河北區(qū)2021—2022學(xué)年度高三年級(jí)總復(fù)習(xí)質(zhì)量檢測(cè)（二）數(shù)學(xué)本試卷分和兩部分，共150分，考試用時(shí)12分鐘，第I卷1至3頁(yè)，第II卷4至8頁(yè)．第I卷（選擇題共45分）注意事項(xiàng)：1．答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案棒號(hào)．答在試卷上的無(wú)效3．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：?如果事件A，B互斥，那么?球的表面積公式?如果事件A，B相互獨(dú)立，那么我的體積公式其中R表示球的半徑一、選擇題；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.D【分析】根據(jù)補(bǔ)集、并集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，又，所以；故選：D2.若a，b都是實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件B【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷可得；【詳解】解：，都是實(shí)數(shù)，那么“”“”，反之不成立，例如：，，滿(mǎn)足，但是無(wú)意義，“”是“”的必要不充分條件．故選：B．3.已知，且，則m的值為（）A.2 B. C. D.B【分析】化指數(shù)式為對(duì)數(shù)式,把用含有的代數(shù)式表示,代入,然后利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解的值.【詳解】由,得，,

由,得,即,

,∵.

故選:B.本題考查了指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化,考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B. C. D.B【分析】通過(guò)研究函數(shù)奇偶性以及單調(diào)性，以及由排除不正確的選項(xiàng)，從而得出答案..【詳解】詳解：為奇函數(shù)，排除A,，故排除D.，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以排除C；故選：B.5.為了解中學(xué)生的身高情況，某部門(mén)隨機(jī)抽取了某學(xué)校的學(xué)生，將他們的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）按[150，160），[160，170），[170，180），[180，190]分組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，其中身高在區(qū)間[170，180）內(nèi)的人數(shù)為300，身高在區(qū)間[160，170）內(nèi)的人數(shù)為180，則a的值為（）

A.0.03 B.0.3 C.0.035 D.0.35A【分析】由頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，以及頻率與頻數(shù)之間的關(guān)系，列式求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖可得：，解得a=0.03.故選:A6.已知雙曲線C：的焦點(diǎn)F到漸近線的距離與頂點(diǎn)A到漸近線的距離之比為3：1，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B. C. D.A【分析】根據(jù)相似三角形，直接得到，計(jì)算漸近線的斜率.【詳解】如圖，可知焦點(diǎn)F到漸近線的距離與頂點(diǎn)A到漸近線的距離之比為3：1，即，，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A.7.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間單遞調(diào)減，若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.D【分析】由偶函數(shù)的定義和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和已知函數(shù)的單調(diào)性，可得，，的大小關(guān)系．【詳解】解：由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，可得，則，，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，即，所以，即有，故選：D．8.給定函數(shù)，，，，用表示，中的最小者，記為，關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)命題：①函數(shù)的最小正周期為π；②函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)；③函數(shù)的值域?yàn)?；④函?shù)在上單調(diào)遞增，其中真命題的是（）A.②④ B.①② C.①③ D.③④A【分析】可將的解析式化簡(jiǎn)為，，通過(guò)作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：因?yàn)?，，則，，如圖所示：由圖可知：的最小正周期為，故①為假命題；的圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故②為真命題；的值域?yàn)?，故③為假命題；在區(qū)間上單調(diào)遞增，故④為真命題，真命題為②④，故選：A．9.設(shè)函數(shù).若時(shí)，方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.B【分析】作出f(x+1)的圖象，根據(jù)方程f(x+1)=k有唯一解，結(jié)合圖象即可求解k的取值范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，若時(shí)，作出的圖象，結(jié)合圖象可知方程有唯一解,則.故選：B第II卷注意事項(xiàng)1．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．2．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆答在答題紙上．3．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，請(qǐng)將答案寫(xiě)在答題紙上．10.i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)___________．##【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式除法運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：故答案為：11.二項(xiàng)式的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)________.【分析】求出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，再令對(duì)應(yīng)的冪指數(shù)為0即可求解【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為,令，解得，所以該二項(xiàng)式展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：60本題考查二項(xiàng)式中常數(shù)項(xiàng)的求解，屬于基礎(chǔ)題12.一個(gè)暗箱內(nèi)有標(biāo)號(hào)是1，2，3，4，5的五個(gè)小球，現(xiàn)從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼后放回，如果兩個(gè)球的號(hào)碼和是5的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng).若有5人參與摸獎(jiǎng)，則恰有3人獲獎(jiǎng)的概率是______，獲獎(jiǎng)人數(shù)的均值是___________.①.②.1【分析】基本事件總數(shù)，利用列舉法求出兩個(gè)球的號(hào)碼和是5的倍數(shù)包含的基本事件有2個(gè)，從而獲獎(jiǎng)的概率為，有5人參與摸獎(jiǎng)，則獲獎(jiǎng)人數(shù)，由此能求出恰有3人獲獎(jiǎng)的概率和獲獎(jiǎng)人數(shù)的均值．【詳解】解：一個(gè)暗箱內(nèi)有標(biāo)號(hào)是1，2，3，4，5的五個(gè)小球，從箱中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼后放回，基本事件總數(shù)，兩個(gè)球的號(hào)碼和是5的倍數(shù)包含的基本事件有：，，共2個(gè)，則獲獎(jiǎng)的概率為，有5人參與摸獎(jiǎng)，則獲獎(jiǎng)人數(shù)，恰有3人獲獎(jiǎng)的概率是，獲獎(jiǎng)人數(shù)的均值是．故答案為：，1．13.圓和圓的公共弦的長(zhǎng)為_(kāi)__________．【分析】首先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，再兩圓方程作差即可得出公共弦方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理、勾股定理計(jì)算可得；【詳解】解：由圓①，即，所以圓心，半徑；又圓②，①②得，即公共弦方程為，圓心到直線的距離,所以公共弦長(zhǎng)為；故答案為：14.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分在邊BC，CD上，，．若，則的最小值為_(kāi)__________．【分析】由題意畫(huà)出圖形，把用表示，最后轉(zhuǎn)化為含有，的代數(shù)式，再結(jié)合及基本不等式求得的最小值．【詳解】解：如圖，，，且，，．由題意可得，，，，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），的最小值為．故答案為：．15.已知，，且，則的最大值為_(kāi)__________．【分析】依題意可得，再利用基本不等式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，且，所以又，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)、時(shí)取等號(hào)；故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.在中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C的大小；（2）若，求的值；（3）若，的面積為，求邊a，b的值．（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）首先由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出，再利用二倍角公式及兩角和的正弦公式計(jì)算可得；（3）由面積公式得到，再由余弦定理得到，最后解方程組即可；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，即，故，因?yàn)椋?，又，所以．【小?wèn)2詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，所?【小問(wèn)3詳解】解：由已知，，又，所以①，由已知及余弦定理得，故，從而，所以②．由①②得或.17.如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，四邊形PACQ是矩形，，且平面平面ABCD．

