專題9函數(shù)的綜合一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）已知定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(1+x)=f(1-x)，當x∈[1,+∞)時，f(x)=1-|x-2|,x∈[1,3)2f(x-12),x∈[3,+∞)，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=lnx,x≥1ln(2-x),x<1的A.5 B.6 C.7 D.9已知函數(shù)f(x)=x+1,x≤0log2A.4 B.3 C.2 D.1已知a∈R，設函數(shù)f(x)=x2-2ax+2a,x≤1lnx+1,x>1，若關于x的方程f(x)=-14x+aA.(-∞,0] B.(5+268,+∞)

C.(-∞,0]∪(5+26已知函數(shù)f(x)=x2+4a,x>01+logax-1,x≤0(a>0且a≠1)在上單調遞增，且關于x的方程|f(x)|=x+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，則A.[14,34]∪{1316} 設函數(shù)f(x)=2x,x≤0,log2x,x>0,對任意給定的y∈(2,+∞)，都存在唯一的x∈R，滿足f(f(x))=2a2A.4 B.2 C.12 D.1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)=x2+2,x∈[0,1)2-x2,x∈[-1,0)，且f(x+2)=f(x)，g(x)=A.-7 B.-9 C.-11 D.-12李冶(1192-1279)，真定欒城(今屬河北石家莊市)人，金元時期的數(shù)學家、詩人、晚年在封龍山隱居講學，數(shù)學著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算)

(

A.10步、50步 B.20步、60步 C.30步、70步 D.40步、80步對于函數(shù)f(x)，g(x)，設α∈{x|f(x)=0}，β∈{x|g(x)=0}，若存在α，β，使得|α-β|≤2，則稱f(x)，g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”.若f(x)=ex-2+x-3與g(x)=x2-ax-a-2互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)A.(-2,145) B.[-2,145設函數(shù)f(x)=2x+3x+5x+2-a+x，若曲線y=cosx上存在點(x0,A.[-135,-32] B.已知函數(shù)f(x)是定義在[-100,100]上的偶函數(shù)，且f(x+2)=f(x-2)，當x∈[0,2]時，f(x)=(x-2)ex，若方程[f(x)]2-mf(x)+1=0有300個不同的實數(shù)根，則實數(shù)mA.-e-1e<m<-52 B.-e-二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）定義函數(shù)f(x)=4-8|x-32|,1≤x≤212f(x2),x>2中國古代近似計算方法源遠流長，早在八世紀，我國著名數(shù)學家、天文學家張隧(法號：一行)為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計算的方法——二次插值算法(又稱一行算法，牛頓也創(chuàng)造了此算法，但是比我國張隧晚了上千年)：對于函數(shù)y=f(x)在x1,x2,x3x1<x2<x3處的函數(shù)值分別為y1=fx1,y2=fx2若M、N兩點分別在函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象上，且關于直線x=1對稱，則稱M、N是y=f(x)與y=g(x)的一對“伴點”(M、N與N、M視為相同的一對)，已知f(x)=-2-x(x<2)4-(x-4)2(x≥2)，g(x)=|x+a|+1，若y=f(x)與y=g(x)存在兩對“件點”，則實數(shù)已知函數(shù)f(x)=|x+1|,x≤0|log3x|,x>0，若方程f(x)=a有四個不同的解三、解答題（本大題共4小題，共30.0分）已知函數(shù)f(x)=x,x≥a,x2-2x,x<a,.g(x)=2f(x)-ax(a∈R)．

(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)和g(x)的零點；

(2)若函數(shù)g(x)恰有2個零點，求實數(shù)已知函數(shù)f(x)=12(|x+3|+1),x≤0x-2,x>0．

(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象，依據圖象討論直線y=m和函數(shù)f(x)的圖象交點的個數(shù)．

(2)若存在實數(shù)a<b<c，滿足f(a)=f(b)=f(c)，求af(a)+bf(b)+cf(c)已知二次函數(shù)f(x)=4kx2-4kx+k+1．

(1)若x1，x2是f(x)的兩個不同零點，是否存在實數(shù)k，使(2x1+x2)(x1+2x2)=114成立？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．

