§2－4結(jié)點(diǎn)分析法及割集分析法

與用獨(dú)立電流變量來建立電路方程相類似，也可用獨(dú)立電壓變量來建立電路方程。在全部支路電壓中，只有一部分電壓是獨(dú)立電壓變量，另一部分電壓則可由這些獨(dú)立電壓根據(jù)KVL方程來確定。若用獨(dú)立電壓變量來建立電路方程，也可使電路方程數(shù)目減少。對(duì)于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通電路來說，它的(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)第n個(gè)結(jié)點(diǎn)的電壓，就是一組獨(dú)立電壓變量。用這些結(jié)點(diǎn)電壓作變量建立的電路方程，稱為結(jié)點(diǎn)方程。這樣，只需求解(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)方程，就可得到全部結(jié)點(diǎn)電壓，然后根據(jù)KVL方程可求出各支路電壓，根據(jù)VCR方程可求得各支路電流。§2－4結(jié)點(diǎn)分析法及割集分析法與用獨(dú)立電流變量來建立電1

一、結(jié)點(diǎn)電壓

在具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通電路(模型)中，可以選其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基準(zhǔn)，其余(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)相對(duì)基準(zhǔn)結(jié)點(diǎn)的電壓，稱為結(jié)點(diǎn)電壓。將基準(zhǔn)結(jié)點(diǎn)作為電位參考點(diǎn)或零電位點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)電壓就等于各結(jié)點(diǎn)電位。這些結(jié)點(diǎn)電壓不能構(gòu)成一個(gè)閉合路徑，不能組成KVL方程，不受KVL約束，是一組獨(dú)立的電壓變量。由于任一支路電壓是其兩端結(jié)點(diǎn)電位之差或結(jié)點(diǎn)電壓之差，由此可求得全部支路電壓。一、結(jié)點(diǎn)電壓2例如圖示電路各支路電壓可表示為:例如圖示電路各支路電壓可表示為:3

二、結(jié)點(diǎn)方程

下面以圖示電路為例說明如何建立結(jié)點(diǎn)方程。對(duì)電路的三個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列出KCL方程：列出用結(jié)點(diǎn)電壓表示的電阻VCR方程：代人KCL方程中，經(jīng)過整理后得到：二、結(jié)點(diǎn)方程

對(duì)電路的三個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列出KCL方程：列出用4寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結(jié)點(diǎn)自電導(dǎo)，它們分別是各結(jié)點(diǎn)全部電導(dǎo)的總和。此例中G11=G1+G4+G5,G22=G2

+G5+G6,G33=G3+G4+G6。Gij(ij)稱為結(jié)點(diǎn)i和j的互電導(dǎo),是結(jié)點(diǎn)i和j間電導(dǎo)總和的負(fù)值，此例中G12=G21=-G5,G13=G31=-G4

,G23=G32=-G6。

iS11、iS22、iS33是流人該結(jié)點(diǎn)全部電流源電流的代數(shù)和。此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。從上可見，由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成電路的結(jié)點(diǎn)方程，其系數(shù)很有規(guī)律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結(jié)點(diǎn)方程。寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結(jié)點(diǎn)自電導(dǎo)，它們5從上可見，由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成電路的結(jié)點(diǎn)方程，其系數(shù)很有規(guī)律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結(jié)點(diǎn)方程。由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成的具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通電路，其結(jié)點(diǎn)方程的一般形式為：從上可見，由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成電路的結(jié)點(diǎn)方程，其系數(shù)很6三、結(jié)點(diǎn)分析法計(jì)算舉例結(jié)點(diǎn)分析法的計(jì)算步驟如下：1．指定連通電路中任一結(jié)點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)，用接地符號(hào)表示。標(biāo)出各結(jié)點(diǎn)電壓，其參考方向總是獨(dú)立結(jié)點(diǎn)為”+”，參考結(jié)點(diǎn)為”-”。2．用觀察法列出(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)方程。3．求解結(jié)點(diǎn)方程，得到各結(jié)點(diǎn)電壓。4．選定支路電流和支路電壓的參考方向，計(jì)算各支路電流和支路電壓。三、結(jié)點(diǎn)分析法計(jì)算舉例7例2－17用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接地符號(hào)標(biāo)出參考結(jié)點(diǎn)，標(biāo)出兩個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓u1和u2的參考方向，如圖所示。用觀察法列出結(jié)點(diǎn)方程：整理得到：解得各結(jié)點(diǎn)電壓為：選定各電阻支路電流參考方向如圖所示，可求得例2－17用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接8

