第三章

曲面立體的投影

第三章

曲面立體的投影1我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本形體，把建筑物及其構配件的形體稱為建筑形體。在建筑工程中，我們會接觸到各種形狀的建筑物（如：房屋、水塔）及其構配件（如：基礎、梁、柱等）的形狀雖然復雜多樣，但經(jīng)過仔細分析，不難看出它們一般都是由一些簡單的幾何體經(jīng)過疊加、切割、或相交等形式組合而成。我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本2基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的幾何體（簡稱平面體）

曲面立體：表面全部由曲面或曲面與平面圍成的幾何體（簡稱曲面體）基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的3第一節(jié)曲線與曲面

一、基本概念

由曲面包圍或者由曲面和平面包圍而成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐、球和環(huán)是工程上常見的曲面立體。（一）曲線曲線曲線可以看成是一個點按一定規(guī)律運動而形成的軌跡。平面曲線：曲線上各點都是在同一個平面內(nèi)（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）。空間曲線：曲線上各點不在同一個平面內(nèi)（如圓柱螺旋線等）。第一節(jié)曲線與曲面一、基本概念由曲面包圍或者4（二）曲面曲面曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規(guī)律運動而形成。直線曲面：由直線運動而形成的曲面稱為。曲線曲面：由曲線運動而形成的曲面稱為?；剞D(zhuǎn)體是由一母線（直線或曲線）繞一固定軸線作回轉(zhuǎn)運動形成的，因此圓柱體、圓錐體、球體和環(huán)體都是回轉(zhuǎn)體。圓柱曲面是一條直線圍繞一條軸線始終保持平行和等距旋轉(zhuǎn)而成。母線（二）曲面曲面曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規(guī)律5圓錐面是一條直線與軸線交于一點始終保持一定夾角旋轉(zhuǎn)而成的。母線圓錐面是一條直線與軸線交于一點始終保持一定夾角旋轉(zhuǎn)而成的。6球面是由一個圓或圓弧線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。球面是由一個圓或圓弧線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。7（三）素線與輪廓線形成曲面的母線，它們在曲面上的任何位置稱為素線。我們把確定曲面范圍的外形線稱為輪廓線（或轉(zhuǎn)向輪廓線），輪廓線也是可見與不可見的分界線。當回轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸在投影體系中擺放的位置合理時，輪廓線與素線重合，這種素線稱為輪廓素線。在三面投影體系中，常用的四條輪廓素線分別為：形體最前邊素線、最后邊素線、最左邊素線和最右邊素線。（四）緯圓由回轉(zhuǎn)體的形成可知，母線上任意一點的運動軌跡為圓，該圓垂直軸線，此圓既為緯圓。（三）素線與輪廓線形成曲面的母線，它們在曲面上的任何位置稱8（一）圓柱體的投影

（1）形體分析圓柱體是由圓柱面和兩個圓形的底面所圍成的。

（2）安放位置我們只研究圓柱軸線垂直于某一投影面，底面、頂面為投影面平行面的情況。（3）投影分析

H面投影：V面投影：W面投影：第二節(jié)曲面立體的投影

（一）圓柱體的投影（1）形體分析圓柱體是由圓柱面和兩個9（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；2）有直徑畫水平投影圓；4）由“高平齊、寬相等”作側(cè)面投影矩形。3）由“長對正”和高度作正面投影矩形；注意：非輪廓線的素線投影不必畫出。（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；10（二）圓錐體的投影

（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平面所圍成的。

（2）安放位置當圓錐體在投影面體系中的位置一經(jīng)確定后，它對各投影面的投影輪廓也隨之確定。如右圖所示，圓錐軸線垂直于H面，底平面為水平面。（3）投影分析

H面投影V面投影W面投影（二）圓錐體的投影（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平11（4）作圖步驟

⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；⑵畫出底面圓的三面投影。底面為水平面，水平投影為反映實形的圓，其它兩投影積聚為直線段，長度等于底圓直徑；⑶依據(jù)圓錐的高度畫出錐頂點S的三面正投影。⑷畫輪廓線的三面正投影，即連接等腰三角形的腰。當素線的投影不是輪廓線時，均不畫出。（4）作圖步驟⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；12（三）圓球體的投影

1、投影分析圓球體的三面投影都是大小相等的圓，是球體在三個不同方向的輪廓線的投影，其直徑與球徑相等。H面投影的圓a是V面投影的圓b是W面投影的圓c是（三）圓球體的投影1、投影分析圓球體的三面投影都132、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直徑為直徑畫三個等大的圓，如右圖所示。bac2、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直14三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線

