預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)11.集合的概念在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱否則，記為一、集合如果元素

在集合

中，記為為一個(gè)集合.集合中的事物稱為該集合的元素.1.集合的概念在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體2只有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，否則稱為無(wú)限集.常用數(shù)集:自然數(shù)集:整數(shù)集:有理數(shù)集:復(fù)數(shù)集:只有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，否則稱為無(wú)限集.常用數(shù)集:自32.集合的運(yùn)算集合的交:集合的并:集合的差:

設(shè)是兩個(gè)集合，由此定義如下幾個(gè)集合：2.集合的運(yùn)算集合的交:集合的并:集合的差:設(shè)4

集合的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算率：交換率:結(jié)合率:分配率:集合的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算率：交換率:結(jié)合率:分配率:53.區(qū)間和鄰域開(kāi)區(qū)間:閉區(qū)間:設(shè)

是實(shí)數(shù)，且3.區(qū)間和鄰域開(kāi)區(qū)間:閉區(qū)間:設(shè)是實(shí)6半開(kāi)半閉區(qū)間:半開(kāi)半閉區(qū)間:7無(wú)窮區(qū)間:注意：無(wú)窮端不能寫(xiě)成閉的記號(hào)無(wú)窮區(qū)間:注意：無(wú)窮端不能寫(xiě)成閉的記號(hào)8設(shè)是實(shí)數(shù)，且則定義點(diǎn)

的鄰域?yàn)榧希亨徲颍涸O(shè)是實(shí)數(shù)，且則定義點(diǎn)9如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點(diǎn)

的空心鄰域：如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點(diǎn)的空心鄰域：101.映射的概念二、映射設(shè)

是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則使得而元素

稱為

的象，記作，即對(duì)

中的每個(gè)元素按此法則在

中有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，那么稱

為從

到

的映射，記作1.映射的概念二、映射設(shè)是兩個(gè)非空集合，11同濟(jì)大學(xué)微積分課件12例

設(shè)則

是

到的映射.例設(shè)則

是

到的映射.例設(shè)則是到的映射.例132.幾類(lèi)重要映射一一對(duì)應(yīng)：既單又滿的映射稱為一一對(duì)應(yīng).例

在前面的兩例中，例2是一一對(duì)應(yīng)，而例1則不是.

設(shè)

是

到的映射.滿射：若即使得單射：若則必有2.幾類(lèi)重要映射一一對(duì)應(yīng)：既單又滿的映射稱為一一對(duì)應(yīng).例143.逆映射與復(fù)合映射

則：逆映射：設(shè)

是

到的一一映射，則對(duì)

中任一元素例

設(shè)可以確定

中的唯一元素滿足稱此對(duì)應(yīng)關(guān)系為映射

的逆映射，記為3.逆映射與復(fù)合映射則：逆映射：設(shè)是到15復(fù)合映射：設(shè)有映射其中稱此映射為由構(gòu)成的復(fù)合映射，記為

由此可以確定一個(gè)從

到

的映射復(fù)合映射：設(shè)有映射16例：設(shè)則復(fù)合映射為例：設(shè)則復(fù)合映射為171.概念三、一元函數(shù)

從數(shù)集到實(shí)數(shù)集

的任一映射

稱為定義在

上的稱為的圖象.而數(shù)集

則稱為函數(shù)一元函數(shù)，通常記為而中的集合的定義域.1.概念三、一元函數(shù)從數(shù)集到實(shí)數(shù)集18注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的例則定義域?yàn)槔齽t定義域?yàn)榉绞浇o出，即定義域?yàn)槭贡磉_(dá)式有效的一切實(shí)數(shù).注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的例19以下例中函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集。例3

符號(hào)函數(shù)以下例中函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集。例3符號(hào)函數(shù)20例

取整函數(shù)

12345

-2-4-4-3-2-1

4

321

-1-3例取整函數(shù)1234212.函數(shù)的幾種特性有界無(wú)界有界性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)集如果都有就稱

在上有界,否則稱為無(wú)界函數(shù).2.函數(shù)的幾種特性有界無(wú)界有界性設(shè)函數(shù)22例

在上是有界函數(shù)，在上無(wú)界.例在23域內(nèi)是無(wú)界函數(shù).例試說(shuō)明函數(shù)在的任何空心鄰解設(shè)，取，其中則所以無(wú)界.域內(nèi)是無(wú)界函數(shù).例試說(shuō)明函數(shù)24同濟(jì)大學(xué)微積分課件25單調(diào)性設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)閰^(qū)間如果對(duì)任意的當(dāng)時(shí)，總有則稱函數(shù)