（1）求直線BP與平面PACQ所成角的正弦值；（2）求平面BPQ與平面DPQ的夾角的大??；（3）求點(diǎn)C到平面BPQ的距離．（1）（2）（3）【分析】（1）連接，交于，連接，由平面平面，可推出平面，平面，故即所求；在中，由可得解；（2）取的中點(diǎn)，連接、，易證，，故即為所求，在中，利用余弦定理求出，即可得到兩平面的夾角；（3）由等體積法，即可得解．【小問(wèn)1詳解】解：連接交于，連接，四邊形是菱形，，平面平面，平面平面，平面，平面，即為與平面所成角．四邊形為矩形，，又平面平面，平面平面，平面，平面，，，在中，，，故與平面所成角的正弦值為．【小問(wèn)2詳解】解：取的中點(diǎn)，連接、，由（1）知，平面，四邊形是菱形，四邊形為矩形，，，，，即為二面角的平面角，在中，，，由余弦定理知，，，故二面角的大小為，則平面與平面的夾角為．【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，，，，，故點(diǎn)到平面的距離為．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，數(shù)列滿(mǎn)足，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）；（2）證明見(jiàn)解析，；（3）或.【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式以及數(shù)列的和與通項(xiàng)的關(guān)系可得，再由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式可得結(jié)果；（2）對(duì)等式兩邊除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（3）求得，由數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得，化簡(jiǎn),即，對(duì)任意的成立，運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性可得最大值，解不等式可得所求范圍．【詳解】(1)，可得，即；時(shí),,又，相減可得,即，則；(2)證明：，可得，可得是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，可得,即；(3)，前n項(xiàng)和為，，相減可得，可得，,即為，即,對(duì)任意的成立，由，可得為遞減數(shù)列，即n=1時(shí)取得最大值1?2=?1，可得，即或.“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以.19.已知點(diǎn)，橢圓：的離心率為和分別是橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，且的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程．（Ⅰ）；（Ⅱ）或【分析】（Ⅰ）由的面積為，得出關(guān)系，再由離心率結(jié)合關(guān)系，求解即可得出橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)，由已知可得，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得到的關(guān)系式，進(jìn)而得出的關(guān)系式，建立的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】（Ⅰ）設(shè)，由條件知，所以的面積為，①由得，從而，化簡(jiǎn)得，②①②聯(lián)立解得，從而，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）當(dāng)軸時(shí)，不合題意，故設(shè)，將代入得．由題得，設(shè)，則因?yàn)椋?，從而，整理得，，所以直線的方程為或．本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求方法在相交弦中的應(yīng)用，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)，.（1）若，求的最大值；（2）若函數(shù)，討論的單調(diào)性；（3）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（），求證.（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）代入的值，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)的最大值即可；（2）首先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（3）首先根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)得一元二次方程有兩根，進(jìn)而可得判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，所以可以得兩極值點(diǎn)，的關(guān)系，及極值點(diǎn)的取值范圍；然后寫(xiě)出關(guān)于極值點(diǎn)的表達(dá)式，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論成立即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，∴單調(diào)遞減，所以的最大值為；（2）由已知得，，.①當(dāng)時(shí)，由得所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞；②當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，由，得或，所以當(dāng)與時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；④當(dāng)時(shí)，由，得或，因而當(dāng)與時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在與上單調(diào)