1．圓柱面上點的投影

如右圖所示，若已知圓柱面上兩點A和B和正面投影a'和b'，求出它們的水平投影a、b和側(cè)面投影a"、b"。分析：根據(jù)已知條件a'可見，b'不可見，可知A點在前半個圓柱面上；B點在后半個圓柱面上。利用圓柱的水平投影有積聚性，可直接找到a和b，然后根據(jù)已知二投影求出a″和b″。由于A點在左半圓柱面上，所以a″為可見；而B點在右半圓柱面上，所以b″為不可見。三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線1．圓152．圓柱面上線的投影

【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上的AB線段的正面投影a′b′，求其另兩面投影。解：（1）分析

（2）作圖

2．圓柱面上線的投影【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上16（二）圓錐面上的點和線

1．圓錐面上點的投影

圓錐體的投影沒有積聚性，在其表面上取點的方法有兩種：方法一：素線法?！纠?-6】如下圖所示，已知圓錐面上一點A的正面投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

（二）圓錐面上的點和線1．圓錐面上點的投影圓錐體的投影沒17方法二：緯圓法。【例4-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一點A的投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

方法二：緯圓法。【例4-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一182．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表面上的線段AB的正面投影，求其另兩面投影。

作圓錐面上線段的投影的方法：是求出線段上的端點、輪廓線上的點、分界點等特殊位置的點及適當數(shù)量的一般點，并依次連接各點的同面投影。

解：（1）分析

（2）作圖

2．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表19（三）圓球體上的點和線

1．圓球體上的點由于圓球體的特殊性，過球面上一點可以作屬于球體的無數(shù)個緯圓，為作圖方便，常沿投影面的平行面作相應投影面的緯圓，這樣過球面上任一點可以得到H、V、W三個方向的緯圓。因此只要求出過該點的緯圓投影，即可求出該點的投影?！纠?-9】如下圖所示，已知球面上的一點A的投影a′，求a及a〞。解：（1）分析

由a′得知A點在左上半球上，可以利用水平緯圓解題。（2）作圖

（三）圓球體上的點和線1．圓球體上的點由于圓球體202．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上的點A、B、C及線段EF的一個投影，求其另兩個投影。解：（1）分析

（2）作圖

小結：求曲面上點的投影的方法主要有素線法和緯圓法兩種，在采用這兩種方法時應著重弄清以下概念：（1）某一點在曲面上，則它一定在該曲面的素線或緯圓上。（2）求一點投影時，要先求出它所在的素線或緯圓的投影。（3）為了熟練地掌握在各種曲面上作素線或緯圓的投影，必須了解各種曲面的形成規(guī)律和特性。2．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上21第三節(jié)平面截割曲面立體

一、立體表面的截交線

平面與錐面的交線

圓柱面與錐面的交線

第三節(jié)平面截割曲面立體一、立體表面的截交線平面與錐面22二、曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線一般為封閉的平面曲線。

（2）截交線上的每一點，都是截平面與曲面立體表面的共有點。

求曲面立體截交線的方法：求出足夠的共有點，然后依次連接起來，即得截交線。

求共有點的方法有：素線法、緯圓法和輔助平面法。

曲面立體截交線的特征：平面與圓柱面相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線相對位置的不同，所得的截交線有三種情況1．圓柱上的截交線二、曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線一23圓柱面上的截交線截平面P的位置截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平面平行于圓柱軸線截交線空間形狀圓橢圓兩條平行直線投影圖圓柱面上的截交線截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平24【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。這些點包括輪廓線上的點、特殊素線上的點、極限點以及橢圓長短軸的端點。2）求一般點。為了作圖準確，在截交線上特殊點之間選取一些一般位置點。3）連點。將所求各點的側(cè)面投影順次光滑連接4）判別可見性。

【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（252．圓錐上的截交線當平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與圓錐軸線相對位置的不同，可產(chǎn)生五種不同形狀的截交線：2．圓錐上的截交線當平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與26截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截平面平行于圓錐面上一條素線截平面平行于圓錐面上兩條素線截平面通過錐頂截交線空間形狀圓橢圓拋物線雙曲線兩條素線投影圖

圓錐面上的截交線截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截27【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投影，求截交線的投影及實形。解：（1）分析