為區(qū)間

上的單調(diào)增加函數(shù)；如果時(shí)，總有則稱函數(shù)

為區(qū)間

上的單調(diào)減少函數(shù).單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?6圖形特征：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)圖形單調(diào)減少函數(shù)圖形圖形特征：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)圖形單調(diào)減少函數(shù)圖形27奇偶性設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)任意的都有就稱

為偶函數(shù)；如果對(duì)任意的都有就稱

為奇函數(shù).奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)28圖形特征：偶函數(shù)奇函數(shù)圖形特征：偶函數(shù)奇函數(shù)29使得對(duì)任意的當(dāng)總有通常我們說(shuō)的周期指的是最小正周期.周期函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻嬖跀?shù)就稱

為周期函數(shù)，

稱為的周期.例如，的最小正周期是使得對(duì)任意的當(dāng)30例：狄利克雷函數(shù)則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒(méi)有最小正周期.例：狄利克雷函數(shù)則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒(méi)有最小正周期313.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)，則其逆映注：習(xí)慣上用

表示為自變量，所以函數(shù)的射為的反函數(shù).的反函數(shù)仍表示為3.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)32注：函數(shù)

與它的反函數(shù)的圖形關(guān)于對(duì)稱.注：函數(shù)與它的反函數(shù)33復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是復(fù)合映射在函數(shù)上的推廣.當(dāng)復(fù)合映射定義中的幾個(gè)集合均為數(shù)集時(shí)，即得到復(fù)合函數(shù)的定義.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是復(fù)合映射在函數(shù)上的推廣.當(dāng)復(fù)344.基本初等函數(shù)⑴冪函數(shù)（是常數(shù)）4.基本初等函數(shù)⑴冪函數(shù)35⑵指數(shù)函數(shù)⑵指數(shù)函數(shù)36⑶對(duì)數(shù)函數(shù)⑶對(duì)數(shù)函數(shù)37⑷三角函數(shù)①正弦函數(shù)②余弦函數(shù)⑷三角函數(shù)①正弦函數(shù)②余弦函數(shù)38③正切函數(shù)④余切函數(shù)③正切函數(shù)④余切函數(shù)39③正割函數(shù)④余割函數(shù)③正割函數(shù)④余割函數(shù)40⑸反三角函數(shù)①反正弦函數(shù)②反余弦函數(shù)⑸反三角函數(shù)①反正弦函數(shù)②反余弦函數(shù)41③反正切函數(shù)③反余切函數(shù)③反正切函數(shù)③反余切函數(shù)425.初等函數(shù)

由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)稱為初等函數(shù).5.初等函數(shù)由常數(shù)函數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)436.雙曲函數(shù)

最后再簡(jiǎn)單介紹在工程技術(shù)中經(jīng)常用到的一類(lèi)函數(shù)⑴雙曲正弦函數(shù)⑵雙曲余弦函數(shù)——雙曲函數(shù).6.雙曲函數(shù)最后再簡(jiǎn)單介紹在工程技術(shù)中經(jīng)常用到的一類(lèi)44同濟(jì)大學(xué)微積分課件45同濟(jì)大學(xué)微積分課件46預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)471.集合的概念在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體稱否則，記為一、集合如果元素

在集合

中，記為為一個(gè)集合.集合中的事物稱為該集合的元素.1.集合的概念在數(shù)學(xué)中，把具有某種特定性質(zhì)的事物組成的總體48只有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，否則稱為無(wú)限集.常用數(shù)集:自然數(shù)集:整數(shù)集:有理數(shù)集:復(fù)數(shù)集:只有有限個(gè)元素的集合稱為有限集，否則稱為無(wú)限集.常用數(shù)集:自492.集合的運(yùn)算集合的交:集合的并:集合的差:

設(shè)是兩個(gè)集合，由此定義如下幾個(gè)集合：2.集合的運(yùn)算集合的交:集合的并:集合的差:設(shè)50

集合的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算率：交換率:結(jié)合率:分配率:集合的運(yùn)算滿足如下運(yùn)算率：交換率:結(jié)合率:分配率:513.區(qū)間和鄰域開(kāi)區(qū)間:閉區(qū)間:設(shè)

是實(shí)數(shù)，且3.區(qū)間和鄰域開(kāi)區(qū)間:閉區(qū)間:設(shè)是實(shí)52半開(kāi)半閉區(qū)間:半開(kāi)半閉區(qū)間:53無(wú)窮區(qū)間:注意：無(wú)窮端不能寫(xiě)成閉的記號(hào)無(wú)窮區(qū)間:注意：無(wú)窮端不能寫(xiě)成閉的記號(hào)54設(shè)是實(shí)數(shù)，且則定義點(diǎn)