(2)設k=-1，函數(shù)g(x)=f(x)-8x-t,x<04x已知f(x)=x2+ax2+ln(x+1)．

(1)若函數(shù)y=f(x)有三個零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(2)若a=2，設g(x)=bx+cx，其中b≤2，c>0f(x)=g(x)的兩根為專題9函數(shù)的綜合一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）已知定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(1+x)=f(1-x)，當x∈[1,+∞)時，f(x)=1-|x-2|,x∈[1,3)2f(x-12),x∈[3,+∞)，則函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=lnx,x≥1lnA.5 B.6 C.7 D.9【答案】C【解析】解：根據題意，函數(shù)f(x)滿足f(1+x)=f(1-x)，則f(x)的圖象關于直線x=1對稱，

而函數(shù)g(x)=lnx,x≥1ln(2-x),x<1的圖象也關于直線x=1對稱，

作出函數(shù)f(x)和g(x)圖象如圖：

由圖可知，所以交點橫坐標之和=3×2+1=7，

故選：C．已知函數(shù)f(x)=x+1,x≤0loA.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】解：作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：

當x≤0時，由f(x)=12得x+1=12，即x=12-1=-12，

當x>0時，由f(x)=12得log2x=12，即x=212=2，

由g(x)=f(f(x))-12=0得f(f(x))=12，已知a∈R，設函數(shù)f(x)=x2-2ax+2a,x≤1lnx+1,x>1，若關于x的方程f(x)=-1A.(-∞,0] B.(5+268,+∞)

C.(-∞,0]∪(5+26【答案】D【解析】解：當x>1時，令lnx+1=-14x+a，則lnx+14x+1-a=0，

因為lnx+14x為增函數(shù)，所以當該方程在x>1時無實數(shù)根時，

14+1-a≥0，所以a≤54，

①a>54時，x>1時有一個解，所以x≤1時，x2-2ax+2a=-14x+a有一個解，

當x≤1時，x2+(14-2a)x+a是遞減的，1+14-2a+a=54-a<0，所以x≤1時有一個解，所以a>54成立，

②a=54時，lnx+1=-14x+a在x>1時無解，但x已知函數(shù)f(x)=x2+4a,x>01+logax-1,x≤0(a>0且a≠1)在上單調遞增，且關于x的方程A.[14,34]∪{1316} 【答案】A【解析】∵f(x)是R上的單調遞增函數(shù)，

∴y=1+loga|x-1|在(-∞,0]上單調遞增，

可得0<a<1，

且0+4a≥1+0，即14≤a<1，

作出y=|f(x)|和y=x+3的函數(shù)草圖如圖所示：

由圖象可知|f(x)|=x+3在(0,+∞)上有且只有一解，

可得4a≤3，或x2+4a=x+3，即有Δ=1-4(4a-3)=0，

即有14≤a≤34或a=1316，

由1+loga|x-1|=0設函數(shù)f(x)=2x,x≤0,log2x,x>0,對任意給定的y∈(2,+∞)，都存在唯一的x∈R，滿足f(f(x))=2A.4 B.2 C.12 D.1【答案】D【解析】根據f(x)的函數(shù)，我們易得出其值域為：R，

又∵f(x)=2x，(x≤0)時，值域為(0,1]；f(x)=log2x，(x>0)時，其值域為R，

∴可以看出f(x)的值域為(0,1]上有兩個解，

要想f(f(x))=2a2y2+ay，在y∈(2,+∞)上只有唯一的x∈R滿足，

必有f(f(x))>1(因為2a2y2+ay>0)，

所以：f(x)>2，

解得：x>4，

當x>4時，x與f(f(x))存在一一對應的關系，

∴2a2y2+ay>1，y∈(2,+∞)，且a>0，

所以有：(2ay-1)(ay+1)>0，

解得：y>1已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)=x2+2,x∈[0,1)2-x2,x∈[-1,0)，且f(x+2)=f(x)A.-7 B.-9 C.-11 D.-12【答案】C【解析】∵f(x)=x2+2,x∈[0,1)2-x2,x∈[-1,0)，且f(x+2)=f(x)，

∴f(x-2)-2=x2,x-2∈[0,1)-x2,x-2∈[-1,0),

又g(x)=2x+5x+2，則g(x)=2+1x+2，

∴g(x-2)-2=1x，

當x≠2k-1，k∈Z時，

上述兩個函數(shù)都是關于(-2,2)對稱，

由圖象可得：方程f(x)=g(x)在區(qū)間[-7,3]上的實根有5個，

x1滿足-7<x1<-6，x2滿足-5<x2<-4李冶(1192-1279)，真定欒城(今屬河北石家莊市)人，金元時期的數(shù)學家、詩人、晚年在封龍山隱居講學，數(shù)學著作多部，其中《益古演段》主要研究平面圖形問題：求圓的直徑，正方形的邊長等，其中一問：現(xiàn)有正方形方田一塊，內部有一個圓形水池，其中水池的邊緣與方田四邊之間的面積為13.75畝，若方田的四邊到水池的最近距離均為二十步，則圓池直徑和方田的邊長分別是(注：240平方步為1畝，圓周率按3近似計算)

