1、引言：什么是攝像機標定2、攝像機標定方法的分類3、傳統(tǒng)攝像機標定方法攝像機標定攝像機標定1攝像機標定的目的：三維重建三維重建：攝像機標定的主要目的，也是計算機視覺的最主要的研究方向.(Marr1982)，所謂三維重建就是指從圖象出發(fā)恢復出空間點三維坐標的過程。攝像機標定：建立攝像機圖像像素位置與場景點位置之間的關系，其途徑是根據(jù)攝像機模型，由已知特征點的圖像坐標求解攝像機的模型參數(shù)。三維重建的三個關鍵步驟攝像機標定：單個像機圖象對應點的確定：雙目二圖象間攝像機運動參數(shù)的確定：單個像機運動1、引言攝像機標定的目的：三維重建三維重建：攝像機標定的主要目的，也2Ou攝像機坐標系xyv圖像坐標系世界坐標系1、世界坐標系：

2、攝像機坐標系：3、圖像坐標系:

坐標系Ou攝像機坐標系xyv圖像坐標系世界坐標系1、世界坐標系：3

在中的坐標為象素在軸上的物理尺寸為

AffineTransformation:圖像數(shù)字化UCV齊次坐標形式:其中在中的坐標為AffineTran4攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣K攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣K5傳統(tǒng)攝像機標定方法基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定2、攝相機標定方法分類傳統(tǒng)攝像機標定方法2、攝相機標定方法分類61）傳統(tǒng)的攝像機標定方法特點利用已知的景物結構信息。常用到標定塊。1）傳統(tǒng)的攝像機標定方法特點71）傳統(tǒng)的攝像機標定方法優(yōu)點可以使用于任意的攝像機模型，標定精度高不足標定過程復雜，需要高精度的已知結構信息。在實際應用中很多情況下無法使用標定塊。

1）傳統(tǒng)的攝像機標定方法82）基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定特點：將畸變參數(shù)單獨進行標定優(yōu)點：算法簡單，與其它內(nèi)外部參數(shù)分離缺點：誤差受樣本點的影響2）基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定特點：將畸變參數(shù)單獨進行93、攝像機傳統(tǒng)標定方法3.1、DLT方法3.2、RAC方法3.3、張正友的平面標定方法(ICCV,2019)3、攝像機傳統(tǒng)標定方法3.1、DLT方法10Abdal-Aziz和Karara于70年代初提出了直接線性變換像機定標的方法，他們從攝影測量學的角度深入的研究了像機圖像和環(huán)境物體之間的關系，建立了像機成像幾何的線性模型，這種線性模型參數(shù)的估計完全可以由線性方程的求解來實現(xiàn)。

3.1、直接線性變換（DLT變換）Abdal-Aziz和Karara于70年代初提出了直接線性11直接線性變換是將像點和物點的成像幾何關系在齊次坐標下寫成透視投影矩陣的形式：

DLT變換其中為圖像坐標系下的點的齊次坐標，為世界坐標系下的空間點的歐氏坐標，為的透視投影矩陣，為未知尺度因子。

直接線性變換是將像點和物點的成像幾何關系在齊次坐標下寫成透視12DLT變換消去，可以得到方程組:DLT變換消去，可以得到方程組:13當已知個空間點和對應的圖像上的點時，可以得到一個含有2*個方程的方程組：

DLT變換其中為的矩陣，為透視投影矩陣元素組成的向量。

當已知個空間點和對應的圖像上的點時，可以得到一個含有2*14DLT變換

像機定標的任務就是尋找合適的，使得為最小，即

給出約束：

為

的前11個元素組成的向量，為前11列組成的矩陣，為第12列組成的向量。向量的比例有意義DLT變換像機定標的任務就是尋找合適的，使得15攝像機內(nèi)外參數(shù)求解是正交單位矩陣的第三行，行列式為1攝像機內(nèi)外參數(shù)求解是正交單位矩陣的第三行，行列式為116攝像機內(nèi)外參數(shù)求解攝像機內(nèi)外參數(shù)求解17DLT變換是否合理？

約束不具有旋轉和平移的不變性,解將隨著世界坐標系的選取不同而變化.證明：世界坐標系作剛性坐標變換則顯然在一般的情況下DLT變換是否合理？約束不具有旋轉和平移18另一個約束具有旋轉和平移的不變性DLT變換由向量,,是兩兩垂直的單位向量另一個約束具有旋轉193.2、R.Tsai的RAC的定標算法