（2）作圖

1）求長軸端點2）求短軸端點3）求最前、最后素線與P面的交點E、F4）求一般點L、N5）連接各點并判別可見性6）求截面的實形【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投28【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解293．球上的截交線球體上的截面不論其角度如何，所得截交線的形狀都是圓。截平面距球心的距離決定截交圓的大小，經(jīng)過球心的截交圓是最大的截交圓。（1）球上截交線的特征：

（2）球上截交線的投影分析3．球上的截交線球體上的截面不論其角度如何，所得截304．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出圓柱切割體的正面投影和水平投影，補畫出側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。2）求一般點。4．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出31【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點2）求一般點3）連點并判別可見性【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分32【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，畫出其水平投影及側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，33第四節(jié)直線與曲面立體相交在建筑形體中常常會遇到由兩個或兩個以上的基本形體相交（或稱相貫）而成的組合形體，兩相交的立體稱為相貫體。它們的表面交線稱為相貫線（或稱相交線）。1.相貫線是兩形體表面的共有線。2.相貫線上的點即為兩形體表面的共有點，同時也是兩形體表面的分界點。立體相交可分為三種情況：（1）平面立體與平面立體相交，（2）平面立體與曲面立體相交，（3）曲面立體與曲面立體相交。相貫線的特性:第四節(jié)直線與曲面立體相交在建筑形體中常常會341．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-24】如下圖所示，求一般位置直線AB與圓柱的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求水平投影m、n。②根據(jù)點、線的從屬關系，求出m′、n′。③判別可見性。1．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-35（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求正垂線CD與圓錐面的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求正面投影k′、l′。②求水平投影k、l。③判別可見性。（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求36第五節(jié)平面立體與曲面立體相交

平面立體與曲面立體相交時，其相貫線的特征：

1.相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。作相貫線投影圖的方法：先求出轉(zhuǎn)折點，再根據(jù)求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。2.各段平面曲線或直線，就是平面立體上各棱面截割曲面立體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的折點，就是平面立體的棱線與曲面立體表面的交點。第五節(jié)平面立體與曲面立體相交平面立體與曲面立體相交時，其37【例4-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求連接點。2）求特殊點。3）判別可見性并連線?！纠?-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（138【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎的主要輪廓線，求作相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點。3）連點。4）判斷可見性。2）同樣用素線法求出兩對稱的一般點E、F的正面投影e′、f′及側(cè)面投影e″、f″；【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎的主要輪廓線，求39第六節(jié)兩曲面立體相交

兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封閉的空間曲線，特殊情況下可能為平面曲線或直線。兩曲面體表面相貫線的性質(zhì)：組成相貫線的所有相貫點，均為兩曲面體表面的共有點。求相貫線的原理：先求出一系列的共有點，然后依次連接各點，即得相貫線。求相貫線的方法：

1.積聚投影法——相交兩曲面體，如果有一個表面投影具有積聚性時，就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點，然后依次連成相貫線。2.輔助平面法——根據(jù)三面共點原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔助截交線的交點，即為相貫點。第六節(jié)兩曲面立體相交兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封40求共有點時，應先求特殊點，再求一般點。相貫線上的特殊點包括：可見性分界點，曲面投影輪廓線上的點，極限位置點（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。選擇輔助平面的原則是：輔助截平面與兩個曲面的截交線（輔助截交線）的投影都應是最簡單易畫的直線或圓。因此在實際應用中往往多采用投影面的平行面作為輔助截平面。求共有點時，應先求特殊點，再求一般點。相貫線上的特殊點包括41【例4-31】如下圖所示，求作兩軸線正交的圓柱體的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點2）求一般點3）連點并判別可見性【例4-31】如下圖所示，求作兩軸線正交的圓柱體的相貫線。42【例4-32】如下圖所示，求圓柱與圓錐的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點①求最低點②求最高點③求最右點④求圓錐正面輪廓線上的點2）求一般點3）連線并判別可見性?！纠?-32】如下圖所示，求圓柱與圓錐的相貫線。解：（143第七節(jié)同坡屋面交線的畫法四坡屋面坡屋面單坡屋面雙坡屋面同坡屋面：既屋檐高度相等、各屋面與水平面傾角相等的屋面。同坡屋面交線的畫法，其實質(zhì)是求兩平面交線的問題。同坡屋面上各種交線的名稱

