8.2一元線性回歸模型及其應用一、選擇題1．（2021·全國高二課時練）某同學為了解氣溫對熱飲銷售的影響，經過統(tǒng)計分析，得到了一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的回歸方程.下列選項正確的是（）A．與線性正相關 B．與線性負相關C．隨增大而增大 D．隨減小而減小【答案】B【詳解】由回歸方程，可得：與線性負相關，且隨增大而減小.2．（2021·黑龍江哈爾濱市九中高二月考）下列描述中正確命題的個數(shù)為（）（1）最小二乘法的原理是使得最小（2）樣本相關系數(shù)越大，相關程度越大（3）設有一個回歸方程，變量增加一個單位時，減少個單位A． B． C． D．【答案】B【詳解】對于（1），最小二乘法是使得樣本數(shù)據(jù)點到回歸直線的距離的評分和最小的方法，即使得最小，故正確；對于（2），相關系數(shù)為負數(shù)時，樣本相關系數(shù)越大，相關程度越小，故錯誤；對于（3），變量增加一個單位時，平均減少個單位，故錯誤；所以正確的命題個數(shù)為1個.故選：B3.已知x與y之間的成對樣本數(shù)據(jù)：若y與x線性相關，則y與x的經驗回歸直線＝x＋必過()A.點(2,2) B.點(1.5,0) C.點(1,2) D.點(1.5,4)【答案】D【詳解】∵＝＝1.5，＝＝4，∴經驗回歸直線必過點(1.5,4)．4.某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其經驗回歸方程可能是()A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200C.＝－10x－200 D.＝10x－200【答案】A【詳解】x的系數(shù)為負數(shù)，表示負相關，排除B，D；由實際意義可知x＞0，y＞0，顯然C不滿足，故選A.5.已知x與y之間的成對樣本數(shù)據(jù)：已求得關于y與x的經驗回歸方程為＝2.2x＋0.7，則m的值為()A.1 B.0.85 C.0.7 D.0.5【答案】D【詳解】＝＝1.5，＝＝，將其代入＝2.2x＋0.7，可得m＝0.5.6．（多選題）（2021·河南洛陽市高二期末）在用最小二乘法進行線性回歸分析時，下列說法中正確的是（）A.由樣本數(shù)據(jù)得到的線性回歸方程必過樣本點的中心；B.由樣本點，，…，得到回歸直線，則這些樣本點都在回歸直線上；C.利用來刻畫回歸的效果，比的模型回歸效果好；D.殘差圖中的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，寬度越窄，則說明模型擬合精度越低；【答案】AC【詳解】線性回歸直線必過樣本點的中心，而樣本點未必在回歸直線上，即A正確，B錯誤；相關指數(shù)越大，擬合效果越好，C正確；殘差圖中的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，寬度越窄，說明模型擬合精度越高，D錯誤.二、填空題7.已知經驗回歸直線的斜率的估計值是1.23，且過定點(4,5)，則經驗回歸方程是______________．【答案】＝1.23x＋0.08【詳解】經驗回歸直線的斜率的估計值為1.23，即＝1.23，又經驗回歸直線過定點(4,5)，∴＝5－1.23×4＝0.08，∴＝1.23x＋0.08.8．（2021·全國高三專題練）在一組樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，若所有樣本點都在曲線附近波動．經計算，則實數(shù)的值為________．【答案】【詳解】令，則曲線的回歸方程變?yōu)榫€性的回歸方程，即，此時，代入，可得，解得.9．（2021·廣東湛江市高二月考）某公交公司推出掃碼支付乘車優(yōu)惠活動，活動為期兩周，活動的前五天數(shù)據(jù)如下表：第天12345使用人數(shù)()151734578421333由表中數(shù)據(jù)可得y關于x的回歸方程為，則據(jù)此回歸模型相應于點（2，173）的殘差為________．【答案】【詳解】令，則，1491625使用人數(shù)()151734578421333，，所以，所以，當時，，所以殘差為.10．