實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔第4章 正態(tài)分布1，（1）設(shè)Z~N(0,1)，求P{Z1.24}，Z2.37}，2.37Z1.24}；P{1.24P{（2）設(shè)Z~N(0,1)，且P{Za}0.9147，P{Zb}0.0526，求a,b。解：（1）P{Z1.24}(1.24)0.8925，P{1.24Z2.37}P{Z2.37}P{Z1.24}(2.37)(1.24)0.99110.89250.0986P{2.37Z1.24}(1.24)(2.37)[1(1.24)][1(2.37)]0.0986（2）P{Za}0.9147(1.37)，所以a1.37；P{Zb}0.05261P{Zb}，所以P{Zb}0.9474(1.62)，即b1.62。2，設(shè)X~N(3,16)，求P{4X8}，P{0X5}。解：因?yàn)閄~N(3,16)，所以X3~N(0,1)。4P{4X8}P{43X383}(1.25)(0.25)0.89440.59870.2957444P{0X5}(53)(03)0.6915(10.7734)0.4649。443，（1）設(shè)X~N(25,36)，試確定C，使得P{X25C}0.9544。（2）設(shè)X~N(3,4)，試確定C，使得P{XC}0.95。解：（1）因?yàn)镻{X25C}P{CX25C}(C)(C)2(C)1666所以得到(C)0.9772,即C2.0，C12.0。66（2）因?yàn)閄3~N(0,1)，所以P{XC}1(C3)0.95，即22(C3)0.05,或者(3C)0.95，從而3C1.645，C0.29。222精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔4，已知美國(guó)新生兒的體重（以g計(jì)）X~N(3315,5752)。（1）求P{2587.75X4390.25}；（2）在新生兒中獨(dú)立地選25個(gè)，以Y表示25個(gè)新生兒的體重小于2719的個(gè)數(shù)，求P{Y4}。解：根據(jù)題意可得X3315~N(0,1)。5754390.2533152587.753315)（1）P{2587.75X4390.25}()(575575(1.87)(1.2648)0.9693(10.8962)0.8655（或0.8673）（2）P{X2719}(27193315)1(1.04)0.1492，575根據(jù)題意Y~B(25,0.1492)，所以4C25k0.1492k0.850825k0.6664。P{Y4}k05，設(shè)洗衣機(jī)的壽命（以年計(jì)） X~N(6.4,2.3)，一洗衣機(jī)已使用了 5年，求其壽命至少為 8年的條件概率。解：所要求的概率為186.4)P{X8}(2.31(1.06)10.8554P{X8|X5}5}56.41(0.92)0.1761P{X1)0.8212(2.36，一電路要求裝兩只設(shè)計(jì)值為 12歐的電阻器，而實(shí)際上裝的電阻器的電阻值（以歐計(jì)）服從均值為 11.9歐，標(biāo)準(zhǔn)差為 0.2歐的正態(tài)分布。求（1）兩只電阻器的電阻值都在 11.7歐和12.3歐之間的概率；（2）至少有一只電阻器大于 12.4歐的概率（設(shè)兩電阻器精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔的電阻值相互獨(dú)立）解：設(shè)兩個(gè)電阻器的電阻值分別記為隨機(jī)變量 X,Y,則X~N(11.9,0.04)，Y~N(11.9,0.04)（1）P{11.7X12.3,11.7Y12.3}P{11.7X12.3}P{11.7Y12.3}(12.311.9)2(11.711.9)(2)(1)20.818520.6699；0.20.2（2）至少有一只電阻器大于 12.4歐的概率為21P{X12.4,Y12.4}1P{X12.4}P{Y12.4}1(12.411.9)0.210.993820.0124。7，一工廠生產(chǎn)的某種元件的壽命X（以小時(shí)計(jì)）服從均值160，均方差為的正態(tài)分布，若要求P{120X200}0.80，允許最大為多少？解：根據(jù)題意，X160~N(0,1)。所以有P{120X200}(200160)(120160)2(40)10.80，即，(40)0.9(1.28)，從而401.28,31.25。故允許 最大不超過(guò)31.25。8，將一溫度調(diào)節(jié)器放置在儲(chǔ)存著某種液體的容器內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在dC，液體的溫度X（以C計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且X~N(d,0.52)，（1）若d90，求X小于89的概率；（2）若要求保持液體的溫度至少為 80的概率不低于 0.99，問(wèn)d至精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔少為多少？解：因?yàn)閄~(,0.52)，所以Xd~N(0,1)。Nd0.5(8990)（1）P{X89}(2)1(2)0.0228；0.5（2）若要求P{X80}0.99，那么就有P{X80}1(80d)0.99，0.5即(80d)0.01或者(d80)0.99(2.326)，從而d802.326，0.50.50.5最后得到d81.163，即d至少應(yīng)為81.163。9，設(shè)X,Y相互獨(dú)立，且X服從數(shù)學(xué)期望為150，方差為9的正態(tài)分布，Y服從數(shù)學(xué)期望為100，方差為16的正態(tài)分布。（1）求W1XY，W22XY，W3(XY)/2的分布；（2）求P{XY242.6}，P{(XY)/21255}。解：根據(jù)題意X~N(150,9),Y~N(100,16)。（1）根據(jù)正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布（本書(shū)101頁(yè)定理2）的性質(zhì)，立刻得到W1~N(250,25)，W2~N(200,52)，W3~N(125,25)42）因?yàn)閃1~N(250,25)，W3~N(125,25)，所以4XY250~N(0,1)，XY/2125~N(0,1)。55/2因此P{XY242.6}(242.6250)1(1.48)0.0694，5P{(XY)/21255}1P{5(XY)/21255}1(5)(5)2.52.52(2)0.0456精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔10，（1）某工廠生產(chǎn)螺栓和墊圈。螺栓直徑（以mm計(jì)）X~N(10,0.22)，墊圈直徑（以 mm計(jì)）Y~N(10.5,0.22)，X,Y相互獨(dú)立。隨機(jī)地取一只螺栓，一只墊圈，求螺栓能裝入墊圈的概率。（2）在（1）中若X~N(10,0.22)，Y~N(10.5,2)，問(wèn)控制至多為多少才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。解：（1）根據(jù)題意可得XY~N(0.5,0.08)。螺栓能裝入墊圈的概率為P{XY}P{XY0}0(0.5)(1.77)0.9616。0.08（2）XY~N(0.5,0.042)，所以若要控制P{XY}P{XY0(0.5)(1.282)，0}0.900.042即要求0.51.282，計(jì)算可得0.3348。表明至多為0.33480.042才能使螺栓能裝入墊圈的概率不小于0.90。11,設(shè)某地區(qū)女子的身高（以m計(jì)）W~N(1.63,0.0252)，男子身高（以m計(jì)）M~N(1.73,0.052)。設(shè)各人身高相互獨(dú)立。（1）在這一地區(qū)隨機(jī)選一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率； （2）在這一地區(qū)隨機(jī)選5名女子，求至少有 4名的身高大于1.60的概率；（3）在這一地區(qū)隨機(jī)選 50名女子，求這50名女子的平均身高達(dá)于 1.60的概率。解：（1）因?yàn)镸 W~N(0.1, 0.003125)，所以精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔00.1；P{WM}P{MW0}()(1.79)10.96330.03670.003125（2）隨機(jī)選擇的女子身高達(dá)于 1.60的概率為P{W1.60}11.601.63)(1.2)0.8849，(0.025隨機(jī)選擇的5名女子，身高大于1.60的人數(shù)服從二項(xiàng)分布B(5,0.8849)，所以至少有4名的身高大于1.60的概率為C540.88494(10.8849)C550.884950.8955（3）設(shè)這50名女子的身高分別記為隨機(jī)變量W1,W50，W150Wi。則W150Wi~N(1.63,0.0252)，所以這50名女子的平50i150i150均身高達(dá)于1.60的概率為P{W1.60}1(1.601.63)(8.49)10.025/5012，（1）設(shè)隨機(jī)變量X~N(,2)，已知P{X16}0.20，P{X20}0.90，求和；（2）相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，求P{3X2Y6Z7}。