的鄰域?yàn)榧希亨徲颍涸O(shè)是實(shí)數(shù)，且則定義點(diǎn)55如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點(diǎn)

的空心鄰域：如果把鄰域的中心去掉，所得到的集合稱為點(diǎn)的空心鄰域：561.映射的概念二、映射設(shè)

是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則使得而元素

稱為

的象，記作，即對(duì)

中的每個(gè)元素按此法則在

中有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，那么稱

為從

到

的映射，記作1.映射的概念二、映射設(shè)是兩個(gè)非空集合，57同濟(jì)大學(xué)微積分課件58例

設(shè)則

是

到的映射.例設(shè)則

是

到的映射.例設(shè)則是到的映射.例592.幾類(lèi)重要映射一一對(duì)應(yīng)：既單又滿的映射稱為一一對(duì)應(yīng).例

在前面的兩例中，例2是一一對(duì)應(yīng)，而例1則不是.

設(shè)

是

到的映射.滿射：若即使得單射：若則必有2.幾類(lèi)重要映射一一對(duì)應(yīng)：既單又滿的映射稱為一一對(duì)應(yīng).例603.逆映射與復(fù)合映射

則：逆映射：設(shè)

是

到的一一映射，則對(duì)

中任一元素例

設(shè)可以確定

中的唯一元素滿足稱此對(duì)應(yīng)關(guān)系為映射

的逆映射，記為3.逆映射與復(fù)合映射則：逆映射：設(shè)是到61復(fù)合映射：設(shè)有映射其中稱此映射為由構(gòu)成的復(fù)合映射，記為

由此可以確定一個(gè)從

到

的映射復(fù)合映射：設(shè)有映射62例：設(shè)則復(fù)合映射為例：設(shè)則復(fù)合映射為631.概念三、一元函數(shù)

從數(shù)集到實(shí)數(shù)集

的任一映射

稱為定義在

上的稱為的圖象.而數(shù)集

則稱為函數(shù)一元函數(shù)，通常記為而中的集合的定義域.1.概念三、一元函數(shù)從數(shù)集到實(shí)數(shù)集64注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的例則定義域?yàn)槔齽t定義域?yàn)榉绞浇o出，即定義域?yàn)槭贡磉_(dá)式有效的一切實(shí)數(shù).注：在以后的討論中，更多的是函數(shù)的定義域以默認(rèn)的例65以下例中函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集。例3

符號(hào)函數(shù)以下例中函數(shù)的定義域均為實(shí)數(shù)集。例3符號(hào)函數(shù)66例

取整函數(shù)

12345

-2-4-4-3-2-1

4

321

-1-3例取整函數(shù)1234672.函數(shù)的幾種特性有界無(wú)界有界性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)集如果都有就稱

在上有界,否則稱為無(wú)界函數(shù).2.函數(shù)的幾種特性有界無(wú)界有界性設(shè)函數(shù)68例

在上是有界函數(shù)，在上無(wú)界.例在69域內(nèi)是無(wú)界函數(shù).例試說(shuō)明函數(shù)在的任何空心鄰解設(shè)，取，其中則所以無(wú)界.域內(nèi)是無(wú)界函數(shù).例試說(shuō)明函數(shù)70同濟(jì)大學(xué)微積分課件71單調(diào)性設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)閰^(qū)間如果對(duì)任意的當(dāng)時(shí)，總有則稱函數(shù)

為區(qū)間

上的單調(diào)增加函數(shù)；如果時(shí)，總有則稱函數(shù)

為區(qū)間

上的單調(diào)減少函數(shù).單調(diào)性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?2圖形特征：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)圖形單調(diào)減少函數(shù)圖形圖形特征：?jiǎn)握{(diào)增加函數(shù)圖形單調(diào)減少函數(shù)圖形73奇偶性設(shè)函數(shù)

的定義域?yàn)?/p>

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果對(duì)任意的都有就稱

為偶函數(shù)；如果對(duì)任意的都有就稱

為奇函數(shù).奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)74圖形特征：偶函數(shù)奇函數(shù)圖形特征：偶函數(shù)奇函數(shù)75使得對(duì)任意的當(dāng)總有通常我們說(shuō)的周期指的是最小正周期.周期函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)槿绻嬖跀?shù)就稱

為周期函數(shù)，

稱為的周期.例如，的最小正周期是使得對(duì)任意的當(dāng)76例：狄利克雷函數(shù)則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒(méi)有最小正周期.例：狄利克雷函數(shù)則任何非零有理數(shù)都是其周期，但沒(méi)有最小正周期773.反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)反函數(shù)設(shè)函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)，則其逆映注：習(xí)慣上用