主要內(nèi)容:理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架隊(duì)列式(FIFO)分支限界法優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法

通過應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。單源最短路徑問題裝載問題；布線問題0-1背包問題；最大團(tuán)問題；旅行售貨員問題電路板排列問題批處理作業(yè)調(diào)度問題主要內(nèi)容:理解分支限界法的剪枝搜索策略。9.1 分支限界法的基本思想1.分支限界法與回溯法的不同（1）求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。

（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。

9.1 分支限界法的基本思想1.分支限界法與回溯法的不同9.1 分支限界法的基本思想2.分支限界法基本思想

分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。

在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。活結(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。

此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個(gè)過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。

9.1 分支限界法的基本思想2.分支限界法基本思想9.1 分支限界法的基本思想3.常見的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法

按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法

按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。9.1 分支限界法的基本思想3.常見的兩種分支限界法9.2 單源最短路徑問題1.問題描述

下面以一個(gè)例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。

9.2 單源最短路徑問題1.問題描述下面以一個(gè)9.2 單源最短路徑問題

下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。9.2 單源最短路徑問題下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法9.2 單源最短路徑問題2.算法思想

解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。

算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。9.2 單源最短路徑問題2.算法思想9.2 單源最短路徑問題3.剪枝策略

在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。

在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。

9.2 單源最短路徑問題3.剪枝策略9.2 單源最短路徑問題

while(true){//搜索問題的解空間for(intj=1;j<=n;j++)if(a[enode.i][j]<Float.MAX_VALUE&&enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];p[j]=enode.i;HeapNodenode=newHeapNode(j,dist[j]);heap.put(node);//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列}

if(heap.isEmpty())break;elseenode=(HeapNode)heap.removeMin();}頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)

9.2 單源最短路徑問題while(true)頂點(diǎn)I和j9.2多段圖問題1.問題的描述

●在多段圖中求從s到t的一條最小成本的路徑，可以看作是在k-2個(gè)段作出某種決策的結(jié)果。

●第i次決策決定Vi+1中的哪個(gè)結(jié)點(diǎn)在這條路徑上，這里1≤i≤k-2；

●最優(yōu)性原理對(duì)多段圖問題成立9.2多段圖問題1.問題的描述2.向前處理策略求解

設(shè)P(i,j)是一條從Vi中的結(jié)點(diǎn)j到匯點(diǎn)t的最小成本路徑，

COST(i,j)是這條路徑的成本。1)向前遞推式2)遞推過程

★第k-1段c(j,t)<j,t>∈ECOST(k-1,j)=

∞2.向前處理策略求解l1l2...lpi+1t…jViVi+1l1l2.lpi+1t…jViVi+112345678910111297324227111181456356425V1V2V3V4V55段圖123456789101112973242271111814★各遞推結(jié)果第4段COST(4,9)=c(9,12)=4

COST(4,10)=c(10,12)=2COST(4,11)=c(11,12)=5第3段COST(3,6)=min{6+COST(4,9),5+COST(4,10)}=7COST(3,7)=min{4+COST(4,9),3+COST(4,10)}=5COST(3,8)=min{5+COST(4,10),6+COST(4,11)}=7第2段COST(2,2)=min{4+COST(3,6),2+COST(3,7),1+COST(3,8)}=7COST(2,3)=9COST(2,4)=18COST(2,5)=15第1段COST(1,1)=min{9+COST(2,2),7+COST(2,3),3+COST(2,4),2+COST(2,5)}=16S到t的最小成本路徑的成本

＝16★各遞推結(jié)果★最小成本路徑的求取

記D(i,j)＝每一COST(i,j)的決策

即，使c(j,l)+COST(i+1,l)取得最小值的l值。

例：D(3,6)=10,D(3,7)=10D(3,8)=10D(2,2)=7,D(2,3)=6,D(2,4)=8,D(2,5)=8D(1,1)=2

根據(jù)D(1,1)的決策值向后遞推求取最小成本路徑：

●v2=D(1,1)=2●v3=D(2,D(1,1))=7●v4=D(3,D(2,D(1,1)))=D(3,7)=10

故由s到t的最小成本路徑是：1→2→7→10→12

★最小成本路徑的求取3)算法描述★結(jié)點(diǎn)的編號(hào)規(guī)則

源點(diǎn)s編號(hào)為1,然后依次對(duì)V2、V3…Vk-1中的結(jié)點(diǎn)編號(hào)，匯點(diǎn)t編號(hào)為n。

目的：使對(duì)COST和D的計(jì)算僅按n-1,n-2,…,1的次序計(jì)算即可，無需考慮標(biāo)示結(jié)點(diǎn)所在段的第一個(gè)下標(biāo)。★算法描述3)算法描述算法4.1多段圖的向前處理算法procedureFGRAPH(E,k,n,P)//輸入是按段的順序給結(jié)點(diǎn)編號(hào)的，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的k段圖。E是邊

集，c(i,j)是邊<i,j>的成本。P(1:k)帶出最小成本路徑//realCOST(n);integerD(n-1),P(k),r,j,k,nCOST(n)←0forj←n-1to1by-1do//計(jì)算COST(j)//

設(shè)r是具有性質(zhì)：<j,r>∈E且使c(j,r)+COST(r)取最小值的結(jié)點(diǎn)COST(j)←c(j,r)+COST(r)D(j)←r//記錄決策值//repeatP(1)←1;P(k)←nforj←2tok-1do//找路徑上的第j個(gè)結(jié)點(diǎn)//P(j)←D(P(j-1))//回溯求出該路徑//repeatendFGRAPH算法4.1多段圖的向前處理算法算法的時(shí)間復(fù)雜度