80年代中期Tsai提出的基于RAC的定標方法是計算機視覺像機定標方面的一項重要工作，該方法的核心是利用徑向一致約束來求解除（像機光軸方向的平移）外的其它像機外參數(shù)，然后再求解像機的其它參數(shù)。基于RAC方法的最大好處是它所使用的大部分方程是線性方程，從而降低了參數(shù)求解的復雜性，因此其定標過程快捷，準確。像機模型

徑向一致約束

定標算法

3.2、R.Tsai的RAC的定標算法80年20理想圖像坐標到數(shù)字圖像坐標的變換

（只考慮徑向偏差）

像機模型(ud,vd)為一個點的數(shù)字化實際坐標，（u,v）為理想的數(shù)字化坐標，（u0,v0）為畸變中心（u0,v0）(ud,vd)（u,v）理想圖像坐標到數(shù)字圖像坐標的變換

（只考慮徑向偏差）像機模21徑向一致約束在圖像平面上，點，共線，與直線平行或斜率相等.理想透視投影成像坐標真實透視投影成像坐標攝像機中坐標徑向一致約束在圖像平面上，點22世界坐標系和攝像機坐標系的關系像機模型uv由徑向約束世界坐標系和攝像機坐標系的關系像機模型uv由徑向約束23移項得：同除以得：寫成矢量形式得：移項得：同除以得：寫成矢量形式得：24定標算法1.利用徑向一致約束來求解和

定標步驟:2.求解有效焦距、方向上的平移T3和畸變參數(shù)

定標算法1.利用徑向一致約束來求解和定標步25定標算法——步驟一1.求解像機外參數(shù)旋轉矩陣和、方向上的平移和

（1）（2）定標算法——步驟一1.求解像機外參數(shù)旋轉矩陣和、方26（3）（4）（3）（4）27（5）確定的符號并得到假定為正，在標定點中任意選取一個點，進行如下計算若計算（5）確定的符號并得到假定為28定標算法——步驟二2.求解Tz,f,k（1）（2）定標算法——步驟二2.求解Tz,f,k（1）（2293.3、基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定

對于空間中同一直線上的四個點：交比：空間點透視關系：3.3、基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定對于空間中同一直線30對于空間四個點對應的理想圖像點為：對于空間四個點對應的實際圖像點為：對于空間四個點對應的理想圖像點為：對于空間四個點對應的實際圖31第五章攝像機標定-課件32張正友方法

3.4、張正友的平面標定方法張正友方法3.4、張正友的平面標定方法33張正友方法基本原理：

在這里假定模板平面在世界坐標系的平面上其中，為攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣，為模板平面上點的齊次坐標，為模板平面上點投影到圖象平面上對應點的齊次坐標，和分別是攝像機坐標系相對于世界坐標系的旋轉矩陣和平移向量H張正友方法基本原理：在這里假定模板平面在世界坐標系34根據(jù)旋轉矩陣的性質，即和，每幅圖象可以獲得以下兩個對內(nèi)參數(shù)矩陣的基本約束由于攝像機有5個未知內(nèi)參數(shù)，所以當所攝取得的圖象數(shù)目大于等于3時，就可以線性唯一求解出張正友方法根據(jù)旋轉矩陣的性質，即和35張正友方法所用的平面模板張正友方法張正友方法所用的平面模板張正友方法36算法描述張正友方法打印一張模板并貼在一個平面上從不同角度拍攝若干張模板圖象檢測出圖象中的特征點求出攝像機的內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)求出畸變系數(shù)優(yōu)化求精算法描述張正友方法打印一張模板并貼在一個平面上37張正友方法張正友的平面標定方法是介于傳統(tǒng)標定方法和自標定方法之間的一種方法。它既避免了傳統(tǒng)方法設備要求高，操作繁瑣等缺點，又較自標定方法精度高，符合辦公、家庭使用的桌面視覺系統(tǒng)(DVS)的標定要求。張的方法是需要確定模板上點陣的物理坐標以及圖像和模板之間的點的匹配，這給不熟悉計算機視覺的使用者帶來了不便。張正友方法張正友的平面標定方法是介于傳統(tǒng)標定方法和自標定方法38孟胡方法所用的模版3.5、孟曉橋、胡占義的圓標定方法孟胡方法所用的模版3.5、孟曉橋、胡占義的圓標定方法39孟胡方法

