關(guān)于定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第一頁，共七十八頁，2022年，8月28日曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積1.直角坐標(biāo)系情形一、平面圖形的面積第二頁，共七十八頁，2022年，8月28日解兩曲線的交點(diǎn)面積元素選為積分變量第三頁，共七十八頁，2022年，8月28日解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量第四頁，共七十八頁，2022年，8月28日于是所求面積說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式．問題：積分變量只能選嗎？第五頁，共七十八頁，2022年，8月28日解兩曲線的交點(diǎn)選為積分變量第六頁，共七十八頁，2022年，8月28日如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程曲邊梯形的面積第七頁，共七十八頁，2022年，8月28日例3.求橢圓解:

利用對稱性

,所圍圖形的面積

.

有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)

a=b

時(shí)得圓面積公式第八頁，共七十八頁，2022年，8月28日例4.

求由擺線的一拱與

x

軸所圍平面圖形的面積

.解:第九頁，共七十八頁，2022年，8月28日2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積

.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為第十頁，共七十八頁，2022年，8月28日對應(yīng)

從

0變例5.計(jì)算阿基米德螺線解:點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停到2

所圍圖形面積

.第十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日解由對稱性知總面積=4倍第一象限部分面積第十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日解利用對稱性知第十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日心形線(外擺線的一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動畫開始或暫停

尖點(diǎn):

面積:

弧長:參數(shù)的幾何意義第十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日例.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積第十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日

旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．圓柱圓錐圓臺二、體積1.旋轉(zhuǎn)體的體積第十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為第十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日解直線方程為第十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日例.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞

x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.

解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對稱性)第二十頁，共七十八頁，2022年，8月28日方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積第二十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日解第二十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.點(diǎn)擊圖片任意處播放開始或暫停大圓半徑

R＝a小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動時(shí),小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)第二十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日解第二十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第二十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日分部積分注(利用“偶倍奇零”)第二十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日補(bǔ)充利用這個公式，可知上例中第二十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日例求曲線與x

軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94考研)解:

利用對稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限第二十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日例設(shè)在

x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t

旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則故第三十頁，共七十八頁，2022年，8月28日解體積元素為第三十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日2、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)定軸為x軸，所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),

則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),

如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計(jì)算.第三十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第三十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日解取坐標(biāo)系如圖底圓方程為截面面積立體體積第三十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日三、平面曲線弧長定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.并稱此曲線弧為可求長的.第三十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日弧長元素弧長1、直角坐標(biāo)情形第三十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日曲線弧為弧長2、參數(shù)方程情形第三十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日曲線弧為弧長3.、極坐標(biāo)情形第三十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日解所求弧長為第三十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日解星形線的參數(shù)方程為根據(jù)對稱性第一象限部分的弧長第四十頁，共七十八頁，2022年，8月28日例15.

擺線一拱的弧長

.解:第四十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日解第四十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日證第四十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日根據(jù)橢圓的對稱性知故原結(jié)論成立.第四十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日解第四十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日例.求連續(xù)曲線段解:的弧長.第四十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日解第四十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日例.

兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長.解:下垂懸鏈線方程為第四十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

(補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:第四十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日側(cè)面積元素的線性主部.若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積△S的注意:側(cè)面積為第五十頁，共七十八頁，2022年，8月28日例.

計(jì)算圓x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:

對曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺高h(yuǎn)＝2R

時(shí),得球的表面積公式第五十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日例.

求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:

利用對稱性繞

x

軸旋轉(zhuǎn)第五十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針方向確定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長時(shí)積分上下限必須上大下小五、小結(jié)第五十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日3.已知平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞

x

軸:4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(注意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)繞

y

軸:(柱殼法)第五十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日思考題1第五十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日思考題1解答xyo兩邊同時(shí)對求導(dǎo)第五十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日積分得所以所求曲線為第五十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日思考題2解答交點(diǎn)立體體積第五十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日思考題3不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長．解答第五十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積A

及邊界長s.提示:

交點(diǎn)為弧線段部分直線段部分以x

為積分變量,則要分兩段積分,故以

y為積分變量.第六十頁，共七十八頁，2022年，8月28日2.試用定積分求圓繞x

軸上半圓為下求體積:提示:方法1

利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積

V

及表面積S.第六十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日方法2

用柱殼法說明:上式可變形為上半圓為下此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如圖所示).第六十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日求側(cè)面積:利用對稱性上式也可寫成上半圓為下它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.第六十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題1第六十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十五頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十六頁，共七十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題1答案第六十七頁，共七十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題2第六十八頁，共七十八頁，2022年，8月28日第六十九頁，共七十八頁，2022年，8月28日第七十頁，共七十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題2答案第七十一頁，共七十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題3第七十二頁，共七十八頁，2022年，8月28日第七十三頁，共七十八頁，2022年，8月28日練習(xí)題3答案第七十四頁，共七十八頁，2022年，8月28日備用題解：1.

求曲線所圍圖形的面積.顯然面積為同理其它