8.2二項(xiàng)式定理（精講）（提升版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一指定項(xiàng)的系數(shù)【例1-1】（2022·四川模擬）已知二項(xiàng)式的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為40，則（）A．2 B．-2 C．2或-2 D．4【答案】C【解析】由，令，解得，所以項(xiàng)的系數(shù)為，解得．故答案為：C【例1-2】（2022·廣東模擬）若是一組數(shù)據(jù)的方差，則的展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A．-210 B．3360 C．210 D．16【答案】B【解析】數(shù)據(jù)0，2，0，2的平均值為1，故方差，故二項(xiàng)式為，其展開式的通項(xiàng)公式，令，解得，故常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：B.【例1-3】（2022·廣州模擬）若，則．【答案】-56【解析】由題意可知，，展開式的通項(xiàng)公式為，由，得出求的項(xiàng)是.令，解得，所以.故答案為：-56.【一隅三反】1．（2022·汕頭模擬）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則n的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由題意的展開式的，令，得，當(dāng)時(shí)，n取到最小值3.故答案為：B．2．（2022·江陰模擬）二項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【解析】因?yàn)槎?xiàng)式為，所以其展開式中，含項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為：，，，，，.故答案為：B3．（2022·莆田三模）（多選）下列說(shuō)法正確的是（）A．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-32B．展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為1C．展開式中的系數(shù)為40D．展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32【答案】A,C,D【解析】對(duì)于A，常數(shù)項(xiàng)應(yīng)為，則A符合題意；對(duì)于B，令，得，即展開式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為-1，則B不符合題意；對(duì)于C，展開式的通項(xiàng)公式為，令，得，則，即展開式中的系數(shù)為40，則C符合題意；對(duì)于D，展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，D符合題意.故答案為：ACD24．（2022·唐山二模）（多選）已知的展開式中第3項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）A．n=9 B．C．常數(shù)項(xiàng)是672 D．展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是-1【答案】A,D【解析】由，可得n=9，則A判斷正確；B判斷錯(cuò)誤；的展開式的通項(xiàng)公式為令，則，則展開式的常數(shù)項(xiàng)是.C判斷錯(cuò)誤；展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和是.判斷正確.故答案為：AD考點(diǎn)二多項(xiàng)式的系數(shù)【例2-1】（2022·濟(jì)南二模）的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．2 B．6 C．8 D．12【答案】D【解析】，展開式的通項(xiàng)為：，當(dāng)即時(shí)，，所以的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為12.故答案為：D.【例2-2】．（2022·棗莊模擬）在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-480 B．480 C．-240 D．240【答案】A【解析】看成是6個(gè)相乘，要得到.分以下情況：6個(gè)因式中，2個(gè)因式取，1個(gè)因式取，3個(gè)因式取，此時(shí)的系數(shù)，所以的系數(shù)為-480.故答案為：A【例2-3】（2022·臨沂二模）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-3，則該展開式中的系數(shù)為（）A．-120 B．-40 C．40 D．120【答案】A【解析】在二項(xiàng)式中，令，可得，解得，的展開式通項(xiàng)為，因?yàn)?，在，令，可得，在中，令，可得，因此，展開式中的系數(shù)為.故答案為：A.【一隅三反】1．（2022·浙江模擬）在的展開式中含和含的項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A．-674 B．-675 C．-1080 D．1485【答案】A【解析】，則的系數(shù)為1，的系數(shù)為，所以在的展開式中含和含的項(xiàng)的系數(shù)之和為．故答案為：A．2．（2022·蕪湖模擬）在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為（）A．5 B．-5 C．15 D．-15【答案】B【解析】，表示5個(gè)相乘，展開式中出現(xiàn)有兩種情況，第一種是中選出3個(gè)和2個(gè)1，第二種是中選出4個(gè)和1個(gè)，所以展開式中含有項(xiàng)有和，所以項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：B3．（2022·聊城模擬）的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-120 B．-40 C．80 D．200【答案】B【解析】的展開式通項(xiàng)為，因?yàn)?，在中，令可得，在中，令可得，因此，展開式中項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：B.4．（2022·商丘模擬）已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為-32，則該展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．-30 B．-20 C．-15 D．-10【答案】D【解析】令得，，解得，所以的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為．故答案為：D.考點(diǎn)三系數(shù)和【例3】（2022·岳陽(yáng)模擬）（多選）已知?jiǎng)t（）A． B．C． D．【答案】A,D【解析】因?yàn)?，令，則，A符合題意；令，則，所以，B不符合題意；令，則，所以，，，所以，C不符合題意；對(duì)兩邊對(duì)取導(dǎo)得，再令得，D符合題意；故答案為：AD【一隅三反】1．（2022·潮州二模）設(shè)，則．【答案】9【解析】在中，令得，，，所以，．故答案為：9.2．（2022·云南模擬）若，則的值為．【答案】-32【解析】令，可得。故答案為：-32。3．設(shè)（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100，求下列各式的值．（1）a0；（2）a1+a2+a3+…+a100；（3）a1+a3+a5…+a99；（4）（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2；（5）|a0|+|a1|+…+|a100|．【答案】（1）a0=2100（2）﹣2100（3）．（4）1（5）【解析】在（2﹣x）100=a0+a1x+a2x2+…a100x100中，（1）令x=0可得a0=2100．（2）令x=1，可得2100+a1+a2+a3+…+a100=①，∴a1+a2+a3+…+a100=﹣2100．（3）令x=﹣1，可得得2100﹣a1+a2﹣a3+…+a100=②，由①②求得a1+a3+a5…+a99=．（4）由①②還可得到a0+a2+…+a100=，∴（a0+a2+…+a100）2﹣（a1+a3+…+a99）2=（a0+a1+a2+…a100）（a0﹣a1+a2+…+a100）=（2﹣）100?（2+）100=1．（5）|a0|+|a1|+…+|a100|即（2+x）100的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和，在（2+x）100的展開式中，令x=1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為．考點(diǎn)四二項(xiàng)式定理的運(yùn)用【例4-1】（2022·濰坊模擬）除以7的余數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，則，又是7的倍數(shù)，故余數(shù)為3.故答案為：D.【例4-2】．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）的計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B【解析】∵，∴.故選B【一隅三反】1.（2021·黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高三月考（理））已知，且恰能被14整除，則的取值可以是（）A．1 B．3 C．7 D．13【答案】D【解析】由，∴要使恰能被14整除，只需能被14整除即可且，∴，當(dāng)k=1時(shí)，m=13滿足題意.故選：D2．（2021·河北衡水中學(xué)高三月考）今天是星期日，經(jīng)過(guò)7天后還是星期日，那么經(jīng)過(guò)天后是（）A．星期六 B．星期日 C．星期一 D．星期二【答案】C【解析】，故