第七節(jié)同坡屋面交線的畫法四坡屋面坡屋面單坡屋面雙坡44同坡屋面交線及投影特性（1）同坡屋面的屋檐平行時，其屋面必相交成水平的屋脊（或平脊）。屋脊的H面投影，必平行于檐口線的H面投影，且與兩檐口線等距。（2）檐口線相交的相鄰兩個坡屋面，必相交于傾斜的斜脊或天溝。它們的H面投影為兩檐口線H面投影夾角的平分線。斜脊位于凸墻角上，天溝位于凹墻角上。同坡屋面交線及投影特性（1）同坡屋面的屋檐平行時，其屋面必45（3）在屋面上如果有兩斜脊、兩天溝或一斜脊一天溝相交于一點，則必有第三條屋脊通過該點?；蛞粋€斜脊與平脊相交，必有第三個斜脊（或天溝）通過該交點。這個點就是三個相鄰屋面的共有點。（4）當建筑物外形不是矩形時，屋面要按一個建筑整體來處理，避免出現(xiàn)水平天溝。（3）在屋面上如果有兩斜脊、兩天溝或一斜脊一天溝相交于一點，46【例4-33】如下圖所示，已知屋檐的水平投影及同坡屋面的坡度為30°，畫出其三面投影。解：作圖步驟如下（1）先按投影規(guī)律畫出屋頂?shù)乃酵队啊＃?）畫V面投影。（3）由H面、V面投影求W面投影【例4-33】如下圖所示，已知屋檐的水平投影及同坡屋面的坡47【例4-34】如右圖所示，已知屋面傾角α和房屋的平面圖形，求屋面的交線。解：作圖步驟如下⑴在屋面平面圖形上經(jīng)每一屋角作45°線。⑵作每一對檐口線（前后和左右）的中線，即屋脊線。

【例4-34】如右圖所示，已知屋面傾角α和房屋的平面圖形48⑶折線abcdef即為所求屋脊線的H面投影。(4)根據(jù)屋面傾角和投影規(guī)律，作出屋面的V面及W面投影。⑶折線abcdef即為所求屋脊線的H面投影。(4)根據(jù)屋面49第三章

曲面立體的投影

第三章

曲面立體的投影50我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本形體，把建筑物及其構配件的形體稱為建筑形體。在建筑工程中，我們會接觸到各種形狀的建筑物（如：房屋、水塔）及其構配件（如：基礎、梁、柱等）的形狀雖然復雜多樣，但經(jīng)過仔細分析，不難看出它們一般都是由一些簡單的幾何體經(jīng)過疊加、切割、或相交等形式組合而成。我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本51基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的幾何體（簡稱平面體）

曲面立體：表面全部由曲面或曲面與平面圍成的幾何體（簡稱曲面體）基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的52第一節(jié)曲線與曲面

一、基本概念

由曲面包圍或者由曲面和平面包圍而成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐、球和環(huán)是工程上常見的曲面立體。（一）曲線曲線曲線可以看成是一個點按一定規(guī)律運動而形成的軌跡。平面曲線：曲線上各點都是在同一個平面內(nèi)（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）?？臻g曲線：曲線上各點不在同一個平面內(nèi)（如圓柱螺旋線等）。第一節(jié)曲線與曲面一、基本概念由曲面包圍或者53（二）曲面曲面曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規(guī)律運動而形成。直線曲面：由直線運動而形成的曲面稱為。曲線曲面：由曲線運動而形成的曲面稱為。回轉(zhuǎn)體是由一母線（直線或曲線）繞一固定軸線作回轉(zhuǎn)運動形成的，因此圓柱體、圓錐體、球體和環(huán)體都是回轉(zhuǎn)體。圓柱曲面是一條直線圍繞一條軸線始終保持平行和等距旋轉(zhuǎn)而成。母線（二）曲面曲面曲面可以看成是由直線或曲線在空間按一定規(guī)律54圓錐面是一條直線與軸線交于一點始終保持一定夾角旋轉(zhuǎn)而成的。母線圓錐面是一條直線與軸線交于一點始終保持一定夾角旋轉(zhuǎn)而成的。55球面是由一個圓或圓弧線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。球面是由一個圓或圓弧線以直徑為軸旋轉(zhuǎn)而成。56（三）素線與輪廓線形成曲面的母線，它們在曲面上的任何位置稱為素線。我們把確定曲面范圍的外形線稱為輪廓線（或轉(zhuǎn)向輪廓線），輪廓線也是可見與不可見的分界線。當回轉(zhuǎn)體的旋轉(zhuǎn)軸在投影體系中擺放的位置合理時，輪廓線與素線重合，這種素線稱為輪廓素線。在三面投影體系中，常用的四條輪廓素線分別為：形體最前邊素線、最后邊素線、最左邊素線和最右邊素線。（四）緯圓由回轉(zhuǎn)體的形成可知，母線上任意一點的運動軌跡為圓，該圓垂直軸線，此圓既為緯圓。（三）素線與輪廓線形成曲面的母線，它們在曲面上的任何位置稱57（一）圓柱體的投影

