中心極限定理

(CentralLimitTheorem

)

DefineMeasureAnalyzeImproveControlStep8-Data分析Step9-VitalFewX’的選定

多變量研究

中心極限定理

假設檢驗

置信區(qū)間

方差分析，均值檢驗

卡方檢驗

相關/回歸分析Step7-Data收集路徑位置理論課

定義

中心極限定理的應用1.正態(tài)分布的例子2.Chi-Square分布的例子

標準誤差與樣本大小的關系目錄定義中心極限定理是闡述大量隨機變量之和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理的總稱。最常用的有：獨立同分布中心極限定理：

“隨機變量x1，x2，…獨立，且服從同一分布，若存在有限的數(shù)學期望E(xi)=u和方差D(xi)=σ2，當n→∞時，隨機變量的總和Σxi趨于均值為nu，方差為nσ2的正態(tài)分布。（即算術平均數(shù)1/nΣxi=xbar趨于均值為u，方差為σ2/n的正態(tài)分布）”不論總體服從何種分布，只要它的數(shù)學期望和方差存在，從中抽取容量為n的樣本，則這個樣本的總和或平均數(shù)是隨機變量，當n充分大時，Σxi或xbar趨于正態(tài)分布。定義德莫佛-拉普拉斯中心極限定理：“如果用X表示n次獨立試驗中事件A發(fā)生(“成功”)的次數(shù)，P是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率,則X服從二項分布,B(n,p),當n→∞時，X趨于均值為np，方差為npq的正態(tài)分布?！闭龖B(tài)分布和泊松分布都是二項分布的極限分布當n足夠大時，可用正態(tài)分布近似計算;當n足夠大且p小時,可用泊松分布近似計算。中心極限定理是一種十分重要的現(xiàn)象,它是統(tǒng)計學中應用的許多方法的理論基礎的組成部分(如:計算樣本均值的置信區(qū)間)

利用同樣的數(shù)據(jù)畫出兩種不同的控制圖,并仔細比較它們的差異:

打開文件[CENLIMIT.MTW

].