X,Y,Z解：（1）由P{X16}(16)0.20(0.84)，得到160.84；P{X20}(20)0.90(1.282)，得到201.282；聯(lián)立160.84和201.282，計(jì)算得到17.5834,1.8850。（2）由X,Y,Z相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，得到3X 2Y 6Z~N(0,49)。故所以精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔7 0P{3X 2Y6Z7}P{3X2Y6Z7}()1(1)0.1587713，一食品廠用紙質(zhì)容器灌裝飲料，容器的重量為 30g，灌裝時(shí)將容器放在臺(tái)秤上，將飲料注入直到秤上刻度指到 m(g)時(shí)結(jié)束。以Z(g)記容器中飲料的重量。設(shè)臺(tái)秤的誤差為 X~N(0,7.52)，X以g計(jì)。（此處約定臺(tái)秤顯示值大于真值時(shí)誤差為正）1）寫(xiě)出Z,X,m的關(guān)系式；2）求Z的分布；3）確定m使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.95。解：（1）根據(jù)題意Z,X,m有關(guān)系式mZ30X或者Zm30X；（2）因?yàn)閄~N(0,7.52)，所以Z~N(m30,7.52)；（3）要使得P{Z450}0.95，即要P{Z450}450(m30)0.95，17.5所以要求m4800.95(1.645)，即m4801.645，m492.3375。7.57.5所以，要使容器中所裝飲料至少為 450g的概率不小于 0.95，m至少為492.4g。14,在上題中若容器的重量Y(g)也是一個(gè)隨機(jī)變量，Y~N(30,9)，設(shè)X,Y相互獨(dú)立。1）求Z的分布；2）確定m使容器中所裝飲料至少為450g的概率不小于0.90。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔解：（1）此時(shí)ZmYX，根據(jù)Y~N(30,9)，X~N(0,7.52)，可得Z~N(m30,65.25)。（2）P{Z450}1450(m30)m4800.90(1.282)，65.2565.25可得m4801.282，即m490.36。65.2515，某種電子元件的壽命 X（以年計(jì)）服從數(shù)學(xué)期望為 2的指數(shù)分布，各元件的壽命相互獨(dú)立。隨機(jī)取100只元件，求這100只元件的壽命之和大于180的概率。解：設(shè)這100只元件的壽命分別記為隨機(jī)變量X1,X100，11000.04。根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極XXi。則E(X)2，D(X)100i1限定理可得100X21.821.82P{Xi180}}1(1)0.8413P{X1.8}P{0.2()i10.20.216，以X1,X100記100袋額定重量為（）的袋裝肥料的真實(shí)的25kg凈重，E(Xi)25(kg),D(Xi)1,i1,2,100.X1,X100服從同一分布，且相互獨(dú)立。1100X25.25}的近似值。XXi，求P{24.75100i1解：根據(jù)題意可得E(X)25(kg),D(X)1。由獨(dú)立同分布的中心100極限定理可得P{24.75X25.25}P{24.7525X2525.25250.10.1}(2.5)(2.5)0.1精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2 (2.5) 1 0.987617，有400個(gè)數(shù)據(jù)相加，在相加之前，每個(gè)數(shù)據(jù)被舍入到最接近它的數(shù)，其末位為 10-7。設(shè)舍入誤差相互獨(dú)立，且在區(qū)間(0.5107,0.5 107)服從均勻分布。求誤差總和的絕對(duì)值小于0.5106的概率。（例如45.345678419舍入到45.3456784）解：以X1,X400記這400個(gè)數(shù)據(jù)的舍入誤差，X1400Xi。則400i1E(X)0,1014D(X)。利用獨(dú)立同分布的中心極限定理可得4800400106}108108}P{Xi0.5P{0.125X0.125i1P{0.125108X0.125108}101410141014480048004800(0.2512)(0.2512)2(0.866)10.615618，據(jù)調(diào)查某一地區(qū)的居民有 20%喜歡白顏色的電話機(jī)，（1）若在該地區(qū)安裝1000部電話機(jī)，記需要安裝白色電話機(jī)的部數(shù)為 X，求P{170 X 185}，P{X 190}，P{X 180}；（2）問(wèn)至少需要安裝多少部電話，才能使其中含有白色電話機(jī)的部數(shù)不少于 50部的概率大于0.95。解：（1）根據(jù)題意，X~B(1000,0.2)，且E(X) 200,D(X) 160。由DeMoivre-Laplace 定理，計(jì)算得精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔P{170X185}(1850.5200)(1700.5200)160160(1.15)(2.41)(10.8749)(10.9920)0.1171；P{X190}11900.5200)1(0.83)0.7967；(160P{X180}(1800.5200)(1.54)10.93820.0618。160（2）設(shè)要安裝n部電話。則要使得P{X50}1(500.50.2n)1(49.50.2n)0.950.16n0.16n就要求(0.2n49.5)0.95(1.645)，即0.2n49.51.645，從而0.16n0.16n0.04n220.232964n2450.250，解出n304.95或者n201（舍去）。所以最少要安裝 305部電話。19，一射手射擊一次的得分 X是一個(gè)隨機(jī)變量，具有分布律X 8 9 100.01 0.29pk0.701）求獨(dú)立射擊10次總得分小于等于96的概率。2）求在900次射擊中得分為8分的射擊次數(shù)大于等于6的概率。解：根據(jù)題意，E(X)9.69，D(X)94.139.6920.2339。（1）以X1, X10分別記10次射擊的得分，則精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔1010Xi96.996.9}(9696.9)P{Xi96}P{i196(0.59)0.2776i12.3392.3392.339（2）設(shè)在900次射擊中得分為 8分的射擊次數(shù)為隨機(jī)變量 Y，則Y~B(900,0.01)。由DeMoivre-Laplace定理，計(jì)算得P{Y6}1(60.59000.01)1(1.17)0.8790。9000.010.99第四章解答完畢第5章 樣本及抽樣分布1,設(shè)總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，X1,X2,X3,X4是來(lái)自總體的容量為4的樣本，求（1）X1,X2,X3,X4的聯(lián)合概率密度；（2）P{0.5X11,0.7X21.2}；（3）E(X),D(X)；（4）E(X1X2)，E[X1(X20.5)2]；（5）D(X1X2)。解：因?yàn)閄的概率密度為f(x)2e2x，x0，所以（1）聯(lián)合概率密度為g(x,x,x,x)f(x)f(x)f(x)f(x)1234123416e2(x1x2x3x4)，（X1,X2,X3,X40）（2）X1,X2的聯(lián)合概率密度為2e2(x1x2)，所以精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔11.211.2P{0.5X11,0.7X21.2}4e2x12x2dx1dx22e2x1dx12e2x2dx20.50.70.50.7(e1e2)(e1.4e2.4)3）4）

14142E(X)E(Xi)1,D(X)D(Xi)111；4i1216i14216E(X1X2)E(X1)E(X2)1，（由獨(dú)立性）4E[X1(X20.5)2]E(X1)E[(X20.5)2]1E[X22X21]1[E(X22)E(X2)1]24241[D(X2)E2(X2)11]1[1121]1；2242424812（5）D(X1X2)E[(X1X2)2]E2(X1X2)E(X12)E(X22)4[D(X1)E2(X1)][D(X2)E2(X2)]1(11)(11)13。16444416162，設(shè)總體X~N(75,100)，X1,X2,X3是來(lái)自X的容量為3的樣本，求（1）P{max(X1,X2,X3)85}，（2）P{(60X180)(75X390)}，（3）E(X12X22X32)，（4）D(X1X2X3)，D(2X13X2X3)，（5）P{X1X2148}。