若G采用鄰接表表示，總計(jì)算時(shí)間為：算法的時(shí)間復(fù)雜度3.向后處理策略求解

設(shè)BP(i,j)是一條從源點(diǎn)s到Vi中的結(jié)點(diǎn)j的最小成本路徑，

BCOST(i,j)是這條路徑的成本。1)向后遞推式2)遞推過程

★第2段c(1,j)<1,j>∈ECOST(2,j)=

∞3.向后處理策略求解12345678910111297324227111181456356425V1V2V3V4V55段圖123456789101112973242271111814★各遞推結(jié)果第2段

BCOST(2,2)=9BCOST(2,3)=7BCOST(2,4)=3BCOST(2,5)=2第3段BCOST(3,6)=min{BCOST(2,2)+4,BCOST(2,3)+2}=9BCOST(3,7)=min{BCOST(2,2)+2,BCOST(2,3)+7,BCOST(2,5)+11}=11BCOST(3,8)=min{BCOST(2,4)+11,BCOST(2,5)+8}=10第4段BCOST(4,9)=min{BCOST(3,6)+6,BCOST(3,7)+4}=15BCOST(4,10)=min{BCOST(3,6)+5,BCOST(3,7)+3,BCOST(3,8)+5}=14BCOST(4,11)=min{BCOST(3,8)+6}=16第5段BCOST(5,12)=min{BCOST(4,9)+4,BCOST(4,10)+2,BCOST(4,11)+5}=16S到t的最小成本路徑的成本

＝

16★各遞推結(jié)果★最小成本路徑的求取

記BD(i,j)＝每一COST(i,j)的決策

即，使COST(i-1,l)+c(l,j)取得最小值的l值。

例：BD(3,6)=3,BD(3,7)=2,BD(3,8)=5BD(4,9)=6,BD(4,10)=7,BD(4,11)=8BD(5,12)=10

根據(jù)D(5,12)的決策值向前遞推求取最小成本路徑：

●v4=BD(5,12)=10●v3=BD(4,BD(5,12))=7●v2=BD(3,BD(4,BD(5,12)))=BD(3,7)=2

故由s到t的最小成本路徑是：1→2→7→10→12

★最小成本路徑的求取算法4.2多段圖的向后處理算法procedureBGRAPH(E,k,n,P)//輸入是按段的順序給結(jié)點(diǎn)編號(hào)的，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的k段圖。E是邊

集，c(i,j)是邊<i,j>的成本。P(1:k)帶出最小成本路徑//realBCOST(n);integerBD(n-1),P(k),r,j,k,nBCOST(1)←0forj←2tondo//計(jì)算BCOST(j)//

設(shè)r是具有<r,j>∈E且使BCOST(r)+c(r,j)取最小值性質(zhì)的結(jié)點(diǎn)BCOST(j)←BCOST(r)+c(r,j)BD(j)←r//記錄決策值//repeatP(1)←1;P(k)←nforj←k-1to2by-1do//找路徑上的第j個(gè)結(jié)點(diǎn)//P(j)←D(P(j+1))//回溯求出該路徑//repeatendBGRAPH算法4.2多段圖的向后處理算法4.多段圖問題的應(yīng)用實(shí)例－資源的分配問題

將n個(gè)資源分配給r個(gè)項(xiàng)目的問題：如果把j個(gè)資源，0≤j≤n，分配給項(xiàng)目i，可以獲得N(i,j)的凈利。

問題：如何將這n個(gè)資源分配給r個(gè)項(xiàng)目才能使各項(xiàng)目獲得的凈利之和達(dá)到最大。

轉(zhuǎn)換成一個(gè)多段圖問題求解。4.多段圖問題的應(yīng)用實(shí)例－資源的分配問題

用r＋1段圖描述該問題：

段：1到r之間的每個(gè)段i表示項(xiàng)目i。

結(jié)點(diǎn)：i=1時(shí)，只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)——源點(diǎn)s=V(1,0)

當(dāng)2≤i≤r時(shí)，每段有n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)具有形式

V(i,j)：表示到項(xiàng)目i之前為止，共把j個(gè)資源分配給了

前i-1個(gè)項(xiàng)目，j=0,1,…,n。

匯點(diǎn)t=V(r+1,n)

邊的一般形式：<V(i,j),V(i+1,l)>,j≤l,1≤i≤r

成本：★當(dāng)j≤l且1≤i≤r時(shí)，邊<V(i,j),V(i+1,l)>賦予成本N(i,l-j),表示給項(xiàng)目i分配l-j個(gè)資源所可能獲得的凈利。★當(dāng)j≤n且i=r時(shí)，此時(shí)的邊為：<V(r,j),V(r+1,n)>,該邊賦

予成本：指向匯點(diǎn)的邊注，并不是分給的資源越多，得到的凈利就越大用r＋1段圖描述該問題：指向匯點(diǎn)的邊注，并不是實(shí)例：將4個(gè)資源分配給3個(gè)項(xiàng)目。構(gòu)成一個(gè)4段圖。

問題的解：資源的最優(yōu)分配方案由一條s到t的最大成本路徑給出——改變邊成本的符號(hào)，從而將問題轉(zhuǎn)換成為求取最小成本路徑問題。實(shí)例：將4個(gè)資源分配給3個(gè)項(xiàng)目。構(gòu)成一個(gè)4段圖。9.3裝載問題1.問題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個(gè)給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

9.3裝載問題1.問題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重9.3裝載問題2.隊(duì)列式分支限界法

在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如果是則將其加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中(右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn))。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄。

活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的隊(duì)首元素被取出作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì)列中每一層結(jié)點(diǎn)之后都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1，故在取隊(duì)首元素時(shí)，活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng)取出的元素是-1時(shí)，再判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為空。如果隊(duì)列非空，則將尾部標(biāo)記-1加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開始處理下一層的活結(jié)點(diǎn)。9.3裝載問題2.隊(duì)列式分支限界法9.3裝載問題2.隊(duì)列式分支限界法while(true){if(ew+w[i]<=c)enQueue(ew+w[i],i);//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)enQueue(ew,i);//右兒子結(jié)點(diǎn)總是可行的ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)if(ew==-1){if(queue.isEmpty())returnbestw;queue.put(newInteger(-1));//同層結(jié)點(diǎn)尾部標(biāo)志ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i++;//進(jìn)入下一層}}9.3裝載問題2.隊(duì)列式分支限界法while(true9.3裝載問題3.算法的改進(jìn)