從至少三個不同方位拍攝模板圖象，根據(jù)射影不變性計算出每幅圖象上的圓環(huán)點像的坐標，得到關于內(nèi)參數(shù)矩陣的至少六個方程，即可解出所有內(nèi)參數(shù)。孟胡方法40孟胡方法計算圓環(huán)點像的原理：模板平面無窮遠直線圓環(huán)點為無窮遠點，它是絕對二次曲線上的一對共軛點(1,i,0,0)(1,-i,0,0)是一對圓環(huán)點孟胡方法計算圓環(huán)點像的原理：模板平面無窮遠直線圓環(huán)點為無窮遠41孟胡方法在圖像上，兩個圓環(huán)點的圖像被計算出，則有：孟胡方法42孟胡方法孟胡的方法與張的方法相比：過程相似；所用的模版不同，孟胡的方法基于曲線擬合（穩(wěn)定），并且不需要任何匹配，而張的方法基于點，需要匹配模版的點和圖像點。孟胡方法孟胡的方法與張的方法相比：43吳等的標定方法平行圓：同一個平面上的圓、或平行平面上的圓。原理：利用攝像機成像的準仿射不變性，計算圖像上二此曲線的交點，得到圓環(huán)點的圖像進而：3.6、吳等的平行圓標定方法吳等的標定方法平行圓：同一個平面上的圓、或平行平面上的圓。進44該方法從平行圓的最小個數(shù)出發(fā)，基于準仿射不變性，分析了所有可能情況的計算圓環(huán)點的方法吳等的標定方法a)TheconcentriccaseThelineatinfinityb)Theinner-tangentcaseThelineatinfinityThelineatinfinityc)Theouter-tangentcasee)TheseparatecaseThelineatinfinityThelineatinfinityf)TheenclosingbutnotconcentriccaseThelineatinfinityd)Theintersectingcase共面分布：該方法從平行圓的最小個數(shù)出發(fā)，基于準仿射不變性，分析了所有可45吳等的標定方法以上可進行推廣到非共面的平行圓的情形吳等的標定方法以上可進行推廣到非共面的平行圓的情形46吳等的標定方法利用K重建一個垂直角；重建平行線之間的交角重建的垂直角89.28o重建的平行角0.0000475o吳等的標定方法利用K重建一個垂直角；重建平行線之間的交角重建47吳等的標定方法該方法和以往的基于圓的標定方法相比:(1).從最小個數(shù)出發(fā);(2).計算圓環(huán)點圖像簡單;(3).只需要從擬合的二次曲線出發(fā),不需要任何匹配,不需要計算圓心;(4).應用場合廣泛,不僅僅限于平面的情形.可應用基于轉盤的重構。吳等的標定方法該方法和以往的基于圓的標定方法相比:48H.Wu,Q.Chen,T.Wada,VisualLineEstimationfromaSingleImageofTwoEyes.ICPR(3)2019.

應用于:G.Jiang,L.Quan,H.T.Tsui,Circularmotiongeometrybyminimal2pointsin4images,ICCV2019.自動化所一角(1)視線定位(2)基于轉盤的重建(3)車輛機器人等的定位H.Wu,Q.Chen,T.Wada,Visua49胡占義等的主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法基于外極點的正交運動方法4、主動視覺標定方法胡占義等的主動視覺標定方法4、主動視覺標定方法50胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理

是攝像機一組正交的平移運動，兩個單應矩陣：滿足：胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理51胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理即：，其中

五組兩正交運動可完全求解5個內(nèi)參數(shù)。

胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理52胡主動視覺標定方法

第1、2幅圖像在第0幅圖像的外極點分別是：則：基于外極點的正交運動方法原理012胡主動視覺標定方法基于外極點的正交運動方法原理01253胡主動視覺標定方法基于外極點的正交運動方法原理

從而：五組兩正交運動可完全求解5個內(nèi)參數(shù)。胡主動視覺標定方法基于外極點的正交運動方法原理54胡主動視覺標定方法

這兩種主動視覺標定方法與最經(jīng)典的主動視覺標定方法（馬頌德的三正交運動法）相比，具有如下優(yōu)點：照相機的二正交運動比三正交運動更容易實現(xiàn)?？梢郧蠼鈹z像機的所有5個內(nèi)參數(shù)，馬頌德的方法可以求解4個內(nèi)參數(shù)。胡主動視覺標定方法這兩種主動視覺標定方法與最經(jīng)典的主動55

