第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)1第一節(jié)簡介什么是均質(zhì)材料？以往所學(xué)的材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究對象主要是均質(zhì)、各向同性材料均質(zhì)材料是指材料內(nèi)部各個不同物質(zhì)點（或空間坐標）的性質(zhì)相同，如彈性模量什么是各向同性材料？各向同性材料是指材料沿不同方向的性質(zhì)相同（圖）第一節(jié)簡介什么是均2從細觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因為材料中的增強相和基體相的材料性質(zhì)不同，所以復(fù)合材料細觀力學(xué)要反映出這種非均質(zhì)性。從宏觀力學(xué)分析角度看，復(fù)合材料可被視作均質(zhì)各向異性材料。（沒有絕對的均質(zhì)材料，如離散原子在空間的密度就不均勻，可以視作連續(xù)和均質(zhì)是因為所研究系統(tǒng)的尺度遠大于材料不均勻變化波長。）從細觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因為材料中的增強相和基體相的3各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可能來源于兩個方面增強相排布的方向性增強相和基體相本身的各向異性各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可4復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均質(zhì)連續(xù)固體.2)線彈性范圍內(nèi),服從廣義虎克定律.3)小變形復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均5各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程其它平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,和邊界條件等則完全相同.即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學(xué)計算及反映的現(xiàn)象十分復(fù)雜.各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程6彈性力學(xué)相關(guān)知識回顧彈性力學(xué)相關(guān)知識回顧7單元體應(yīng)力及正負號規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標系中相應(yīng)坐標軸的正向,而應(yīng)力分量也指向?qū)?yīng)坐標軸的正向,則應(yīng)力分量為正。當兩個下標中,只有一個指向坐標軸的正向時,該應(yīng)力分量就為負.yx作用在y面上的正應(yīng)力作用在y面內(nèi)x方向的剪應(yīng)力z單元體應(yīng)力及正負號規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標系中相應(yīng)坐標8各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程9靜力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元體的體積力力要平衡！靜力平衡方程（3）X，Y，Z力要平衡！10幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個獨立的位移場即可以完全確定變形，而應(yīng)變亦可以描述變形，它們之間滿足以下關(guān)系！幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個獨立的位移場即可以完11本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系12各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有15個未知量15個場方程靜力平衡方程（3）＋幾何關(guān)系（6）＋本構(gòu)方程（6）可以求解了嗎？各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,13給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(3)給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(14以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力學(xué)的基本方程,與各向同性彈性力學(xué)的區(qū)別在于物理方程.其它均相同以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力15第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時,剛度矩陣柔度矩陣應(yīng)力應(yīng)變本來是張量，將其轉(zhuǎn)換成列陣第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時,剛度矩陣柔度矩16用矩陣表示剛度矩陣36個用矩陣表示剛度矩陣36個17柔度矩陣柔度矩陣18剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對稱陣（可由應(yīng)變勢能密度的微分與次序無關(guān)得到）

從36個彈性常數(shù)到21個（最一般的各向異性，即在彈性體內(nèi)不存在任何彈性對稱關(guān)系的各向異性體）剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對稱陣（可由應(yīng)變勢能密度的微分與次19幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個彈性常數(shù))在均質(zhì)彈性體中,若過每一點沿不同的方向都具有不同的彈性特性時,這種彈性體稱之為一般各向異性體.幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個彈性常20如果材料具有某種對稱性，獨立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)數(shù)目將減少什么是對稱性？

經(jīng)過某種操作，材料性質(zhì)或行為保持不變的特性，如

鏡面對稱

旋轉(zhuǎn)對稱（中心對稱是其特例）

平移對稱如果材料具有某種對稱性，獨立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)21有一彈性對稱面(13個彈性常數(shù))對于一物體點,所謂彈性對稱面是指通過該點有這樣一種平面,沿這些平面的對稱方向彈性性能是相同的.例如:單向纖維復(fù)合材料宏觀而言是各向異性均勻體,垂直于纖維的各橫截面都是彈性對稱面.垂直于彈性對稱面的軸為材料的主軸(彈性主軸),其方向為彈性主方向.有一彈性對稱面(13個彈性常數(shù))對于一物體點,所謂彈性對稱22只有13個(21-8)彈性常數(shù)對于各向異性材料的柔度矩陣或剛度矩陣，其分量是和坐標方向選取有關(guān)?。。?/p>