解：（1）PX1,X2,X3)85}PX185,X285,X385}{max({3P{X185}P{X285}P{X385}P{X185}3P{X1758575}1010[(1)]30.841330.5955；{(60X180)(75X390)}P(60X180)P(75X390)（2）PP{60X180}P{75X390}6075X1758075P{7575X3759075P{1010}1010}1010精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔P{60753759075101010}P{1010}10[(0.5)(0.5)][(1.5)(0)][(0.5)(0.5)][(1.5)(0)][2(0.5)1][0.93320.5][2(0.5)1][0.93320.5]0.3830.43320.3830.43320.6503（本題與答案不符）（3）E(X12X22X32)E(X12)E(X22)E(X32)[D(X1)E2(X1)]3[100752]31.8764 1011；（4）D(X1X2X3)E[(X1X2X3)2]E2(X1X2X3)1.87641011E6(X1)1.876410117569.662109；D(2X13X2X3)4D(X1)9D(X2)D(X3)1400；（5）因?yàn)閄1X2~N(150,200)，所以P{X1X2148}(148150)1(2)10.55570.4443。200103，設(shè)總體X~ (5)，X1,X2,X3是來(lái)自X的容量為3的樣本，求（1）P{X1 1,X2 2,X3 3}；（2）P{X1 X2 1}。解：（1）因?yàn)閄1,X2,X3相互獨(dú)立，所以P{X11,X22,X33}P{X11}P{X22}P{X33}5e525e5125e52615625e-150.000398；12{X21}{0,X21}{1,X20}（2）PX1pX1pX1e55e55e5e510e10。4，（1）設(shè)總體X~N(52,6.32)，X1,X2, ,X36是來(lái)自X的容量為36的樣精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔本，求P{50.8 X 53.8}；（2）設(shè)總體X~N(12,4)，X1,X2, ,X5是來(lái)自X的容量為 5的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對(duì)值大于 1的概率。解：（1）根據(jù)題意得X~N(52,6.32/36)，所以P{50.8X53.8}P{50.852X5253.852}(53.852)(50.852)6.3/66.3/66.3/66.3/66.3/6(1.7143)(1.143)0.9564(10.8729)0.8293；（2）因?yàn)閄~N(12,4/5)，P{X121}P{11X13}1112X141312}(1.118)(1.118)0.8686(10.8686)0.7372P{0.80.40.8所以P{X121}1P{X121}10.73720.2628。5，求總體N(20,3)的容量分別為10和15的兩獨(dú)立樣本均值差的絕對(duì)值大于0.3的概率。解：設(shè)容量分別為10和15的兩獨(dú)立樣本的樣本均值分別記為X和Y，則X~N(20,0.3)，Y~N(20,0.2)，所以XY~N(0,0.5)，P{XY0.3}1P{XY0.3}1P{0.3XY0.3}1[(0.30.3)()]0.50.522(0.42)0.6744。6，下面給出了50個(gè)學(xué)生概率論課程的一次考試成績(jī)，試求樣本均值和樣本方差，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，并作出頻率直方圖（將區(qū)間（35.5，105.5）分為7等份）。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔50xi74.92，s21502解：易得x1i1(xix)201.5037，s14.1952，i1n處理數(shù)據(jù)得到以下表格組限頻數(shù)fi頻率fi/n35.5~45.520.0445.5~55.530.0655.5~65.560.1265.5~75.5140.2875.5~85.5110.2285.5~95.5120.2495.5~105.520.04根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫(huà)出直方圖（略）7，設(shè)總體X~N(76.4,383)，X1,X2,,X4是來(lái)自X的容量為4的樣本，s2是樣本方差。（1）問(wèn)U4(Xi76.4)2，W4(XiX)2分別服從什i1383i1383么分布，并求D(s2)。（2）求P{0.711U7.779}，P{0.352W6.251}解：（1）因?yàn)閄76.4~N(0,1)，3834(Xi76.4)24Xi76.42所以，U~2(4)i1383i13834X)2而根據(jù)定理2，W4(XiX)2i1(Xi3s2~2(3)i1383383383因?yàn)镈(W)D(3s2)6，所以D(s2)63832/9293378/3。383精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔（2）P{0.711 U 7.779} P{U 7.779} P{U 0.711} (1 0.1) (1 0.95)=0.85（第二步查表）P{0.352 W 6.251} P{W 6.251} P{W 0.352} (1 0.1) (1 0.95) 0.858，已知X~t(n)，求證X2~F(1,n)。證明：因?yàn)閄~t(n)，所以存在隨機(jī)變量Y~N(0,1),Z~2(n)使得XY，也即X2Y2，Z/nZ/n而根據(jù)定義Y2~2(1),所以X2Y2/1~F(1,n)，證畢。Z/n（第5章習(xí)題解答完畢）第6章參數(shù)估計(jì)1，設(shè)總體X~U(0,b),B 0未知，X1,X2, ,X9是來(lái)自X的樣本。求b的矩估計(jì)量。今測(cè)得一個(gè)樣本值 0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求b的矩估計(jì)值。解：因?yàn)榭傮wX~U(0,b)，所以總體矩E(X)b/2。根據(jù)容量為9的樣19Xi。令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：E(X)X，本得到的樣本矩X9i1?2X。得到b的矩估計(jì)量為b?1.69。把樣本值代入得到b的矩估計(jì)值為b精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2，設(shè)總體X具有概率密度f(wàn)X(x)22(x)0x，參數(shù)未知，0其他X1,X2,,Xn是來(lái)自X的樣本，求的矩估計(jì)量。解：總體X的數(shù)學(xué)期望為E(X)2x2(x)dx，令E(X)X可得的03矩估計(jì)量為 ? 3X。3，設(shè)總體X~B(m,p),參數(shù)m,p(0p1)未知，X1,X2,,Xn是來(lái)自X的樣本，求m,p的矩估計(jì)量（對(duì)于具體樣本值，若求得的m?不是整數(shù)，?則取與m最接近的整數(shù)作為m的估計(jì)值）。解：總體X的數(shù)學(xué)期望為 E(X) mp，D(X) mp(1 p)，二階原點(diǎn)矩為令總體矩等于相應(yīng)的樣本矩：

(X2)(X)()2(1)。EDEXmpmppE(X)X，E(X2)A21nXi2ni1A22X?。p1X2，mXXXA24，（1）設(shè)總體X~ (), 0未知， X1,X2, ,Xn是來(lái)自X的樣本，x1,x2, ,xn是相應(yīng)的樣本值。求 的矩估計(jì)量，求 的最大似然估計(jì)值。（2）元素碳-14在半分鐘內(nèi)放射出到達(dá)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù) X~ ( )，下面是X的一個(gè)樣本：6 4 9 6 10 11 6 3 7 10求 的最大似然估計(jì)值。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔解：（1）因?yàn)榭傮w的數(shù)學(xué)期望為，所以矩估計(jì)量為?X。nnxiexien似然函數(shù)為L(zhǎng)(i1)n，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為xi!i1xi!i1nnlnL()lnxinlnxi!。i1i1令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為?1nx。nixi1（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，的最大似然估計(jì)值為?x7.2。5，（1）設(shè)X服從參數(shù)為p(0p1)的幾何分布，其分布律為PXx(1px1px1,2,。參數(shù)p未知。設(shè)x,x,,x是一個(gè)樣本值，{}),12n求p的最大似然估計(jì)值。（2）一個(gè)運(yùn)動(dòng)員，投籃的命中率為 p(0 p 1,未知)，以X表示他投籃直至投中為止所需的次數(shù)。他共投籃 5次得到X的觀察值為51749求p的最大似然估計(jì)值。n解：（1）似然函數(shù)為L(zhǎng)(p)nxin(1p)xi1p(1p)i1pn，相應(yīng)的對(duì)數(shù)i1似然函數(shù)為nlnL(p) xi nln(1 p) nlnp。i 1令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì) p的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到 p的最大似然估計(jì)值為精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔?n1。pnxxii1（2）根據(jù)（1）中結(jié)論，p的最大似然估計(jì)值為?15。px266，（1）設(shè)總體X~N(, 2)，參數(shù) 2已知， ( )未知，x1,x2, ,xn是來(lái)自X一個(gè)樣本值。求 的最大似然估計(jì)值。（2）設(shè)總體X~N(, 2)，參數(shù) 已知， 2（ 2>0）未知，x1,x2, ,xn為一相應(yīng)的樣本值。求 2的最大似然估計(jì)值。nn解：（1）似然函數(shù)為 L( )i1的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(x)2(xi)2i11i12e2，相應(yīng)e2n222n)2(xini1lnL()ln2。22令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為2）似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

