古希臘三大數(shù)學(xué)難題

組員：聶格、陳一丁、尚瑩劉曉梅、姚踐紅、劉瑩問題提出者：雅典巧辯學(xué)派的數(shù)學(xué)研究倍立方求作一個立方體，使其體積是已知立方體體積的兩倍三等分角把任意角分成三等份化圓為方求作一個正方形與給定的圓面積相等倍立方倍立方問題起源于兩個神話.厄拉多賽是古希臘著名的科學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家和詩人.在他的《柏拉圖》一書里，記述了一個神話故事.說是鼠疫襲擊了愛琴海南部的一個小島，叫提洛島.一個預(yù)言者說，他得到了神的諭示：須將立方體的阿波羅祭壇體積加倍，瘟疫方能停息.建筑師很為難，不知道怎樣才能使體積加倍.于是去請教哲學(xué)家柏拉圖.柏拉圖說，神的真正意圖不在于神壇的加倍，而是想使希臘人因忽視幾何學(xué)而羞愧.三等分角三等分任意角的問題來自正多邊形作圖.用直尺和圓規(guī)二等分一個角是輕而易舉的.很自然地，人們會提出三等分一個角的問題.但這卻是一個不可能用尺規(guī)解決的問題.化圓為方公元前5世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家安娜塞格拉斯因為發(fā)現(xiàn)太陽是個大火球，而不是阿波羅神，犯有“褻瀆罪”而被判了死刑關(guān)進(jìn)了監(jiān)獄，在等待執(zhí)行的過程中，他發(fā)現(xiàn)牢房的鐵窗是正方形的，而窗外的月亮是圓形的，他不斷變化觀察的位置發(fā)現(xiàn)一會兒圓比正方形大，一會兒圓比正方形小，他就在想，會不會有一時刻，圓的面積與正方形的面積相等呢？這就是著名的“化圓為方”問題的起源.....尺規(guī)作圖的由來尺規(guī)作圖：在幾何里，把只用直尺和圓規(guī)畫圖的方法稱為尺規(guī)作圖.原因之1、古希臘人研究的基本圖形是直線和圓，直尺和圓規(guī)滿足作圖需要，同時古希臘幾何的基本精神是從極少的假定推導(dǎo)盡可能多的命題，因此對作圖工具也限制到不能再少。原因之2、歐幾里得（作圖）公設(shè)公設(shè)1、由任意一點(diǎn)到另外任意一點(diǎn)可以畫直線。公設(shè)2、直線可以任意延長。公設(shè)3、以任意點(diǎn)為圓心及任意的距離可以畫圓。從公設(shè)中看出作圖工具只限于尺規(guī)。已知：∠AOBOAB求作：射線OC，使∠AOC=∠BOC作法：1、在OA和OB上，分別截取OD、OE，使OD=OEDEC2、分別以D、E為圓心，以大于的長為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)C3、作射線OCOC就是所求作的角平分線（5）已知線段a,b，可做a+b,a-b,ab,a/b.接著ra也可做，這里r是正有理數(shù).這樣做：設(shè)r=p/q,p,q都是自然數(shù)，因此ra=pa/q.先做a的p倍，再做pa/q，這樣ra就做出來了.如下圖：結(jié)論：已知線段的加減乘除能用尺規(guī)作圖來實現(xiàn)從給定的數(shù)1，a，b，c....出發(fā)以加減乘除和開平方，開4次方，開8次方....得到的所有量構(gòu)成了有理數(shù)域Q或Q的某擴(kuò)域，這個擴(kuò)域由Q經(jīng)有限次添加開平方數(shù)得到。用代數(shù)數(shù)語言表述：尺規(guī)可作的數(shù)僅限于一次代數(shù)數(shù)、2次代數(shù)數(shù)、4次代數(shù)數(shù).....次代數(shù)數(shù)。以上是尺規(guī)作圖能解決的，下面研究能做的是否僅限于此尺規(guī)作圖局限性代數(shù)角度：尺規(guī)作圖是由已知點(diǎn)出發(fā)求新的點(diǎn)，根據(jù)作圖公設(shè)3，新的點(diǎn)只可能由直線和直線、直線和圓、圓和圓的交點(diǎn)得到，三種情況分別對應(yīng)三組方程組：顯然，上述三個方程組的解可以由系數(shù)經(jīng)過有限次的加減乘除和開平方求得，因此，得到的坐標(biāo)（數(shù)）一定不超過有有理數(shù)Q或Q的n階二次擴(kuò)域。綜合以上討論可知如果某數(shù)（線段）可由已知的數(shù)（線段）經(jīng)有限次的加減乘除及開平方后得出，則可用尺規(guī)做出來，否則，無法做出。用“域”的概念表述