5.1、預備知識：

什么是攝像機自標定？ 為什么要對攝像機進行自標定？對極幾何……

5.2、基于Kruppa方程的自標定方法5.3、基于絕對二次曲面、無窮遠平面的自標定方法5.4、幾種自標定方程的關系5、攝像機自標定方法 5.1、預備知識：5、攝像機自標定方法56攝像機自標定是指不需要標定塊，僅僅通過圖象點之間的對應關系對攝像機進行標定的過程。什么是自標定？為什么要進行自標定？實際應用的需求，主要應用場所的轉移優(yōu)缺點：優(yōu)點：靈活，方便缺點：精度不太高，魯棒性不足5.1、預備知識攝像機自標定是指不需要標定塊，僅僅通過圖象點之間的對應關系對57自標定的基本假設及任務1、假定圖象點之間的對應關系已經(jīng)確定。2、一般來說，認為在拍攝不同圖象時，攝像機的內(nèi)參數(shù)沒有發(fā)生變化3、所謂的自標定，就是要標定攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣K自標定的基本假設及任務1、假定圖象點之間的對應關系已經(jīng)確定。58一些預備知識1、點的齊次坐標二個齊次坐標如相差一個非零因子，則這二個齊次坐標相同2、無窮遠直線上的點如點為無窮遠直線上的點，則t=0一些預備知識1、點的齊次坐標2、無窮遠直線上的點59一些預備知識3、通過二點的直線

如果為二圖象點，則通過該二點的直線的參數(shù)向量為：Lx1x2一些預備知識3、通過二點的直線Lx1x260一些預備知識反對稱矩陣（Anti-symmetricorSkew-Symmetricmatrix)給定向量，其對應的反對稱矩陣定義為：則對應任意的向量b,有一些預備知識反對稱矩陣（Anti-symmetricor61一些預備知識對偶原理如果C為一非退化的圖象二次曲線，即：則過x處的切線參數(shù)向量為：則,代入上式可得：對偶線坐標曲線點坐標曲線一些預備知識對偶原理如果C為一非退化的圖象二次曲線，即：62一些預備知識l1l2l3l1l2l3對偶曲線示意圖C點坐標曲線對偶線坐標曲線x1x2x3一些預備知識l1l2l3l1l2l3對偶曲線示意圖C點坐標曲63一些預備知識歐幾理得空間下的投影矩陣如果X為空間某一點，兩攝像機間的坐標變換為：則歐幾理得空間下的兩投影矩陣為：K為攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣其中X為空間點，ml,mr對應于X的一對圖象對應點投影關系一些預備知識歐幾理得空間下的投影矩陣如果X為空間某一點，兩64一些預備知識對極幾何（EpipolarGeometry)o￠I￠IMom￠m'eel'lN一些預備知識對極幾何（EpipolarGeometry)o65一些預備知識基本矩陣的推導及形式F的秩為2，F(xiàn)在相差一個常數(shù)因子下是唯一確定的。F可以通過8對圖象對應點線性確定。一些預備知識基本矩陣的推導及形式F的秩為2，F(xiàn)在相差一個常66一些預備知識對極幾何的一些代數(shù)性質基本矩陣和外極點的關系所有的外極線都過對應的外極點，外極點是光心連線與圖象平面的交點。對應外極線束構成一射影變換如果m位于極線l上，n’位于極線l’上，m,n’不一定是對應點,下述關系仍然成立：一些預備知識對極幾何的一些代數(shù)性質基本矩陣和外極點的關系所有67一些預備知識一些預備知識68一些預備知識中心投影下，如果射影平面與空間曲線相切，則射影平面與圖象平面的交線必與空間曲線在圖象平面上的投影曲線相切圖象平面空間曲線一些預備知識中心投影下，如果射影平面與空間曲線相切，則射影平69一些預備知識絕對二次曲線<－－－>攝像機自標定的參考標定物絕對二次曲線是無窮遠平面上的一條二次曲線，它的數(shù)學定義為：一些預備知識絕對二次曲線<－－－>攝像機自標定的參考標定70一些預備知識絕對二次曲線在圖象上投影的性質絕對二次曲線的象僅與攝像機的內(nèi)參數(shù)有關，與攝像機的運動參數(shù)無關從定義XTX＝0知，給定正定矩陣，則K可以通過Cholesky分解唯一確定

一些預備知識絕對二次曲線在圖象上投影的性質絕對二次曲線的象僅71自標定的基本思路通過絕對二次曲線建立關于攝像機內(nèi)參數(shù)矩陣的約束方程，稱之為Kruppa方程求解Kruppa方程確定矩陣C通過Cholesky分解得到矩陣K如何進行自標定的基本思路通過絕對二次曲線建立關于攝像機內(nèi)參數(shù)矩陣的約72推導Kruppa方程的示意圖5.2、基于Kruppa方程的自標定方法推導Kruppa方程的示意圖5.2、基于Kruppa方程的73Kruppa方程x為位于ll上的任意一點，則,則則對偶Kruppa方程x為位于ll上的任意一點，則74w的組成形式對偶曲線w的組成形式對偶曲線75關于Kruppa方程的幾點說明1、在Kruppa方程中，F(xiàn),e

