畢業(yè)論文學(xué)生姓名學(xué)號(hào)學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)題目極限求法綜述指導(dǎo)教師2010年11月摘要：極限一直是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，而對(duì)數(shù)列極限的求法可謂是多種多樣，通過(guò)歸納和總結(jié)，我們羅列出一些常用的求法。本文主要?dú)w納了數(shù)學(xué)分析中求極限的十四種方法，1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限，2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限，3:利用兩個(gè)重要極限公式求極限，4：利用單側(cè)極限求極限，5：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限，6：利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限，7：利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限，8：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限，9：利用中值定理求極限，10：利用洛必達(dá)法則求極限，11：利用定積分求和式的極限,12：利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限，13：利用泰勒展開(kāi)式求極限,14：利用換元法求極限。關(guān)鍵詞：夾逼準(zhǔn)則，單調(diào)有界準(zhǔn)則，函數(shù)的連續(xù)性，無(wú)窮小量的性質(zhì)，洛必達(dá)法則,微分中值定理，定積分，泰勒展開(kāi)式.Abstract：Mathematicalanalysisofthelimithasbeenafocusofthecontent,whiletheseriestoLimitcanbedescribedasdiverse,andconcludedbyinduction,wesetouttherequirementsofsomecommonlyusedmethod.Thispapersummarizesthemathematicalanalysisoffourteenmethodsoflimit,1:Limitofusingtwocriteria,2:theuseofarithmeticnatureofthelimitsoftheLimit,3:LimituseoftwoimportantlimitoftheFormula4:Usingasinglesideofthelimitoflimit,5:Usingthecontinuityoffunctionsoflimit,6:thenatureoftheuseoflimitinfinitesimals,7:SubstitutionofequivalentlimitInfinitesimal,8:UsingthedefinitionofderivativeoftheLimit,9:Usingthevaluetheoremoflimit,10:UsingtheLimitHospital'sRule11:theuseofthedefiniteintegralsummationtypelimit,12:ConvergenceofthenecessaryconditionsusingtheLimit,13:LimitofusingtheTaylorexpansion,14:theuseofMethodsubstitutionlimit.Keywords:Squeezeguidelines,criteriaforboundedmonotonefunctioncontinuity,thenatureofinfinitesimals,Hospital'sRule,MeanValueTheorem,definiteintegral,theTaylorexpansion.目錄一、引言二、極限的求法2.1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限2.2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限2.3:利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限:利用兩個(gè)重要極限公式求極限…:利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限2.6：利用單側(cè)極限求極限2.7:利用函數(shù)的連續(xù)性求極限2.8:利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限……2.9:利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限…2.10:利用中值定理求極限2.11:洛必達(dá)法則求極限2.12:利用定積分求和式的極限2.13:利用泰勒展開(kāi)式求極限2.14:換元法求極限結(jié)論參考文獻(xiàn)致謝數(shù)學(xué)分析中極限的求法綜述

—、引言：極限是分析數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，用以描述變量在一定的變化過(guò)程中的終極狀態(tài)。早在中國(guó)古代，極限的樸素思想和應(yīng)用就已在文獻(xiàn)中有記載。例如3世紀(jì)中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)，就是用圓內(nèi)接正多邊形周長(zhǎng)的極限是圓周長(zhǎng)這一思想來(lái)近似地計(jì)算圓周率口的。隨著微積分學(xué)的誕生，極限作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)概念也就明確提出。但最初提出的這一概念是含糊不清的，因此在數(shù)學(xué)界引起不少爭(zhēng)論甚至懷疑。直到19世紀(jì)，由A.-L.柯西、K.(T.W.)外爾斯特拉斯等人的工作，才將其置于嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)之上，從而得到舉世一致的公認(rèn)。數(shù)學(xué)分析中的基本概念來(lái)表述，都可以用極限來(lái)描述。如函數(shù)y=f(x)在'=%處導(dǎo)數(shù)的定義，定積分的定義，偏導(dǎo)數(shù)的定義，二重積分，三重積分的定義，無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的定義，都是用極限來(lái)定義的。極限是研究數(shù)學(xué)分析的基本公具。極限是貫穿數(shù)學(xué)分析的一條主線。學(xué)好極限是從以下兩方面著手。1：是考察所給函數(shù)是否存在極限。2：若函數(shù)否存在極限，則考慮如何計(jì)算此極限。本文主要是對(duì)第二個(gè)問(wèn)題即在極限存在的條件下，如何去求極限進(jìn)行綜述。二、極限的求法：2.1：利用兩個(gè)準(zhǔn)則求極限。(1)函數(shù)極限的迫斂性(夾逼法則)：若一正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，有七V*<Z且limxlimx=limzxT8XT8_a，「則有利用夾逼準(zhǔn)則求極限關(guān)鍵在于從X的表達(dá)式中，通常通過(guò)放大或縮小的方法找出兩個(gè)有相同極限值的數(shù)列'y｝和'，,使得y<X<ZoL/|口IJI久IPvl-EELl-lJZUnIin，1^^I寸nnn。_1+1+例[1]n<n2+1v'n2+2求Xn的極限解：因?yàn)閄n單調(diào)遞減，所以存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)

