4.2用配方法解一元二次方程（2）

2022/12/2714.2用配方法解一元二次方程（2）2022/12/2011.會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程;.（重點）2.能夠熟練地、靈活地應用配方法解一元二次方程.（難點）學習目標2022/12/2721.會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程;.（重點）學復習引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方導入新課2022/12/273復習引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=問題1：觀察下面兩個是一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：①x2+6x+8=0;②3x2+8x－3=0.問題2：用配方法來解x2+6x+8=0.

解：移項，得x2+6x=-8

,配方，得（x+3）2=1.開平方,得x+3=±1.解得

x1=-2,x2=-4.想一想怎么來解3x2+8x－3=0.講授新課用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程知識點1問題1：觀察下面兩個是一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：問題2：用配試一試：解方程：3x2+8x-3=0.

解：兩邊同除以3,得

x2+

x-

1=0.配方,得x2+x+()2-()2-1=0,（x+）2-

=0.移項,得

x+=±

,即

x+=

或

x+=.所以

x1=,x2=

-3.2022/12/275試一試：解方程：3x2+8x-3=0.2022/配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,即移項和二次項系數(shù)化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?例1

解下列方程：2022/12/276配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得解：移項，得2x2－3x配方，得

因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，上式都不成立，所以原方程無實數(shù)根．解：移項，得二次項系數(shù)化為1，得為什么方程兩邊都加12？即2022/12/277配方，得因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.①移項，二次項系數(shù)化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.2022/12/278思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要思考2：用配方法解一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成

(x+n)2=p.①當p>0時,則,方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數(shù)根.規(guī)律總結(jié)2022/12/279一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成①當p>0時,引例：一個小球從地面上以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-

5t2.小球何時能達到10m高？解：將h=10代入方程式中.15t-

5t2=10.

兩邊同時除以-5,得t2-

3t=

-2,配方,得t2-

3t+()2=

()2

-2,

（t

-

）2=配方法的應用知識點22022/12/2710引例：一個小球從地面上以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在移項,得（t

-

）2=即

t-=,或

t-=.所以t1=2,t2=

1.即在1s或2s時，小球可達10m高.移項,得（t-例2.試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.2022/12/2712例2.試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式解：k2－4k＋例3.若a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知所以，△ABC為直角三角形.

例3.若a,b,c為△ABC的三邊長，且1.方程2x2-3m-

x+m2+2=0有一根為x=0，則m的值為（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.應用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.練一練C解：原式=2(x-

1)2+3當x=1時有最小值3解：原式=-3(x-2)2-4當x=2時有最大值-41.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根歸納總結(jié)配方法的應用

類別

解題策略1.求最值或證明代數(shù)式的值為恒正（或負）對于一個關(guān)于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n為常數(shù)，當a＞0時，可知其最小值；當a＜0時，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構(gòu)成非負數(shù)和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負數(shù)的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.2022/12/2715歸納總結(jié)配方法的應用類別例4.讀詩詞解題：（通過列方程，算出周瑜去世時的年齡.）

大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物。

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)。十位恰小個位三，個位平方與壽符。哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？2022/12/2716例4.讀詩詞解題：2022/12/2016解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5

x2=10(x-3)+x∴這個兩位數(shù)為36或25，∴周瑜去世的年齡為36歲.∵周瑜30歲還攻打過東吳，2022/12/2717解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為(x-3)x1=6,x21.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.隨堂練習2022/12/27181.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(2.利用配方法證明：不論x取何值，代數(shù)式－x2－x－1的值總是負數(shù)，并求出它的最大值.解：－x2－x－1=－(x2+x+)+－1所以－x2－x－1的值必定小于零.當

時，－x2－x－1有最大值2022/12/27192.利用配方法證明：不論x取何值，代數(shù)式－x2－x－1的值總3.若，求(xy)z

的值.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知3.若4.如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的兩條互相垂直的道路，剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為850m2，道路的寬應為多少？

解：設(shè)道路的寬為xm,根據(jù)題意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合題意，舍去）,x2=1.答：道路的寬為1m.2022/12/27214.如圖，在一塊長35m、寬26m的矩形地面上，修建同樣寬的5.已知a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知所以，△ABC為等邊三角形.

5.已知a,b,c為△ABC的三邊長，且配方法方法步驟一移常數(shù)項；二配方[配上]；三寫成（x+n)2=p(p≥0);

四直接開平方法解方程.特別提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化為x2+px+q=0的形式.應用求代數(shù)式的最值或證明在方程兩邊都配上課堂小結(jié)2022/12/2723配方法方法步驟一移常數(shù)項；特別提醒：應用求代數(shù)式的最值或證明4.2用配方法解一元二次方程（2）

2022/12/27244.2用配方法解一元二次方程（2）2022/12/2011.會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程;.（重點）2.能夠熟練地、靈活地應用配方法解一元二次方程.（難點）學習目標2022/12/27251.會用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程;.（重點）學復習引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接開平方法來解嗎?1.用直接開平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把兩題轉(zhuǎn)化成(x+n)2=p(p≥0)的形式，再利用開平方導入新課2022/12/2726復習引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=問題1：觀察下面兩個是一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：①x2+6x+8=0;②3x2+8x－3=0.問題2：用配方法來解x2+6x+8=0.

