初一數(shù)學(xué)全等三角形之動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題專(zhuān)題（B類(lèi)）一、考點(diǎn)、熱點(diǎn)回顧動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題是近來(lái)幾年來(lái)中考的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題。動(dòng)向幾何問(wèn)題就是以幾何知識(shí)和詳盡的幾何圖形為背景，浸透運(yùn)動(dòng)變化的見(jiàn)解，經(jīng)過(guò)點(diǎn)、線、形的運(yùn)動(dòng)，圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等，對(duì)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程陪同的數(shù)量關(guān)系和圖形的地址關(guān)系等進(jìn)行研究。動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題集幾何與代數(shù)知識(shí)于一體,數(shù)形結(jié)合,有較強(qiáng)的綜合性,題目靈便多變,動(dòng)中有靜,動(dòng)靜結(jié)合,能夠在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)展學(xué)生空間想象能力,綜合解析能力?！兜冗吶切沃械膭?dòng)點(diǎn)問(wèn)題》是第一從三角形一邊上的單動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，引起三角形的邊與角的變化，判斷三角形的形狀變化；其次商議三角形兩邊上的雙動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，引起三角形的角與邊的變化，再?gòu)脑谌沁吷线\(yùn)動(dòng)到三角形的邊的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，由三角形的形狀研究到三角形的面積的研究等。本設(shè)計(jì)是以等邊三角形為主線，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起邊、角的變化，三角形的形狀的判斷及三角形面積的大小，抓住圖形中“變”和“不變”，以“不變的”來(lái)解決“變”，以達(dá)到“以靜制動(dòng)”，變“動(dòng)向問(wèn)題”為“靜態(tài)問(wèn)題”來(lái)解。對(duì)學(xué)生解析問(wèn)題的能力，對(duì)圖形的想象能力，動(dòng)向思想能力的培養(yǎng)和提高有著積極的促進(jìn)作用。本節(jié)課的授課方案，注意到了問(wèn)題的層次性，由淺入深，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從給定結(jié)論到結(jié)論開(kāi)放，以等邊三角形為載體，動(dòng)點(diǎn)在三角形的邊、延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題串的形式，層層遞進(jìn)，環(huán)環(huán)相扣，讓不相同的學(xué)生都有收收獲，有所成功，還表現(xiàn)出了分類(lèi)談?wù)?、等積變換、三角函數(shù)等思想方法。二、典型例題1、單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題A引例：已知，如圖△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.P動(dòng)點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s），那么t=____時(shí)，△PBC是直角三角形？BC2、雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題引例：已知，如圖△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，若是動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么t為何值時(shí)，△PBQ是直角三角形?牢固練習(xí)，拓展思想AP已知，如圖△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D.若是動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），那么當(dāng)t為何值時(shí)，△DCQ是等腰三角形?A變式練習(xí)：1、已知，如圖△ABC是邊長(zhǎng)3cm的等邊三角形.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB向點(diǎn)BPD運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC方向運(yùn)動(dòng).連接PQ交AC于D.若是動(dòng)點(diǎn)P、Q都以1cm/s的速度同時(shí)出發(fā).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），連接PC.BCQ請(qǐng)研究：在點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中△PCD和△QCD的面積可否相等？變式練習(xí)：2、已知等邊三角形△ABC，（1）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，連接CP、AQ交于M，若是動(dòng)點(diǎn)P、Q都以相同的速度同時(shí)出發(fā)，則∠AMP=___度。(2)若動(dòng)點(diǎn)P、Q連續(xù)運(yùn)動(dòng)，分別沿射線AB、BC方向運(yùn)動(dòng)，.∠AMP=60°的結(jié)論還成立嗎？二、實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練1、如圖，在等腰△ACB中，AC＝BC＝5，AB＝8，D為底邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE＋DF＝．2、如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)，且向來(lái)保持AD=CE．連接DE、DF、EF．（1）求證：△ADF≌△CEF（2）試證明△DFE是等腰直角三角形3、如圖，在等邊ABC的極點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以每分鐘1各單位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時(shí)，另一只也停止運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t分鐘后，它們分別爬行到D,E處，請(qǐng)問(wèn)（1）在爬行過(guò)程中，CD和BE向來(lái)相等嗎？（2）若蝸牛沿著AB和CA的延長(zhǎng)線爬行，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，如圖（2）所示，蝸牛爬行過(guò)程中CQE的大小條件不變，求證：CQE60（3）若是將原題中“由C向A爬行”改為“沿著B(niǎo)C的延長(zhǎng)線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，則爬行過(guò)程中，DF向來(lái)等于EF可否正確4、如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．（1）當(dāng)把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的地址時(shí)，CD=BE可否依舊成立？若成立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明原由；（2）當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的地址時(shí)，△AMN可否還是等邊三角形？