（2021·全國高三專題練習）已知某次考試之后，班主任從全班同學中隨機抽取一個容量為8的樣本，他們的數(shù)學、物理成績(單位：分)對應如下表：學生編號12345678數(shù)學成績6065707580859095物理成績7277808488909395給出散點圖如下：根據(jù)以上信息，判斷下列結論：①根據(jù)散點圖，可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有線性相關關系；②根據(jù)散點圖，可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有一次函數(shù)關系；③從全班隨機抽取甲、乙兩名同學，若甲同學數(shù)學成績?yōu)?0分，乙同學數(shù)學成績?yōu)?0分，則甲同學的物理成績一定比乙同學的物理成績高．其中正確的個數(shù)為________．【答案】1【詳解】由散點圖知，各點都分布在一條直線附近，故可以判斷數(shù)學成績與物理成績具有線性相關關系，但不能判斷數(shù)學成績與物理成績具有一次函數(shù)關系，故①正確，②錯誤；若甲同學的數(shù)學成績?yōu)?0分，乙同學數(shù)學成績?yōu)?0分，則甲同學的物理成績可能比乙同學的物理成績高，故③錯誤．綜上，正確的個數(shù)為1.三、解答題11．（2021·河南高二期中）為保護農民種糧收益，促進糧食生產，確保國家糧食安全，調動廣大農民生產糧食的積極性，從2014年開始，國家實施了對種糧農民直接補貼的政策通過對2014~2018年的數(shù)據(jù)進行調查，發(fā)現(xiàn)某地區(qū)發(fā)放糧食補貼額x（單位：億元）與該地區(qū)糧食產量y（單位：萬億噸）之間存在著線性相關關系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：年份20142015201620172018補貼額x/億元91012118糧食產量y/萬億2526313721（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸直線方程；（2）通過對該地區(qū)糧食產量的分析研究，計劃2019年在該地區(qū)發(fā)放糧食補貼7億元，請根據(jù)（1）中所得到的線性回歸直線方程，預測2019年該地區(qū)的糧食產量.參考公式：，.【詳解】解：（1）由表中所給數(shù)據(jù)可得，，，代入公式，解得，所以.故所求的y關于x的線性回歸直線方程為.（2）由題意，將代入回歸方程，可得，.所以預測2019年該地區(qū)的糧食產量大約為19.4萬億噸.12.中國茶文化博大精深，已知茶水的口感與茶葉類型以及水溫有關．經驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時飲用，可以產生最佳口感．某學習研究小組通過測量，得到了下面表格中的數(shù)據(jù)(室溫是20℃)．(1)小組成員根據(jù)上面表格中的數(shù)據(jù)繪制散點圖(圖略)，并根據(jù)散點圖分布情況，考慮到茶水溫度降到室溫(即20℃)就不能再降的事實，決定選擇函數(shù)模型y＝kcx＋20(x≥0)來刻畫．①令z＝ln(y－20)，求出z關于x的經驗回歸方程；②利用①的結論，求出y＝kcx＋20(x≥0，c>0)中的k與c.(2)你認為該品種綠茶用85℃的水大約泡制多久后飲用，可以產生最佳口感？參考數(shù)據(jù)：ln65≈4.2，ln59≈4.1，ln54≈4.0，ln51≈3.9，ln45≈3.8，log0.90.6≈4.8，e－0.1≈0.9，e4.2≈66.7，≈0.6，參考公式：＝x＋，＝，＝－.【答案】解(1)①由已知得出x與z的關系，如下表：設經驗回歸方程＝x＋，由題意，得＝＝2，＝＝4，∴(xi－)(zi－)＝(－2)×0.2＋(－1)×0.1＋1×(－0.1)＋2×(－0.2)＝－1，(xi－)2＝(－2)2＋(－1)2＋12＋22＝10，則＝＝＝－0.1，＝－＝4＋0.1×2＝4.2，則z關于x的經驗回歸方程為＝－0.1x＋4.2.②由y＝kcx＋20(x≥0)，得y－20＝kcx(x≥0)，兩邊取