§5.4三大抽樣分布?§5.4三大抽樣分布?1本次課教學(xué)目的：

掌握三大抽樣分布的構(gòu)造性定義并熟悉一些重要結(jié)論重點(diǎn)難點(diǎn):

三大抽樣分布的構(gòu)造及其抽樣分布一些重要結(jié)論教學(xué)基本內(nèi)容及其時(shí)間分配三大抽樣分布的構(gòu)造性定義——————30分鐘定理及其三個(gè)推論以及證明——————70分鐘根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)所采取的教學(xué)方法和手段:啟發(fā)式講授，圖文結(jié)合加深對(duì)三大分布的印象?本次課教學(xué)目的：?2引言有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，他們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”.若設(shè)是來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本，則此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造及其抽樣分布如表5.4.1所示.?引言有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為3??45.4.1分布(卡方分布)問(wèn)題：如何確定的分布？?5.4.1分布(卡方分布)問(wèn)題：如何確定5圖像：密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布

數(shù)字特征：?圖像：數(shù)字特征：?6??7??8??9當(dāng)隨機(jī)變量～時(shí)，對(duì)給定的，稱滿足的是自由度為n的卡方分布的分位數(shù).

?當(dāng)隨機(jī)變量～時(shí)，對(duì)給定的，稱滿足的是自由度為n的卡方分布的分10??115.4.2F分布其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.定義5.4.2

設(shè)獨(dú)立，則稱的分布是自由度為m與n的F分布,記為問(wèn)題：如何確定的分布？首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

?5.4.2F分布其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度12首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

?首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)?13Z的密度函數(shù)為

?Z的密度函數(shù)為?14第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

這就是自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)。）

?第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)這就是自由度為m與n的F分布的15??16??17??18??19有F分布的構(gòu)造知，若F~F(m,n),則有1/F~F(n,m),故對(duì)給定，

?有F分布的構(gòu)造知，若F~F(m,n),則有1/F~F(n,20例5.4.1若取m=10,n=5,

=0.05,那么從附表5上查得?例5.4.1若取m=10,n=5,=0.05,那么從附表215.4.3t分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立且則稱的分布為自由度為n的t分布，記為

問(wèn)題：如何確定的分布？由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的對(duì)稱性知，從而t與-t有相同分布。

?5.4.3t分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立且則稱的22所以在上式兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：這就是自由度為ｎ的ｔ分布的密度函數(shù)。

?所以在上式兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：這就是自由23ｔ分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布

與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。?ｔ分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分24??25??26●自由度為1的ｔ分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；●ｎ>1時(shí),ｔ分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0?！瘢?lt;1時(shí),ｔ分布的方差存在，且為ｎ/(ｎ-2)；●當(dāng)自由度較大時(shí)，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似(見(jiàn)下頁(yè)圖)?●自由度為1的ｔ分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；?27??28N(0，1)和t(4)的尾部概率比較c=2c=2.5c=3c=3.5X~N(0,1)0.04550.01240.00270.000465X~t(4)0.11610.06680.03990.0249?N(0，1)和t(4)的尾部概率比較c=2c=2.5c=3c29當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)稱滿足的是自由度為ｎ的ｔ分布的1-ａ分位數(shù)。由于ｔ分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱，故其分位數(shù)間有如下關(guān)系譬如。那么從附表4上查到可以從附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=0.05,分位數(shù)?當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)稱滿足的是自由度為ｎ的ｔ分布的1-ａ分位數(shù)。由30??31??325.4.4一些重要結(jié)論的樣本，其樣本定理5.4.1設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體均值和樣本方差分別為和則有（1）與（2）（3）相互獨(dú)立；?5.4.4一些重要結(jié)論的樣本，其樣本定理5.4.1設(shè)是來(lái)33證明記，則有取一個(gè)n維正交矩陣A，其第一行的每一個(gè)元素均為,如?證明記，則有取一個(gè)n維正交矩陣A，其第一行的每一個(gè)元素均為34令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布，其均值和方差分別為由此，且都服從正態(tài)的各個(gè)分量相互獨(dú)立，分布，其方差均為,而均值不完全相同，?令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布，由35這證明了結(jié)論（1）

這證明了結(jié)論（2）

這證明了結(jié)論（3）

?這證明了結(jié)論（1）這證明了結(jié)論（2）這證明了結(jié)論（3）36推論5.4.1在定理5.4.1的記號(hào)下，有將5.4.4左端改寫(xiě)為由于分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，分母的根號(hào)里是自由度為n-1的t變量除以它的自由度，且分子與分母相互獨(dú)立，由t分布定義可知，t~t（n-1），推論證完。證明由定理5.4.1（2）可以推出?推論5.4.1在定理5.4.1的記號(hào)下，有將5.4.437