nxi?i1x。nn(x)2(xi)2in11i1L(2)e22ne22，相應(yīng)的i12222n2lnL(2)(xi)2。i12nln222令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì) 2的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到 2的最大似然估計(jì)值為?21n(xi)2。ni1精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔7，設(shè)X1,X2,,Xn是總體X的一個(gè)樣本，x1,x2,,xn為一相應(yīng)的樣本值。（1）總體X的概率密度函數(shù)為f(x)xex/x02，0，0其他求參數(shù)的最大似然估計(jì)量和估計(jì)值。x2x/x0（2）總體X的概率密度函數(shù)為f(x)23e，0，其他0求參數(shù)的最大似然估計(jì)值。（3）設(shè)X~B(m,p),m已知，0p1未知，求p的最大似然估計(jì)值。nni1xi解：（1）似然函數(shù)為L(zhǎng)()nxiex/eixi/，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似i12i2n1然函數(shù)為lnL()nlnxi2nlnn/。xii1i1令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為?1nx。xi2ni12相應(yīng)的最大似然估計(jì)量為?X。2n2nxi/（2）似然函數(shù)為nxi2exi/xiL()3i13nei1，相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然i122函數(shù)為nnlnL()2lnxi3nln(2)xi/。i1i1令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到的最大似然估計(jì)值為精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔?1nxix。3ni13（3）因?yàn)閄~B(m,p),其分布律為P{Xx}Cmxpx(1p)mx,x0,1,2,mnnnp)mxinximnxi所以，似然函數(shù)為L(zhǎng)(p)Cmxipxi(1Cmxipi1(1p)i1，i1i1相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為nnnlnCmxi。L(p)lnpximnxiln(1p)i1i1i1令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì) p的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到 p的最大似然估計(jì)值為?1nx。xipmmni18，設(shè)總體X具有分布律X123pk22(1)(1)2其中參數(shù)(01)未知。已知取得樣本值x11,x22,x31，試求的最大似然估計(jì)值。解：根據(jù)題意，可寫(xiě)出似然函數(shù)為32225(1)，L()P{Xxi}2(1)i1相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為lnL() ln2 5ln ln(1 )。令對(duì)數(shù)似然函數(shù)對(duì) 的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到 的最大似然估計(jì)值為? 5/6。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔9，設(shè)總體X~N(,2)，Y~N(,2)，,未知，2已知，X1,X2,,Xn和Y1,Y2,,Yn分別是總體X和Y的樣本，設(shè)兩樣本獨(dú)立。試求,最大似然估計(jì)量。解：根據(jù)題意，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)于總體 X和Y的似然函數(shù)分別為nL( )i 1

n(X)2(Xi)2i1i1122e22，en22nnL( )i1

(Y)2(Yi)2i1i1122e22，en22相應(yīng)的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為n)2(XinlnL()i1ln2，22n)2(Yin，lnL()i1ln222令對(duì)數(shù)似然函數(shù)分別對(duì) 和 的一階導(dǎo)數(shù)為零，得到X，Y算出,最大似然估計(jì)量分別為?XY，?XY。2210，（1）驗(yàn)證均勻分布U(0,)中的未知參數(shù) 的矩估計(jì)量是無(wú)偏估計(jì)量。（2）設(shè)某種小型計(jì)算機(jī)一星期中的故障次數(shù) Y~ ()，設(shè)Y1,Y2, ,Yn是來(lái)自總體Y的樣本。①驗(yàn)證 Y是 的無(wú)偏估計(jì)量。②設(shè)一星期中故障維修費(fèi)用為Z 3Y Y2，求E(Z)。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔（3）驗(yàn)證U3Y1nYi2是E(Z)的無(wú)偏估計(jì)量。ni1解：（1）均勻分布U(0,)中的未知參數(shù)的矩估計(jì)量為?2X。由于E(?)2E(X)22，所以?2X是的無(wú)偏估計(jì)量。（2）①因?yàn)镋(Y)1nE(Yi)1n，所以Y是的無(wú)偏估計(jì)量。nin1②E(Z)3E(Y)E(Y2)3(2)42。（3）因?yàn)镋(U)3E(Y)1nE(Yi2)31n(2)42E(Z)，ni1n所以，U是E(Z)的無(wú)偏估計(jì)量。11，已知X1,X2,X3,X4是來(lái)自均值為的指數(shù)分布總體的樣本，其中未知。設(shè)有估計(jì)量T11(X1X2)1(X3X4)，63T2(X12X23X34X4)/5，T3(X1X2X3X4)/4。1）指出T1,T2,T3中哪幾個(gè)是的無(wú)偏估計(jì)量。2）在上述的無(wú)偏估計(jì)量中哪一個(gè)較為有效？解：（1）因?yàn)镋(T1)1(E(X1)E(X2))1(E(X3)E(X4))1()1()6363E(T2)(E(X1)2E(X2)3E(X3)4E(X4))/52，E(T3)(E(X1)E(X2)E(X3)E(X4))/4。所以，T1,T3是 的無(wú)偏估計(jì)量。（2）根據(jù)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的獨(dú)立同分布性質(zhì)，可以計(jì)算出精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔D(T1)1(D(X1)D(X2))1(D(X3)D(X4))1(22)1(22)52/18369369D(T3)(D(X1)D(X2)D(X3)D(X4))/162/4D(T1)，所以，T3是比T1更有效的無(wú)偏估計(jì)量。12，以 X表示某一工廠制造的某種器件的壽命（以小時(shí)計(jì)） ，設(shè)X~N( ,1296)，今取得一容量為 n 27的樣本，測(cè)得其樣本均值為1478，求（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間，（2）的置信水平為0.90的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差已知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的結(jié)論，的置信水平為1的置信區(qū)間為xZ/2。n（1）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為147812961478481.96147813.581464.42,1491.58。Z0.02527（2）的置信水平為0.90的置信區(qū)間為147812961478481.645147811.401466.60,1489.40。Z0.052713，以X表示某種小包裝糖果的重量（以g計(jì)），設(shè)X~N(,4)，今取得樣本（容量為n10）：55.95,56.54,57.58,55.13,57.48,56.06,59.93,58.30,52.57,58.461）求的最大似然估計(jì)值。2）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔解：（1）根據(jù)已知結(jié)論，正態(tài)分布均值 的最大似然估計(jì)量和矩估計(jì)量相同： ? X。