為已知數(shù)，w為未知數(shù)2、w有5個獨立未知變量3、每個Kruppa方程最多可以提供2個關于未知變量的獨立約束，約束方程為5元二次方程4、每對圖象可以得到一個Kruppa方程，故至少需要3對圖象來標定攝像機，且攝像機的內(nèi)參數(shù)必須保持不變5、假定內(nèi)參數(shù)都在變，任意兩幅圖像間有兩個獨立的Kruppa方程，則N(>=3)幅圖像之間有N(N-1)個Kruppa方程，其中只有5N-9個方程是獨立的。關于Kruppa方程的幾點說明1、在Kruppa方程中，F(xiàn)76絕對二次曲面將世界坐標系取作第一個攝像機的坐標系，則絕對二次曲面是：其中K1是第一個攝像機的內(nèi)參數(shù)，a是無窮遠平面的法向量。5.3、基于絕對二次曲面、

無窮遠平面的自標定方法絕對二次曲面將世界坐標系取作第一個攝像機的坐標系，則絕對二次77絕對二次曲面定標方程

是射影重建，則有：

絕對二次曲面定標方程78無窮遠平面的單應矩陣是射影重建，第1幅和第i幅圖像之間的無窮遠平面的單應矩陣是：無窮遠平面的單應矩陣79基于無窮遠平面單應矩陣的標定方程方程是：xπmm'ee'H33基于無窮遠平面單應矩陣的標定方程方程是：xπmm'e80

基于絕對二次曲面的標定方程與基于無窮遠平面的標定方程完全等價。

由絕對二次曲面的標定方程或無窮遠平面的標定方程可以推出Kruppa方程。反之，對Kruppa方程添加一個方程后，可以推出絕對二次曲面的標定方程或無窮遠平面的標定方程。5.4、幾種自標定方程的關系基于絕對二次曲面的標定方程與基于無窮遠平面的標定方程811、引言：什么是攝像機標定2、攝像機標定方法的分類3、傳統(tǒng)攝像機標定方法攝像機標定攝像機標定82攝像機標定的目的：三維重建三維重建：攝像機標定的主要目的，也是計算機視覺的最主要的研究方向.(Marr1982)，所謂三維重建就是指從圖象出發(fā)恢復出空間點三維坐標的過程。攝像機標定：建立攝像機圖像像素位置與場景點位置之間的關系，其途徑是根據(jù)攝像機模型，由已知特征點的圖像坐標求解攝像機的模型參數(shù)。三維重建的三個關鍵步驟攝像機標定：單個像機圖象對應點的確定：雙目二圖象間攝像機運動參數(shù)的確定：單個像機運動1、引言攝像機標定的目的：三維重建三維重建：攝像機標定的主要目的，也83Ou攝像機坐標系xyv圖像坐標系世界坐標系1、世界坐標系：

2、攝像機坐標系：3、圖像坐標系:

坐標系Ou攝像機坐標系xyv圖像坐標系世界坐標系1、世界坐標系：84

在中的坐標為象素在軸上的物理尺寸為

AffineTransformation:圖像數(shù)字化UCV齊次坐標形式:其中在中的坐標為AffineTran85攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣K攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣K86傳統(tǒng)攝像機標定方法基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定2、攝相機標定方法分類傳統(tǒng)攝像機標定方法2、攝相機標定方法分類871）傳統(tǒng)的攝像機標定方法特點利用已知的景物結構信息。常用到標定塊。1）傳統(tǒng)的攝像機標定方法特點881）傳統(tǒng)的攝像機標定方法優(yōu)點可以使用于任意的攝像機模型，標定精度高不足標定過程復雜，需要高精度的已知結構信息。在實際應用中很多情況下無法使用標定塊。

1）傳統(tǒng)的攝像機標定方法892）基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定特點：將畸變參數(shù)單獨進行標定優(yōu)點：算法簡單，與其它內(nèi)外部參數(shù)分離缺點：誤差受樣本點的影響2）基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定特點：將畸變參數(shù)單獨進行903、攝像機傳統(tǒng)標定方法3.1、DLT方法3.2、RAC方法3.3、張正友的平面標定方法(ICCV,2019)3、攝像機傳統(tǒng)標定方法3.1、DLT方法91Abdal-Aziz和Karara于70年代初提出了直接線性變換像機定標的方法，他們從攝影測量學的角度深入的研究了像機圖像和環(huán)境物體之間的關系，建立了像機成像幾何的線性模型，這種線性模型參數(shù)的估計完全可以由線性方程的求解來實現(xiàn)。

