1高等數(shù)學(xué)和概率統(tǒng)計的機(jī)試平臺已經(jīng)安裝完畢，IP地址45/jpkc/，只能在校內(nèi)網(wǎng)登陸。登錄用戶名：姓名的漢語拼音全拼，初始密碼相同。請登陸后在個人中心選擇課程后添加任課班級，就可以象上學(xué)期那樣操作了。高等數(shù)學(xué)課程擬在近兩天統(tǒng)一發(fā)布一次模擬考試，學(xué)生可以在校園網(wǎng)上進(jìn)行訓(xùn)練。具體時間和方式屆時會通知大家。擬在11月上中旬進(jìn)行第一次機(jī)試。北校區(qū)大多數(shù)班級擬在北校區(qū)工訓(xùn)中心機(jī)房進(jìn)行機(jī)試，正在接洽中。2高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第十四講微分及其運(yùn)算3第四節(jié)微分及其運(yùn)算第四章函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分一.微分的定義三.二階微分微分的運(yùn)算法則四.微分在近似計算中的應(yīng)用五.微分在誤差估計中的應(yīng)用4若y=f(x)在點(diǎn)x0處有(有限)導(dǎo)數(shù),則現(xiàn)在反過來想一想：若在x0點(diǎn)處y=f(x)的增量y可以表示為一個線性函數(shù)與一個高級無窮小量之和的形式回憶復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則中的一個定理那么,我們自然要問A=?56就是說,在點(diǎn)x0處若可用關(guān)于自變量的增量x的線性函數(shù)逼近函數(shù)的增量y時,其關(guān)系式一定是y=f(x0)x+o(x)我們稱f(x0)x(或Ax)為函數(shù)在點(diǎn)x0處增量的線性主部,通常將它記為dy=f(x0)x(dy=Ax).微分7一.函數(shù)的微分將以上的討論歸納一下,

可得出什么結(jié)論?81.微分的概念y=Ax+o(x)此時,稱f(x)在點(diǎn)x0處可微。設(shè)y=f(x)在U(x0)有定義,給x0以增量x,且x0+xU(x0)。如果函數(shù)相應(yīng)的增量可表示為則稱y的線性主部為f(x)在點(diǎn)x0處的微分,記為dy=Ax,其中,A叫微分系數(shù)。92.可微與可導(dǎo)的關(guān)系定理10y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x也就是說,f(x)在點(diǎn)x0處的可微性與可導(dǎo)性是等價的,且f(x)在點(diǎn)x0處可微,則11解什么意思？例1自變量的增量就是自變量的微分：函數(shù)的微分可以寫成:該例說明:此外,當(dāng)x為自變量時,還可記12即函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商,故導(dǎo)數(shù)也可稱為微商.哈哈！除法,這一下復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求導(dǎo)公式就好理解了.133.微分的幾何意義yDyd14幾何上,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處的微分表示為:相應(yīng)于自變量x的改變量x,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x,y)的切線上縱坐標(biāo)的改變量.15微分的運(yùn)算法則1.微分的基本公式可微

可導(dǎo)微分的基本公式與導(dǎo)數(shù)的基本公式相似微分公式一目了然,不必講了.161718一階微分形式不變性

(復(fù)合函數(shù)微分法則)在點(diǎn)x0處可微.19按微分的定義但故說明什么問題？20我們發(fā)現(xiàn)y=f(u),當(dāng)u為中間變量時的微分形式與u為自變量時的微分的形式相同,均為dy=f(u)du,這種性質(zhì)稱為函數(shù)的一階微分形式不變性.21解故例222由一階微分形式不變性,再來看復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求導(dǎo)公式就會有另一種感覺：例323解例424三.二階微分其二階微分為設(shè)函數(shù)y=f(x)二階可導(dǎo),當(dāng)x為自變量時,由此看出,當(dāng)x為自變量時,除法25類似可定義n

階微分:注意這里x是自變量

26具有這種不變性？看一下二階微分的情形：27性,且可構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=f(

(x)),則設(shè)函數(shù)y=f(u),u=

(x)都具有相應(yīng)的可微就是說,二階微分不具備微分形式不變性.高階微分不具備微分形式不變性.28三.微分在近似計算中的應(yīng)用函數(shù)增量的近似值：函數(shù)值的近似值：2930將半徑為R的球加熱.如果球的半徑估計球的體積的增量.伸長解則由所以,球的體積增量大約為例531得解例632四.微分在誤差估計中的應(yīng)用設(shè)某個量的精確值為A,它的近似值為a,為a的相對誤差.

A

為測量A的絕對誤差限,簡稱A的絕對誤差.為測量A的相對誤差限,簡稱A的相對誤差.則稱:|Aa|為a的絕對誤差;則稱:33設(shè)測得圓鋼截面的直徑

D=60.03mm,測量D的絕對誤差限D(zhuǎn)＝0.05

mm,試估計計算圓鋼的截面積時的面積誤差解設(shè)測量值為D,精確值為則由于D的絕對誤差限D(zhuǎn)＝0.05

mm,所以例734而因此,A的絕對誤差限約為A的相對誤差限約為35