3-1-3概率的基本性質(zhì)命題方向1互斥事件的概念1、某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參加演講比賽．判斷下列每對事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對立事件．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．[解析]判別兩個事件是否互斥，就是考查它們是否能同時發(fā)生；判別兩個互斥事件是否對立，就要考查它們是否必有一個發(fā)生且只有一個發(fā)生．(1)因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件；當恰有兩名女生時它們都不發(fā)生，所以它們不是對立事件．(2)因為“恰有兩名男生”發(fā)生時，“至少有一名男生”與“全是男生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件．(3)因為“至少有一名男生”與“全是女生”不可能同時發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們對立．(4)由于選出的是“一名男生一名女生”時，“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事件．2、判斷下列每對事件是否為互斥事件．(1)將一枚硬幣拋擲兩次，事件A：兩次出現(xiàn)正面，事件B：只有一次出現(xiàn)正面．(2)某人射擊一次，事件A：中靶，事件B：射中9環(huán)．(3)某人射擊一次，事件A：射中環(huán)數(shù)大于5，事件B：射中環(huán)數(shù)小于5.[解析](1)若“兩次出現(xiàn)正面”發(fā)生，則“只有一次出現(xiàn)正面”不發(fā)生，反之亦然，即事件A與B不可能同時發(fā)生，∴A，B互斥．(2)某人射擊一次中靶不一定擊中9環(huán)，但擊中9環(huán)一定中靶，即B發(fā)生則A一定發(fā)生，∴A，B不互斥．(3)A，B互斥.命題方向2對立事件的概念[例2]拋擲一個骰子，用圖形畫出下列每對事件所含結(jié)果所形成的集合之間的關(guān)系，并說明二者之間是否構(gòu)成對立事件．(1)“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”；(2)“朝上的一面數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于4[解析](1)根據(jù)題意作出Venn圖．從圖(1)中可以看到：“朝上的一面出現(xiàn)奇數(shù)”與“朝上的一面出現(xiàn)偶數(shù)”各自所含結(jié)果所組成的集合互為補集，因此它們構(gòu)成對立事件．(2)根據(jù)題意作出Venn圖．從圖(2)中可以看到：“朝上的一面的數(shù)字不大于4”與“朝上的一面的數(shù)字大于42、袋中裝有白球3個，黑球4個，從中任取3個①恰有1個白球和全是白球；②至少有1個白球和全是黑球；③至少有1個白球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個黑球．在上述事件中，是對立事件的為()A．①B．②C．③D．④[答案]B[解析]∵“至少有一個白球”和“全是黑球”不可能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生.命題方向3事件的運算事件間運算的類型與方法：(1)事件間運算的類型：(2)事件間運算方法：①利用事件間運算的定義．列出同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行事件間的運算．②利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算．1、盒子里有6個紅球，4個白球，現(xiàn)從中任取三個球，設(shè)事件A＝{3個球中有1個紅球，2個白球}，事件B＝{3個球中有2個紅球，1個白球}，事件C＝{3個球中至少有1個紅球}，事件D＝{3個球中既有紅球又有白球}．問：(1)事件D與A、B是什么樣的運算關(guān)系？(2)事件C與A的交事件是什么事件？[解析](1)對于事件D，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球，或2個紅球1個白球，故D＝A∪B.(2)對于事件C，可能的結(jié)果為1個紅球2個白球，2個紅球1個白球，3個紅球，故C∩A＝A.2、在某大學數(shù)學系圖書室中任選一本書．設(shè)A＝{數(shù)學書}；B＝{中文版的書}；C＝{2010年后出版的書}．問：(1)A∩B∩eq\x\to(C)表示什么事件？(2)在什么條件下有A∩B∩C＝A?(3)eq\x\to(C)?B表示什么意思？(4)若eq\x\to(A)＝B，是否意味著圖書室中數(shù)學書都不是中文版的？[解析](1)A∩B∩eq\x\to(C)＝{2010年或2010年前出版的中文版的數(shù)學書}．