分別用下面的兩個路徑畫出個體圖和子群大小為5的均值圖個體圖路徑均值圖路徑應用圖形輸出個體數(shù)據(jù)樣本平均

仔細比較兩個圖上的控制上下線(UCL和LCL),有什么不同?應用個體控制圖和

Xbar控制圖的差異μ15100102030405060應用平均值分布的標準偏差叫做

均值標準誤差，因而其定義為:這個公式表明平均值比個體數(shù)據(jù)更穩(wěn)定，穩(wěn)定因子是樣本數(shù)的平方根。σsx==均值標準誤差個體值的標準差n=平均值的樣本數(shù)x均值的標準誤差（StandardErroroftheMean）其中 我們經(jīng)常依靠從測量系統(tǒng)中得到的一個數(shù)值來估計輸入或輸出變量的值。減小測量系統(tǒng)誤差的簡易方法就是把兩個或更多的讀數(shù)平均。我們的測量系統(tǒng)的精密度自動增加，增加因子是平均值樣本數(shù)的平方根,如果我們要想使測量系統(tǒng)的誤差減小一半，我們就需要把4次的測量值平均才可以。實際應用測量系統(tǒng)的改善當總體體數(shù)據(jù)據(jù)具備備正態(tài)態(tài)分布布時中心極極限定定理理理解例例題模模擬-1假設你你面前前有一一個大大桶,桶里面面裝有有相當當多數(shù)數(shù)量的的白色色紙條條,每張紙紙條上上都寫寫有數(shù)字字，且且假定定這些些數(shù)字字都來來自一一個具具有特特定平平均值值和標標準偏偏差的的正態(tài)態(tài)分布布.1)從中隨隨機抽抽出9張白白色紙紙條,并把其其上面面的9個數(shù)數(shù)字求求平均均,2)然后把把這個個平均均值寫寫在一一張綠綠色紙紙條上上,3)把這9張白白色紙紙條放放回原原來的的桶里里,4)把這張張綠色色紙條條放入入另外外一個個桶里里,如此重重復上上面的的步驟驟，直直到盛盛有綠綠色紙紙條的的桶放放滿為為止。。白色紙紙條代代表總總體的的數(shù)據(jù)據(jù)；綠色紙紙條代代表平平均值值的樣樣本；；我們用用MINITAB來模擬擬做這這個練練習。。讓我們們用MINITAB產生一一些模模擬的的數(shù)據(jù)據(jù)來驗驗證我我們的的理論論。首先用用MINITAB產生9列各各250個個數(shù)據(jù)據(jù)，假假設這這些數(shù)數(shù)據(jù)來來自一一個平均值值=70、標準偏偏差=9的正態(tài)態(tài)分布布:則列C1-C9代表白白色紙紙條然后求求出各各行9個數(shù)據(jù)據(jù)的平平均值值，其其結果果放在在列C10，則C10代表綠綠色紙紙條。。我們用用描述述統(tǒng)計計的方方法求求出各各列數(shù)數(shù)據(jù)的的平均均和標標準偏偏差。。仔細比比較C1-C9列與C10列有什什么差差別？？[例題1]中心極極限定定理應應用模模擬1、用MINITAB隨機產產生樣樣本數(shù)數(shù)據(jù)分別輸輸入下下列信信息2、樣本本平均均數(shù)計計算3、輸出出：產產生10列數(shù)據(jù)據(jù)[注意：：每次次每個個人操操作產產生的的數(shù)據(jù)據(jù)都不不一樣樣]4、描述述統(tǒng)計計路徑徑5、描述述統(tǒng)計計結果果比較較描述性性統(tǒng)計計:C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10平均值變量NN*平均值標標準準誤標標準差差最最小值下下四四分位數(shù)數(shù)中中位數(shù)上上四四分位數(shù)數(shù)C1250070.6050.5348.43943.53764.92470.89576.690C2250069.6330.6239.84743.52163.09470.17476.382C3250069.6430.5919.34147.78562.61769.06376.286C4250070.2930.5598.84649.31364.74569.70275.834C5250070.7050.6039.54245.84964.11870.67377.782C6250069.3850.5879.28841.39863.23769.28576.174C7250070.2280.5438.58548.88864.44470.58775.767C8250069.8520.5929.35741.97763.09669.82677.060C9250070.1260.5688.98848.10064.02369.87175.867C10250070.0520.1852.93061.50168.16770.47972.1805、描述統(tǒng)統(tǒng)計結果果比較（（續(xù)）描述性統(tǒng)統(tǒng)計:C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10平均值變量NN*平均值標標準準誤標標準差差最最小值下下四四分位數(shù)數(shù)中中位數(shù)上上四四分位數(shù)數(shù)C1250070.6050.5348.43943.53764.92470.89576.690C2250069.6330.6239.84743.52163.09470.17476.382C3250069.6430.5919.34147.78562.61769.06376.286C4250070.2930.5598.84649.31364.74569.70275.834C5250070.7050.6039.54245.84964.11870.67377.782C6250069.3850.5879.28841.39863.23769.28576.174C7250070.2280.5438.58548.88864.44470.58775.767C8250069.8520.5929.35741.97763.09669.82677.060C9250070.1260.5688.98848.10064.02369.87175.867C10250070.0520.1852.93061.50168.16770.47972.180現(xiàn)在開始始比較。。樣本的散散布(C9)和樣本平平均的散散布(C10)進行比較較。散布減少了很很多.σ=8.988σ=2.9306、直方圖結果比較較用點圖比比較頻度度數(shù)則能夠更明明確的了了解散布。7、點圖結果比較較樣本平均均值分布布的平均值和總體的的平均值值十分接接近;樣本平均均值分布布的標準偏差差等于總體體的標準準偏差除除以樣本本數(shù)的平平方根;樣本平均均值的分分布十分分接近正正態(tài)分布布。8、結論當總體數(shù)數(shù)據(jù)是非非正態(tài)分分布時，，若從中中隨機抽抽樣n個并計算算其平均均，同樣如此此反復若若干次，，然后比比較這些些平均的的散布與與這些個個體值的的散布，你你會發(fā)現(xiàn)現(xiàn)，當n→∞時，x-bar的散布也也具有正正態(tài)分布布。為了驗證證,我們在非非正態(tài)分分布中隨隨機選擇擇一個偏偏移較大大的分布布-“Chi-Square分布”，求其x-bar來體會一一下中心心極限定定理。當總體數(shù)數(shù)據(jù)不具具備正態(tài)態(tài)分布時時中心極限限定理理理解例題題模擬-21、用卡方方分布隨隨機產生生9列，每列列各有250個數(shù)據(jù)2、用產生生的數(shù)據(jù)據(jù)進行點圖描繪和正態(tài)檢驗驗在這里看看到，這這是一個個很偏移移的分布布，我們用它它來驗證證中心極極限定理理C10項是對C1~C9的平均值值的數(shù)據(jù)據(jù)統(tǒng)計，，同樣樣本本大小為為9，其散布布明顯變變得小多多了。描述性統(tǒng)統(tǒng)計:C1,C2,C3,C4,C5,C6,C7,C8,C9,C10平均值變量NN*平均值標標準準誤標標準差差最最小值下下四四分位數(shù)數(shù)中中位數(shù)上上四四分位數(shù)數(shù)C125001.9170.1221.9320.0020.5431.2522.602C225002.0380.1121.7680.0030.6021.4533.068C325002.0720.1302.0500.0090.5581.4022.853C425002.0050.1392.2040.0020.5511.3272.875C525001.8540.1091.7260.0090.5341.2832.595C625001.9540.1292.0390.0030.4771.3472.743C725001.9650.1221.9350.0110.5161.4122.759C825002.0740.1382.1780.0110.5971.3792.755C925002.0080.1362.1490.0220.5991.2832.680C1025001.98750.04360.68940.47331.52531.92902.42143、用產生生的數(shù)據(jù)據(jù)進行描述統(tǒng)計計比較sssxxxn====2092030.67..個體值的的分布樣本平均均的分布布4、點圖描繪比較較，驗證證中心極極限定理理個體值的的概率圖圖樣本平均均的分布布5、正態(tài)概