A.10步、50步 B.20步、60步 C.30步、70步 D.40步、80步【答案】B【解析】由題意，設圓池直徑為m步，方田邊長為40步+m步．方田面積減去水池面積為13.75畝，．解得：m=20，即圓池直徑20步，那么：方田邊長為40步+20步=60步．

故選B對于函數(shù)f(x)，g(x)，設α∈{x|f(x)=0}，β∈{x|g(x)=0}，若存在α，β，使得|α-β|≤2，則稱f(x)，g(x)互為“零點相鄰函數(shù)”.若f(x)=ex-2+x-3與g(x)=x2A.(-2,145) B.[-2,145【答案】B【解析】解：函數(shù)f(x)=ex-2+x-3的零點為x=2，

設函數(shù)g(x)=x2-ax-a-2的零點為β，

∵f(x)=ex-2+x-3與g(x)=x2-ax-a-2互為“零點相鄰函數(shù)”，∴|2-β|≤2，∴0≤β≤4，

∴函數(shù)g(x)=x2-ax-a-2在區(qū)間[0,4]上存在實數(shù)根，

①當a2≤0，即a≤0時，g(0)≤0g(4)≥0，∴-a-2≤016-4a-a-2≥0，解得：-2≤a≤0；

②當a2≥4，即a≥8時，g(0)≥0g(4)≤0，∴-a-2≥016-4a-a-2≤0設函數(shù)f(x)=2x+3x+5x+2-a+x，若曲線y=cosx上存在點(xA.[-135,-32] B.【答案】D【解析】解：由題得f(x)=2x+-1x+2+3-a+x，則f'(x)=2xln2+1(x+2)2+1>0，故函數(shù)f(x)單調遞增，

因為(x0,y0)在y=cosx上，則y0∈[-1,1]，

已知f(f(y0))=y0已知函數(shù)f(x)是定義在[-100,100]上的偶函數(shù)，且f(x+2)=f(x-2)，當x∈[0,2]時，f(x)=(x-2)ex，若方程[f(x)]2-mf(x)+1=0有300A.-e-1e<m<-52 B.-e-【答案】A【解析】解：∵f(x+2)=f(x-2)，

∴函數(shù)f(x)=f(x+4)，即周期為4，

而區(qū)間[-100,100]內共有50個周期，方程[f(x)]2-mf(x)+1=0有300個不同的實數(shù)根，

故每個周期內有6個不同的實根，不妨研究周期[0,4]內，

又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，

∴f(-x)=f(x+4)，則函數(shù)f(x)關于直線x=2對稱，

∴方程[f(x)]2-mf(x)+1=0在[0,2]內有三個不同的實數(shù)根，

當x∈[0,2]時，f(x)=(x-2)ex，f'(x)=(x-1)ex，

當x∈(0,1)時，f(x)單減，當x∈(1,2)時，f(x)單增，f(x)min=f(1)=-e，f(0)=-2，

作出函數(shù)圖象如圖所示，

設t=f(x)，則t2-mt+1=0，設h(t)=t2-mt+1，則-e<t<0，而h(0)=1>0，

要使方程二、單空題（本大題共4小題，共20.0分）定義函數(shù)f(x)=4-8|x-32|,1≤x≤212f(x【答案】10.5【解析】解：由題意，

當2<x≤4時，f(x)=12f(x2)=2-4|x2-32|

=2-2|x-3|；

當4<x≤8時，f(x)=12f(x2)=1-|x2-3|；

故f(x)=4-8|x-32|,1≤x≤22-2|x-3|,2<x≤41-|x2-3|,4<x≤8；

函數(shù)g(x)=xf(x)-6在區(qū)間[1,8]內的所有零點即

xf(x)-6=0在區(qū)間[1,8]中國古代近似計算方法源遠流長，早在八世紀，我國著名數(shù)學家、天文學家張隧(法號：一行)為編制《大衍歷》發(fā)明了一種近似計算的方法——二次插值算法(又稱一行算法，牛頓也創(chuàng)造了此算法，但是比我國張隧晚了上千年)：對于函數(shù)y=f(x)在x1,x2,x3x1<x2<x3處的函數(shù)值分別為y1=fx1,y2【答案】2425【解析】解：函數(shù)y=f(x)=sinx在x1=0，x2=π2，x3=π處的函數(shù)值分別為y1=f(0)=0，y2=f(π2)=1，y3=f(π)=0，

