第八章復(fù)合材料構(gòu)造分析有限元法§8.1引言§8.2考慮剪切效應(yīng)的層合梁單元§8.3具有離散克希霍夫假定的層合板單元〔DKT〕§8.4考慮剪切效應(yīng)的分項插值單元§8.5以一階剪切理論為根底的Panda單元§8.6層合板的三維單元§8.7分層分析理論為根底的有限層單元§8.1引言根據(jù)板的理論,復(fù)合材料層合板的有限元，可分為:〔1〕以Kirchhoff假定的一階理論層合板單元〔2〕以Reissner-Mindlin假定的一階剪切層合板單元〔FOSDLT〕〔3〕以高階理論為根底的層合板單元〔HOSDLT〕〔4〕以分層轉(zhuǎn)化理論為根底的層合板單元〔5〕以三維理論為根底的層合板單元假設(shè)以變分原理分類又可分為：〔1〕以勢能原理為根底的位移元〔2〕以余能原理為根底的應(yīng)力元〔3〕以廣義變分原理為根底的混合元或雜交元二.考慮一階剪切變形Mindlin理論的勢能和余能表示式(1)勢能表達(dá)式：（1）extensionalstiffnesscouplingstiffnessbendingstiffnessshear（outofplane）stiffness(2)余能表達(dá)式〔2〕extensionalcompliancecouplingcompliancebendingcomplianceshear（outofplane）compliance三.廣義變分原理(1)HellingerReissner原理〔二變量〕(2)胡海昌-鷲津廣義變分原理〔三變量〕符號規(guī)定采用右手法則----向量符號XYZO

考慮剪切效應(yīng)的層合梁單元以直角梁斷面為例一維問題，設(shè)〔1〕位移場表達(dá)式〔3〕〔2〕應(yīng)變表達(dá)式〔a〕面內(nèi)〔b〕出平面將〔3〕代入上式，得〔3〕單層板的本構(gòu)關(guān)系對第K層板整體坐標(biāo)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，并注意〔a〕面內(nèi)〔4〕經(jīng)約化可得（5）其中即（6）〔b〕出平面上式可約化為〔7〕其中〔8〕〔4〕層合梁本構(gòu)關(guān)系〔a〕面內(nèi)（9）其中（b）出平面（10）〔5〕勢能表達(dá)式〔11〕〔12〕〔13〕〔14〕（6）剛度陣（a）設(shè)位移插值函數(shù)為線性插值其中（b）為二次插值∵對應(yīng)彎曲部分將（13）（14）代入（11）得132L〔15〕〔16〕〔c〕設(shè)W用Hermet插值應(yīng)變—節(jié)點位移陣剛度陣節(jié)點位移向量其中（17）將（17）和（14）式代入（12）式得（18）（19）剛度陣應(yīng)變—節(jié)點位移陣〔20〕〔d〕在單剛裝配時必須先凝聚掉

那么最后節(jié)點位移向量為:節(jié)點位移向量123456§7.3具有離散克?；舴蚣俣ǖ膶雍习鍐卧―KT元）DiscreteKirchhoffTriangularElement

該單元是法國貢比涅大學(xué)Batoz教授提出的，該單元特點僅在三角形單元邊中點滿足Kirchhoff假定，故放松了原位移的約束，使此單元不存在剪切閉鎖（即ShearLocking），且具有收斂好的特點，該單元還能保證各單元相鄰邊位移的協(xié)調(diào)性。但是該單元原來適用于各向同性板。我們將該單元發(fā)展成為復(fù)合材料層合板單元。

已知三角形單元其節(jié)點為i、j、k，定義為1、2、3，邊中點為4、5、6，位移和轉(zhuǎn)角均定義為向量，按右手定律規(guī)定其正負(fù)。O、X、Y為整體坐標(biāo)。（1）內(nèi)力勢能—應(yīng)變能