（1）形體分析圓柱體是由圓柱面和兩個圓形的底面所圍成的。

（2）安放位置我們只研究圓柱軸線垂直于某一投影面，底面、頂面為投影面平行面的情況。（3）投影分析

H面投影：V面投影：W面投影：第二節(jié)曲面立體的投影

（一）圓柱體的投影（1）形體分析圓柱體是由圓柱面和兩個58（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；2）有直徑畫水平投影圓；4）由“高平齊、寬相等”作側(cè)面投影矩形。3）由“長對正”和高度作正面投影矩形；注意：非輪廓線的素線投影不必畫出。（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；59（二）圓錐體的投影

（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平面所圍成的。

（2）安放位置當圓錐體在投影面體系中的位置一經(jīng)確定后，它對各投影面的投影輪廓也隨之確定。如右圖所示，圓錐軸線垂直于H面，底平面為水平面。（3）投影分析

H面投影V面投影W面投影（二）圓錐體的投影（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平60（4）作圖步驟

⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；⑵畫出底面圓的三面投影。底面為水平面，水平投影為反映實形的圓，其它兩投影積聚為直線段，長度等于底圓直徑；⑶依據(jù)圓錐的高度畫出錐頂點S的三面正投影。⑷畫輪廓線的三面正投影，即連接等腰三角形的腰。當素線的投影不是輪廓線時，均不畫出。（4）作圖步驟⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；61（三）圓球體的投影

1、投影分析圓球體的三面投影都是大小相等的圓，是球體在三個不同方向的輪廓線的投影，其直徑與球徑相等。H面投影的圓a是V面投影的圓b是W面投影的圓c是（三）圓球體的投影1、投影分析圓球體的三面投影都622、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直徑為直徑畫三個等大的圓，如右圖所示。bac2、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直63三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線

1．圓柱面上點的投影

如右圖所示，若已知圓柱面上兩點A和B和正面投影a'和b'，求出它們的水平投影a、b和側(cè)面投影a"、b"。分析：根據(jù)已知條件a'可見，b'不可見，可知A點在前半個圓柱面上；B點在后半個圓柱面上。利用圓柱的水平投影有積聚性，可直接找到a和b，然后根據(jù)已知二投影求出a″和b″。由于A點在左半圓柱面上，所以a″為可見；而B點在右半圓柱面上，所以b″為不可見。三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線1．圓642．圓柱面上線的投影

【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上的AB線段的正面投影a′b′，求其另兩面投影。解：（1）分析

（2）作圖

2．圓柱面上線的投影【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上65（二）圓錐面上的點和線

1．圓錐面上點的投影

圓錐體的投影沒有積聚性，在其表面上取點的方法有兩種：方法一：素線法?！纠?-6】如下圖所示，已知圓錐面上一點A的正面投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

（二）圓錐面上的點和線1．圓錐面上點的投影圓錐體的投影沒66方法二：緯圓法?！纠?-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一點A的投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

方法二：緯圓法?！纠?-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一672．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表面上的線段AB的正面投影，求其另兩面投影。

作圓錐面上線段的投影的方法：是求出線段上的端點、輪廓線上的點、分界點等特殊位置的點及適當數(shù)量的一般點，并依次連接各點的同面投影。

解：（1）分析

（2）作圖

2．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表68（三）圓球體上的點和線

1．圓球體上的點由于圓球體的特殊性，過球面上一點可以作屬于球體的無數(shù)個緯圓，為作圖方便，常沿投影面的平行面作相應投影面的緯圓，這樣過球面上任一點可以得到H、V、W三個方向的緯圓。因此只要求出過該點的緯圓投影，即可求出該點的投影。【例4-9】如下圖所示，已知球面上的一點A的投影a′，求a及a〞。解：（1）分析

由a′得知A點在左上半球上，可以利用水平緯圓解題。（2）作圖

（三）圓球體上的點和線1．圓球體上的點由于圓球體692．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上的點A、B、C及線段EF的一個投影，求其另兩個投影。解：（1）分析

