-.z空間直線和平面［知識(shí)串講］空間直線和平面：〔一〕知識(shí)構(gòu)造〔二〕平行與垂直關(guān)系的論證1、線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：2.線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：3.平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化：4.應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化〞的根本思路——“由求證想判定，由想性質(zhì)。〞5.唯一性結(jié)論：〔三〕空間中的角與距離1.三類角的定義：〔1〕異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°〔2〕直線與平面所成的角：0°≤θ≤90°〔3〕二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2.三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算〞即：〔1〕找出或作出有關(guān)的角；〔2〕證明其符合定義；〔3〕指出所求作的角；〔4〕計(jì)算大小。3.空間距離：將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離——構(gòu)造三角形，解三角形，求該線段的長。4.點(diǎn)到面的距離，線線間距離、線面間距離、面面間距離都可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離。常用方法：三垂線法、垂面法、體積法、向量法等?！镜湫屠}】例.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和BB1的中點(diǎn)，則AM與CM所成角的余弦值為〔〕分析：如圖，取AB中點(diǎn)E，CC1中點(diǎn)F連結(jié)B1E、B1F、EF則B1E//AM，B1F//NC∴∠EB1F為AM與所成的角又棱長為1∴選D例3.其中正確的兩個(gè)命題是〔〕A.①與② B.③與④ C.②與④ D.①與③分析：∴②錯(cuò)∴④錯(cuò)∴①③正確，選D例4.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F?！?〕證明PA//面EDB?！?〕PB⊥平面EFD。證：〔1〕連AC，AC交BD于O，連EO∵底面ABCD是正方形∴點(diǎn)O是AC中點(diǎn)又E為PC中點(diǎn)∴EO//PA∴PA//面EDB〔2〕∵PD⊥底面ABCD∴BC⊥PD∴BC⊥面PDC ∴BC⊥DE又E為等直角三角形中點(diǎn)∴DE⊥面PBC ∴DE⊥PB∴PB⊥面DEF例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求證：A1C⊥BC1。證明：設(shè)E、E1分別是BC、B1C1的中點(diǎn)，連AE，A1E1，B1E，E1C注：三垂線定理是證明兩直線異面垂直的常用手段。例6.以下正方體中，l是一條體對(duì)角線，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，如何證明l⊥面MNP。分析：③如圖，取棱A1A、DC、B1C1的中點(diǎn)，分別記為E、F、G，顯然EMFNGP為平面圖形，而D1B與該平面垂直∴l(xiāng)⊥面MNP例7.∠ACB=90°，側(cè)棱與底面成60°的角。分析：證明：又∠ACB=90°，即AC⊥BC∴D為AC中點(diǎn)例8.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，沿DE將△ABC折成直二面角，使A到A’的位置〔如圖〕。求：〔1〕C到A’D的距離；〔2〕D到平面A’BC的距離；〔3〕A’D與平面A’BC所成角的正弦值。解：〔1〕∵二面角A’－DE－B是直二面角又A’E⊥ED，CE⊥ED∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED作EF⊥A’D于F，連結(jié)CF，則CF⊥A’D∴CF即為C點(diǎn)到直線A’D的距離在Rt△A’ED中，EF·A’D=A’E·ED∴DE//面A’BC∴E到面A’BC的距離即為D點(diǎn)到平面A’BC的距離過E作EM⊥A’C于M∵ED⊥面A’EC又BC//ED∴BC⊥面A’EC∴BC⊥EM∴EM⊥面A’BC或者用體積法：例9.〔1〕證明：〔2〕解：又取BC中點(diǎn)N，連結(jié)NF【模擬試題】一.選擇題1.一條直線假設(shè)同時(shí)平行于兩個(gè)相交平面，則這條直線與這兩個(gè)平面的交線〔〕A.成異面直線 B.相交 C.平行 D.平行或相交2.直線a，b，平面，有以下四個(gè)命題①；②；③；④其中正確的命題有〔〕A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.以上都不對(duì)3.邊長為a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，，這時(shí)二面角B－AD－C的大小為〔〕A.30° B.45° C.60° D.90°4.設(shè)a，b是兩條異面直線，P是a，b外的一點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是〔〕A.過P有一條直線和a，b都平行B.過P有一條直線和a，b都相交C.過P有一條直線和a，b都垂直D.過P有一個(gè)平面與a，b都平行5.假設(shè)a，b是異面直線，點(diǎn)A、B在直線a上，點(diǎn)C、D在直線b上，且AD=AC，BD=BC，則直線a，b所成的角為〔〕A.90° B.60° C.45° D.30°二.填空題6.設(shè)正方體的棱長為1，則〔1〕A點(diǎn)到的距離為_____________〔2〕A點(diǎn)到的距離為_____________〔3〕A點(diǎn)到面的距離為_____________〔4〕A點(diǎn)到面的距離為_____________〔5〕的距離為_____________7.如圖，正方形ABCD中，E、F分別是中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE、AF、EF把它折成一個(gè)四面體，使B、D、C三點(diǎn)重合于G，則=_____________。8.把邊長為a的正三角形ABC沿高線AD折成60°的二面角，則點(diǎn)A到BC的距離為_________________。9.如圖PA⊥⊙O面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點(diǎn)，E、F分別是A在PB、PC上的射影，給出以下結(jié)論：①AF⊥PB，②EF⊥PB，③AF⊥BC，④AE⊥平面PBC，其中正確命題的序號(hào)是_____________。10.平面，其交線為l，，AB與所成角為30°，則AB與α所成角的取值圍是_____________。三.解答題11.四面體ABCS中，SB、SC、SA兩兩垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M為AB的中點(diǎn)。求：〔1〕BC與面SAB所成的角；〔2〕SC與平面ABC所成角的正弦值。13.在矩形ABCD中，，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折到△的位置，使?！?〕求證：平面平面BCDE?！?〕求和面BCD所成角的大小。14.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，?！睮〕求；〔II〕求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值。【試題答案】一.1.C 2.C 3.C 4.C〔當(dāng)P點(diǎn)和直線a確定的平面與b平行時(shí)，則過P點(diǎn)的直線與a不相交，∴B錯(cuò)，當(dāng)P點(diǎn)在a或b上時(shí)，D不成立〕5.A二.6.7.8.9.①②③10.〔0°，60°]〔如圖∠ABD≥30°，∴90°－∠BAD≥30°∴∠BAD≤60°∴0<∠BAD≤60°〕三.11.解：〔1〕∵SC⊥SA，SC⊥SB∴SC⊥面SAB∴SB是CB在面SAB上的射影∴∠SBC是直線BC與面SAB所成的角，且為60°〔2〕連SM，CM，則SM⊥AB〔△SAB為等腰Rt△〕∴AB⊥面CSM,設(shè)SH⊥CM于H，則AB⊥SH∴SH⊥面ABC∴∠SCH為SC與平面ABC所成的角設(shè)SB=SA=a,則注：“垂線〞是相對(duì)的，SC是面SAB的垂線，卻又是面ABC的斜線。12.證：〔1〕∵PA⊥面ABC，PC在面ABC上射影為AC又AB為⊙O直徑∴BC⊥AC∴BC⊥PC∴BC⊥面PAC又BC面PBC ∴面PAC⊥面PBC〔2〕由〔1〕知BC⊥面PAC又AE面PAC∴BC⊥AE，又PC⊥AE∴AE⊥面PBC又AE面AEB∴面AEB⊥面PBC或者：由〔1〕知面PAC⊥面PBC，PC為交線又AE⊥PC∴AE⊥面PBC又AE面AEB∴面AEB⊥面PBC注：線線垂直線面垂直面面垂直1