<n2+n\；n2+n1n+——=—\：n2+nn2+n^<1+1**1=nn萼n2+1<n2+1v'n2+1<n2+1JI_<x<2L貝gv'n2+nn頊n2+1lim"一=lim<n2+n\；n2+n1n+——=—\：n2+nn2+n利用單調(diào)有界準(zhǔn)則求極限，關(guān)鍵先要證明數(shù)列的存在，然后根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)遞推公式求極限。例：［1］證明下列數(shù)列的極限存在，并求極限。y=\a,y=Ja+扃,y=寸a+Ja+插,,y=寸a+^a+\［a++Ja證明：從這個(gè)數(shù)列構(gòu)造來(lái)看yn顯然是單調(diào)增加的。用歸納法可證。又因?yàn)閊=,偵和M,,yn=卯+%所以得yn2=a+yn_1.因?yàn)榍懊孀C明'〃是單調(diào)增加的。兩端除以y<a+1yn得nyn?一a＜打a+1＜拓+1

因?yàn)閥n兩端除以y<a+1yn得nyn4a<y<s[a+1即yn是有界的。根據(jù)定理*n^有極限，而且極限唯一。limy=llimy2=lim(y+a)令nT8n人Jnsnmsn1

TOC\o"1-5"\h\zl_1+<4a+1則12_l+a.因?yàn)槠?gt;°，解方程得2一1+\4a+1limy_1_所以n手"22.2:利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)求極限極限的四則運(yùn)算法則敘述如下：若limf(x)_Alimg(x)=Bf0f0limf(x)土g(x)]_limf(x)土limg(x)_A土Bf_上+上+(4)已知n1x22x3*0x*0limf(x)-g(x)]_limf(x)-limg(x)_A-Bf0xf_上+上+(4)已知n1x22x3\o"CurrentDocument"f(x)limf(x)Alim_x^x_x-x0g(x)limg(x)Bx-x0limc-f(x)_c-limf(x)_cA(c為常數(shù))xfxf上述性質(zhì)對(duì)于x—3,x—+3,x—-3時(shí)也同樣成立總的說(shuō)來(lái)，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。通常在這一類(lèi)型的題中，一般都含有未定式不能直接進(jìn)行極限的四則運(yùn)算。首先對(duì)函數(shù)施行各種恒等變形。例如分之，分母分解因式，約去趨于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化簡(jiǎn)；化無(wú)窮多項(xiàng)的和(或積)為有限項(xiàng)。例；求極限%2-1lim(1)x-12x2-x-1lM1+x—2⑵x-3x-3lim(-l--^)+GE'求limx?n—3(3)x—-1x+1x3+1

TOC\o"1-5"\h\zX2-13+l)(x+GE'求limx?n—3limlimlim—解：(1)XT12X2-——2-lim(x-H)?ctg2x=H2」X—=X—1(X-1)(2X+1)=x-12X+1=3limE-2limEX-2)士X+2)lim——1⑵X—3X-3=X-3(X-3)(\/H+2)^=x-3(x-3)(\177+2)=4——2lim(x-H)?ctg2x=H2」X—X2-X-2lim=X—-1X3+1lim(X+1)(X—2)

=X2-X-2lim=X—-1X3+1tg2x-tg(2?；)HlimX-2=X—-1X2-X+1=_1x=1+1+(4)因?yàn)閚1x22x31+(n-1)xn111111=1—+———+———+——223344111.1+—=1——n一1n一1nnlimX所以n“n-lim(1-—)=1、nns2.3：利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)f(x)在X0附近有定義，％X'則口，=f(x0+口x)-f(X0)lim口》=limf(X0+UX)一f(X0)如果□x—0口XL—0qX存在，則此極限值就稱(chēng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0、f/(x)=limf(X0打X)一f&數(shù)記為f/(X。).即0Ox—0DX在這種方法的運(yùn)用過(guò)程中。的導(dǎo)首先要選好f(x)。然后把所求極限。表示成f(x)在定點(diǎn)X0的導(dǎo)數(shù)。Hlim(x一一)?ctg2x例：求x—h2解：取f(x)=屹2X.則1tg2x1tg2xlim-^-正丸x-；x-2limHX—-2f(x)-fG)limx-丸2'“2-Kx-—21丸f/(])=(2sec22x)1丸x=—22.4:利用兩個(gè)重要極限公式求極限兩個(gè)極限公式(A)limSinx=1(B)lim(1+1)x=exT0xxsx但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：sin頓x)(A，)lim=1,(頓x)—0)頓x)(B，)lim(1+1)職x)=e,(頓x)T3)頓x)在這一類(lèi)型題中，一般也不能直接運(yùn)用公式，需要恒等變形進(jìn)行化簡(jiǎn)后才可以利用公式。例：求下列函數(shù)的極限[4]lim<limn—0[nsxxxcos—cos——cos——22223xcos——2nlim(1-擋)m⑵m*m2xxxcoscoscos解：(1)22223xcos——2n12sin—2nxxxsinxcoscos—cos-22223cosxsin三2n2n1sinx2nsin—2nxlimcos—xxcos——cos—2223cos——2nlim<limx—lim<limx—0[nsxxxcos—cos——cos——22223x