3.1、直接線性變換（DLT變換）Abdal-Aziz和Karara于70年代初提出了直接線性92直接線性變換是將像點和物點的成像幾何關系在齊次坐標下寫成透視投影矩陣的形式：

DLT變換其中為圖像坐標系下的點的齊次坐標，為世界坐標系下的空間點的歐氏坐標，為的透視投影矩陣，為未知尺度因子。

直接線性變換是將像點和物點的成像幾何關系在齊次坐標下寫成透視93DLT變換消去，可以得到方程組:DLT變換消去，可以得到方程組:94當已知個空間點和對應的圖像上的點時，可以得到一個含有2*個方程的方程組：

DLT變換其中為的矩陣，為透視投影矩陣元素組成的向量。

當已知個空間點和對應的圖像上的點時，可以得到一個含有2*95DLT變換

像機定標的任務就是尋找合適的，使得為最小，即

給出約束：

為

的前11個元素組成的向量，為前11列組成的矩陣，為第12列組成的向量。向量的比例有意義DLT變換像機定標的任務就是尋找合適的，使得96攝像機內(nèi)外參數(shù)求解是正交單位矩陣的第三行，行列式為1攝像機內(nèi)外參數(shù)求解是正交單位矩陣的第三行，行列式為197攝像機內(nèi)外參數(shù)求解攝像機內(nèi)外參數(shù)求解98DLT變換是否合理？

約束不具有旋轉和平移的不變性,解將隨著世界坐標系的選取不同而變化.證明：世界坐標系作剛性坐標變換則顯然在一般的情況下DLT變換是否合理？約束不具有旋轉和平移99另一個約束具有旋轉和平移的不變性DLT變換由向量,,是兩兩垂直的單位向量另一個約束具有旋轉1003.2、R.Tsai的RAC的定標算法

80年代中期Tsai提出的基于RAC的定標方法是計算機視覺像機定標方面的一項重要工作，該方法的核心是利用徑向一致約束來求解除（像機光軸方向的平移）外的其它像機外參數(shù)，然后再求解像機的其它參數(shù)?；赗AC方法的最大好處是它所使用的大部分方程是線性方程，從而降低了參數(shù)求解的復雜性，因此其定標過程快捷，準確。像機模型

徑向一致約束

定標算法

3.2、R.Tsai的RAC的定標算法80年101理想圖像坐標到數(shù)字圖像坐標的變換

（只考慮徑向偏差）

像機模型(ud,vd)為一個點的數(shù)字化實際坐標，（u,v）為理想的數(shù)字化坐標，（u0,v0）為畸變中心（u0,v0）(ud,vd)（u,v）理想圖像坐標到數(shù)字圖像坐標的變換

（只考慮徑向偏差）像機模102徑向一致約束在圖像平面上，點，共線，與直線平行或斜率相等.理想透視投影成像坐標真實透視投影成像坐標攝像機中坐標徑向一致約束在圖像平面上，點103世界坐標系和攝像機坐標系的關系像機模型uv由徑向約束世界坐標系和攝像機坐標系的關系像機模型uv由徑向約束104移項得：同除以得：寫成矢量形式得：移項得：同除以得：寫成矢量形式得：105定標算法1.利用徑向一致約束來求解和

定標步驟:2.求解有效焦距、方向上的平移T3和畸變參數(shù)

定標算法1.利用徑向一致約束來求解和定標步106定標算法——步驟一1.求解像機外參數(shù)旋轉矩陣和、方向上的平移和

（1）（2）定標算法——步驟一1.求解像機外參數(shù)旋轉矩陣和、方107（3）（4）（3）（4）108（5）確定的符號并得到假定為正，在標定點中任意選取一個點，進行如下計算若計算（5）確定的符號并得到假定為109定標算法——步驟二2.求解Tz,f,k（1）（2）定標算法——步驟二2.求解Tz,f,k（1）（21103.3、基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定

對于空間中同一直線上的四個點：交比：空間點透視關系：3.3、基于交比不變的攝像機畸變系數(shù)標定對于空間中同一直線111對于空間四個點對應的理想圖像點為：對于空間四個點對應的實際圖像點為：對于空間四個點對應的理想圖像點為：對于空間四個點對應的實際圖112第五章攝像機標定-課件113張正友方法