∵不考慮剪切效應(yīng)，故（21）Z設(shè)節(jié)點位移向量分成兩局部假設(shè)面內(nèi)應(yīng)變—節(jié)點位移陣為彎曲應(yīng)變—節(jié)點位移陣為那么〔22〕將〔22〕式代入〔21〕式〔23〕由最小勢能原理可得其中（24）（25）問題如何確定陣（2）陣的確定采用常應(yīng)變插值函數(shù)，則（26）為面積坐標(biāo)L1=1L3=0L1=1L1=0L3=1L2=0L1=constL2=constL3=constA1A2A3o〔27〕將（26）代入上式得其中該單元能保證各邊連續(xù)〔3〕陣確實定〔28〕彎曲能量表達(dá)式中包含的導(dǎo)數(shù)項，故其插值函數(shù)要求滿足沿邊界上曲率，位移及轉(zhuǎn)角（0，1，2）連續(xù)，其次,必須避免ShearLocking現(xiàn)象.令0為形心，邊中點分別為4，5，6。設(shè)僅在節(jié)點1，2，3，4，5，6上滿足Kirchhoff假定，即:〔29〕〔b〕建立邊中點的轉(zhuǎn)角與兩端點轉(zhuǎn)角的關(guān)系假設(shè)任選一個邊，其兩端節(jié)點為i，j，邊中點為m，引入局部坐標(biāo)ξοη，令w在ij邊按Hermite插值，即（a）對分項插值其中為輔助自由度，最后需消去。〔30〕其中L為ij邊長，S=ξ/l，無量綱則（31）當(dāng)S=0.5為m點（邊中點）（32）ijmxy0假設(shè)設(shè)沿ij邊線性插值〔33〕在S=0.5處為m點〔34〕由〔32〕與〔34〕可合并寫為:〔35〕〔36〕將轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)上去

設(shè)在端點與邊中點滿足克?；舴蚣俣?即:〔37〕同理可得〔38〕將〔38〕代入〔29〕式〔39〕〔40〕將（39）代入（28），得將（27）（40）代入（25）可得單元剛度陣〔4〕幾何剛度陣〔41〕代入〔41〕可得〔42〕則幾何剛度陣（5）數(shù)例受均壓四邊簡支邊界為三角形板設(shè)層數(shù)精確解DKT誤差456.0957.101.8%662.4663.060.9%§7.4考慮剪切效應(yīng)的分項插值單元（1）內(nèi)力勢能→應(yīng)變能→剛度陣（43）若板是薄板或忽略剪切效應(yīng)，則陣必須是奇異陣，即剪切能量為零。而面內(nèi)，彎矩耦合剛度陣為非奇異陣，則總單元剛度陣也必須是非奇異陣。設(shè)為廣義位移,在單元內(nèi)位移采用分項插值，且等參插值。（44）其中為i節(jié)點位移向量，即設(shè)應(yīng)變位移陣為〔45〕其中將〔45〕代入〔43〕，并對節(jié)點位移向量變分得(46)其中（2）剛度陣奇異性的判別a、秩的判別規(guī)則在剛度陣求解時必須采用數(shù)值積分，一般采用高斯積分方法。然而采用不同的高斯積分方式所得到的剛度陣，是具有不同性質(zhì)的特征?？紤]剪切效應(yīng)的板單元，要求剪切剛度陣為奇異，而其它剛度陣必須非奇異，總單元剛度陣必須非奇異。判別剛度陣奇異與非奇異，首先可判斷它是缺秩或滿秩。若缺秩為奇異。令K為n階方陣，其滿秩，則其秩＞n。①矩陣相乘的秩

若

則秩②矩陣相加的秩

若

則秩b、單剛的秩其中為權(quán)系數(shù),D為彈性陣，其d×d，秩為d。2Dd=33Dd=6軸對稱d=5B應(yīng)變—節(jié)點位移向量，其尺寸,為節(jié)點未知數(shù)〔自由度〕故秩為d為高斯積分階數(shù)。故,秩為假設(shè)構(gòu)造由M個單元組成那么總剛度陣的秩為:〔47〕為總剛度非奇異性判別準(zhǔn)那么?！睲為單元總數(shù)〕〔3〕數(shù)例以四與八節(jié)點平面等參元為例d=3每節(jié)點兩個自由度(黑字為非奇異,紅字為奇異)線性單元（四節(jié)點）二次單元（八節(jié)點）nMnMa4×2-3=5113奇異8×2-3=131212奇異b6×2-3=9216奇異13×2-3=232224非奇異c25×2-18=3216148非奇異[(5×9)+(4×5)]×2-34=96162192非奇異