例2－18用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結(jié)點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)電壓如圖所示。用觀察法列出三個(gè)結(jié)點(diǎn)方程：整理得到:解得結(jié)點(diǎn)電壓求得另外三個(gè)支路電壓為：例2－18用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結(jié)9四、含獨(dú)立電壓源電路的結(jié)點(diǎn)方程

當(dāng)電路中存在獨(dú)立電壓源時(shí)，不能用式(2－30)建立含有電壓源結(jié)點(diǎn)的方程，其原因是沒有考慮電壓源的電流。若有電阻與電壓源串聯(lián)單口，可以先等效變換為電流源與電阻并聯(lián)單口后，再用式(2－30)建立結(jié)點(diǎn)方程。若沒有電阻與電壓源串聯(lián)，則應(yīng)增加電壓源的電流變量來建立結(jié)點(diǎn)方程。此時(shí)，由于增加了電流變量，需補(bǔ)充電壓源電壓與結(jié)點(diǎn)電壓關(guān)系的方程。綜上所述，對(duì)于由獨(dú)立電壓源，獨(dú)立電流源和電阻構(gòu)成的電路來說，其結(jié)點(diǎn)方程的一般形式應(yīng)改為以下形式四、含獨(dú)立電壓源電路的結(jié)點(diǎn)方程

10綜上所述，由獨(dú)立電壓源，獨(dú)立電流源和電阻構(gòu)成的電路，其結(jié)點(diǎn)方程的一般形式應(yīng)改為以下形式其中iuskk是與第k個(gè)結(jié)點(diǎn)相連的全部電壓源電流的代數(shù)和，其電流參考方向流出該結(jié)點(diǎn)的取正號(hào)，相反的取負(fù)號(hào)。由于變量的增加，需要補(bǔ)充這些電壓源與相關(guān)結(jié)點(diǎn)電壓關(guān)系的方程，其一般形式如下:其中，vi

是連接到電壓源參考極性”+”端的結(jié)點(diǎn)電壓，vj是連接到電壓源參考極性”-”端的結(jié)點(diǎn)電壓。綜上所述，由獨(dú)立電壓源，獨(dú)立電流源和電阻構(gòu)成的電路，其結(jié)點(diǎn)方11例2－19用結(jié)點(diǎn)分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,i2。解：先將電壓源與電阻串聯(lián)等效變換為電流源與電阻并聯(lián)，如圖(b)所示。對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓u來說

，圖(b)與圖(a)等效。只需列出一個(gè)結(jié)點(diǎn)方程。解得按照?qǐng)D(a)電路可求得電流i1和i2

例2－19用結(jié)點(diǎn)分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,12例2－20用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路的結(jié)點(diǎn)電壓。解：選定6V電壓源電流i的參考方向。計(jì)入電流變量i列出兩個(gè)結(jié)點(diǎn)方程：解得補(bǔ)充方程這種增加電壓源電流變量建立的一組電路方程，稱為改進(jìn)的結(jié)點(diǎn)方程(modifiednodeequation)，它擴(kuò)大了結(jié)點(diǎn)方程適用的范圍，為很多計(jì)算機(jī)電路分析程序采用。例2－20用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路的結(jié)點(diǎn)電壓。解：選定6V13例2－21用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路的結(jié)點(diǎn)電壓。解：由于14V電壓源連接到結(jié)點(diǎn)①和參考結(jié)點(diǎn)之間，結(jié)點(diǎn)①的結(jié)點(diǎn)電壓u1=14V成為已知量，可以不列出結(jié)點(diǎn)①的結(jié)點(diǎn)方程。考慮到8V電壓源電流i列出的兩個(gè)結(jié)點(diǎn)方程為：補(bǔ)充方程代人u1=14V，整理得到：解得：例2－21用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路的結(jié)點(diǎn)電壓。解：由于14V14五、割集分析法與結(jié)點(diǎn)分析法用n-1個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓作為變量來建立電路方程類似，也可以用n-1個(gè)獨(dú)立支路電壓作為變量來建立電路方程。由于選擇支路電壓有較大的靈活性，當(dāng)電路存在m個(gè)獨(dú)立電壓源時(shí)，其電壓是已知量，若能選擇這些支路電壓作為變量，就可以少列m個(gè)電路方程。五、割集分析法15求解方程得到