故k若M、N兩點分別在函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象上，且關于直線x=1對稱，則稱M、N是y=f(x)與y=g(x)的一對“伴點”(M、N與N、M視為相同的一對)，已知f(x)=-2-x(x<2)4-(x-4)2(x≥2)，g(x)=|x+a|+1，若y=f(x)與【答案】(3-22【解析】解：設曲線y=f(x)關于x=1的對稱圖象上的點為(x,y)，(x,y)關于x=1的對稱點為(x',y')，

則x'=2-x，y'=y，代入f(x)=-2-x(x<2)4-(x-4)2(x≥2)，得h(x)=-x(x>0)4-(x+2)2(x≤0)．

作出函數(shù)h(x)=-x(x>0)4-(x+2)2(x≤0)的圖象如圖，

函數(shù)g(x)=|x+a|+1的圖象是把y=|x|+1向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個單位得到的．

由圖可知，要使y=f(x)與y=g(x)存在兩對“伴點”，需要把g(x)=|x+a|+1向左平移．

則a>0，設直線y=-(x+a)+1，即x+y+a-1=0，

由圓心(-2,0)到直線的距離為2，得|-2+a-1|2=2，解得a=3-22或a=3+22(舍)；

設直線y=(x+a)+1，即x-y+a+1=0，

由圓心(-2,0)已知函數(shù)f(x)=|x+1|,x≤0|log3x|,x>0，若方程f(x)=【答案】(-1,7【解析】【試題解析】解：作函數(shù)f(x)的圖象如右，

∵方程f(x)=a有四個不同的解x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，

∴x1，x2關于x=-1對稱，即x1+x2=-2，且0<x3<1<三、解答題（本大題共4小題，共30.0分）已知函數(shù)f(x)=x,x≥a,x2-2x,x<a,.g(x)=2f(x)-ax(a∈R)．

(1)當a=1時，求函數(shù)f(x)和g(x)的零點；

(2)若函數(shù)g(x)恰有【答案】解：(1)當a=1時，f(x)=x,??????????x≥1,x2-2x,??x<1,則方程f(x)=0的解x=0，

又g(x)=2f(x)-x=x,???????????x≥1,2x2-5x,??x<1,則方程g(x)=0的解x=0，

所以函數(shù)f(x)和g(x)的零點都是0．

(2)因g(x)=2f(x)-ax，則g(x)=(2-a)x,x≥a,2x2-(a+4)x,x<a.

若x≥a，令g(x)=0，得x=0；若x<a，令g(x)=0，得x=0或x=a+42．

①當a>0且a≠2時，g(x)在[a,+∞)無零點，若函數(shù)g(x)恰有2個零點，

則應有a+42<a，解得a>4；

②當a=2時，g(x)=0,????????????x≥2,2x2-4x,??x<2,有無數(shù)多個零點，不符題意；

③當a=0時，g(x)在[0,+∞)有零點0，g(x)在(-∞,0)沒有零點，不符題意；

④a<0時，g(x)已知函數(shù)f(x)=12(|x+3|+1),x≤0x-2,x>0．

(1)畫出函數(shù)f(x)的圖象，依據圖象討論直線y=m和函數(shù)f(x)的圖象交點的個數(shù)．

(2)若存在實數(shù)a<b<c，滿足f(a)=f(b)=f(c)【答案】解：(1)函數(shù)f(x)=12(|x+3|+1),x≤0x-2,x>0，圖象如圖所示：，

由圖象可知：①當m≤-2時，直線y=m和函數(shù)f(x)的圖象交點的個數(shù)為0個；

②當-2<m<12時，直線y=m和函數(shù)f(x)的圖象交點的個數(shù)為1個；

③當m=12或m>2時，直線y=m和函數(shù)f(x)的圖象交點的個數(shù)為2個；

④當12<m≤2時，直線y=m和函數(shù)f(x)的圖象交點的個數(shù)為3個；

(2)∵存在實數(shù)a<b<c，滿足f(a)=f(b)=f(c)，

∴由函數(shù)f(x)的圖象可知：a+b=-