第七章剛體的簡單運(yùn)動在工程實際中，最常見的剛體運(yùn)動有兩種基本運(yùn)動形式：平動和轉(zhuǎn)動。一些較為復(fù)雜的剛體運(yùn)動，如車輪在直線軌道上的滾動等，都可以歸結(jié)為這兩種基本運(yùn)動的組合。因此，平動和轉(zhuǎn)動是分析一般剛體運(yùn)動的基礎(chǔ)。§7-1剛體的平行移動平動是剛體最簡單的一種運(yùn)動。例如，車刀的刀架，擺式輸送機(jī)的料槽以及沿直線軌道行駛的列車的車廂等，都是平動的實例。這些剛體的運(yùn)動具有一個共同的特點(diǎn)：運(yùn)動時，剛體上任一直線始終與原來位置保持平行。剛體的這種運(yùn)動稱為平行移動，簡稱為平動。剛體作平動時，剛體上的點(diǎn)可以是直線運(yùn)動(刀架)，也可以是曲線運(yùn)動(送料槽)?，F(xiàn)在就一般情形，研究剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動軌跡，速度和加速度。剛體作平動在剛體上任取一線段AB。該剛體的運(yùn)動可由AB在空間的位置確定。為研究剛體內(nèi)各點(diǎn)的運(yùn)動，可以O(shè)為參考點(diǎn)，向A、B兩點(diǎn)分別引矢徑rA和rB，則點(diǎn)A和B的運(yùn)動方程分別為rA=rA(t),rB=rB(t)且二者之間有下列關(guān)系r=r+r (*)ABAB由于剛體作平動，在運(yùn)動中矢量AB的大小和方向都不改變，所以AB為一常矢量。這說明：點(diǎn)A和B不僅運(yùn)動軌跡形狀相同，而且運(yùn)動規(guī)律也相同。如上面的各例中，刀架上各點(diǎn)的軌跡是相互平行的直線；料槽上各點(diǎn)的軌跡都是半徑等于AC的圓弧。將式(*)對時間t取一階和二階導(dǎo)數(shù)，同時注意到常矢量AB的導(dǎo)數(shù)等于零，于是有v=vABa=aAB這說明：剛體內(nèi)任意兩點(diǎn)的速度、加速度相等。綜合以上分析，可得如下結(jié)論：(1)剛體平動時，其上各點(diǎn)的軌跡形狀相同；(2)同一瞬時各點(diǎn)的速度彼此相等，各點(diǎn)的加速度也彼此相等。因此，在研究剛體平動時，只要知道剛體上某一點(diǎn)的運(yùn)動，就能知道所有點(diǎn)的運(yùn)動。所以，剛體的運(yùn)動可歸結(jié)為點(diǎn)的運(yùn)動?！?-2剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動是工程中常見的一種運(yùn)動，如電動機(jī)的轉(zhuǎn)子，機(jī)床中的膠帶輪齒輪以及飛輪等的運(yùn)動，都是定軸轉(zhuǎn)動的實例。這些剛體的運(yùn)動具有一個共同的特點(diǎn)：當(dāng)剛體運(yùn)動時，剛體內(nèi)有一直線始終固定不動，而這條直線以外的各點(diǎn)則繞此直線作圓周運(yùn)動，剛體的這種運(yùn)動叫做繞定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動保持不動的那條直線叫做轉(zhuǎn)動軸。一、轉(zhuǎn)動方程一剛體繞固定軸z轉(zhuǎn)動。為了確定剛體在轉(zhuǎn)動過程中的位置，可先通過轉(zhuǎn)軸Z作一固定平面I再通過轉(zhuǎn)軸及剛體內(nèi)任一點(diǎn)A作一隨剛體轉(zhuǎn)動的平面II。這樣，任一瞬時剛體的位置，可以用動平面II與固定平面I的夾角0來確定。0角稱為轉(zhuǎn)角。當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，0隨時間不斷變化，是時間t的連續(xù)函數(shù)，即p=f(t)上式稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方程。它表示了剛體的轉(zhuǎn)動規(guī)律，用一個參變量0就可以決定剛體的位置。轉(zhuǎn)角CP是代數(shù)量。我們規(guī)定：從轉(zhuǎn)軸z的正端向負(fù)端看，逆時針轉(zhuǎn)動為正，順時針轉(zhuǎn)動為負(fù)。轉(zhuǎn)角0的單位是弧度(rad)。