u2=12V現(xiàn)在用圖示電路為例加以說明。為了求得電壓u2，我們可以選擇支路電壓u2和兩個(gè)電壓源電壓作為變量，列出與圖示封閉面相交的幾條支路電流的KCL方程求解方程得到u2=12V現(xiàn)在用圖示電路為例加以說明162002年春節(jié)攝于成都人民公園2002年春節(jié)攝于成都人民公園17§2－4結(jié)點(diǎn)分析法及割集分析法

與用獨(dú)立電流變量來建立電路方程相類似，也可用獨(dú)立電壓變量來建立電路方程。在全部支路電壓中，只有一部分電壓是獨(dú)立電壓變量，另一部分電壓則可由這些獨(dú)立電壓根據(jù)KVL方程來確定。若用獨(dú)立電壓變量來建立電路方程，也可使電路方程數(shù)目減少。對(duì)于具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通電路來說，它的(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)第n個(gè)結(jié)點(diǎn)的電壓，就是一組獨(dú)立電壓變量。用這些結(jié)點(diǎn)電壓作變量建立的電路方程，稱為結(jié)點(diǎn)方程。這樣，只需求解(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)方程，就可得到全部結(jié)點(diǎn)電壓，然后根據(jù)KVL方程可求出各支路電壓，根據(jù)VCR方程可求得各支路電流?！?－4結(jié)點(diǎn)分析法及割集分析法與用獨(dú)立電流變量來建立電18

一、結(jié)點(diǎn)電壓

在具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通電路(模型)中，可以選其中一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基準(zhǔn)，其余(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)相對(duì)基準(zhǔn)結(jié)點(diǎn)的電壓，稱為結(jié)點(diǎn)電壓。將基準(zhǔn)結(jié)點(diǎn)作為電位參考點(diǎn)或零電位點(diǎn)，各結(jié)點(diǎn)電壓就等于各結(jié)點(diǎn)電位。這些結(jié)點(diǎn)電壓不能構(gòu)成一個(gè)閉合路徑，不能組成KVL方程，不受KVL約束，是一組獨(dú)立的電壓變量。由于任一支路電壓是其兩端結(jié)點(diǎn)電位之差或結(jié)點(diǎn)電壓之差，由此可求得全部支路電壓。一、結(jié)點(diǎn)電壓19例如圖示電路各支路電壓可表示為:例如圖示電路各支路電壓可表示為:20

二、結(jié)點(diǎn)方程

下面以圖示電路為例說明如何建立結(jié)點(diǎn)方程。對(duì)電路的三個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列出KCL方程：列出用結(jié)點(diǎn)電壓表示的電阻VCR方程：代人KCL方程中，經(jīng)過整理后得到：二、結(jié)點(diǎn)方程

對(duì)電路的三個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)列出KCL方程：列出用21寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結(jié)點(diǎn)自電導(dǎo)，它們分別是各結(jié)點(diǎn)全部電導(dǎo)的總和。此例中G11=G1+G4+G5,G22=G2

+G5+G6,G33=G3+G4+G6。Gij(ij)稱為結(jié)點(diǎn)i和j的互電導(dǎo),是結(jié)點(diǎn)i和j間電導(dǎo)總和的負(fù)值，此例中G12=G21=-G5,G13=G31=-G4