四節(jié)點(hg=1)八節(jié)點(hg=2)

(a)(b)(c)奇異奇異奇異非奇異非奇異非奇異〔4〕簡易剛度陣秩的判別準(zhǔn)那么構(gòu)造考慮剪切效應(yīng)板單元，假設(shè)僅判別單剛奇異性，可采用如下簡易判別條件，即：奇異〔48〕J

為增加一個單元形成的自由度的增加d為彈性陣的秩為高斯積分階數(shù)其假定原構(gòu)造單元總剛是滿秩，在此根底上再增加一單元，去判別此單元增加后引起秩的變化。該方法計算秩可能偏大，因為在邊界上增加一單元，其節(jié)點自由度的增加。將小于j〔5〕例構(gòu)造考慮剪切效應(yīng)單元單元形式j(luò)總單剛LR311×1×3=311×1×2=2522×2×3=1211×1×2=214QS922×2×3=1222×2×2=820QLR1222×2×3=1222×2×2=820CSR1533×3×3=2733×3×2=1845CLR2733×3×3=2733×3×2=1845黑字為非奇異,紅字為奇異LRQSRQLRCSRCLR結(jié)論〔1〕三種Lagrange〔LR，QLR，CLR〕減縮積分比Serendipity單元〔QSR，CSR〕有更好的性能。而QSR剪切剛度陣為奇異?？倓偠汝嚍榉瞧娈?，而CSR也經(jīng)常剪切剛度陣為非奇異，故經(jīng)常出現(xiàn)剪切Locking現(xiàn)象。〔2〕對厚板這兩種積分都將得到較好的結(jié)果?！?.5以一階剪切理論為根底的Panda單元本單元是在采用等參分項插值根底上，再引入厚度概念〔ThicknessConcept〕是一種退化單元。設(shè)一八節(jié)點殼單元，每節(jié)點仍為五個自由度?！?〕由等參定義設(shè)（49）7O234568中面為自然坐標(biāo)下ξ，η中i點的形函數(shù)。T為板總厚度。

為i節(jié)點處厚度，-1<ζ<1，為第j層厚度則位移場插值:（50）由應(yīng)變位移關(guān)系:〔51〕〔2〕由三維彈性力學(xué)本構(gòu)關(guān)系〔令，對本構(gòu)方程約化〕，即〔51〕〔3〕勢能原理與單元剛度陣〔52〕Jocobi陣

由于每層材料層內(nèi)相同，而沿厚度方向各層不同，故引入ζ（局部局部坐標(biāo)（每一層一個）

，ζ不能是連續(xù)函數(shù)，第K層為，

其原點在每層的中面。

由幾何關(guān)系可知〔53〕那么〔54〕將〔53〕〔54〕代入〔52〕得〔55〕n為層板總層數(shù)?！?〕例0/90/90/0，等厚簡支方板，外載:力學(xué)性能如下:結(jié)果見圖。102030402468a/tCLT51015201.52.02.53.0a/tCLTPANDA元解§7.6層合板的三維單元〔20節(jié)點塊體元〕（1）位移與幾何插值

等參插值（56）0其中在邊中點：（2）本構(gòu)關(guān)系各層采用橫觀各向同性假定（材料主軸）（57）在統(tǒng)一坐標(biāo)下，（58）注意：z軸不轉(zhuǎn)動為鋪設(shè)角。（3）單剛（59）∵每層材料性質(zhì)不同，與panda元相同，引入厚度概念，即令（60）t為單元總厚度，為第k層厚度（60）式代入（59）得，（61）§7.7分層理論為基礎(chǔ)的有限層元法

若邊界形狀為規(guī)則層板，且邊界條件比較簡單（例如四邊簡支，固定等），則我們可采用分層理論為基礎(chǔ)的有限層法。此方法特征，沿X—Y平面以符合邊界條件位移函數(shù)展開，而在厚度方向采用有限元法，形成有限層法。（1）設(shè)位移函數(shù)，第

i層（62）其中為每層厚度，而下標(biāo)t、c、b表示第i層上表面、中面與下表面。分別為滿足邊界條件的位移函數(shù)。（2）本構(gòu)關(guān)系（第i層）（63）（3）剛度陣其中dξdη部分可積分積出，而沿厚度z