節(jié)點(diǎn)的左子樹表示將此集裝箱裝上船，右子樹表示不將此集裝箱裝上船。設(shè)bestw是當(dāng)前最優(yōu)解；ew是當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的重量；r是剩余集裝箱的重量。則當(dāng)ew+rbestw時(shí)，可將其右子樹剪去，因?yàn)榇藭r(shí)若要船裝最多集裝箱，就應(yīng)該把此箱裝上船。

另外，為了確保右子樹成功剪枝，應(yīng)該在算法每一次進(jìn)入左子樹的時(shí)候更新bestw的值。9.3裝載問題3.算法的改進(jìn)9.3裝載問題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)intwt=ew+w[i];if(wt<=c){//可行結(jié)點(diǎn)if(wt>bestw)bestw=wt;

//加入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列if(i<n)queue.put(newInteger(wt));}提前更新bestw

//檢查右兒子結(jié)點(diǎn)

if(ew+r>bestw&&i<n)//可能含最優(yōu)解queue.put(newInteger(ew));

ew=((Integer)queue.remove()).intValue();//取下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)

右兒子剪枝

9.3裝載問題3.算法的改進(jìn)//檢查左兒子結(jié)點(diǎn)提前更新9.3裝載問題4.構(gòu)造最優(yōu)解

為了在算法結(jié)束后能方便地構(gòu)造出與最優(yōu)值相應(yīng)的最優(yōu)解，算法必須存儲(chǔ)相應(yīng)子集樹中從活結(jié)點(diǎn)到根結(jié)點(diǎn)的路徑。為此目的，可在每個(gè)結(jié)點(diǎn)處設(shè)置指向其父結(jié)點(diǎn)的指針，并設(shè)置左、右兒子標(biāo)志。

privatestaticclassQNode{QNodeparent;//父結(jié)點(diǎn)booleanleftChild;//左兒子標(biāo)志intweight;//結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量9.3裝載問題4.構(gòu)造最優(yōu)解9.3裝載問題找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)點(diǎn)，找到最優(yōu)解。//構(gòu)造當(dāng)前最優(yōu)解for(intj=n;j>0;j--){bestx[j]=(e.leftChild)?1:0;e=e.parent;}9.3裝載問題找到最優(yōu)值后，可以根據(jù)parent回溯到根節(jié)9.3裝載問題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法

解裝載問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用最大優(yōu)先隊(duì)列存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表?；罱Y(jié)點(diǎn)x在優(yōu)先隊(duì)列中的優(yōu)先級(jí)定義為從根結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)x的路徑所相應(yīng)的載重量再加上剩余集裝箱的重量之和。

優(yōu)先隊(duì)列中優(yōu)先級(jí)最大的活結(jié)點(diǎn)成為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。以結(jié)點(diǎn)x為根的子樹中所有結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的路徑的載重量不超過它的優(yōu)先級(jí)。子集樹中葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的載重量與其優(yōu)先級(jí)相同。

在優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，一旦有一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，則可以斷言該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的解即為最優(yōu)解。此時(shí)可終止算法。

9.3裝載問題5.優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法9.4布線問題算法的思想

解此問題的隊(duì)列式分支限界法從起始位置a開始將它作為第一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。與該擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰并且可達(dá)的方格成為可行結(jié)點(diǎn)被加入到活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中，并且將這些方格標(biāo)記為1，即從起始方格a到這些方格的距離為1。

接著，算法從活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中取出隊(duì)首結(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并將與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰且未標(biāo)記過的方格標(biāo)記為2，并存入活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列。這個(gè)過程一直繼續(xù)到算法搜索到目標(biāo)方格b或活結(jié)點(diǎn)隊(duì)列為空時(shí)為止。即加入剪枝的廣度優(yōu)先搜索。9.4布線問題算法的思想9.4布線問題Position[]offset=newPosition[4];offset[0]=newPosition(0,1);//右offset[1]=newPosition(1,0);//下offset[2]=newPosition(0,-1);//左offset[3]=newPosition(-1,0);//上

定義移動(dòng)方向的相對(duì)位移for(inti=0;i<=size+1;i++){grid[0][i]=grid[size+1][i]=1;//頂部和底部grid[i][0]=grid[i][size+1]=1;//左翼和右翼}設(shè)置邊界的圍墻9.4布線問題Position[]offset=n9.4布線問題for(inti=0;i<numOfNbrs;i++){nbr.row=here.row+offset[i].row;nbr.col=here.col+offset[i].col;if(grid[nbr.row][nbr.col]==0){//該方格未標(biāo)記grid[nbr.row][nbr.col]=grid[here.row][here.col]+1;if((nbr.row==finish.row)&&(nbr.col==finish.col))break;q.put(newPosition(nbr.row,nbr.col));}}找到目標(biāo)位置后，可以通過回溯方法找到這條最短路徑。9.4布線問題for(inti=0;i<nu9.50-1背包問題算法的思想

首先，要對(duì)輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，將各物品依其單位重量?jī)r(jià)值從大到小進(jìn)行排列。

在下面描述的優(yōu)先隊(duì)列分支限界法中，節(jié)點(diǎn)的優(yōu)先級(jí)由已裝袋的物品價(jià)值加上剩下的最大單位重量?jī)r(jià)值的物品裝滿剩余容量的價(jià)值和。