(2)在“圖書室中所有的數(shù)學書都是2010年后出版的且為中文版”的條件下才有A∩B∩C＝A.(3)eq\x\to(C)?B表示2010年或2010年前出版的書全是中文版的．(4)是.eq\x\to(A)＝B意味著圖書室中非數(shù)學書都是中文版的，而且所有的中文版的書都不是數(shù)學書．同時eq\x\to(A)＝B又可等價成eq\x\to(B)＝A，因而也可解釋為：圖書室中所有數(shù)學書都不是中文版的，而且所有外文版的書都是數(shù)學書．命題方向4求互斥、對立事件的概率1.復(fù)雜事件概率的求解方法：(1)將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的若干個事件的和，利用概率的加法公式求解．在將事件拆分成若干個互斥事件時，注意不能重復(fù)和遺漏．(2)若(1)中所要拆分的事件非常繁瑣，而其對立事件較為簡單，可先求其對立事件的概率，再運用公式求解．但是一定要找準其對立事件，避免錯誤．2．互斥事件的概率加法公式應(yīng)用：(1)將一個事件的概率問題分拆為若干個互斥事件，分別求出各個事件的概率然后用加法公式求出結(jié)果.(2)運用互斥事件的概率加法公式解題時，首先要分清事件之間是否互斥，同時要學會把一個事件分拆為幾個互斥事件，做到不重不漏.1、一盒中裝有各色球12只，其中5紅、4黑、2白、1綠，從中取1球．求：(1)取出球的顏色是紅或黑的概率；(2)取出球的顏色是紅或黑或白的概率．[解析]方法1：(1)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種取法，得紅球或黑球共有5＋4＝9種不同取法，任取一球有12種取法．∴任取1球得紅球或黑球的概率為P1＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)從12只球中任取1球得紅球有5種取法，得黑球有4種方法，得白球有2種取法，從而得紅或黑或白球的概率為P2＝eq\f(5＋4＋2,12)＝eq\f(11,12).方法2：利用互斥事件求概率．記事件A1：從12只球中任取1球得紅球；A2：從中任取1球得黑球；A3：從中任取1球得白球；A4：從中任取1球得綠球，則P(A1)＝eq\f(5,12)，P(A2)＝eq\f(4,12)，P(A3)＝eq\f(2,12)，P(A4)＝eq\f(1,12).根據(jù)題意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件概率得(1)取出紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＝eq\f(3,4)；(2)取出紅或黑或白球的概率為P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(4,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(11,12).方法3：利用對立事件求概率．(1)由方法2，取出紅球或黑球的對立事件為取出白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，∴取出紅球或黑球的概率為P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－eq\f(2,12)－eq\f(1,12)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).(2)A1∪A2∪A3的對立事件為A4.P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－eq\f(1,12)＝eq\f(11,12)即為所求．2、某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28，計算這個射手在一次射擊中：(1)射中10環(huán)或7環(huán)的概率；(2)不夠7環(huán)的概率．[解析](1)設(shè)“射中10環(huán)”為事件A，“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時發(fā)生，故A與B是互斥事件．“射中10環(huán)或7環(huán)”的事件為A∪B.故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.21＋0.28＝0.49.∴射中10環(huán)或7環(huán)的概率為0.49.(2)不夠7環(huán)從正面考慮有以下幾種情況：射中6環(huán)、5環(huán)、4環(huán)、3環(huán)、2環(huán)、1環(huán)、0環(huán)，但由于這些概率都未知，故不能直接求解，可考慮從反面入手，不夠7環(huán)的反面為大于等于7環(huán)，即7環(huán)、8環(huán)、9環(huán)、10環(huán)，由于此兩事件必有一個發(fā)生，另一個不發(fā)生，故是對立事件，可用對立事件的方法處理．設(shè)“