—? 打.二、角速度為了度量剛體轉(zhuǎn)動的快慢和方向，引出角速度的概念。轉(zhuǎn)角（p對時間t的一階導(dǎo)數(shù)，叫做角速度，用3表示。則dt角速度是代數(shù)量。如果導(dǎo)數(shù)在某瞬時的值為正，表示3的轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)角p正向一致，是逆時針轉(zhuǎn)動；反之，如果在某瞬時的值為負(fù)，表示3的轉(zhuǎn)向與轉(zhuǎn)角（P負(fù)向一致，是順時針轉(zhuǎn)動。因此，角速度的正負(fù)號，決定了剛體的轉(zhuǎn)動方向。角速度的國際單位是弧度/秒（rad/s）。工程上常用轉(zhuǎn)速n（轉(zhuǎn)/分），來表示轉(zhuǎn)動的快慢。轉(zhuǎn)速n與角速度3的換算關(guān)系為n兀30三、角加速度角速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，稱為角加速度，用a表示。d3d2Qa= = ——dtdt2角加速度也是代數(shù)量。如果導(dǎo)數(shù)de/dt在某瞬時的值為正，表示a的轉(zhuǎn)向與p的正向一致，是逆時針方向；反之，如果導(dǎo)數(shù)de/dt在某瞬時的值為負(fù)，表示a的轉(zhuǎn)向與p的負(fù)向一致，是順時針方向。當(dāng)e、a同號時，表示剛體作加速轉(zhuǎn)動；e、a異號時，表示剛體作減速轉(zhuǎn)動。角加速度的國際單位是弧度/秒2（rad/s2）。根據(jù)剛體的運(yùn)動方程，很容易求得在任何瞬時的角速度和角加速度。反之，如果知道剛體的角速度或角加速度，欲求剛體的轉(zhuǎn)動方程，則應(yīng)用積分計算。積分中出現(xiàn)的積分常數(shù)，則由剛體的初始位置（pO和初角速度eO決定。如果剛體的角速度不變，即e二常量，這樣的轉(zhuǎn)動稱為勻速轉(zhuǎn)動。則屮=屮。+3t式中％是剛體在t=0時的轉(zhuǎn)角。如果剛體的角加速度不變，即奸常量，這樣的轉(zhuǎn)動稱為勻變速轉(zhuǎn)動。則3=3o+at0=0O+3Ot+l/2at232=3O2+2a(0%)式中3o是剛體在t=0時的角速度，0。為初始轉(zhuǎn)角。例1卷揚(yáng)機(jī)的鼓輪繞固定軸O逆時針轉(zhuǎn)動。起動時轉(zhuǎn)動方程為0=t3(rad),其中t以秒計。試計算t=2s時鼓輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)、角速度和角加速度。解由于鼓輪的轉(zhuǎn)動方程已知，可直接按公式求解。將t=2s代入轉(zhuǎn)動方程即得轉(zhuǎn)角0=23=8(rad)于是便可求得轉(zhuǎn)過的圈數(shù)N=8/2n=1.27圈角速度和角加速度為3=dg/dt=12rad/sa=d3/dt=12rad/s2例2已知飛輪的轉(zhuǎn)速n=90r/min，當(dāng)馬達(dá)關(guān)掉后它作勻減速運(yùn)動，經(jīng)過t1=40s后停止。求這段時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。解由于飛輪作勻減速轉(zhuǎn)動，故申=3Ot+1/2at23=3o+at式中3為馬達(dá)關(guān)掉以前飛輪的初角速度，即O3o=nn/30在時刻t=t「飛輪停止轉(zhuǎn)動，即31=0將這些數(shù)值代入式(b)得 0=nn/30+at]所以 a=-nn/(30t])令N表示在時間t內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，則在這段時間內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)過的角度為10]=2nN將a與他值代入2nN=nn/30t1-nn/60t1=nn/60t、因此N=nt/120=30轉(zhuǎn)例3一半徑r=0.2m的圓輪繞定軸O作逆時針轉(zhuǎn)動，輪子的轉(zhuǎn)動方程為=唸+4t，輪上繞一繩索，繩的下端吊一重物A，求t=1s時，輪緣上任一點(diǎn)M和重物A的速度和加速度。(13分)