所以 的最大似然估計(jì)值為 ? x 56.8。（2）的置信水平為0.95的置信區(qū)間為56.84Z0.02556.80.41.9656.81.2455.56,58.04。1014，一農(nóng)場(chǎng)種植生產(chǎn)果凍的葡萄，以下數(shù)據(jù)是從 30車(chē)葡萄中采樣測(cè)得的糖含量（以某種單位計(jì)）16.0,15.2,12.0,16.9,14.4,16.3,15.6,12.9,15.3,15.115.8,15.5,12.5,14.5,14.9,15.1,16.0,12.5,14.3,15.415.4,13.0,12.6,14.9,15.1,15.3,12.4,17.2,14.7,14.8設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體 N( , 2)， , 2均未知。1）求,2的無(wú)偏估計(jì)值。2）求的置信水平為90%的置信區(qū)間。解：（1） , 2的無(wú)偏估計(jì)值為?x14.72，s21nx)2。(xi1.9072n1i1（2）的置信水平為90%的置信區(qū)間為xst0.05(n1)14.721.380751.699114.720.42814.292,15.148n3015，一油漆商希望知道某種新的內(nèi)墻油漆的干燥時(shí)間。 在面積相同的12塊內(nèi)墻上做試驗(yàn)，記錄干燥時(shí)間（以分計(jì)），得樣本均值x 66.3分，樣本標(biāo)準(zhǔn)差s 9.4分。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體 N(, 2)，, 2均未知。求精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔干燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為 0.95的置信區(qū)間。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。 根據(jù)已知結(jié)論，干燥時(shí)間的數(shù)學(xué)期望的置信水平為 0.95的置信區(qū)間為xst0.025(n1)66.39.42.201066.35.9760.33,72.27。n1216，Macatawa湖（位于密歇根湖的東側(cè)）分為東、西兩個(gè)區(qū)域。下面的數(shù)據(jù)是取自西區(qū)的水的樣本，測(cè)得其中的鈉含量（以 ppm計(jì)）如下：13.0,18.5,16.4,14.8,19.4,17.3,23.2,24.9,20.8,19.3,18.8,23.1,15.2,19.9,19.1,18.1,25.1,16.8,20.4,17.4,25.2,23.1,15.3,19.4,16.0,21.7,15.2,21.3,21.5,16.8,15.6,17.6設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體 N( , 2)， , 2均未知。求 的置信水平為 0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)，計(jì)算可得樣本均值 x 19.07，樣本方差s 3.245。的置信水平為0.95的置信區(qū)間為xst0.025(n1)19.073.2452.039519.071.1717.90,20.24n3217，設(shè)X是春天捕到的某種魚(yú)的長(zhǎng)度（以cm計(jì)），設(shè)X~N(, 2)，, 2均未知。下面是 X的一個(gè)容量為n 13的樣本：13.1,5.1,18.0,8.7,16.5,9.8,6.8,12.0,17.8,25.4,19.2,15.8,23.0精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔1）求2的無(wú)偏估計(jì)；2）求的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得s237.75。1）方差2的無(wú)偏估計(jì)即為樣本方差s237.75。2）2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(n1)s2(n1)s21237.751237.75，2,2(n1),19.41,102.860.025(n1)0.97523.3374.404所以的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(n1)s2(n1)s2102.864.406,10.142。2,2(n19.41,0.025(n1)0.9751)18，為比較兩個(gè)學(xué)校同一年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)課程的成績(jī)， 隨機(jī)地抽取學(xué)校A的9個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為xA81.31，方差為s2A60.76；隨機(jī)地抽取學(xué)校B的15個(gè)學(xué)生，得分?jǐn)?shù)的平均值為xB78.61，方差為sB248.24。設(shè)樣本均來(lái)自正態(tài)總體且方差相等，參數(shù)均未知，兩樣本獨(dú)立。求均值差 A B的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體均值差的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論， 均值差 A B的置信水平為0.95的置信區(qū)間為xAxBsw11t0.025(n1n22)2.7sw11t0.025(22)n1n29152.7sw11t0.025(22)2.77.266112.07399159152.76.353.65,9.05精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔19，設(shè)以X,Y分別表示有過(guò)濾嘴和無(wú)過(guò)濾嘴的香煙含煤焦油的量 （以mg計(jì)），設(shè)X~N( X, 2X)，Y~N(Y, 2Y)， X,Y, 2X,Y2均未知。下面是兩個(gè)樣本0.9,1.1,0.1,0.7,0.3,0.9,0.8,1.0,0.41.5,0.9,1.6,0.5,1.4,1.9,1.0,1.2,1.3,1.6,2.1兩樣本獨(dú)立。求 2X/ 2Y的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算可得s2X，s2Y（未完）。根據(jù)兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，2X/2Y的置信水平為0.95的置信區(qū)間為sX21sX21sX21sX24.30(0.148,2.446)。2,2F0.975(8,10)2,2sYF0.025(8,10)sYsY3.85sY20，設(shè)以X,Y分別表示健康人與懷疑有病的人的血液中鉻的含量（以10億份中的份數(shù)計(jì)），設(shè)X~N(X,X)，Y~N(Y,2Y)，X,Y,222X,Y均未知。下面是分別來(lái)自X和Y的兩個(gè)獨(dú)立樣本：15,23,12,18,9,28,11,1025,20,35,15,40,16,10,22,18,32求 2X/ 2Y的置信水平為 0.95的單側(cè)置信上限，以及 X的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限。解：根據(jù)題中數(shù)據(jù)計(jì)算得到 sX2 6.82 46.24，sY2 9.6272 92.68。2X/ 2Y的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為_(kāi)_________2XsX2146.24。2sY2F0.95(7,9)3.681.836Y92.68精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2X的置信水平為 0.95的單側(cè)置信上限為_(kāi)___(81)sX2746.242，X02.95(81)149.372.167所以，X的置信水平為0.95的單側(cè)置信上限為_(kāi)___(81)sX2X149.3712.22。0.2(8951)21，在第17題中求魚(yú)長(zhǎng)度的均值 的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限。解：根據(jù)單側(cè)區(qū)間估計(jì)的結(jié)論，正態(tài)總體均值 的置信水平為 0.95的單側(cè)置信下限為xst0.05(n1)14.716.1441.782311.67。___n1322，在第18題中求AB的置信水平為0.90的單側(cè)置信上限。解：兩個(gè)正態(tài)總體的均值差 A B的置信水平為 0.90的單側(cè)置信上限為_(kāi)__________11ABxAxBswt0.1(22)2.77.2660.4221.32126.75。915（第6章習(xí)題解答完畢）第7章假設(shè)檢驗(yàn)1，一車(chē)床工人需要加工各種規(guī)格的工件，已知加工一工件所需的時(shí)間服從正態(tài)分布 N( , 2)，均值為18分，標(biāo)準(zhǔn)差為4.62分?