算法首先檢查當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)的可行性。如果該左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，則將它加入到子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)，僅當(dāng)右兒子結(jié)點(diǎn)滿足上界約束時(shí)才將它加入子集樹和活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。當(dāng)擴(kuò)展到葉節(jié)點(diǎn)時(shí)為問題的最優(yōu)值。9.50-1背包問題算法的思想9.50-1背包問題上界函數(shù)while(i<=n&&w[i]<=cleft)//n表示物品總數(shù)，cleft為剩余空間{cleft-=w[i];//w[i]表示i所占空間b+=p[i];//p[i]表示i的價(jià)值i++;}if(i<=n)b+=p[i]/w[i]*cleft;//裝填剩余容量裝滿背包returnb;

//b為上界函數(shù)9.50-1背包問題上界函數(shù)9.50-1背包問題while(i!=n+1){//

非葉結(jié)點(diǎn)doublewt=cw+w[i];if(wt<=c){//左兒子結(jié)點(diǎn)為可行結(jié)點(diǎn)if(cp+p[i]>bestp)bestp=cp+p[i];addLiveNode(up,cp+p[i],cw+w[i],i+1,enode,true);}up=bound(i+1);if(up>=bestp)//檢查右兒子節(jié)點(diǎn)addLiveNode(up,cp,cw,i+1,enode,false);

//取下一個(gè)擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)（略）}分支限界搜索過程9.50-1背包問題while(i!=n+9.6最大團(tuán)問題問題描述

給定無向圖G=(V，E)。如果UV，且對(duì)任意u，vU有(u，v)E，則稱U是G的完全子圖。G的完全子圖U是G的團(tuán)當(dāng)且僅當(dāng)U不包含在G的更大的完全子圖中。G的最大團(tuán)是指G中所含頂點(diǎn)數(shù)最多的團(tuán)。

下圖G中，子集{1，2}是G的大小為2的完全子圖。這個(gè)完全子圖不是團(tuán)，因?yàn)樗籊的更大的完全子圖{1，2，5}包含。{1，2，5}是G的最大團(tuán)。{1，4，5}和{2，3，5}也是G的最大團(tuán)。

9.6最大團(tuán)問題問題描述9.6最大團(tuán)問題2.上界函數(shù)

用變量cliqueSize表示與該結(jié)點(diǎn)相應(yīng)的團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù)；level表示結(jié)點(diǎn)在子集空間樹中所處的層次；用cliqueSize+n-level+1作為頂點(diǎn)數(shù)上界upperSize的值。

在此優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中，upperSize實(shí)際上也是優(yōu)先隊(duì)列中元素的優(yōu)先級(jí)。算法總是從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中抽取具有最大upperSize值的元素作為下一個(gè)擴(kuò)展元素。

9.6最大團(tuán)問題2.上界函數(shù)9.6最大團(tuán)問題3.算法思想

子集樹的根結(jié)點(diǎn)是初始擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，對(duì)于這個(gè)特殊的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，其cliqueSize的值為0。

算法在擴(kuò)展內(nèi)部結(jié)點(diǎn)時(shí)，首先考察其左兒子結(jié)點(diǎn)。在左兒子結(jié)點(diǎn)處，將頂點(diǎn)i加入到當(dāng)前團(tuán)中，并檢查該頂點(diǎn)與當(dāng)前團(tuán)中其他頂點(diǎn)之間是否有邊相連。當(dāng)頂點(diǎn)i與當(dāng)前團(tuán)中所有頂點(diǎn)之間都有邊相連，則相應(yīng)的左兒子結(jié)點(diǎn)是可行結(jié)點(diǎn)，將它加入到子集樹中并插入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列，否則就不是可行結(jié)點(diǎn)。

接著繼續(xù)考察當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的右兒子結(jié)點(diǎn)。當(dāng)upperSize>bestn時(shí)，右子樹中可能含有最優(yōu)解，此時(shí)將右兒子結(jié)點(diǎn)加入到子集樹中并插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。9.6最大團(tuán)問題3.算法思想9.6最大團(tuán)問題

算法的while循環(huán)的終止條件是遇到子集樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)(即n+1層結(jié)點(diǎn))成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。

對(duì)于子集樹中的葉結(jié)點(diǎn)，有upperSize＝cliqueSize。此時(shí)活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中剩余結(jié)點(diǎn)的upperSize值均不超過當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的upperSize值，從而進(jìn)一步搜索不可能得到更大的團(tuán)，此時(shí)算法已找到一個(gè)最優(yōu)解。

9.6最大團(tuán)問題算法的while循環(huán)的終止條9.7旅行售貨員問題1.問題描述

某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程(或旅費(fèi))。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個(gè)城市一次，最后回到駐地的路線，使總的路程(或總旅費(fèi))最小。

路線是一個(gè)帶權(quán)圖。圖中各邊的費(fèi)用（權(quán)）為正數(shù)。圖的一條周游路線是包括V中的每個(gè)頂點(diǎn)在內(nèi)的一條回路。周游路線的費(fèi)用是這條路線上所有邊的費(fèi)用之和。

旅行售貨員問題的解空間可以組織成一棵樹，從樹的根結(jié)點(diǎn)到任一葉結(jié)點(diǎn)的路徑定義了圖的一條周游路線。旅行售貨員問題要在圖G中找出費(fèi)用最小的周游路線。

9.7旅行售貨員問題1.問題描述9.7旅行售貨員問題2.算法描述

算法開始時(shí)創(chuàng)建一個(gè)最小堆，用于表示活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列。堆中每個(gè)結(jié)點(diǎn)的子樹費(fèi)用的下界lcost值是優(yōu)先隊(duì)列的優(yōu)先級(jí)。接著算法計(jì)算出圖中每個(gè)頂點(diǎn)的最小費(fèi)用出邊并用minout記錄。如果所給的有向圖中某個(gè)頂點(diǎn)沒有出邊，則該圖不可能有回路，算法即告結(jié)束。如果每個(gè)頂點(diǎn)都有出邊，則根據(jù)計(jì)算出的minout作算法初始化。

