小波分析及其應(yīng)用(回顧)1、小波的特點(diǎn)和發(fā)展2、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用3、小波分析在圖象分析中的應(yīng)用

圖象特征抽取

圖象壓縮

數(shù)據(jù)隱藏和圖象水印1小波分析及其應(yīng)用(回顧)1、小波的特點(diǎn)和發(fā)展1小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年Haar提出最簡(jiǎn)單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。2小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析小波的特點(diǎn)和發(fā)展

“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變化的特性，進(jìn)一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號(hào)：是高音還是低音，發(fā)聲時(shí)間長(zhǎng)短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對(duì)“原始信號(hào)”進(jìn)行分解。

3小波的特點(diǎn)和發(fā)展“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變化的特小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化。時(shí)間：提取信號(hào)中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。頻率：提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時(shí)間A時(shí)間B4小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”多分辨度分析（MRA）1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形處理等。當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測(cè)不到的現(xiàn)象，在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。例如：5多分辨度分析（MRA）1988年Mallat提出的多分辨小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過(guò)濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。信號(hào)長(zhǎng)度為M時(shí)，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：

6小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時(shí)間采樣基7小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：FourieHaar小波基母函數(shù)

（a）Haar“近似”基函數(shù)（b）Haar“細(xì)節(jié)”基函數(shù)低頻濾波系數(shù)高頻濾波系數(shù)

H0=[11]×qH1=[1-1]×q=[qq]=[q-q]其中：

8Haar小波基母函數(shù)（a）Haar“近似”基函數(shù)Haar小波的基函數(shù)第1行基函數(shù)是取平均（近似），第2-8行基函數(shù)是取變化（細(xì)節(jié)）。細(xì)節(jié)包括變化速率和發(fā)生的時(shí)間。

H0=[11]×qH1=[1-1]×q尺度函數(shù)近似基函數(shù)小波函數(shù)細(xì)節(jié)基函數(shù)9Haar小波的基函數(shù)第1行基函數(shù)是取平均（近似），小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成

小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是對(duì)稱的，有的是非對(duì)稱的。小波的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過(guò)濾波系數(shù)直接導(dǎo)出，而不需要確切知道小波基函數(shù)，這是I.

Daubechies等的重要發(fā)現(xiàn)，使計(jì)算簡(jiǎn)化，是快速小波分解和重建的基礎(chǔ)。

10小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar--正交，對(duì)稱)

“近似”基函數(shù)“反變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”“細(xì)節(jié)”基函數(shù)Haar小波“正變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”11小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar--正交，對(duì)稱)“近似小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db2--正交，不對(duì)稱)

“近似”基函數(shù)“細(xì)節(jié)”基函數(shù)db小波“反變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”“正變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”12小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db2--正交，不對(duì)稱)“近似小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db4--正交，不對(duì)稱)

13小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db4--正交，不對(duì)稱)13小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym4--正交，近似對(duì)稱)

14小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym4--正交，近似對(duì)稱)1小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior2.4–雙正交，對(duì)稱)

15小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior2.4–雙正交，對(duì)稱)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior6.8–雙正交，對(duì)稱)

16小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior6.8–雙正交，對(duì)稱)2、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用小波變換就是將“原始信號(hào)s”變換成“小波系數(shù)w”，w=[wa

,wd]包括近似(approximation)系數(shù)wa與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd 近似系數(shù)wa---平均成分（低頻） 細(xì)節(jié)系數(shù)wd---變化成分（高頻）

172、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用小波變換就是將“原始小波原始信號(hào)分解過(guò)程：原始信號(hào)s可分解成小波近似a與小波細(xì)節(jié)d之和。s=a+d 小波系數(shù)w=[wa

,wd]