可以從兩方面理解：1張量的分量、2以單拉為例只有13個(21-8)彈性常數(shù)對于各向異性材料的柔度矩陣或剛23正交各向異性(9個彈性常數(shù))(13-4)是指過均質(zhì)彈性體的每一點有三個互相正交的彈性主軸(三個互相正交的彈性對稱面)的情況右手坐標系左手坐標系正交各向異性(9個彈性常數(shù))(13-4)是指過均質(zhì)彈性體的24沒有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性(三個互相正交的彈性對稱面)(9個彈性常數(shù))(13-4)沒有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性25通過分析幾何的對稱性可推測彈性對稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按距形排列的單向纖維復(fù)合材料,宏觀而言是一正交異性體的例子.宏觀均勻正交異性體通過分析幾何的對稱性可推測彈性對稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按26橫觀各向同性(5個彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過均質(zhì)彈性體的每一點都可以找到某一相互平行的平面,并且該平面內(nèi)所有各個方向的彈性性質(zhì)均相同,纖維在橫截面內(nèi)是隨機排列的,宏觀而言,其所有橫方向的彈性性能均相同,_橫觀各向同性橫觀各向同性(5個彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過均質(zhì)彈27橫觀各向同性5個彈性常數(shù)橫觀各向同性5個彈性常數(shù)28工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).可以通過簡單的拉伸與純剪得到.比柔度系數(shù),剛度系數(shù)的確定容易.剛度（柔度）矩陣中的彈性常數(shù)不夠直觀，因此實際中要引入工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).剛度（29正交各向異性體的工程常數(shù)當只在j方向作用正應(yīng)力時這樣就變成共有12個彈性常數(shù)，但應(yīng)該只有9個是獨立的，因此有…正交各向異性體的工程常數(shù)當只在j方向作用正應(yīng)力時這樣就變成共30三個互等關(guān)系【選作題】對于橫觀各向同性，有幾個不等的工程常數(shù)，有幾個互等關(guān)系？是什么？三個互等關(guān)系【選作題】對于橫觀各向同性，有幾個不等的工程常數(shù)31彈性常數(shù)的取值范圍根據(jù)非0應(yīng)變狀態(tài)的彈性應(yīng)變能為正值,應(yīng)變能應(yīng)是應(yīng)變或者是應(yīng)力的正定二次型.應(yīng)變能的表達式為:彈性常數(shù)的取值范圍根據(jù)非0應(yīng)變狀態(tài)的彈性應(yīng)變能為正值,應(yīng)變能32W是的正定二次型的充要條件是矩陣[S]的所有主要主子式大于零.等等W是的正定二次型的充要條件是矩陣[S]的所有主33對于各向同性對于各向同性34按照矩陣[S]的所有主要主子式大于零.計算出正定二次型的充要條件【習(xí)題】實際的各向同性材料:按照矩陣[S]的所有主要主子式大于零.計算出正定二次型的充要35對于正交各向異性對于正交各向異性36因為對角線各元素都是主子式因為對角線各元素都是主子式37Ch3各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)課件38用實驗測出,細觀力學(xué)計算的彈性常數(shù)必須滿足上述各類不等式的取值范圍.各種互等關(guān)系否則,測試有問題,計算有問題,或者問題本身不能采用宏觀彈性理論處理.用實驗測出,細觀力學(xué)計算的彈性常數(shù)必須滿足39小結(jié)一般各向異性剛度（柔度）矩陣對稱（21）對稱性分析：一個對稱面（13），三個正交對稱面【正交各向異性（9）】，橫觀各向同性（5），各向同性（2）工程常數(shù)及互等關(guān)系彈性常數(shù)物理可能的取值范圍小結(jié)一般各向異性剛度（柔度）矩陣對稱（21）40第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)第三章各向異性彈性力學(xué)基礎(chǔ)41第一節(jié)簡介什么是均質(zhì)材料？以往所學(xué)的材料力學(xué)與彈性力學(xué)的研究對象主要是均質(zhì)、各向同性材料均質(zhì)材料是指材料內(nèi)部各個不同物質(zhì)點（或空間坐標）的性質(zhì)相同，如彈性模量什么是各向同性材料？