1第四節(jié)對面積的曲面積分surfaceintegral第十章曲線積分與曲面積分概念的引入對面積的曲面積分的定義對面積的曲面積分的計算法小結(jié)思考題作業(yè)2實例解

第一步:將Σ分為許多極其微小的子域,以dS為代表,dS的質(zhì)量為:

第二步:求和取極限則取

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當(dāng)點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.光滑的,它的面密度為連續(xù)函數(shù)求它的質(zhì)量.對面積的曲面積分一、概念的引入31.定義函數(shù)f(x,y,z)在Σ上任意取定的點,并作和如果當(dāng)各小塊曲面的直徑這和式的極限存在,則的最大值①②③④對面積的曲面積分二、對面積的曲面積分的定義

第i小塊曲面的面積),作乘積設(shè)曲面Σ是光滑的,同時也表示有界.把Σ

任意分成n小塊4或記為即如曲面是曲面元素被積函數(shù)則積分號寫成積分曲面稱極限為函數(shù)對面積的曲面積分第一類曲面積分.閉曲面,對面積的曲面積分52.存在條件在光滑曲面Σ上今后,假定的曲面積分存在.對面積連續(xù),對面積的曲面積分3.對面積的曲面積分的性質(zhì)6

補(bǔ)充設(shè)分片光滑的x的奇函數(shù)x的偶函數(shù)其中則曲面Σ關(guān)于yOz面對稱,對面積的曲面積分74.對面積的曲面積分的幾何意義空間曲面Σ的面積:5.對面積的曲面積分的物理意義面密度為連續(xù)函數(shù)的質(zhì)量M為:對面積的曲面積分其質(zhì)心坐標(biāo)為:8則按照曲面的不同情況分為以下三種：思想是:化為二重積分計算.(1)對面積的曲面積分三、對面積的曲面積分的計算法9則則(2)(3)對面積的曲面積分10確定投影域并寫出

然后算出曲面面積元素;最后將曲面方程代入被積函數(shù),對面積的曲面積分時,首先應(yīng)根據(jù)化為二曲面Σ選好投影面,曲面Σ的方程,重積分進(jìn)行計算.對面積的曲面積分11例解投影域:所截得的部分.故對面積的曲面積分二重積分的對稱性對稱性12解依對稱性知例拋物面有?對面積的曲面積分被積函數(shù)為第一卦限部分曲面.13極坐標(biāo)積分曲面投影域：對面積的曲面積分14例所圍成的空間立體的表面.對面積的曲面積分15解投影域?qū)γ娣e的曲面積分例所圍成的空間立體的表面.對稱性16(左右兩片投影相同)將投影域選在注分成左、右兩片對面積的曲面積分對稱性17計算曲面積分其中Σ是球面解Σ的方程方程是:方程是:投影域Σ記上半球面為下半球面為不是單值的.的值.練習(xí)對面積的曲面積分18對上半球得對下半球Σ是球面對面積的曲面積分19所以極坐標(biāo)對面積的曲面積分20計算其中Σ為球面之位于平面曲面Σ的方程Σ在xOy面上的投影域Σ解練習(xí)上方的部分.對面積的曲面積分21Σ因曲面Σ于是x3是x的奇函數(shù)，x2y是y的奇函數(shù).關(guān)于yOz面及xOz面對稱;

對面積的曲面積分22例解積分曲面方程輪序?qū)ΨQ提示即三個變量輪換位置方程不變.具有輪換對稱性,中的變量x、y、z對面積的曲面積分23

1995年研究生考題,計算,6分解積分曲面Σ在xOy面上的投影域?qū)γ娣e的曲面積分練習(xí)24積分曲面對面積的曲面積分25

對面積的曲面積分的計算

對面積的曲面積分的概念對面積的曲面積分四、小結(jié)四步:分割、取近似、求和、取極限思想:化為二重積分計算;

對面積的曲面積分的幾何意義與物理意義曲面方程三種形式的計算公式26思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題是對面積的曲面積分因為若Ω為直線上的區(qū)間[a,b],則故27思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題對面積的曲面積分是若Ω是平面區(qū)域G,則故28思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題對面積的曲面積分是若Ω是空間區(qū)域,則故29思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題是若Ω為平面(空間)曲線L,則對面積的曲面積分部分和式的極限為曲線積分30思考題

定積分、二重積分、三重積分、對弧長的曲線積分、對面積的曲面積分可統(tǒng)一表示為是非題是若Ω為曲