cos——>2nlimx—0sinxx=1=lim—n—s2n1sin——sinxx2nsinxlim2nsinn—sx2?sinx=x22m2pn2m2?nl、lim(1-——)mlim(1-——)—準(zhǔn)”—m2)lim(1-——)—?2°(—m)(2)mT8m2=m—8m2=m—sm2=e0=12.5:利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限耳一利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù)〃=1n收斂，則七—0以—8?運(yùn)用這個(gè)方A法首先判定級(jí)數(shù)〃一1n收斂，然后求出它的通項(xiàng)的極限nlim求n—8nn_nnlim求n—8nn解：設(shè)“"亦a(n+1)n+1(n!?lim—n+1——lim則n—san—sL(n+1)!巾nnlim—-(1+L)n=n—sn+1n=0<1*a由比值判別法知n——1〃收斂nnlim由必要條件知n—sVn/=02.6：利用單側(cè)極限求極限形如：1求含的函數(shù)x趨向無(wú)窮的極限，或求含ax的函數(shù)x趨于0的極限；求含取整函數(shù)的函數(shù)極限；⑶分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限；⑷含偶次方根的函數(shù)以及arctanx或arcctanx的函數(shù)，x趨向無(wú)窮的極限.這種方法還能使用于求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限，首先必須考慮分段點(diǎn)的左、右極限，如果左、右極限都存在且相等，則函數(shù)在分界點(diǎn)處的極限存在，否則極限不存在。Ixsin1,x>0f(x)=[x例：h+x2,x<°求f(x)在x=0的左右極限解limx-sin—”1limx-sin—TOC\o"1-5"\h\zx頊-x=1limf(x)=limf(x)=1x—，0+x—0-limf(x)=1xT02.7：利用函數(shù)的連續(xù)性求極限(i)若f(x)在x=x處連續(xù)，則limf(x)=f(x)0xTx00即：(ii)若f[<p(x)]是復(fù)合函數(shù)，又lim中(x)=】且xTxf(u)在"=a處連續(xù)，則limf聊(x))=f[lim里(x)]=f(a)xt%xt%這種方法適用于求復(fù)合函數(shù)的極限。如果u=g(x)在點(diǎn)x0連續(xù)g(x0)=u0，而y=f(u)在點(diǎn)x0連續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f(g(x))在點(diǎn)x0連續(xù)。即

