第八章；向量代數(shù)與空間解析幾何1.向量及其線性運算1.1向量概念及線性運算1.2向量的方向角，方向余弦，在某軸的投影例：，則，，，投影2.向量的數(shù)量積，向量積，混合積：，，3.平面3.1平面方程平面的點法式方程：平面的一般方程:平面的截距式方程:（知三點求平面方程：利用任意兩點做差乘得法向量，在利用另一點用點法式可得）3.2兩平面的夾角夾角余弦：4.空間直線4.1空間直線的方程（1）一般式：可看作兩平面交線（2）對稱式：（3）參數(shù)式：4.2空間直線的位置關系；5.點線面距離：66設（1）兩點間距離公式：（2）點線距離，直線過M1，方向向量為，（3）兩直線間距離：設L1,L2分別過M1,M2,且方向向量分別為，，則6.曲面及其方程6.1旋轉曲面：平面曲線繞其坐標軸旋轉時，則該坐標軸對應的變量不變，另一變量改為該變量與第三個變量平方和的正負平方根，如設有曲線其繞x軸旋轉形成的旋轉曲面方程為:繞Y軸旋轉形成的旋轉曲面方程為:例：球面：圓錐面：旋轉雙曲面：6.2柱面：平行于定直線并沿定曲線C移動的直線L所形成的曲面，這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫柱面的母線.（曲面方程缺一個變量）例：圓柱面：拋物柱面：橢圓柱面：6.3二次曲面（1）橢球面：(2)橢圓拋物面：（3）馬鞍面：（4）單葉雙曲面（5）雙葉雙曲面：（6）雙曲拋物面（馬鞍面）（7）橢圓錐面：（z=xy為馬鞍面）7.空間曲線方程,投影(1)空間曲線的一般方程:(2)空間曲線的參數(shù)方程:(3)曲線在xoy面上的投影曲線為:練習題：1.橢圓繞軸旋轉而成的曲面方程為（）。2.求通過直線l：且與平面:x-4y-8z+12=0成45度角的平面方程練習題答案：1.2.解：過已知直線的平面束方程為：即其法向量又已知平面法向量由題設知：即解得得平面方程第九章：多元函數(shù)微分法及其應用1.多元函數(shù)的極限：P(x,y)以任何方式趨向P0(x0,y0)，f(x,y)都無限接近A練習1：limx→0多元函數(shù)的連續(xù)性：極限值等于函數(shù)值，則函數(shù)連續(xù)2.偏導數(shù)（1）定義：lim?x→0fx+?x,y-f(x,y)?x為f(（對哪個變量求偏導，就把其他變量看成常數(shù)，再按一元函數(shù)的求導法則來求。）（2）幾何意義：，可分別看做曲線在點對x軸和y軸的斜率；(3)高階偏導數(shù):函數(shù)z=f（x，y）的二階偏導數(shù)為：，，3.全微分：(1)定義：設函數(shù)z=f(x,y)在點（x,y）內有定義，若函數(shù)在點（x,y）的全增量可表示為dz=A?x+B?y+o(ρ)oρ其中A，B分別為x,y對z的偏導數(shù)（2）多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關系連續(xù)不一定偏導存在，偏導存在不一定連續(xù)，可微一定偏導存在，偏導存在不一定可微。二階偏導連續(xù)一定可微。練習2：討論函數(shù)在點的可微性4.多元復合函數(shù)的求導法則鏈式法則：如果u=φx,yv=ψ(x,y)都在點（x,y）有偏導數(shù)，函數(shù)z=f(u，v)?z?x全微分形式不變性：dz=5.隱函數(shù)求導公式（1）方程情形：F(x,y,z)=0，?z?x=-（2）方程組情形：F雅可比行列式：J=?(F,G)?(u,v)=則：?u?x=-?v?x=-練習3：設，求.6．多元函數(shù)微分學的幾何應用(1).空間曲線的切線與法平面設空間曲線的參數(shù)方程為x=φ(t)y=ψ(t)z=ω(t)，則曲線在點切向量為（φ‘(t)，ψ’t，ω‘(t)），法平面為φ‘(2)，曲面的切平面與法線曲面切平面的法向量為=(Fx,Fy,Fz)，切平面為Fxx-法線為x-練習4.曲面在點的法線方程為（）方向導數(shù)與梯度方向導數(shù):若函數(shù)f(x,y)在點P0(x0,y0)某鄰域內有定義，則方向導數(shù)為lim·ρ→0fx0+?x,?f?L=fxcosα+fy梯度：函數(shù)在P0(x0,y0)的梯度gradf(x,y)=（fx沿梯度正方向的方向導數(shù)最大練習5.求在點處方向導數(shù)的最大值.7.多元函數(shù)的極值及其求法（1）確定極值點：設函數(shù)z=f(x,y)在點（x0,y0）的某一鄰域內連續(xù)且有一階及二階可導連續(xù),且滿足一階偏導等于零（駐點），引入判別式：?當?>0時，有極值，且當A>0時，有極小值(矩陣為正定時)A<0時，有極大值（矩陣為負定時）當?<0時，沒有極值；當?=0時，不能確定（2）條件極值拉格朗日乘數(shù)法對于函數(shù)z=f(x,y),在φ(x,y)=0條件下的極值，令L(x,y)=f(x,y)+φ(x,y)求的駐點就是可能的極值點。三元函數(shù)同理。練習6.求橢球面第一卦限上的一點，使得此點處的切平面與三坐標面所圍成的體積最小練習題答案：令，則，k取不同值時極限不同，故極限不存在。2.解：討論可微，首先考察函數(shù)在的可導性，全增量（無窮小乘有界函數(shù)為無窮?。┕屎瘮?shù)在點處可微。3.法一：（隱函數(shù)法）兩邊關于求導得：由克萊姆法則得：兩邊關于求導得法二：（公式法）令函數(shù)，4