算法的while循環(huán)體完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，算法分2種情況進(jìn)行處理：9.7旅行售貨員問題2.算法描述9.7旅行售貨員問題1、首先考慮s=n-2的情形，此時(shí)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中某個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。如果該葉結(jié)點(diǎn)相應(yīng)一條可行回路且費(fèi)用小于當(dāng)前最小費(fèi)用，則將該葉結(jié)點(diǎn)插入到優(yōu)先隊(duì)列中，否則舍去該葉結(jié)點(diǎn)。2、當(dāng)s<n-2時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。由于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的路徑是x[0:s]，其可行兒子結(jié)點(diǎn)是從剩余頂點(diǎn)x[s+1:n-1]中選取的頂點(diǎn)x[i]，且(x[s]，x[i])是所給有向圖G中的一條邊。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)，計(jì)算出其前綴(x[0:s]，x[i])的費(fèi)用cc和相應(yīng)的下界lcost。當(dāng)lcost<bestc時(shí)，將這個(gè)可行兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。

9.7旅行售貨員問題1、首先考慮s=n-2的情形，9.7旅行售貨員問題

算法中while循環(huán)的終止條件是排列樹的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。當(dāng)s=n-1時(shí)，已找到的回路前綴是x[0:n-1]，它已包含圖G的所有n個(gè)頂點(diǎn)。因此，當(dāng)s=n-1時(shí)，相應(yīng)的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)表示一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)。此時(shí)該葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路的費(fèi)用等于cc和lcost的值。剩余的活結(jié)點(diǎn)的lcost值不小于已找到的回路的費(fèi)用。它們都不可能導(dǎo)致費(fèi)用更小的回路。因此已找到的葉結(jié)點(diǎn)所相應(yīng)的回路是一個(gè)最小費(fèi)用旅行售貨員回路，算法可以結(jié)束。

算法結(jié)束時(shí)返回找到的最小費(fèi)用，相應(yīng)的最優(yōu)解由數(shù)組v給出。

9.7旅行售貨員問題算法中while循環(huán)的終止條件是9.8電路板排列問題算法描述

算法開始時(shí)，將排列樹的根結(jié)點(diǎn)置為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在do-while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小cd值的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。

首先考慮s=n-1的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)是排列樹中的一個(gè)葉結(jié)點(diǎn)的父結(jié)點(diǎn)。x表示相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的電路板排列。計(jì)算出與x相應(yīng)的密度并在必要時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解。

當(dāng)s<n-1時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的密度node.cd。當(dāng)node.cd<bestd時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)N插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。9.8電路板排列問題算法描述9.8電路板排列問題算法描述doif(enode.s==n-1){//僅一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)intld=0;//最后一塊電路板的密度for(intj=1;j<=m;j++)ld+=board[enode.x[n]][j];if(ld<bestd){//找到密度更小的電路板排列x=enode.x;bestd=Math.max(ld,enode.cd);

}}S=n-1的情況，計(jì)算出此時(shí)的密度和bestd進(jìn)行比較。9.8電路板排列問題算法描述doS=n-1的情況，計(jì)算出此9.8電路板排列問題算法描述else{//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的所有兒子結(jié)點(diǎn)for(inti=enode.s+1;i<=n;i++){HeapNodenode=newHeapNode(0,newint[m+1],0,newint[n+1]);for(intj=1;j<=m;j++)

//新插入的電路板node.now[j]=enode.now[j]+board[enode.x[i]][j];9.8電路板排列問題算法描述else9.8電路板排列問題intld=0;//新插入電路板的密度for(intj=1;j<=m;j++)if(node.now[j]>0&&total[j]!=node.now[j])ld++;node.cd=Math.max(ld,enode.cd);if(node.cd<bestd){//可能產(chǎn)生更好的葉結(jié)點(diǎn)node.s=enode.s+1;for(intj=1;j<=n;j++)node.x[j]=enode.x[j];node.x[node.s]=enode.x[i];node.x[i]=enode.x[node.s];heap.put(node);}}}

算法描述9.8電路板排列問題intld=0;//新插入9.9批處理作業(yè)問題1.問題的描述

給定n個(gè)作業(yè)的集合J={J1,J2,…,Jn}。每一個(gè)作業(yè)Ji都有2項(xiàng)任務(wù)要分別在2臺(tái)機(jī)器上完成。每一個(gè)作業(yè)必須先由機(jī)器1處理，然后再由機(jī)器2處理。作業(yè)Ji需要機(jī)器j的處理時(shí)間為tji，i=1,2,…,n；j=1,2。對(duì)于一個(gè)確定的作業(yè)調(diào)度，設(shè)是Fji是作業(yè)i在機(jī)器j上完成處理的時(shí)間。則所有作業(yè)在機(jī)器2上完成處理的時(shí)間和稱為該作業(yè)調(diào)度的完成時(shí)間和。批處理作業(yè)調(diào)度問題要求對(duì)于給定的n個(gè)作業(yè)，制定最佳作業(yè)調(diào)度方案，使其完成時(shí)間和達(dá)到最小。9.9批處理作業(yè)問題1.問題的描述給定n個(gè)作業(yè)的集合9.9批處理作業(yè)問題2.限界函數(shù)在結(jié)點(diǎn)E處相應(yīng)子樹中葉結(jié)點(diǎn)完成時(shí)間和的下界是：注意到如果選擇Pk，使t1pk在k>=r+1時(shí)依非減序排列，S1則取得極小值。同理如果選擇Pk使t2pk依非減序排列，則S2取得極小值。

這可以作為優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法中的限界函數(shù)。

9.9批處理作業(yè)問題2.限界函數(shù)在結(jié)點(diǎn)E處相應(yīng)子樹中葉結(jié)9.9批處理作業(yè)問題3.算法描述

算法的while循環(huán)完成對(duì)排列樹內(nèi)部結(jié)點(diǎn)的有序擴(kuò)展。在while循環(huán)體內(nèi)算法依次從活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中取出具有最小bb值（完成時(shí)間和下界）的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并加以擴(kuò)展。