，F(xiàn)希望測(cè)定，是否由于對(duì)工作的厭煩影響了他的工作效率。 今測(cè)得以下數(shù)據(jù)：精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔21.01,19.32,18.76,22.42,20.49,25.89,20.11,18.97,20.90試依據(jù)這些數(shù)據(jù)（取顯著性水平 0.05），檢驗(yàn)假設(shè)：H0: 18, H1: 18。解：這是一個(gè)方差已知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Zx18。/n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到20.874181.8665。Z4.62/9檢驗(yàn)的臨界值為Z0.051.645。因?yàn)閆1.86651.645，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為該工人加工一工件所需時(shí)間顯著地大于18分鐘。2，《美國(guó)公共健康》雜志（ 1994年3月）描述涉及 20143個(gè)個(gè)體的一項(xiàng)大規(guī)模研究。文章說(shuō)從脂肪中攝取熱量的平均百分比是 38.4%（范圍是6%到71.6%），在某一大學(xué)醫(yī)院進(jìn)行一項(xiàng)研究以判定在該醫(yī)院中病人的平均攝取量是否不同于 38.4%，抽取了15個(gè)病人測(cè)得平均攝取量為40.5%，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為 7.5%。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體 N(, 2)，, 2 均未知。試取顯著性水平 0.05 檢驗(yàn)假設(shè)：H0: 38.4, H1: 38.4。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為tx38.4。s/n精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔代入本題具體數(shù)據(jù)，得到40.538.41.0844。t/157.5檢驗(yàn)的臨界值為 t0.025(14) 2.1448。因?yàn)閠1.08442.1448，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域中，故接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為平均攝取量顯著地為38.4%。3，自某種銅溶液測(cè)得 9個(gè)銅含量的百分比的觀察值為 8.3，標(biāo)準(zhǔn)差為0.025。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體 N(, 2)， , 2均未知。試依據(jù)這一樣本取顯著性水平 0.01檢驗(yàn)假設(shè)：H0: 8.42, H1: 8.42。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x8.42。s/n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到8.38.4214.4。t0.025/9檢驗(yàn)的臨界值為t0.01(8)2.8965。因?yàn)閠14.42.8965（或者說(shuō)t14.42.8965），所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè) H0，即認(rèn)為銅含量顯著地小于 8.42%。4，測(cè)得某地區(qū) 16個(gè)成年男子的體重（以公斤計(jì)）為77.18,80.81,65.83,66.28,71.28,79.45,78.54,62.2069.01,77.63,74.00,77.18,61.29,72.19,90.35,59.47設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N(,2)，,2均未知，試取0.05檢驗(yàn)假設(shè)：H0:72.64,H1:72.64。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題，精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為tx72.64。s/n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t72.66872.640.0134。8.338/16檢驗(yàn)的臨界值為t0.025(15)2.1315。因?yàn)閠0.01342.1315，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域中，故接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為該地區(qū)成年男子的平均體重為72.64公斤。5，一工廠的經(jīng)理主張一新來(lái)的雇員在參加某項(xiàng)工作之前至少需要培訓(xùn)200小時(shí)才能成為獨(dú)立工作者，為了檢驗(yàn)這一主張的合理性，隨機(jī)選取10個(gè)雇員詢問(wèn)他們獨(dú)立工作之前所經(jīng)歷的培訓(xùn)時(shí)間（小時(shí)）記錄如下208，180，232，168，212，208，254，229，230，181設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N(,2)，,2均未知。試取0.05檢驗(yàn)假設(shè)：H0:200,H1:200。解：這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于右邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x200。s/n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到t210.2200。1.182427.28/10檢驗(yàn)的臨界值為t0.05(9)1.8331。因?yàn)閠 1.1824 1.8331，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域中，故接受原精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔假設(shè)H0，即認(rèn)為培訓(xùn)時(shí)間不超過(guò) 200小時(shí)。6，一制造商聲稱他的工廠生產(chǎn)的某種牌號(hào)的電池的壽命的方差為5000（小時(shí)2），為了檢驗(yàn)這一主張，隨機(jī)地取 26只電池測(cè)得樣本方差為7200小時(shí)2，有理由認(rèn)為樣本來(lái)自正態(tài)總體?，F(xiàn)需取0.02檢驗(yàn)假設(shè)H0:25000,H1:25000。解：這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2(n1)s2。5000代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2(261)720036。5000檢驗(yàn)的臨界值為02.01(25)44.313。因?yàn)?2 36 44.313，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為電池壽命的方差為 5000小時(shí)2。7，某種標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型電池的容量（以安-時(shí)計(jì)）的標(biāo)準(zhǔn)差1.66，隨機(jī)地取10只新類(lèi)型的電池測(cè)得它們的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體 N( , 2)， , 2均未知，問(wèn)標(biāo)準(zhǔn)差是否有變動(dòng)，即需檢驗(yàn)假設(shè)（取0.05）：H0:21.662,H1:21.662。解：這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)問(wèn)題。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔2(n1)s2。1.662代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2(101)12。1.66239.193檢驗(yàn)的臨界值為2(9)19.022。0.025因?yàn)?2 39.193 19.022，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為電池容量的標(biāo)準(zhǔn)差發(fā)生了顯著的變化，不再為 1.66。8，設(shè)X是一頭母牛生了小牛之后的 305天產(chǎn)奶期內(nèi)產(chǎn)出的白脫油磅數(shù)。又設(shè)X~N(, 2)， , 2均未知。今測(cè)得以下數(shù)據(jù)：425，710，661，664，732，714，934，761，744，653，725，657，421，573，535，602，537，405，874，791，721，849，567，468，975試取顯著性水平 0.05檢驗(yàn)假設(shè)H0: 140, H1: 140。