=2,所以n1=(0,2,1),命題角度2:應(yīng)用二面角的大小或范圍【典例4】(2014·新課標全國卷Ⅱ)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB∥平面AEC.(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積.命題角度2:應(yīng)用二面角的大小或范圍【解答】(1)連接BD,設(shè)AC與BD的交點為G,則G為CA,BD的中點,連接EG.在三角形PBD中,中位線EG∥PB,且EG在平面AEC內(nèi),所以PB∥平面AEC.(2)設(shè)CD=m,分別以AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則A(0,0,0),D(0,,0),所以【解答】(1)連接BD,設(shè)AC與BD的交點為G,則G為CA,設(shè)平面ADE的法向量為n1=(x1,y1,z1),則解得一個n1=(1,0,0).同理設(shè)平面ACE的法向量為n2=(x2,y2,z2),則解得一個設(shè)平面ADE的法向量為n1=(x1,y1,z1),因為=解得m=.設(shè)F為AD的中點，連接EF，則PA∥EF,且EF=,EF⊥平面ACD,所以EF為三棱錐E-ACD的高.所以所以三棱錐E-ACD的體積為因為悟·技法1.利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法:分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小.(2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量,則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.悟·技法2.向量法應(yīng)用二面角大小(范圍)的技巧建立恰當?shù)目臻g直角坐標系,將兩平面的法向量用與待求相關(guān)的參數(shù)(字母)表示,利用兩向量的夾角公式構(gòu)建方程或不等式或函數(shù),進而求解.2.向量法應(yīng)用二面角大小(范圍)的技巧考點4向量法計算空間距離【典例5】(1)(2013·北京高考)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點,點P在線段D1E上,點P到直線CC1的距離的最小值為

.考點4向量法計算空間距離(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱,O1是A1C1和B1D1的交點.若點C到平面AB1D1的距離為,求正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高.(2)已知ABCD-A1B1C1D1是底面邊長為1的正四棱柱【解答】(1)方法一：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，則D1(0,0,2)，E(1,2,0)，

=(-1,-2,2).設(shè)P(x,y,z),λ∈［0,1］,則=(x-1,y-2,z).所以(x-1,y-2,z)=λ(-1,-2,2).【解答】(1)方法一：如圖，建立空間直角坐標系D-xyz，解得x=1-λ,y=2-2λ,z=2λ．P(1-λ,2-2λ,2λ)．設(shè)點P在直線CC1上的垂足為Q，得Q(0,2