首先考慮enode.s=n的情形，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)enode是排列樹中的葉結(jié)點(diǎn)。enode.sf2是相應(yīng)于該葉結(jié)點(diǎn)的完成時(shí)間和。當(dāng)enode.sf2<bestc時(shí)更新當(dāng)前最優(yōu)值bestc和相應(yīng)的當(dāng)前最優(yōu)解bestx。

9.9批處理作業(yè)問題3.算法描述算法的while9.9批處理作業(yè)問題3.算法描述

當(dāng)enode.s<n時(shí)，算法依次產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)enode的所有兒子結(jié)點(diǎn)。對(duì)于當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的每一個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)node，計(jì)算出其相應(yīng)的完成時(shí)間和的下界bb。當(dāng)bb<bestc時(shí)，將該兒子結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。而當(dāng)bbbestc時(shí)，可將結(jié)點(diǎn)node舍去。

9.9批處理作業(yè)問題3.算法描述當(dāng)enode.s9.9批處理作業(yè)問題do{if(enode.s==n){//葉結(jié)點(diǎn)if(enode.sf2<bestc){bestc=enode.sf2;for(inti=0;i<n;i++)bestx[i]=enode.x[i];}}3.算法描述

當(dāng)enode.sf2<bestc時(shí)，更新當(dāng)前最優(yōu)值beste和相應(yīng)的最優(yōu)解bestx9.9批處理作業(yè)問題do3.算法描述當(dāng)en9.9批處理作業(yè)問題3.算法描述else//產(chǎn)生當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的兒子結(jié)點(diǎn)for(inti=enode.s;i<n;i++){MyMath.swap(enode.x,enode.s,i);int[]f=newint[3];intbb=bound(enode,f);if(bb<bestc){HeapNodenode=newHeapNode(enode,f,bb,n);heap.put(node);}MyMath.swap(enode.x,enode.s,i);}//完成結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展9.9批處理作業(yè)問題3.算法描述else//產(chǎn)生當(dāng)前SeeyouSeeyou主要內(nèi)容:理解分支限界法的剪枝搜索策略。掌握分支限界法的算法框架隊(duì)列式(FIFO)分支限界法優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法

通過應(yīng)用范例學(xué)習(xí)分支限界法的設(shè)計(jì)策略。單源最短路徑問題裝載問題；布線問題0-1背包問題；最大團(tuán)問題；旅行售貨員問題電路板排列問題批處理作業(yè)調(diào)度問題主要內(nèi)容:理解分支限界法的剪枝搜索策略。9.1 分支限界法的基本思想1.分支限界法與回溯法的不同（1）求解目標(biāo)：回溯法的求解目標(biāo)是找出解空間樹中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出在某種意義下的最優(yōu)解。

（2）搜索方式的不同：回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹，而分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)優(yōu)先的方式搜索解空間樹。

9.1 分支限界法的基本思想1.分支限界法與回溯法的不同9.1 分支限界法的基本思想2.分支限界法基本思想

分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費(fèi)（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。

在分支限界法中，每一個(gè)活結(jié)點(diǎn)只有一次機(jī)會(huì)成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)?；罱Y(jié)點(diǎn)一旦成為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點(diǎn)。在這些兒子結(jié)點(diǎn)中，導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點(diǎn)被舍棄，其余兒子結(jié)點(diǎn)被加入活結(jié)點(diǎn)表中。

此后，從活結(jié)點(diǎn)表中取下一結(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并重復(fù)上述結(jié)點(diǎn)擴(kuò)展過程。這個(gè)過程一直持續(xù)到找到所需的解或活結(jié)點(diǎn)表為空時(shí)為止。

9.1 分支限界法的基本思想2.分支限界法基本思想9.1 分支限界法的基本思想3.常見的兩種分支限界法（1）隊(duì)列式(FIFO)分支限界法

按照隊(duì)列先進(jìn)先出（FIFO）原則選取下一個(gè)節(jié)點(diǎn)為擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。

（2）優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法

按照優(yōu)先隊(duì)列中規(guī)定的優(yōu)先級(jí)選取優(yōu)先級(jí)最高的節(jié)點(diǎn)成為當(dāng)前擴(kuò)展節(jié)點(diǎn)。9.1 分支限界法的基本思想3.常見的兩種分支限界法9.2 單源最短路徑問題1.問題描述

下面以一個(gè)例子來說明單源最短路徑問題：在下圖所給的有向圖G中，每一邊都有一個(gè)非負(fù)邊權(quán)。要求圖G的從源頂點(diǎn)s到目標(biāo)頂點(diǎn)t之間的最短路徑。

9.2 單源最短路徑問題1.問題描述下面以一個(gè)9.2 單源最短路徑問題

下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法解有向圖G的單源最短路徑問題產(chǎn)生的解空間樹。其中，每一個(gè)結(jié)點(diǎn)旁邊的數(shù)字表示該結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。9.2 單源最短路徑問題下圖是用優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法9.2 單源最短路徑問題2.算法思想

解單源最短路徑問題的優(yōu)先隊(duì)列式分支限界法用一極小堆來存儲(chǔ)活結(jié)點(diǎn)表。其優(yōu)先級(jí)是結(jié)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的當(dāng)前路長(zhǎng)。

算法從圖G的源頂點(diǎn)s和空優(yōu)先隊(duì)列開始。結(jié)點(diǎn)s被擴(kuò)展后，它的兒子結(jié)點(diǎn)被依次插入堆中。此后，算法從堆中取出具有最小當(dāng)前路長(zhǎng)的結(jié)點(diǎn)作為當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，并依次檢查與當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)相鄰的所有頂點(diǎn)。如果從當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有邊可達(dá)，且從源出發(fā)，途經(jīng)頂點(diǎn)i再到頂點(diǎn)j的所相應(yīng)的路徑的長(zhǎng)度小于當(dāng)前最優(yōu)路徑長(zhǎng)度，則將該頂點(diǎn)作為活結(jié)點(diǎn)插入到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列中。這個(gè)結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展過程一直繼續(xù)到活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列為空時(shí)為止。9.2 單源最短路徑問題2.算法思想9.2 單源最短路徑問題3.剪枝策略