解：移項，得x2+6x=-8

,配方，得（x+3）2=1.開平方,得x+3=±1.解得

x1=-2,x2=-4.想一想怎么來解3x2+8x－3=0.講授新課用配方法解二次項系數(shù)不為1的一元二次方程知識點1問題1：觀察下面兩個是一元二次方程的聯(lián)系和區(qū)別：問題2：用配試一試：解方程：3x2+8x-3=0.

解：兩邊同除以3,得

x2+

x-

1=0.配方,得x2+x+()2-()2-1=0,（x+）2-

=0.移項,得

x+=±

,即

x+=

或

x+=.所以

x1=,x2=

-3.2022/12/2728試一試：解方程：3x2+8x-3=0.2022/配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得解：移項，得2x2－3x=－1,即移項和二次項系數(shù)化為1這兩個步驟能不能交換一下呢?例1

解下列方程：2022/12/2729配方，得由此可得二次項系數(shù)化為1，得解：移項，得2x2－3x配方，得

因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時，上式都不成立，所以原方程無實數(shù)根．解：移項，得二次項系數(shù)化為1，得為什么方程兩邊都加12？即2022/12/2730配方，得因為實數(shù)的平方不會是負數(shù)，所以x取任何實數(shù)時思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要

注意些什么？思考2：用配方法解一元二次方程的一般步驟.移項時需注意改變符號.①移項，二次項系數(shù)化為1；②左邊配成完全平方式；③左邊寫成完全平方形式；④降次；⑤解一次方程.2022/12/2731思考1：用配方法解一元二次方程時，移項時要思考2：用配方法解一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成

(x+n)2=p.①當p>0時,則,方程的兩個根為②當p=0時,則(x+n)2=0,x+n=0,開平方得方程的兩個根為

x1=x2=-n.③當p<0時,則方程(x+n)2=p無實數(shù)根.規(guī)律總結(jié)2022/12/2732一般地，如果一個一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化成①當p>0時,引例：一個小球從地面上以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h(m)與時間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-

5t2.小球何時能達到10m高？解：將h=10代入方程式中.15t-

5t2=10.

兩邊同時除以-5,得t2-

3t=

-2,配方,得t2-

3t+()2=

()2

-2,

（t

-

）2=配方法的應用知識點22022/12/2733引例：一個小球從地面上以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在移項,得（t

-

）2=即

t-=,或

t-=.所以t1=2,t2=

1.即在1s或2s時，小球可達10m高.移項,得（t-例2.試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式

k2－4k＋5的值必定大于零.解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1=（k－2）2＋1因為（k－2）2≥0，所以（k－2）2＋1≥1.所以k2－4k＋5的值必定大于零.2022/12/2735例2.試用配方法說明：不論k取何實數(shù)，多項式解：k2－4k＋例3.若a,b,c為△ABC的三邊長，且

試判斷△ABC的形狀.解：對原式配方，得由代數(shù)式的性質(zhì)可知所以，△ABC為直角三角形.

例3.若a,b,c為△ABC的三邊長，且1.方程2x2-3m-

x+m2+2=0有一根為x=0，則m的值為（）A.1B.1C.1或2D.1或-22.應用配方法求最值.(1)2x2

-4x+5的最小值；(2)-3x2

+5x+1的最大值.練一練C解：原式=2(x-

1)2+3當x=1時有最小值3解：原式=-3(x-2)2-4當x=2時有最大值-41.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根歸納總結(jié)配方法的應用

類別

解題策略1.求最值或證明代數(shù)式的值為恒正（或負）對于一個關(guān)于x的二次多項式通過配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n為常數(shù)，當a＞0時，可知其最小值；當a＜0時，可知其最大值.2.完全平方式中的配方如：已知x2－2mx＋16是一個完全平方式，所以一次項系數(shù)一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.3.利用配方構(gòu)成非負數(shù)和的形式對于含有多個未知數(shù)的二次式的等式，求未知數(shù)的值，解題突破口往往是配方成多個完全平方式得其和為0，再根據(jù)非負數(shù)的和為0，各項均為0，從而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0,則a2＋(b－2)2=0,即a=0，b=2.2022/12/2738歸納總結(jié)配方法的應用類別例4.讀詩詞解題：（通過列方程，算出周瑜去世時的年齡.）

大江東去浪淘盡，千古風流數(shù)人物。

而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)。十位恰小個位三，個位平方與壽符。哪位學子算得快，多少年華屬周瑜？2022/12/2739例4.讀詩詞解題：2022/12/2016解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5

x2=10(x-3)+x∴這個兩位數(shù)為36或25，∴周瑜去世的年齡為36歲.∵周瑜30歲還攻打過東吳，2022/12/2740解：設(shè)個位數(shù)字為x，十位數(shù)字為(x-3)x1=6,x21.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程無解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.隨堂