各向同性材料是指材料沿不同方向的性質(zhì)相同（圖）第一節(jié)簡介什么是均42從細觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因為材料中的增強相和基體相的材料性質(zhì)不同，所以復(fù)合材料細觀力學(xué)要反映出這種非均質(zhì)性。從宏觀力學(xué)分析角度看，復(fù)合材料可被視作均質(zhì)各向異性材料。（沒有絕對的均質(zhì)材料，如離散原子在空間的密度就不均勻，可以視作連續(xù)和均質(zhì)是因為所研究系統(tǒng)的尺度遠大于材料不均勻變化波長。）從細觀上看，復(fù)合材料是異質(zhì)材料，因為材料中的增強相和基體相的43各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可能來源于兩個方面增強相排布的方向性增強相和基體相本身的各向異性各向異性是復(fù)合材料宏觀力學(xué)的最重要特征！復(fù)合材料的各向異性可44復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均質(zhì)連續(xù)固體.2)線彈性范圍內(nèi),服從廣義虎克定律.3)小變形復(fù)合材料宏觀力學(xué)分析的基本假設(shè)1)所研究的各向異性彈性體為均45各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程其它平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,和邊界條件等則完全相同.即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學(xué)計算及反映的現(xiàn)象十分復(fù)雜.各向異性與各向同性彈性力學(xué)的基本方程的差別差別在于:本構(gòu)方程46彈性力學(xué)相關(guān)知識回顧彈性力學(xué)相關(guān)知識回顧47單元體應(yīng)力及正負號規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標系中相應(yīng)坐標軸的正向,而應(yīng)力分量也指向?qū)?yīng)坐標軸的正向,則應(yīng)力分量為正。當兩個下標中,只有一個指向坐標軸的正向時,該應(yīng)力分量就為負.yx作用在y面上的正應(yīng)力作用在y面內(nèi)x方向的剪應(yīng)力z單元體應(yīng)力及正負號規(guī)定如果作用面的外法線指向坐標系中相應(yīng)坐標48各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程49靜力平衡方程（3）X，Y，Z作用于微元體的體積力力要平衡！靜力平衡方程（3）X，Y，Z力要平衡！50幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個獨立的位移場即可以完全確定變形，而應(yīng)變亦可以描述變形，它們之間滿足以下關(guān)系！幾何關(guān)系(小變形)(6)變形要協(xié)調(diào)！三個獨立的位移場即可以完51本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系本構(gòu)方程（6）反映出材料的性質(zhì)！與之間的關(guān)系52各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,各向異性彈性力學(xué)有15個未知量15個場方程靜力平衡方程（3）＋幾何關(guān)系（6）＋本構(gòu)方程（6）可以求解了嗎？各向異性彈性力學(xué)問題需滿足的基本方程與各向同性彈性力學(xué)一樣,53給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(3)給定力的邊界條件(3)定解還需邊界條件！給定位移的邊界條件(54以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力學(xué)的基本方程,與各向同性彈性力學(xué)的區(qū)別在于物理方程.其它均相同以上的力學(xué),幾何,物理,以及邊界條件諸方面構(gòu)成各向異性彈性力55第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時,剛度矩陣柔度矩陣應(yīng)力應(yīng)變本來是張量，將其轉(zhuǎn)換成列陣第二節(jié)各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程小變形時,剛度矩陣柔度矩56用矩陣表示剛度矩陣36個用矩陣表示剛度矩陣36個57柔度矩陣柔度矩陣58剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對稱陣（可由應(yīng)變勢能密度的微分與次序無關(guān)得到）