3.4、張正友的平面標定方法張正友方法3.4、張正友的平面標定方法114張正友方法基本原理：

在這里假定模板平面在世界坐標系的平面上其中，為攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣，為模板平面上點的齊次坐標，為模板平面上點投影到圖象平面上對應點的齊次坐標，和分別是攝像機坐標系相對于世界坐標系的旋轉矩陣和平移向量H張正友方法基本原理：在這里假定模板平面在世界坐標系115根據(jù)旋轉矩陣的性質，即和，每幅圖象可以獲得以下兩個對內(nèi)參數(shù)矩陣的基本約束由于攝像機有5個未知內(nèi)參數(shù)，所以當所攝取得的圖象數(shù)目大于等于3時，就可以線性唯一求解出張正友方法根據(jù)旋轉矩陣的性質，即和116張正友方法所用的平面模板張正友方法張正友方法所用的平面模板張正友方法117算法描述張正友方法打印一張模板并貼在一個平面上從不同角度拍攝若干張模板圖象檢測出圖象中的特征點求出攝像機的內(nèi)參數(shù)和外參數(shù)求出畸變系數(shù)優(yōu)化求精算法描述張正友方法打印一張模板并貼在一個平面上118張正友方法張正友的平面標定方法是介于傳統(tǒng)標定方法和自標定方法之間的一種方法。它既避免了傳統(tǒng)方法設備要求高，操作繁瑣等缺點，又較自標定方法精度高，符合辦公、家庭使用的桌面視覺系統(tǒng)(DVS)的標定要求。張的方法是需要確定模板上點陣的物理坐標以及圖像和模板之間的點的匹配，這給不熟悉計算機視覺的使用者帶來了不便。張正友方法張正友的平面標定方法是介于傳統(tǒng)標定方法和自標定方法119孟胡方法所用的模版3.5、孟曉橋、胡占義的圓標定方法孟胡方法所用的模版3.5、孟曉橋、胡占義的圓標定方法120孟胡方法

從至少三個不同方位拍攝模板圖象，根據(jù)射影不變性計算出每幅圖象上的圓環(huán)點像的坐標，得到關于內(nèi)參數(shù)矩陣的至少六個方程，即可解出所有內(nèi)參數(shù)。孟胡方法121孟胡方法計算圓環(huán)點像的原理：模板平面無窮遠直線圓環(huán)點為無窮遠點，它是絕對二次曲線上的一對共軛點(1,i,0,0)(1,-i,0,0)是一對圓環(huán)點孟胡方法計算圓環(huán)點像的原理：模板平面無窮遠直線圓環(huán)點為無窮遠122孟胡方法在圖像上，兩個圓環(huán)點的圖像被計算出，則有：孟胡方法123孟胡方法孟胡的方法與張的方法相比：過程相似；所用的模版不同，孟胡的方法基于曲線擬合（穩(wěn)定），并且不需要任何匹配，而張的方法基于點，需要匹配模版的點和圖像點。孟胡方法孟胡的方法與張的方法相比：124吳等的標定方法平行圓：同一個平面上的圓、或平行平面上的圓。原理：利用攝像機成像的準仿射不變性，計算圖像上二此曲線的交點，得到圓環(huán)點的圖像進而：3.6、吳等的平行圓標定方法吳等的標定方法平行圓：同一個平面上的圓、或平行平面上的圓。進125該方法從平行圓的最小個數(shù)出發(fā)，基于準仿射不變性，分析了所有可能情況的計算圓環(huán)點的方法吳等的標定方法a)TheconcentriccaseThelineatinfinityb)Theinner-tangentcaseThelineatinfinityThelineatinfinityc)Theouter-tangentcasee)TheseparatecaseThelineatinfinityThelineatinfinityf)TheenclosingbutnotconcentriccaseThelineatinfinityd)Theintersectingcase共面分布：該方法從平行圓的最小個數(shù)出發(fā)，基于準仿射不變性，分析了所有可126吳等的標定方法以上可進行推廣到非共面的平行圓的情形吳等的標定方法以上可進行推廣到非共面的平行圓的情形127吳等的標定方法利用K重建一個垂直角；重建平行線之間的交角重建的垂直角89.28o重建的平行角0.0000475o吳等的標定方法利用K重建一個垂直角；重建平行線之間的交角重建128吳等的標定方法該方法和以往的基于圓的標定方法相比:(1).從最小個數(shù)出發(fā);(2).計算圓環(huán)點圖像簡單;(3).只需要從擬合的二次曲線出發(fā),不需要任何匹配,不需要計算圓心;(4).應用場合廣泛,不僅僅限于平面的情形.可應用基于轉盤的重構。吳等的標定方法該方法和以往的基于圓的標定方法相比:129H.Wu,Q.Chen,T.Wada,VisualLineEstimationfromaSingleImageofTwoEyes.ICPR(3)2019.