解：題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)H0:21402,H1:21402這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2(n1)s2。1402代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2(251)23827.4929.177。1402檢驗(yàn)的臨界值為02.05(24)36.415。因?yàn)?2 29.177 36.415，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于 140。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔9，由某種鐵的比熱的9個(gè)觀察值得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差s0.0086。設(shè)樣本來(lái)自正態(tài)總體N(,2)，,2均未知。試檢驗(yàn)假設(shè)（0.05）H0:0.0100,H1:0.0100。解：題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)H0: 2 0.01002, H1: 2 0.01002這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2(n1)s2。20.01代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2(91)0.00862。0.0125.9168檢驗(yàn)的臨界值為02.95(8)2.733。因?yàn)?2 5.9168 2.733，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不小于 0.0100。10，以X表示耶路撒冷新生兒的體重（以克計(jì)），設(shè)X~N(, 2)，, 2均未知?，F(xiàn)測(cè)得一容量為 30的樣本，得樣本均值為 3189，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為488。試檢驗(yàn)假設(shè)（0.1）：1）H0:3315,H1:3315。2）H'0:525,H'1:525。解：（1）這是一個(gè)方差未知的正態(tài)總體的均值檢驗(yàn)，屬于左邊檢驗(yàn)問(wèn)題，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔x3315。s/n代入本題具體數(shù)據(jù)，得到318933151.4142。t30488/檢驗(yàn)的臨界值為t0.1(29)1.3114。因?yàn)閠1.41421.3114，所以樣本值落入拒絕域中，故拒絕原假設(shè)H0，即認(rèn)為3315。（2）題中所要求檢驗(yàn)的假設(shè)實(shí)際上等價(jià)于要求檢驗(yàn)假設(shè)H'0: 2 5252, H'1: 2 5252這是一個(gè)正態(tài)總體的方差檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為2(n1)s2。5252代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到2(301)4882。525225.0564檢驗(yàn)的臨界值為02.05(29)42.557。因?yàn)?2 25.0564 42.557，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)差不大于 525。11，兩個(gè)班級(jí)A和B，參加數(shù)學(xué)課的同一期終考試。分別在兩個(gè)班級(jí)中隨機(jī)地取9個(gè)，4個(gè)學(xué)生，他們的得分如下：A班 65 68 72 75 82 85 87 91 95B班 50 59 71 80設(shè)A班、B班考試成績(jī)的總體分別為 N( 1, 2)，N(2, 2)，1, 2, 2均精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔未知，兩樣本獨(dú)立。試取 0.05檢驗(yàn)假設(shè)H0: 1 2, H1: 1 2。解：這是兩個(gè)正態(tài)總體（方差相等但未知）均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為xA xB 0tsw

1 1n1 n2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到80650。t12.2111.3194檢驗(yàn)的臨界值為t0.05(11)1.7959。因?yàn)閠2.211.7959，所以樣本值落入了拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為A班的考試成績(jī)顯著地大于B班的成績(jī)。12，溪流混濁是由于水中有懸浮固體，對(duì)一溪流的水觀察了26天，一半是在晴天，一半是在下過(guò)中到大雨之后，分別以X,Y表示晴天和雨天水的混濁度（以NTU單位計(jì)）的總體，設(shè)X~N(1,2)，Y~N(2,2)，1,2,2均未知。今取到X和Y的樣本分別為2.9,14.9,1.0,12.6,9.4,7.6,3.6,3.1,2.7,4.8,3.4,7.1,7.27.8,4.2,2.4,12.9,17.3,10.4,5.9,4.9,5.1,8.4,10.8,23.4,9.7設(shè)兩樣本獨(dú)立。試取 0.05檢驗(yàn)假設(shè)H0: 1 2, H1: 1 2。解：這是兩個(gè)正態(tài)總體（方差相等但未知）均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔xy0t11swn1n2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到6.1779.4770。t11.6675.047113 13檢驗(yàn)的臨界值為 t0.05(24) 1.7109。因?yàn)閠 1.667 1.7105，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接收原假設(shè)，即認(rèn)為雨天的混濁度不必晴天的高。13，用包裝機(jī)包裝產(chǎn)品，將產(chǎn)品分別裝入包裝機(jī)上編號(hào)為1~24的24個(gè)注入口，奇數(shù)號(hào)的注入口在機(jī)器的一邊，偶數(shù)號(hào)的在機(jī)器的另一邊。以X,Y分別表示自奇數(shù)號(hào)和偶數(shù)號(hào)注入口注入包裝機(jī)的產(chǎn)品的質(zhì)量（以g計(jì)）。設(shè)X~N(X,2)，Y~N(Y,2)， X,Y,2均未知。在總體X和Y中分別取到樣本:X:1071,1076,1070,1083,1082,1067,1078,1080,1084,1075,1080,1075Y:1074,1069,1067,1068,1079,1075,1082,1064,1073,1070,1072,1075設(shè)兩樣本獨(dú)立。試檢驗(yàn)假設(shè) H0:1 2, H1: 1 2( 0.10)。解：這是兩個(gè)正態(tài)總體（方差相等但未知）均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為x y 0tsw

1 1n1 n2精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到1076.751072.330。115.271212檢驗(yàn)的臨界值為t0.05(22) 1.7171。因?yàn)閠 2.0546 1.7171，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為產(chǎn)品均值有顯著差異。14，測(cè)定家庭中的空氣污染。令X和Y分別為房間中無(wú)吸煙者和有一名吸煙者在24小時(shí)內(nèi)的懸浮顆粒量（以g/m3計(jì)）。設(shè)X~N(X,X2)，Y~N(Y,Y2)，X,Y,X2,Y2均未知。今取到總體X的容量n19的樣本，算得樣本均值為x=93，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為sX12.9；取到總體Y的容量為11的樣本，算得樣本均值為y=132，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為sY7.1，兩樣本獨(dú)立。（1）試檢驗(yàn)假設(shè)(0.05)：H0:X2Y2,H1:X2Y2。（2）如能接受H0，接著檢驗(yàn)假設(shè)(0.05)：H'0:XY,H'1:XY。解：（1）這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為FsX2sY2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到F12.923.301。7.12檢驗(yàn)的臨界值為F0.025(8,10)3.85,F0.975(8,10)1。因?yàn)?.23264.30.2326<F 3.