在算法擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的過程中，一旦發(fā)現(xiàn)一個(gè)結(jié)點(diǎn)的下界不小于當(dāng)前找到的最短路長(zhǎng)，則算法剪去以該結(jié)點(diǎn)為根的子樹。

在算法中，利用結(jié)點(diǎn)間的控制關(guān)系進(jìn)行剪枝。從源頂點(diǎn)s出發(fā)，2條不同路徑到達(dá)圖G的同一頂點(diǎn)。由于兩條路徑的路長(zhǎng)不同，因此可以將路長(zhǎng)長(zhǎng)的路徑所對(duì)應(yīng)的樹中的結(jié)點(diǎn)為根的子樹剪去。

9.2 單源最短路徑問題3.剪枝策略9.2 單源最短路徑問題

while(true){//搜索問題的解空間for(intj=1;j<=n;j++)if(a[enode.i][j]<Float.MAX_VALUE&&enode.length+a[enode.i][j]<dist[j]){//頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j可達(dá)，且滿足控制約束dist[j]=enode.length+a[enode.i][j];p[j]=enode.i;HeapNodenode=newHeapNode(j,dist[j]);heap.put(node);//加入活結(jié)點(diǎn)優(yōu)先隊(duì)列}

if(heap.isEmpty())break;elseenode=(HeapNode)heap.removeMin();}頂點(diǎn)I和j間有邊，且此路徑長(zhǎng)小于原先從原點(diǎn)到j(luò)的路徑長(zhǎng)

9.2 單源最短路徑問題while(true)頂點(diǎn)I和j9.2多段圖問題1.問題的描述

●在多段圖中求從s到t的一條最小成本的路徑，可以看作是在k-2個(gè)段作出某種決策的結(jié)果。

●第i次決策決定Vi+1中的哪個(gè)結(jié)點(diǎn)在這條路徑上，這里1≤i≤k-2；

●最優(yōu)性原理對(duì)多段圖問題成立9.2多段圖問題1.問題的描述2.向前處理策略求解

設(shè)P(i,j)是一條從Vi中的結(jié)點(diǎn)j到匯點(diǎn)t的最小成本路徑，

COST(i,j)是這條路徑的成本。1)向前遞推式2)遞推過程

★第k-1段c(j,t)<j,t>∈ECOST(k-1,j)=

∞2.向前處理策略求解l1l2...lpi+1t…jViVi+1l1l2.lpi+1t…jViVi+112345678910111297324227111181456356425V1V2V3V4V55段圖123456789101112973242271111814★各遞推結(jié)果第4段COST(4,9)=c(9,12)=4

COST(4,10)=c(10,12)=2COST(4,11)=c(11,12)=5第3段COST(3,6)=min{6+COST(4,9),5+COST(4,10)}=7COST(3,7)=min{4+COST(4,9),3+COST(4,10)}=5COST(3,8)=min{5+COST(4,10),6+COST(4,11)}=7第2段COST(2,2)=min{4+COST(3,6),2+COST(3,7),1+COST(3,8)}=7COST(2,3)=9COST(2,4)=18COST(2,5)=15第1段COST(1,1)=min{9+COST(2,2),7+COST(2,3),3+COST(2,4),2+COST(2,5)}=16S到t的最小成本路徑的成本

＝16★各遞推結(jié)果★最小成本路徑的求取

記D(i,j)＝每一COST(i,j)的決策

即，使c(j,l)+COST(i+1,l)取得最小值的l值。

例：D(3,6)=10,D(3,7)=10D(3,8)=10D(2,2)=7,D(2,3)=6,D(2,4)=8,D(2,5)=8D(1,1)=2

根據(jù)D(1,1)的決策值向后遞推求取最小成本路徑：

●v2=D(1,1)=2●v3=D(2,D(1,1))=7●v4=D(3,D(2,D(1,1)))=D(3,7)=10

故由s到t的最小成本路徑是：1→2→7→10→12

★最小成本路徑的求取3)算法描述★結(jié)點(diǎn)的編號(hào)規(guī)則

源點(diǎn)s編號(hào)為1,然后依次對(duì)V2、V3…Vk-1中的結(jié)點(diǎn)編號(hào)，匯點(diǎn)t編號(hào)為n。

目的：使對(duì)COST和D的計(jì)算僅按n-1,n-2,…,1的次序計(jì)算即可，無需考慮標(biāo)示結(jié)點(diǎn)所在段的第一個(gè)下標(biāo)。★算法描述3)算法描述算法4.1多段圖的向前處理算法procedureFGRAPH(E,k,n,P)//輸入是按段的順序給結(jié)點(diǎn)編號(hào)的，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的k段圖。E是邊

集，c(i,j)是邊<i,j>的成本。P(1:k)帶出最小成本路徑//realCOST(n);integerD(n-1),P(k),r,j,k,nCOST(n)←0forj←n-1to1by-1do//計(jì)算COST(j)//

設(shè)r是具有性質(zhì)：<j,r>∈E且使c(j,r)+COST(r)取最小值的結(jié)點(diǎn)COST(j)←c(j,r)+COST(r)D(j)←r//記錄決策值//repeatP(1)←1;P(k)←nforj←2tok-1do//找路徑上的第j個(gè)結(jié)點(diǎn)//P(j)←D(P(j-1))//回溯求出該路徑//repeatendFGRAPH算法4.1多段圖的向前處理算法算法的時(shí)間復(fù)雜度