的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分解： 小波近似系數(shù)wa

×基函數(shù)A=近似分解a---平均 小波細(xì)節(jié)系數(shù)wd

×基函數(shù)D=細(xì)節(jié)分解d---變化

18小波原始信號(hào)分解過(guò)程：原始信號(hào)s可分解成小波近似a小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號(hào)小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號(hào)在小波基上，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號(hào)例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基A19小波分解和小波基一維信號(hào)小波變換例子Haar小波，例子：16點(diǎn)信號(hào):[6598378565981339]通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)(wavemenu)波形圖小波正變換：小波系數(shù)：小波近似系數(shù)（加）；小波細(xì)節(jié)系數(shù)（減）小波反變換：可以由分解信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào)。有2種：近似分解；細(xì)節(jié)分解20一維信號(hào)小波變換例子Haar小波，例子：20一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)原始信號(hào)2級(jí)小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]*Haar是正交變換。除以常數(shù)，目的使變換后平方和不變。例如：16位2級(jí)近似系數(shù)2級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù)1級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù)16位21一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)原始信號(hào)16位2級(jí)近似系數(shù)2級(jí)細(xì)節(jié)一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解2級(jí)近似分解（原始信號(hào)每4個(gè)平均值）2級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值）1級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值）恢復(fù)信號(hào)22一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解2級(jí)近似分解（原始一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解原始信號(hào)2級(jí)小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]2級(jí)近似分解（原始信號(hào)每4個(gè)平均值）2級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值）1級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值）恢復(fù)信號(hào)23一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解原始信號(hào)232級(jí)Haar小波變換4點(diǎn)例子

序信號(hào)s1級(jí)小波系數(shù)w1=[wa1,wd1]

2級(jí)小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]167.778214.00002512.0208-3.0000390.70710.7071480.70710.7071

wd1wa1wa2wd2wd1細(xì)節(jié)系數(shù)（wd1

）形成后不再變化。原始信號(hào)1級(jí)小波近似系數(shù)1級(jí)小波細(xì)節(jié)系數(shù)2級(jí)小波近似系數(shù)2級(jí)小波細(xì)節(jié)系數(shù)(s,w1,

w2的平方和不變)242級(jí)Haar小波變換4點(diǎn)例子序信號(hào)1級(jí)小波系數(shù)序信號(hào)s一級(jí)小波w1=[wa1,wd1]二級(jí)小波w2=[wa2,wd2,wd1]

167.778214.00002512.020811.5000397.071114.0000489.19248.0000537.7782-3.00006712.0208-1.5000782.8284-3.0000858.4853-4.0000960.70710.70711050.70710.7071119-2.8284-2.82841282.12132.12131310.70710.70711430.70710.7071153-1.4142-1.4142169-4.2426-4.2426一級(jí)、二級(jí)小波16點(diǎn)

wd1wa1wa2wd2wd125序信號(hào)一級(jí)小波二級(jí)小波

167.778214.小波去噪聲16點(diǎn)

序n信號(hào)s小波系數(shù)w1小波系數(shù)w2去噪聲小波w2去噪聲信號(hào)sdnsdn乘4取整

167.778214.000014.00007.0000282512.020811.500011.50007.000028397.071114.000014.00007.000028489.19248.00008.00007.000028537.7782-3.000005.7500236712.0208-1.500005.750023782.8284-3.000005.750023858.4853-4.0000-0.50005.750023960.70710.707107.0000281050.70710.707107.000028119-2.8284-2.828407.0000281282.12132.121307.0000281310.70710.707103.7500151430.70710.707103.750015153-1.4142-1.414203.896416169-4.2426-4.2426-0.50004.603618wd1wa1wa2wd2wd1去噪聲wd2去噪聲wd126小波去噪聲16點(diǎn)序信號(hào)小波系數(shù)小波系數(shù)w2去噪聲去噪聲s原始信號(hào)

16點(diǎn)

16點(diǎn)原始信號(hào)[6598378565981339]27原始信號(hào)16點(diǎn)16點(diǎn)原始信號(hào)[65983兩級(jí)小波系數(shù)16點(diǎn)原始信號(hào)小波系數(shù)

原始信號(hào)(紅)兩級(jí)小波系數(shù)wd1wd2|wd2||wd1|28兩級(jí)小波系數(shù)16點(diǎn)原始信號(hào)原始信號(hào)(紅)wd1wd2|w16點(diǎn)信號(hào)的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解

兩級(jí)分解2916點(diǎn)信號(hào)的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解兩級(jí)分解29小波分析在圖象處理中的應(yīng)用圖象是二維信號(hào)，其小波變換相當(dāng)于二次一維信號(hào)的小波變換：。（1）第一次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于圖象的行變換。（2）第二次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。30小波分析在圖象處理中的應(yīng)用圖象是二維信號(hào)，其小波變換相當(dāng)于二小波變換用于圖象特征抽取

第1級(jí)斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)第1級(jí)垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象垂直細(xì)節(jié)斜線細(xì)節(jié)31小波變換用于圖象特征抽取第1級(jí)第1級(jí)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)近似