推論5.4.2設(shè)是來(lái)自的樣本，是來(lái)自的樣本且此兩樣本相互獨(dú)立，記其中則有特別，若，則

?推論5.4.2設(shè)是來(lái)自的樣本，是來(lái)自的樣本且此兩樣本相互38證明:由兩樣本獨(dú)立可知，與相互獨(dú)立且由F分布定義可知F~F（m-1，n-1）?證明:由兩樣本獨(dú)立可知，與相互獨(dú)立且由F分布定義可知F~39推論5.4.3在推論5.4.2的記號(hào)下，設(shè),并記則?推論5.4.3在推論5.4.2的記號(hào)下，設(shè),并記則?40證明由與獨(dú)立由定理5.4.1知，獨(dú)立，相互獨(dú)立，根據(jù)t分布的定義即可得到（5.4.8）.?證明由與獨(dú)立由定理5.4.1知，獨(dú)立，相互獨(dú)立，根據(jù)t分41思考題及作業(yè)題:三大抽樣分布之間的內(nèi)在關(guān)系是什么？作業(yè)題：P277

必做：1，2，5，11，13選做：8，12?思考題及作業(yè)題:?42生活中的辛苦阻撓不了我對(duì)生活的熱愛(ài)。12月-2212月-22Tuesday,December27,2022人生得意須盡歡，莫使金樽空對(duì)月。12:20:5612:20:5612:2012/27/202212:20:56PM做一枚螺絲釘，那里需要那里上。12月-2212:20:5612:20Dec-2227-Dec-22日復(fù)一日的努力只為成就美好的明天。12:20:5612:20:5612:20Tuesday,December27,2022安全放在第一位，防微杜漸。12月-2212月-2212:20:5612:20:56December27,2022加強(qiáng)自身建設(shè)，增強(qiáng)個(gè)人的休養(yǎng)。2022年12月27日12:20下午12月-2212月-22精益求精，追求卓越，因?yàn)橄嘈哦鴤ゴ蟆?7十二月202212:20:56下午12:20:5612月-22讓自己更加強(qiáng)大，更加專業(yè)，這才能讓自己更好。十二月2212:20下午12月-2212:20December27,2022這些年的努力就為了得到相應(yīng)的回報(bào)。2022/12/2712:20:5612:20:5627December2022科學(xué)，你是國(guó)力的靈魂；同時(shí)又是社會(huì)發(fā)展的標(biāo)志。12:20:56下午12:20下午12:20:5612月-22每天都是美好的一天，新的一天開(kāi)啟。12月-2212月-2212:2012:20:5612:20:56Dec-22相信命運(yùn)，讓自己成長(zhǎng)，慢慢的長(zhǎng)大。2022/12/2712:20:56Tuesday,December27,2022愛(ài)情，親情，友情，讓人無(wú)法割舍。12月-222022/12/2712:20:5612月-22謝謝大家！生活中的辛苦阻撓不了我對(duì)生活的熱愛(ài)。12月-2212月-2243§5.4三大抽樣分布?§5.4三大抽樣分布?44本次課教學(xué)目的：

掌握三大抽樣分布的構(gòu)造性定義并熟悉一些重要結(jié)論重點(diǎn)難點(diǎn):

三大抽樣分布的構(gòu)造及其抽樣分布一些重要結(jié)論教學(xué)基本內(nèi)容及其時(shí)間分配三大抽樣分布的構(gòu)造性定義——————30分鐘定理及其三個(gè)推論以及證明——————70分鐘根據(jù)本節(jié)課的特點(diǎn)所采取的教學(xué)方法和手段:啟發(fā)式講授，圖文結(jié)合加深對(duì)三大分布的印象?本次課教學(xué)目的：?45引言有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為基石而構(gòu)造的三個(gè)著名統(tǒng)計(jì)量在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用，這是因?yàn)檫@三個(gè)統(tǒng)計(jì)量不僅有明確背景，而且其抽樣分布的密度函數(shù)有明顯表達(dá)式，他們被稱為統(tǒng)計(jì)中的“三大抽樣分布”.若設(shè)是來(lái)自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的兩個(gè)相互獨(dú)立的樣本，則此三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的構(gòu)造及其抽樣分布如表5.4.1所示.?引言有許多統(tǒng)計(jì)推斷是基于正態(tài)分布的假設(shè)的，以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量為46??475.4.1分布(卡方分布)問(wèn)題：如何確定的分布？?5.4.1分布(卡方分布)問(wèn)題：如何確定48圖像：密度函數(shù)的圖像是一個(gè)只取非負(fù)值的偏態(tài)分布

數(shù)字特征：?圖像：數(shù)字特征：?49??50??51??52當(dāng)隨機(jī)變量～時(shí)，對(duì)給定的，稱滿足的是自由度為n的卡方分布的分位數(shù).