若G采用鄰接表表示，總計(jì)算時(shí)間為：算法的時(shí)間復(fù)雜度3.向后處理策略求解

設(shè)BP(i,j)是一條從源點(diǎn)s到Vi中的結(jié)點(diǎn)j的最小成本路徑，

BCOST(i,j)是這條路徑的成本。1)向后遞推式2)遞推過程

★第2段c(1,j)<1,j>∈ECOST(2,j)=

∞3.向后處理策略求解12345678910111297324227111181456356425V1V2V3V4V55段圖123456789101112973242271111814★各遞推結(jié)果第2段

BCOST(2,2)=9BCOST(2,3)=7BCOST(2,4)=3BCOST(2,5)=2第3段BCOST(3,6)=min{BCOST(2,2)+4,BCOST(2,3)+2}=9BCOST(3,7)=min{BCOST(2,2)+2,BCOST(2,3)+7,BCOST(2,5)+11}=11BCOST(3,8)=min{BCOST(2,4)+11,BCOST(2,5)+8}=10第4段BCOST(4,9)=min{BCOST(3,6)+6,BCOST(3,7)+4}=15BCOST(4,10)=min{BCOST(3,6)+5,BCOST(3,7)+3,BCOST(3,8)+5}=14BCOST(4,11)=min{BCOST(3,8)+6}=16第5段BCOST(5,12)=min{BCOST(4,9)+4,BCOST(4,10)+2,BCOST(4,11)+5}=16S到t的最小成本路徑的成本

＝

16★各遞推結(jié)果★最小成本路徑的求取

記BD(i,j)＝每一COST(i,j)的決策

即，使COST(i-1,l)+c(l,j)取得最小值的l值。

例：BD(3,6)=3,BD(3,7)=2,BD(3,8)=5BD(4,9)=6,BD(4,10)=7,BD(4,11)=8BD(5,12)=10

根據(jù)D(5,12)的決策值向前遞推求取最小成本路徑：

●v4=BD(5,12)=10●v3=BD(4,BD(5,12))=7●v2=BD(3,BD(4,BD(5,12)))=BD(3,7)=2

故由s到t的最小成本路徑是：1→2→7→10→12

★最小成本路徑的求取算法4.2多段圖的向后處理算法procedureBGRAPH(E,k,n,P)//輸入是按段的順序給結(jié)點(diǎn)編號(hào)的，有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的k段圖。E是邊

集，c(i,j)是邊<i,j>的成本。P(1:k)帶出最小成本路徑//realBCOST(n);integerBD(n-1),P(k),r,j,k,nBCOST(1)←0forj←2tondo//計(jì)算BCOST(j)//

設(shè)r是具有<r,j>∈E且使BCOST(r)+c(r,j)取最小值性質(zhì)的結(jié)點(diǎn)BCOST(j)←BCOST(r)+c(r,j)BD(j)←r//記錄決策值//repeatP(1)←1;P(k)←nforj←k-1to2by-1do//找路徑上的第j個(gè)結(jié)點(diǎn)//P(j)←D(P(j+1))//回溯求出該路徑//repeatendBGRAPH算法4.2多段圖的向后處理算法4.多段圖問題的應(yīng)用實(shí)例－資源的分配問題

將n個(gè)資源分配給r個(gè)項(xiàng)目的問題：如果把j個(gè)資源，0≤j≤n，分配給項(xiàng)目i，可以獲得N(i,j)的凈利。

問題：如何將這n個(gè)資源分配給r個(gè)項(xiàng)目才能使各項(xiàng)目獲得的凈利之和達(dá)到最大。

轉(zhuǎn)換成一個(gè)多段圖問題求解。4.多段圖問題的應(yīng)用實(shí)例－資源的分配問題

用r＋1段圖描述該問題：

段：1到r之間的每個(gè)段i表示項(xiàng)目i。

結(jié)點(diǎn)：i=1時(shí)，只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)——源點(diǎn)s=V(1,0)

當(dāng)2≤i≤r時(shí)，每段有n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)，每個(gè)結(jié)點(diǎn)具有形式

V(i,j)：表示到項(xiàng)目i之前為止，共把j個(gè)資源分配給了

前i-1個(gè)項(xiàng)目，j=0,1,…,n。

匯點(diǎn)t=V(r+1,n)

邊的一般形式：<V(i,j),V(i+1,l)>,j≤l,1≤i≤r

成本：★當(dāng)j≤l且1≤i≤r時(shí)，邊<V(i,j),V(i+1,l)>賦予成本N(i,l-j),表示給項(xiàng)目i分配l-j個(gè)資源所可能獲得的凈利?！锂?dāng)j≤n且i=r時(shí)，此時(shí)的邊為：<V(r,j),V(r+1,n)>,該邊賦

予成本：指向匯點(diǎn)的邊注，并不是分給的資源越多，得到的凈利就越大用r＋1段圖描述該問題：指向匯點(diǎn)的邊注，并不是實(shí)例：將4個(gè)資源分配給3個(gè)項(xiàng)目。構(gòu)成一個(gè)4段圖。

問題的解：資源的最優(yōu)分配方案由一條s到t的最大成本路徑給出——改變邊成本的符號(hào)，從而將問題轉(zhuǎn)換成為求取最小成本路徑問題。實(shí)例：將4個(gè)資源分配給3個(gè)項(xiàng)目。構(gòu)成一個(gè)4段圖。9.3裝載問題1.問題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重量分別為C1和C2的輪船，其中集裝箱i的重量為Wi，且裝載問題要求確定是否有一個(gè)合理的裝載方案可將這個(gè)集裝箱裝上這2艘輪船。如果有，找出一種裝載方案。

容易證明：如果一個(gè)給定裝載問題有解，則采用下面的策略可得到最優(yōu)裝載方案。

(1)首先將第一艘輪船盡可能裝滿；(2)將剩余的集裝箱裝上第二艘輪船。

9.3裝載問題1.問題描述有一批共個(gè)集裝箱要裝上2艘載重9.3裝載問題2.隊(duì)列式分支限界法

在算法的while循環(huán)中，首先檢測(cè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié)點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如