（2）作圖

小結：求曲面上點的投影的方法主要有素線法和緯圓法兩種，在采用這兩種方法時應著重弄清以下概念：（1）某一點在曲面上，則它一定在該曲面的素線或緯圓上。（2）求一點投影時，要先求出它所在的素線或緯圓的投影。（3）為了熟練地掌握在各種曲面上作素線或緯圓的投影，必須了解各種曲面的形成規(guī)律和特性。2．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上70第三節(jié)平面截割曲面立體

一、立體表面的截交線

平面與錐面的交線

圓柱面與錐面的交線

第三節(jié)平面截割曲面立體一、立體表面的截交線平面與錐面71二、曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線一般為封閉的平面曲線。

（2）截交線上的每一點，都是截平面與曲面立體表面的共有點。

求曲面立體截交線的方法：求出足夠的共有點，然后依次連接起來，即得截交線。

求共有點的方法有：素線法、緯圓法和輔助平面法。

曲面立體截交線的特征：平面與圓柱面相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線相對位置的不同，所得的截交線有三種情況1．圓柱上的截交線二、曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線一72圓柱面上的截交線截平面P的位置截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平面平行于圓柱軸線截交線空間形狀圓橢圓兩條平行直線投影圖圓柱面上的截交線截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平73【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。這些點包括輪廓線上的點、特殊素線上的點、極限點以及橢圓長短軸的端點。2）求一般點。為了作圖準確，在截交線上特殊點之間選取一些一般位置點。3）連點。將所求各點的側(cè)面投影順次光滑連接4）判別可見性。

【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（742．圓錐上的截交線當平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與圓錐軸線相對位置的不同，可產(chǎn)生五種不同形狀的截交線：2．圓錐上的截交線當平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與75截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截平面平行于圓錐面上一條素線截平面平行于圓錐面上兩條素線截平面通過錐頂截交線空間形狀圓橢圓拋物線雙曲線兩條素線投影圖

圓錐面上的截交線截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截76【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投影，求截交線的投影及實形。解：（1）分析

（2）作圖

1）求長軸端點2）求短軸端點3）求最前、最后素線與P面的交點E、F4）求一般點L、N5）連接各點并判別可見性6）求截面的實形【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投77【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解783．球上的截交線球體上的截面不論其角度如何，所得截交線的形狀都是圓。截平面距球心的距離決定截交圓的大小，經(jīng)過球心的截交圓是最大的截交圓。（1）球上截交線的特征：

（2）球上截交線的投影分析3．球上的截交線球體上的截面不論其角度如何，所得截794．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出圓柱切割體的正面投影和水平投影，補畫出側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。2）求一般點。4．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出80【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點2）求一般點3）連點并判別可見性【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分81【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，畫出其水平投影及側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，82第四節(jié)直線與曲面立體相交在建筑形體中常常會遇到由兩個或兩個以上的基本形體相交（或稱相貫）而成的組合形體，兩相交的立體稱為相貫體。它們的表面交線稱為相貫線（或稱相交線）。1.相貫線是兩形體表面的共有線。2.相貫線上的點即為兩形體表面的共有點，同時也是兩形體表面的分界點。立體相交可分為三種情況：（1）平面立體與平面立體相交，（2）平面立體與曲面立體相交，（3）曲面立體與曲面立體相交。相貫線的特性:第四節(jié)直線與曲面立體相交在建筑形體中常常會831．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-24】如下圖所示，求一般位置直線AB與圓柱的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求水平投影m、n。②根據(jù)點、線的從屬關系，求出m′、n′。③判別可見性。1．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-84（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求正垂線CD與圓錐面的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求正面投影k′、l′。②求水平投影k、l。③判別可見性。（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求85第五節(jié)平面立體與曲面立體相交

平面立體與曲面立體相交時，其相貫線的特征：

1.相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。作相貫線投影圖的方法：先求出轉(zhuǎn)折點，再根據(jù)求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。2.各段平面曲線或直線，就是平面立體上各棱面截割曲面立體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的折點，就是平面立體的棱線與曲面立體表面的交點。第五節(jié)平面立體與曲面立體相交平面立體與曲面立體相交時，其86【例4-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求連接點。2）求特殊點。3）判別可見性并連線?！纠?-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（187【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎的主要輪廓線，求作相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點。3）連點。4）判斷可見性。2）同樣用素線法求出兩對稱的一般點E、F的正面投影e′、f′及側(cè)面投影e″、f″；【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎的主要輪廓線，求88第六節(jié)兩曲面立體相交

兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封閉的空間曲線，特殊情況下可能為平面曲線或直線。兩曲面體表