應用于:G.Jiang,L.Quan,H.T.Tsui,Circularmotiongeometrybyminimal2pointsin4images,ICCV2019.自動化所一角(1)視線定位(2)基于轉盤的重建(3)車輛機器人等的定位H.Wu,Q.Chen,T.Wada,Visua130胡占義等的主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法基于外極點的正交運動方法4、主動視覺標定方法胡占義等的主動視覺標定方法4、主動視覺標定方法131胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理

是攝像機一組正交的平移運動，兩個單應矩陣：滿足：胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理132胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理即：，其中

五組兩正交運動可完全求解5個內(nèi)參數(shù)。

胡主動視覺標定方法基于平面單應矩陣的正交運動方法原理133胡主動視覺標定方法

第1、2幅圖像在第0幅圖像的外極點分別是：則：基于外極點的正交運動方法原理012胡主動視覺標定方法基于外極點的正交運動方法原理012134胡主動視覺標定方法基于外極點的正交運動方法原理

從而：五組兩正交運動可完全求解5個內(nèi)參數(shù)。胡主動視覺標定方法基于外極點的正交運動方法原理135胡主動視覺標定方法

這兩種主動視覺標定方法與最經(jīng)典的主動視覺標定方法（馬頌德的三正交運動法）相比，具有如下優(yōu)點：照相機的二正交運動比三正交運動更容易實現(xiàn)?？梢郧蠼鈹z像機的所有5個內(nèi)參數(shù)，馬頌德的方法可以求解4個內(nèi)參數(shù)。胡主動視覺標定方法這兩種主動視覺標定方法與最經(jīng)典的主動136

5.1、預備知識：

什么是攝像機自標定？ 為什么要對攝像機進行自標定？對極幾何……

5.2、基于Kruppa方程的自標定方法5.3、基于絕對二次曲面、無窮遠平面的自標定方法5.4、幾種自標定方程的關系5、攝像機自標定方法 5.1、預備知識：5、攝像機自標定方法137攝像機自標定是指不需要標定塊，僅僅通過圖象點之間的對應關系對攝像機進行標定的過程。什么是自標定？為什么要進行自標定？實際應用的需求，主要應用場所的轉移優(yōu)缺點：優(yōu)點：靈活，方便缺點：精度不太高，魯棒性不足5.1、預備知識攝像機自標定是指不需要標定塊，僅僅通過圖象點之間的對應關系對138自標定的基本假設及任務1、假定圖象點之間的對應關系已經(jīng)確定。2、一般來說，認為在拍攝不同圖象時，攝像機的內(nèi)參數(shù)沒有發(fā)生變化3、所謂的自標定，就是要標定攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣K自標定的基本假設及任務1、假定圖象點之間的對應關系已經(jīng)確定。139一些預備知識1、點的齊次坐標二個齊次坐標如相差一個非零因子，則這二個齊次坐標相同2、無窮遠直線上的點如點為無窮遠直線上的點，則t=0一些預備知識1、點的齊次坐標2、無窮遠直線上的點140一些預備知識3、通過二點的直線

如果為二圖象點，則通過該二點的直線的參數(shù)向量為：Lx1x2一些預備知識3、通過二點的直線Lx1x2141一些預備知識反對稱矩陣（Anti-symmetricorSkew-Symmetricmatrix)給定向量，其對應的反對稱矩陣定義為：則對應任意的向量b,有一些預備知識反對稱矩陣（Anti-symmetricor142一些預備知識對偶原理如果C為一非退化的圖象二次曲線，即：則過x處的切線參數(shù)向量為：則,代入上式可得：對偶線坐標曲線點坐標曲線一些預備知識對偶原理如果C為一非退化的圖象二次曲線，即：143一些預備知識l1l2l3l1l2l3對偶曲線示意圖C點坐標曲線對偶線坐標曲線x1x2x3一些預備知識l1l2l3l1l2l3對偶曲線示意圖C點坐標曲144一些預備知識歐幾理得空間下的投影矩陣如果X為空間某一點，兩攝像機間的坐標變換為：則歐幾理得空間下的兩投影矩陣為：K為攝像機的內(nèi)參數(shù)矩陣其中X為空間點，ml,mr對應于X的一對圖象對應點投影關系一些預備知識歐幾理得空間下的投影矩陣如果X為空間某一點，兩145一些預備知識對極幾何（EpipolarGeometry)o￠I￠IMom￠m'eel'lN一些預備知識對極幾何（Epipol