lim/(g(x))=/(g(x))=/(limg(x))limXTX00XTX0也就是說(shuō)，極限號(hào)XTX0可以與符號(hào)f互換順序。limln(1+L)x例：求xTx(1+1)x解：令y=lnu,u=例：例：u=limln(1+L)x=e因?yàn)镮nu在點(diǎn)0xtx處連續(xù)所以lim所以limln(1+L)xxT3XInlim(1+上)xX|_XT3兒=lne=12.8：利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限:Inlimf(x)=0xTx八無(wú)窮小量的性質(zhì)：無(wú)窮小量與有界量的乘積還是無(wú)窮小量。如果(x-S,x),(x,x+3)右臾limf(x)=0xTx八limf(x)-g(x)=0xTx0.這種方法可以處理一個(gè)函數(shù)不存在但有界，和另一個(gè)函數(shù)的極限是零的極限的乘積的問(wèn)題。limsinlimsinx解：因?yàn)閟inx|<1lim1=0xT3x「sinxlim所以xT8x=02.9：利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限：定理2無(wú)窮小與有界函數(shù)的乘積仍然是無(wú)窮小(即極限是0)。定理3當(dāng)xt0時(shí)，下列函數(shù)都是無(wú)窮小(即極限是0),且相互等價(jià)，即有:?sinx?tanx?arcsinx?arctanx?in(1+x)?ex-1說(shuō)明：當(dāng)上面每個(gè)函數(shù)中的自變量x換成g(x)時(shí)(g(x)T0)，仍有上面的等價(jià)關(guān)系成立，例如：當(dāng)xT0時(shí)，e3x-1?3x；ln(1-x2)?—x2。定理4如果函數(shù)f(x),g(x),f(x),g(x)都是x—x時(shí)的無(wú)窮小，且f(x)?JAHJ-J—|J\/>C?\/7?/]\/>。]\/日/0》J4，-I~L-Jl人/f(x)，g(x)?g(x)，則當(dāng)lim￥)存在時(shí)，lim華)也存在且等于11xtx0g1(x)xtx0g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)li^^—，即limJ=li^^—。xtx0g](x)xtx0g(x)xtx0g1(x)'t1等價(jià)無(wú)窮小量：當(dāng)Z時(shí)，稱(chēng)y,z是等價(jià)無(wú)窮小量：記為yz在求極限過(guò)程中，往往可以把其中的無(wú)窮小量，或它的主要部分來(lái)代替。但是，不是乘除的情況，不一定能這樣做。x4+x3limxxT0(sin—)3例：求2解：.xxsin-2口2x4+x3x4+x3limlimxt0(sin2-)3xt0(x)3x4+x3limxt0x38=82.10:利用中值定理求極限：1：微分中值定理：若函數(shù)f(x)滿足(i)在脫,對(duì)連續(xù).(ii)在(a,b)可導(dǎo);則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)&，使f危)sin(sinx)一sinxlim例［2］：求xtOsin(sinx)-sinx=(sinx-x)-cosb?(x-sinx)+x］^解(0<9<1)sin(sinx)-sinx

limXT0x3(sinx-x)-cos(0-(x-sinx)+x]limx3—xT0cosx-1cos0-lim=xr03x2「-sinxlimxT06x1—=6x32：積分中值定理：設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間方"］上連續(xù);g(x)在方對(duì)上不變號(hào)且可積，則在久b］上至少有一點(diǎn)&使得屋(x)-&⑴=f(提."⑴辦例：求lim口4sinnxdx解例：求lim口4sinnxdx解:lim七?一,4sinnxdxlimsixn-頃(—-0)=n*42.=011:洛必達(dá)法則求極限：2.定理：若limf(x)=0,limg(x)=0xTx°xTx°f與g在x0的某空心鄰域"0(x0)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)^0limf(x)=A(A可為實(shí)數(shù)，也可為±8或8),則QxTx0g'(x)f(x)f'(x)

lim=lim=AxTx0g(x)xTx0g(x)此定理是對(duì)0型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其它類(lèi)型，均有類(lèi)似的法則。0

注：運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、要注意條件，也就是說(shuō)，在沒(méi)有化為0,-時(shí)不可求導(dǎo)。082、應(yīng)用洛必達(dá)法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時(shí)化簡(jiǎn)極限符號(hào)后面的分式，在化簡(jiǎn)以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達(dá)法則，否則會(huì)引起錯(cuò)誤。4、當(dāng)limZ-^不存在時(shí)，本法則失效，但并不是說(shuō)極限不存在，此時(shí)求極限須用另外方法?！竘nsinmxlim例[1]:(1)求x^olnsinnxlimxx(2)求x項(xiàng)+解：(1)由limlnsinmx=limlnsinnx=-8x—?0x—08所以上述極限是8解：(1)由「lnsinmxmcosmx-sinnxmsinnxlim；lim；—limxtolnsinnx=x-0ncosnx-sinmx=nx^0sinmx=1limxx⑵x-0+它為00型由對(duì)數(shù)恒等式可得xx=exlnxlimxx_limxlnxx—0—ex-0++limx-lnx=lim^-^=0x—0+x—0+xlimxxx-0+=e0=12.12：利用定積分求和式的極限利用定積分求和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)。把所求極限的和

式表示成f(x)在某區(qū)間脫,曰上的待定分法(一般是等分)的積分和式的極限。2.fLn-n工例：求n”|_nn2+12n2fLn-n工例：求n”|_nn2+12n2+22n+n2+(n-1)21*n*n**n解：由于nn2*12n2*22n2*(n-1)21*1*f2-1]2In)1*可取函數(shù)f(x)1*x2區(qū)間為I。，1］上述和式恰好是f(x)=1*X2在h』］上n等分的積分和。1n、n,所以!咔,E*E**n2*(n-1)2limnsn1*(?1*2-1)2

nJj1—-—dx=01*x2兀=42.13:利用泰勒展開(kāi)式求極限泰勒公式是本章的一大難點(diǎn)，大家在學(xué)習(xí)時(shí)首先要清楚泰勒定理成立的條件，清楚泰勒公式、麥克勞林公式的表達(dá)形式以及常見(jiàn)的麥