若是，請(qǐng)給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時(shí)，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請(qǐng)說(shuō)明原由．圖1圖2圖35、如圖，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．（1）若是點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．①若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，經(jīng)過(guò)1秒后，△BPD與△CQP可否全等，請(qǐng)說(shuō)明原由；②若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPD與△CQP全等？（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都逆時(shí)針沿△ABC三邊運(yùn)動(dòng)，求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？A重合），以6、（2009年本溪）在△ABC中，ABAC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C．．AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使ADAE，DAEBAC，連接CE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，若是，則BCE度；BAC90°（2）設(shè)BAC，BCE．

DQ①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上搬動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明原由；BCP②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上搬動(dòng)，則，之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論．7、如圖a，△ABC和△CEF是兩個(gè)大小不等的等邊三角形，且有一個(gè)公共極點(diǎn)C，連接AF和BE.A(1)線段AF和BE有怎樣的大小關(guān)系?請(qǐng)證明你的結(jié)論；Ab，(1)中的結(jié)論還成立嗎?作出判斷并說(shuō)明理(2)將圖a中的△CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)必然的角度，獲取圖由；EEc(草圖即可)，(1)中的(3)若將圖a中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)必然的角度，請(qǐng)你畫(huà)出一個(gè)變換后的圖形結(jié)論還成立嗎?作出判斷不用說(shuō)明原由C.BDBDCAE，BACDAE，且點(diǎn)8、已知，如圖①所示，在△ABC和△ADE中，ABAC，AD圖1圖2B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)．AA（1）求證：①BECD；②AMAN；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180o，其他條件不變，獲取圖②所示的圖形．請(qǐng)直接寫(xiě)出（1）中的兩個(gè)結(jié)論可否依舊成立.9、直線CD經(jīng)過(guò)BCA的極點(diǎn)C，CA=CB．E、F分別是直線CD上兩點(diǎn)，且BECCFA．BBCACBC的內(nèi)部，且E、F在射線備用CD圖上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：（1）若直線CD經(jīng)備過(guò)用圖NCNEBDAMBDMAE圖①圖②①如圖1，若BCA90o,90o，則EFBEAF（填“”，“”或“”號(hào)）；②如圖2，若0oBCA180o，若使①中的結(jié)論依舊成立，則與BCA應(yīng)滿足的關(guān)系是；（2）如圖3，若直線CD經(jīng)過(guò)BCA的外面，BCA，請(qǐng)研究EF、與BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并恩賜證明．BABCDCDDEFGBAEGC的邊的邊DE上，連接，.10、如圖1，已知正方形B在正方形FEA（1）試猜想AE與GC有D怎樣的地址關(guān)系，并證明你的結(jié)論；EEFDC（2）將正方形DEFGDCEBCAEGC.你認(rèn)繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)落在和C圖1A圖2A圖3D.為（1）中的結(jié)論可否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明原由附加題之等腰三角形（中考重難點(diǎn)之一）考點(diǎn)1：等腰三角形性質(zhì)的應(yīng)用1.如圖，ABC中，ABAC，BAC90，D是BC中點(diǎn)，EDFD，ED與AB交于E，F(xiàn)D與AC交于F．求證：BEAF，AECF．2.兩個(gè)全等的含30o，60o角的三角板ADE和三角板ABC，以下列圖放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD，取BD的中點(diǎn)M，連接ME,MC．試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明原由．考點(diǎn)2：等腰直角三角形（45度的聯(lián)想）如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)。直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，且直角極點(diǎn)E在AB邊上滑動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的均分線BF訂交于點(diǎn)F.⑴如圖14―1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)地址時(shí)：①經(jīng)過(guò)測(cè)量DE，EF的長(zhǎng)度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是；②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是；③請(qǐng)證明你的上述兩猜想.⑵如圖14―2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意地址時(shí)，請(qǐng)你在AD邊上找到一點(diǎn)N,使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時(shí)DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系并證明2.在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D是AC的中點(diǎn)，DG⊥AC交AB于點(diǎn)G.（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DG上，且DE=DF，連接EF與CF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥FC，交直線AB于點(diǎn)H．①求證：DG=DC②判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．（2）若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F在射線DG上，(1)中的其他條件不變，借助圖2畫(huà)出圖形。在你所畫(huà)圖形中找出一對(duì)全等三角形，并判斷你在(1)中得出的結(jié)論可否發(fā)生改變．（本小題直接寫(xiě)出結(jié)論，不用證明）BBHGGFADECACE同類(lèi)變式：已知：△ABC為等邊三角形，M是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且60o角