，3所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域， 因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩總體方差相等。2）因?yàn)閮煽傮w方差相等，所以這是一個(gè)方差相等的兩個(gè)正態(tài)總體的均值之差的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于左邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔xy0t11swn1n2代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到931320。1110.1119檢驗(yàn)的臨界值為t0.025(18) 2.1009。因?yàn)閠 8.5929< 2.1009，所以樣本值落入拒絕域，因此拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為有吸煙者的房間懸浮顆粒顯著大于沒(méi)有吸煙者的房間。15，分別在兩種牌號(hào)的燈泡中各取樣本容量為 n1 7,n2 10的樣本，測(cè)得燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）的樣本方差分別為s129201,s224856。設(shè)兩樣本獨(dú)立，兩總體分別為X~N(1,12)，Y~N(2,22)分布，1,2,12,22均未知。試檢驗(yàn)假設(shè)(0.05)：H0:1222,H1:1222。解：這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為Fs12s22代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到F9201。1.89484856檢驗(yàn)的臨界值為F0.05(6,9)3.37。因?yàn)镕1.89483.37，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為第一個(gè)總體的方差不比第二個(gè)總體的方差大。16，在第13題中檢驗(yàn)假設(shè)（取0.05）H0:X2Y2,H1:X2Y2。精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔以說(shuō)明在該題中我們假設(shè)22XY是合理的。解：這是一個(gè)兩個(gè)正態(tài)總體的方差之比的檢驗(yàn)問(wèn)題，屬于雙邊檢驗(yàn)。2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為 F sX2，代入第13題中的具體數(shù)據(jù)得到sYF29.2951.1163。26.242檢驗(yàn)的臨界值為F0.025(11,11)3.48,F0.975(11,11)1。因?yàn)?.28743.480.2874<F1.11633.48，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩總體方差相等。17，將雙胞胎分開(kāi)來(lái)?yè)狃B(yǎng)，一個(gè)由父母親自帶大，另一個(gè)不是由父母親自帶大?，F(xiàn)取14對(duì)雙胞胎測(cè)試他們的智商，智商測(cè)試得分如下，雙胞胎序號(hào)父母親代大非父母帶大

xiyi

1 2 3 4 56 7 8 9 101112131423312518192528182528221434362231292428312715232726193028設(shè)各對(duì)數(shù)據(jù)的差DiXiYi(i1,2,14)是來(lái)自正態(tài)總體N(D,D2)的樣本，D,D2均未知。問(wèn)是否可以認(rèn)為在兩種不同的環(huán)境中長(zhǎng)大的孩子，其智商得分是不一樣的。即檢驗(yàn)假設(shè)H0:D0,H1:D00.05）（取解：本題要求一個(gè)基于成對(duì)數(shù)據(jù)的檢驗(yàn)，雙邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為D0tsD/n代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到100.7895t144.74/檢驗(yàn)的臨界值為t0.975(13)2.1604。因?yàn)閠0.78952.1604，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為兩種環(huán)境中長(zhǎng)大的孩子精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔智商沒(méi)有顯著差異。18，醫(yī)生對(duì)于慢走是否能降低血壓（以 Hg-mm計(jì)）這一問(wèn)題的研究感興趣。隨機(jī)地選取 8個(gè)病人慢走一個(gè)月，得到以下數(shù)據(jù)。病人序號(hào)12345678慢走前慢走后

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134122118130144125127133130120123127138121132135設(shè)各對(duì)數(shù)據(jù)的差 Di Xi Yi(i 1,2, 8)是來(lái)自正態(tài)總體 N( D,D2)的樣本，D,D2均未知。問(wèn)是否可以認(rèn)為慢走后比慢走前血壓有了降低。即檢驗(yàn)假設(shè)H0:D0,H1:D0（取0.05）。并求D的置信水平為0.95的置信區(qū)間。解：本題要求對(duì)一組成對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行 t檢驗(yàn)，且為右邊檢驗(yàn)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為tD0。sD/n代入本題中的具體數(shù)據(jù)得到0.87500.5768t84.29/檢驗(yàn)的臨界值為t0.025(7)2.3646。因?yàn)閠0.57682.3646，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為慢走對(duì)于血壓的下降沒(méi)有顯著效果。D的置信水平為0.95的置信區(qū)間為t0.025(7)sD)(0.8752.3646(D4.29)(0.8753.587)。8819，統(tǒng)計(jì)了日本西部地震在一天中發(fā)生的時(shí)間段，共觀察了527次地震，這些地震在一天中的四個(gè)時(shí)間段的分布如下表精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔時(shí)間段0點(diǎn)—6點(diǎn)6點(diǎn)—12點(diǎn)12點(diǎn)—18點(diǎn)18點(diǎn)—24點(diǎn)次數(shù)123135141128試取 0.05檢驗(yàn)假設(shè)：地震在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生時(shí)等可能的。解：根據(jù)題意，要檢驗(yàn)以下假設(shè)：H0:地震的發(fā)生時(shí)間在（0，24）內(nèi)是均勻分布的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為24fi2n，其中pi6/240.25。npii1代入本題中的數(shù)據(jù)得到212321352141212825270.255271.417，檢驗(yàn)的臨界值為20.05(41)7.815。因?yàn)?1.4177.815，所以樣本值沒(méi)有落入拒絕域，因此接受原假設(shè)，即認(rèn)為地震在各個(gè)時(shí)間段內(nèi)發(fā)生時(shí)等可能的。20，美國(guó)《教育統(tǒng)計(jì)文摘》1993年版給出該國(guó) 18歲或以上的人持有學(xué)士或更高學(xué)位的年齡分布如下年齡18~2425~3435~4445~5455~6465或以上百分比52930161010在阿拉斯加州隨機(jī)選擇 500個(gè)18歲或以上的持有學(xué)士或更高學(xué)位的一項(xiàng)調(diào)查給出如下數(shù)據(jù)年齡18~2425~3435~4445~5455~6465或以上人數(shù)30150155753555試取 0.1檢驗(yàn)該地區(qū)年齡分布是否和全國(guó)一樣。解：根據(jù)題意，要檢驗(yàn)以下假設(shè)：精彩文案實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔H0:阿拉斯加州的年齡分布律為年齡18~2425~3435~4445~5455~6465或以上概率0.050.290.300.160.100.10檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為26fi2n。所需計(jì)算列表如下：i1npiAifipinpifi2/(npi)A1300.052536A21500.29145155.172A31550.30150160.167A4750.168070.313A5350.105024.5A6550.105060.526fi2506.6525006.