解：①= =—2t+4=2rads解：dte= =—2rad/s2dtv=r?=0.4m/sa=a=re=—0.4m/s2Ata=r?2=0.8m/s2n試求當(dāng)0=例4搖桿機(jī)構(gòu)如圖，滑桿AB以勻速v向上運(yùn)動，開始時防0n/4時，搖桿OC試求當(dāng)0=于是則于是則?=空=L=丄dt1+存2L解由幾何關(guān)系得Ltgp=vtv申=arctgtLTOC\o"1-5"\h\zd? v2\o"CurrentDocument"a= =—-\o"CurrentDocument"dt 2L2§7-3轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)的速度與加速度工程中，還常常需要知道轉(zhuǎn)動剛體上某些點(diǎn)的速度與加速度。因此，我們要研究剛體內(nèi)各個點(diǎn)的速度和加速度與剛體的角速度和角加速度的關(guān)系。一、速度首先分析轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度：剛體定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上所有點(diǎn)都將在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動，圓心在軸線O上，半徑r等于點(diǎn)到轉(zhuǎn)動軸的距離，稱為轉(zhuǎn)動半徑。取MO為弧坐標(biāo)的原點(diǎn)，則點(diǎn)沿圓周的運(yùn)動規(guī)律可表示為s=Rq因此，M點(diǎn)的速度為v=ds/dt=R?3上式表明：轉(zhuǎn)動剛體上任意點(diǎn)的速度等于該點(diǎn)轉(zhuǎn)動半徑與剛體角速度的乘積，方向垂直于轉(zhuǎn)動半徑，指向與3的轉(zhuǎn)向一致。為區(qū)別于角速度，轉(zhuǎn)動剛體上的速度稱為線速度。二、加速度轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)都作圓周運(yùn)動，所以，由點(diǎn)的平面曲線運(yùn)動可知，點(diǎn)的加速度包括切向加速度和法向加速度兩部分，它們分別為aT=dv/dt=d(re)/dt=rde/dt=raan=v2/p=(re)2/r=re2上式表明：轉(zhuǎn)動剛體上任意點(diǎn)的切向加速度等于該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動半徑和剛體角加速度的乘積，方向垂直于轉(zhuǎn)動半徑，指向與a的轉(zhuǎn)向一致；法向加速度等于該點(diǎn)轉(zhuǎn)動半徑和剛體角速度平方的乘積，方向沿半徑指向圓心O。點(diǎn)M的全加速度的大小及方向為a=fa2+a2=R、.a2 4*T ntgO=aJan=IaI3式中，e為全加速度與該點(diǎn)半徑之間的夾角。由于在每一瞬時，剛體的3和a對于其上所有各點(diǎn)來說具有相同的數(shù)值,所以在每一瞬時，轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的切向加速度、法向加速度以及全加速度都與各點(diǎn)的轉(zhuǎn)動半徑成正比；轉(zhuǎn)動剛體內(nèi)所有各點(diǎn)的全加速度與轉(zhuǎn)動半徑的夾角e都相同，即e角與轉(zhuǎn)動半徑的大小無關(guān)。例4平板AB置于兩個半徑均為r=25cm的圓筒上，某瞬時，平板具有向右的勻加速度aA=0.5m/s2，同一瞬時，圓筒周邊上一點(diǎn)的加速度a=3m/s2設(shè)平板AB與圓筒間無滑動。求該瞬時平板AB的速度vAB。解 a=0.5m/s2a=2.96m/s2t n由a=v2/r得 v2=a?r=0.7395nnv=0.86m/s§7—4輪系的傳動比一、齒輪傳動定義齒輪的傳動比i等于主動輪的角速度與從動輪角速度的比。12由式3r=3r有11223ri=—=-^-12 3r21zz，則有22nr 2nr1=2zz12若設(shè)齒輪齒數(shù)分別為Z1從而得33rr12圖6-1圖6