,G23=G32=-G6。

iS11、iS22、iS33是流人該結(jié)點(diǎn)全部電流源電流的代數(shù)和。此例中iS11=iS1,iS22=0,iS33=-iS3。從上可見，由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成電路的結(jié)點(diǎn)方程，其系數(shù)很有規(guī)律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結(jié)點(diǎn)方程。寫成一般形式其中G11、G22、G33稱為結(jié)點(diǎn)自電導(dǎo)，它們22從上可見，由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成電路的結(jié)點(diǎn)方程，其系數(shù)很有規(guī)律，可以用觀察電路圖的方法直接寫出結(jié)點(diǎn)方程。由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成的具有n個(gè)結(jié)點(diǎn)的連通電路，其結(jié)點(diǎn)方程的一般形式為：從上可見，由獨(dú)立電流源和線性電阻構(gòu)成電路的結(jié)點(diǎn)方程，其系數(shù)很23三、結(jié)點(diǎn)分析法計(jì)算舉例結(jié)點(diǎn)分析法的計(jì)算步驟如下：1．指定連通電路中任一結(jié)點(diǎn)為參考結(jié)點(diǎn)，用接地符號(hào)表示。標(biāo)出各結(jié)點(diǎn)電壓，其參考方向總是獨(dú)立結(jié)點(diǎn)為”+”，參考結(jié)點(diǎn)為”-”。2．用觀察法列出(n-1)個(gè)結(jié)點(diǎn)方程。3．求解結(jié)點(diǎn)方程，得到各結(jié)點(diǎn)電壓。4．選定支路電流和支路電壓的參考方向，計(jì)算各支路電流和支路電壓。三、結(jié)點(diǎn)分析法計(jì)算舉例24例2－17用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接地符號(hào)標(biāo)出參考結(jié)點(diǎn)，標(biāo)出兩個(gè)結(jié)點(diǎn)電壓u1和u2的參考方向，如圖所示。用觀察法列出結(jié)點(diǎn)方程：整理得到：解得各結(jié)點(diǎn)電壓為：選定各電阻支路電流參考方向如圖所示，可求得例2－17用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路中各電阻支路電流。解：用接25

例2－18用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結(jié)點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)電壓如圖所示。用觀察法列出三個(gè)結(jié)點(diǎn)方程：整理得到:解得結(jié)點(diǎn)電壓求得另外三個(gè)支路電壓為：例2－18用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路各支路電壓。解:參考結(jié)26四、含獨(dú)立電壓源電路的結(jié)點(diǎn)方程

當(dāng)電路中存在獨(dú)立電壓源時(shí)，不能用式(2－30)建立含有電壓源結(jié)點(diǎn)的方程，其原因是沒有考慮電壓源的電流。若有電阻與電壓源串聯(lián)單口，可以先等效變換為電流源與電阻并聯(lián)單口后，再用式(2－30)建立結(jié)點(diǎn)方程。若沒有電阻與電壓源串聯(lián)，則應(yīng)增加電壓源的電流變量來建立結(jié)點(diǎn)方程。此時(shí)，由于增加了電流變量，需補(bǔ)充電壓源電壓與結(jié)點(diǎn)電壓關(guān)系的方程。綜上所述，對(duì)于由獨(dú)立電壓源，獨(dú)立電流源和電阻構(gòu)成的電路來說，其結(jié)點(diǎn)方程的一般形式應(yīng)改為以下形式四、含獨(dú)立電壓源電路的結(jié)點(diǎn)方程

27綜上所述，由獨(dú)立電壓源，獨(dú)立電流源和電阻構(gòu)成的電路，其結(jié)點(diǎn)方程的一般形式應(yīng)改為以下形式其中iuskk是與第k個(gè)結(jié)點(diǎn)相連的全部電壓源電流的代數(shù)和，其電流參考方向流出該結(jié)點(diǎn)的取正號(hào)，相反的取負(fù)號(hào)。由于變量的增加，需要補(bǔ)充這些電壓源與相關(guān)結(jié)點(diǎn)電壓關(guān)系的方程，其一般形式如下:其中，vi

是連接到電壓源參考極性”+”端的結(jié)點(diǎn)電壓，vj是連接到電壓源參考極性”-”端的結(jié)點(diǎn)電壓。綜上所述，由獨(dú)立電壓源，獨(dú)立電流源和電阻構(gòu)成的電路，其結(jié)點(diǎn)方28例2－19用結(jié)點(diǎn)分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,i2。解：先將電壓源與電阻串聯(lián)等效變換為電流源與電阻并聯(lián)，如圖(b)所示。對(duì)結(jié)點(diǎn)電壓u來說

，圖(b)與圖(a)等效。只需列出一個(gè)結(jié)點(diǎn)方程。解得按照?qǐng)D(a)電路可求得電流i1和i2

例2－19用結(jié)點(diǎn)分析法求圖(a)電路的電壓u和支路電流i1,29例2－20用結(jié)點(diǎn)分析法求圖示電路的結(jié)點(diǎn)電壓。解：選定6V電壓源電流i的參考方向。計(jì)入電流變量i列出兩個(gè)結(jié)點(diǎn)方程：解得補(bǔ)