?當(dāng)隨機(jī)變量～時(shí)，對(duì)給定的，稱滿足的是自由度為n的卡方分布的分53??545.4.2F分布其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度.定義5.4.2

設(shè)獨(dú)立，則稱的分布是自由度為m與n的F分布,記為問(wèn)題：如何確定的分布？首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

?5.4.2F分布其中m稱為分子自由度，n稱為分母自由度55首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

?首先，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)?56Z的密度函數(shù)為

?Z的密度函數(shù)為?57第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)

這就是自由度為m與n的F分布的密度函數(shù)。）

?第二步，我們導(dǎo)出的密度函數(shù)這就是自由度為m與n的F分布的58??59??60??61??62有F分布的構(gòu)造知，若F~F(m,n),則有1/F~F(n,m),故對(duì)給定，

?有F分布的構(gòu)造知，若F~F(m,n),則有1/F~F(n,63例5.4.1若取m=10,n=5,

=0.05,那么從附表5上查得?例5.4.1若取m=10,n=5,=0.05,那么從附表645.4.3t分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立且則稱的分布為自由度為n的t分布，記為

問(wèn)題：如何確定的分布？由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)的對(duì)稱性知，從而t與-t有相同分布。

?5.4.3t分布定義5.4.3設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立且則稱的65所以在上式兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：這就是自由度為ｎ的ｔ分布的密度函數(shù)。

?所以在上式兩邊同時(shí)關(guān)于y求導(dǎo)得t分布的密度函數(shù)為：這就是自由66ｔ分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布

與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)形狀類似，只是峰比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布低一些，尾部的概率比標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的大一些。?ｔ分布的密度函數(shù)的圖象是一個(gè)關(guān)于縱軸對(duì)稱的分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分67??68??69●自由度為1的ｔ分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；●ｎ>1時(shí),ｔ分布的數(shù)學(xué)期望存在且為0?！瘢?lt;1時(shí),ｔ分布的方差存在，且為ｎ/(ｎ-2)；●當(dāng)自由度較大時(shí)，ｔ分布可以用Ｎ(0,1)分布近似(見(jiàn)下頁(yè)圖)?●自由度為1的ｔ分布就是標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，它的均值不存在；?70??71N(0，1)和t(4)的尾部概率比較c=2c=2.5c=3c=3.5X~N(0,1)0.04550.01240.00270.000465X~t(4)0.11610.06680.03990.0249?N(0，1)和t(4)的尾部概率比較c=2c=2.5c=3c72當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)稱滿足的是自由度為ｎ的ｔ分布的1-ａ分位數(shù)。由于ｔ分布的密度函數(shù)關(guān)于0對(duì)稱，故其分位數(shù)間有如下關(guān)系譬如。那么從附表4上查到可以從附表4中查到。譬如ｎ=10,ａ=0.05,分位數(shù)?當(dāng)隨機(jī)變量時(shí)稱滿足的是自由度為ｎ的ｔ分布的1-ａ分位數(shù)。由73??74??755.4.4一些重要結(jié)論的樣本，其樣本定理5.4.1設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體均值和樣本方差分別為和則有（1）與（2）（3）相互獨(dú)立；?5.4.4一些重要結(jié)論的樣本，其樣本定理5.4.1設(shè)是來(lái)76證明記，則有取一個(gè)n維正交矩陣A，其第一行的每一個(gè)元素均為,如?證明記，則有取一個(gè)n維正交矩陣A，其第一行的每一個(gè)元素均為77令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布，其均值和方差分別為由此，且都服從正態(tài)的各個(gè)分量相互獨(dú)立，分布，其方差均為,而均值不完全相同，?令Y=AX，則由多維正態(tài)分布的性質(zhì)知Y仍服從n維正態(tài)分布，由78這證明了結(jié)論（1）

這證明了結(jié)論（2）

這證明了結(jié)論（3）

?這證明了結(jié)論（1）這證明了結(jié)論（2）這證明了結(jié)論（3）79推論5.4.1在定理5.4.1的記號(hào)下，有將5.4.4左端改寫(xiě)為由于分子是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，分母的根號(hào)里是自由度為n-1的t變量除以它的自由度，且分子與分母相互獨(dú)立，由t分布定義可知，t~t（n-1），推論證完。證明由定理5.4.1（2）可以推出?推論5.4.1在定理5.4.1的記號(hào)下，有將5.4.480

推論5.4.2設(shè)是來(lái)自的樣本，是來(lái)自的樣本且此兩樣本相互獨(dú)立，記其中則有特別，若，則

?推論5.4.2設(shè)是來(lái)自的樣本，是來(lái)自的樣本且此兩樣本相互81證明:由兩樣本獨(dú)立可知，與相互獨(dú)立且由F分布定義可知F~F（m-1，n-1）?證明:由兩樣本獨(dú)立可知，與相互獨(dú)立且由F分布定義可知F~82推論5.4.3在推論5.4.2的記號(hào)下，設(shè),并記則?推論5.4.3在推論5.4.2的記號(hào)下，設(shè),并記則?83證明由與獨(dú)立由定理5.4.1知，獨(dú)立，相互獨(dú)立，根據(jù)t分布的定義即可得到（5.4.8）.?證明由與獨(dú)立由定理5.4.1知，獨(dú)立，相互獨(dú)立，根據(jù)t分84思考題及作業(yè)題:三大抽樣分布之間的內(nèi)在關(guān)系是什么？作業(yè)題：P277

必做：1，2，5，11，13選做：8，12?思考題及作業(yè)題:?85生活中的辛苦阻撓不了我對(duì)生活的熱愛(ài)。12月-2212月-22Tuesday,December27,2022人生得意須盡歡，莫使金樽空對(duì)月。