第1級(jí)L1斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)L1水平細(xì)節(jié)第1級(jí)L1垂直細(xì)節(jié)第2級(jí)L2細(xì)節(jié)近似圖象第3級(jí)L3小波系數(shù)分級(jí)方塊表示法32第1級(jí)L1第1級(jí)L1第1級(jí)L1第2級(jí)L2細(xì)節(jié)

第3級(jí)L3分辨率第2級(jí)L2分辨率第1級(jí)L1分辨率小波系數(shù)分級(jí)樹(shù)形表示法33第3級(jí)L3分辨率第2級(jí)L2分辨率第1小波變換用于圖象壓縮采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計(jì)特性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。有損壓縮：根據(jù)視覺(jué)原理，不同分辨率小波系數(shù)進(jìn)行比特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼，如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。無(wú)損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無(wú)舍入誤差。但不能進(jìn)行比特分配。

34小波變換用于圖象壓縮采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計(jì)小波變換用于圖象壓縮

第3級(jí)L3水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)第2級(jí)L2水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)第1級(jí)L1水平、斜線、垂直細(xì)節(jié)兩閾值線之間的直方圖被去除（有損壓縮）35小波變換用于圖象壓縮第3級(jí)L3水平、斜線、垂直小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏?zé)o損數(shù)據(jù)隱藏：是基于無(wú)損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無(wú)舍入誤差。例如可以采用第二代小波。無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏：避免在嵌入數(shù)據(jù)后小波反變換時(shí)圖象灰度的溢出。小波變換前要作預(yù)處理，作直方圖調(diào)整，將圖象中灰度出現(xiàn)少的數(shù)據(jù)，合并入隱藏?cái)?shù)據(jù)。第一個(gè)無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏是1999年科達(dá)公司發(fā)表的一個(gè)專利。由于法律上原因，醫(yī)學(xué)圖象數(shù)據(jù)隱藏必須是無(wú)損的。此外、無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏在電子銀行、電子政務(wù)、電子商務(wù)、圖象建檔等有廣泛的用途。

36小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏?zé)o損數(shù)據(jù)隱藏：是基于無(wú)損壓縮：選擇“數(shù)據(jù)嵌入核磁共振醫(yī)學(xué)圖象

(可無(wú)損恢復(fù))

(水印圖象見(jiàn)下頁(yè))

(a)原始(512×512×8)

(b)小波域嵌入水印圖象

37數(shù)據(jù)嵌入核磁共振醫(yī)學(xué)圖象(可無(wú)損恢復(fù))

(水印圖象見(jiàn)下水印圖象

(192×120×2二值圖象)

38水印圖象

(192×120×2二值圖象)38小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏（交通圖象）

原始圖象（1024768）信息隱藏后的偽裝圖象（1024768）同時(shí)隱藏5張（320×280）圖象（見(jiàn)下頁(yè)）39小波變換用于無(wú)損數(shù)據(jù)隱藏（交通圖象）原始圖象（1024同時(shí)隱藏的5張（320×280）交通圖象，可完全恢復(fù)

（1）上海延安路（3）上海曲陽(yáng)路（2）外地（4）上海曲陽(yáng)路（5）上海曲陽(yáng)路40同時(shí)隱藏的5張（320×280）交通圖象，可完全恢復(fù)小波變換用于圖象水印

指紋原始圖象嵌入水印(取款密碼等)后圖象指紋傳感器：標(biāo)準(zhǔn)的Veridicom指紋鼠標(biāo)指紋開(kāi)發(fā)工具：VeridicomAuthenticationSDK以Windows的DLL庫(kù)方式提供指紋庫(kù)：(FingerprintVerificationCompetition,FVC)。FVC2000db1是由光學(xué)設(shè)備采集；FVC2000db2是由電容設(shè)備采集。銀行取款密碼嵌入指紋，網(wǎng)上進(jìn)行身份認(rèn)證41小波變換用于圖象水印指紋原始圖象嵌入小波變換用于圖象水印