從36個彈性常數(shù)到21個（最一般的各向異性，即在彈性體內(nèi)不存在任何彈性對稱關(guān)系的各向異性體）剛度矩陣的性質(zhì)一剛度矩陣是對稱陣（可由應(yīng)變勢能密度的微分與次59幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個彈性常數(shù))在均質(zhì)彈性體中,若過每一點沿不同的方向都具有不同的彈性特性時,這種彈性體稱之為一般各向異性體.幾種各向異性彈性力學(xué)的本構(gòu)方程1完全各向異性(21個彈性常60如果材料具有某種對稱性，獨立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)數(shù)目將減少什么是對稱性？

經(jīng)過某種操作，材料性質(zhì)或行為保持不變的特性，如

鏡面對稱

旋轉(zhuǎn)對稱（中心對稱是其特例）

平移對稱如果材料具有某種對稱性，獨立的剛度矩陣（或柔度矩陣）彈性常數(shù)61有一彈性對稱面(13個彈性常數(shù))對于一物體點,所謂彈性對稱面是指通過該點有這樣一種平面,沿這些平面的對稱方向彈性性能是相同的.例如:單向纖維復(fù)合材料宏觀而言是各向異性均勻體,垂直于纖維的各橫截面都是彈性對稱面.垂直于彈性對稱面的軸為材料的主軸(彈性主軸),其方向為彈性主方向.有一彈性對稱面(13個彈性常數(shù))對于一物體點,所謂彈性對稱62只有13個(21-8)彈性常數(shù)對于各向異性材料的柔度矩陣或剛度矩陣，其分量是和坐標方向選取有關(guān)?。?！

可以從兩方面理解：1張量的分量、2以單拉為例只有13個(21-8)彈性常數(shù)對于各向異性材料的柔度矩陣或剛63正交各向異性(9個彈性常數(shù))(13-4)是指過均質(zhì)彈性體的每一點有三個互相正交的彈性主軸(三個互相正交的彈性對稱面)的情況右手坐標系左手坐標系正交各向異性(9個彈性常數(shù))(13-4)是指過均質(zhì)彈性體的64沒有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性(三個互相正交的彈性對稱面)(9個彈性常數(shù))(13-4)沒有拉壓剪切耦合現(xiàn)象沒有不同平面內(nèi)的剪切耦合現(xiàn)象正交各向異性65通過分析幾何的對稱性可推測彈性對稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按距形排列的單向纖維復(fù)合材料,宏觀而言是一正交異性體的例子.宏觀均勻正交異性體通過分析幾何的對稱性可推測彈性對稱性。例子：纖維在橫截面內(nèi)按66橫觀各向同性(5個彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過均質(zhì)彈性體的每一點都可以找到某一相互平行的平面,并且該平面內(nèi)所有各個方向的彈性性質(zhì)均相同,纖維在橫截面內(nèi)是隨機排列的,宏觀而言,其所有橫方向的彈性性能均相同,_橫觀各向同性橫觀各向同性(5個彈性常數(shù))宏觀均勻橫向同性體如果通過均質(zhì)彈67橫觀各向同性5個彈性常數(shù)橫觀各向同性5個彈性常數(shù)68工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).可以通過簡單的拉伸與純剪得到.比柔度系數(shù),剛度系數(shù)的確定容易.剛度（柔度）矩陣中的彈性常數(shù)不夠直觀，因此實際中要引入工程常數(shù)指廣義的彈性模量,泊松比,剪切模量等彈性系數(shù).剛度（69正交各向異性體的工程常數(shù)當只在j方