小波正變換小波反變換小波正變換小波反變換數(shù)據(jù)嵌入數(shù)據(jù)提取原始圖象加水印后圖象輸入原始圖象加水印后圖象輸出隱藏?cái)?shù)據(jù)隱藏?cái)?shù)據(jù)42小波變換用于圖象水印小波正變換小波反變換小波小波分析最新進(jìn)展（1）第二代小波，稱提升算法，可用于整數(shù)小波。（2）嵌入零樹(shù)法，獲得更優(yōu)良的效果。（3）小波與統(tǒng)計(jì)理論結(jié)合。（4）商品化，如“JPEG2000”小波圖象壓縮標(biāo)準(zhǔn)，MATLAB小波計(jì)算包等。43小波分析最新進(jìn)展（1）第二代小波，稱提升算法，可用于整數(shù)小波小結(jié)（1）小波分析理論上比較完善小波變換基，既具有頻率局域性質(zhì)，又具有時(shí)間局域性質(zhì)。小波變換的多分辨度的變換，能在多個(gè)尺度上分解，便于觀察信號(hào)在不同尺度（分辨率）上不同時(shí)間的特性。（2）小波分析有廣泛的實(shí)用性小波變換存在快速算法，對(duì)于M點(diǎn)序列而言，計(jì)算復(fù)雜性為：O(M)，處理快速。小波變換基函數(shù)有多種類型，可以是正交的，也可以是非正交（雙正交），比傅里葉變換更加靈活。(/wavelet)

44小結(jié)（1）小波分析理論上比較完善44小波分析及其應(yīng)用(回顧)1、小波的特點(diǎn)和發(fā)展2、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用3、小波分析在圖象分析中的應(yīng)用

圖象特征抽取

圖象壓縮

數(shù)據(jù)隱藏和圖象水印45小波分析及其應(yīng)用(回顧)1、小波的特點(diǎn)和發(fā)展1小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導(dǎo)解析理論”論文1910年Haar提出最簡(jiǎn)單的小波1980年Morlet首先提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出的多分辨度分析理論（MRA），統(tǒng)一了語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域。46小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析小波的特點(diǎn)和發(fā)展

“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變化的特性，進(jìn)一步用于數(shù)據(jù)壓縮、噪聲去除、特征選擇等。例如歌唱信號(hào)：是高音還是低音，發(fā)聲時(shí)間長(zhǎng)短、起伏、旋律等。從平穩(wěn)的波形發(fā)現(xiàn)突變的尖峰。小波分析是利用多種“小波基函數(shù)”對(duì)“原始信號(hào)”進(jìn)行分解。

47小波的特點(diǎn)和發(fā)展“小波分析”是分析原始信號(hào)各種變化的特小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”和“指定頻率”的變化。時(shí)間：提取信號(hào)中“指定時(shí)間”（時(shí)間A或時(shí)間B）的變化。顧名思義，小波在某時(shí)間發(fā)生的小的波動(dòng)。頻率：提取信號(hào)中時(shí)間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號(hào)中時(shí)間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時(shí)間A時(shí)間B48小波的時(shí)間和頻率特性運(yùn)用小波基，可以提取信號(hào)中的“指定時(shí)間”多分辨度分析（MRA）1988年Mallat提出的多分辨度分析理論，統(tǒng)一了幾個(gè)不相關(guān)的領(lǐng)域：包括語(yǔ)音識(shí)別中的鏡向?yàn)V波，圖象處理中的金字塔方法，地震分析中短時(shí)波形處理等。當(dāng)在某一個(gè)分辨度檢測(cè)不到的現(xiàn)象，在另一個(gè)分辨度卻很容易觀察處理。例如：49多分辨度分析（MRA）1988年Mallat提出的多分辨小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時(shí)間。有利于分析確定時(shí)間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過(guò)濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個(gè)數(shù)量級(jí)。信號(hào)長(zhǎng)度為M時(shí)，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計(jì)算復(fù)雜性分別如下公式：

50小波的3個(gè)特點(diǎn)小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：Fourier變換的基（上）小波變換基（中）和時(shí)間采樣基（下）的比較

傅里葉變換(Fourier)基小波基時(shí)間采樣基51小波基表示發(fā)生的時(shí)間和頻率“時(shí)頻局域性”圖解：FourieHaar小波基母函數(shù)

（a）Haar“近似”基函數(shù)（b）Haar“細(xì)節(jié)”基函數(shù)低頻濾波系數(shù)高頻濾波系數(shù)

H0=[11]×qH1=[1-1]×q=[qq]=[q-q]其中：

52Haar小波基母函數(shù)（a）Haar“近似”基函數(shù)Haar小波的基函數(shù)第1行基函數(shù)是取平均（近似），第2-8行基函數(shù)是取變化（細(xì)節(jié)）。細(xì)節(jié)包括變化速率和發(fā)生的時(shí)間。

H0=[11]×qH1=[1-1]×q尺度函數(shù)近似基函數(shù)小波函數(shù)細(xì)節(jié)基函數(shù)53Haar小波的基函數(shù)第1行基函數(shù)是取平均（近似），小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成

小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成。有的小波基是正交的，有的是非正交的。有的小波基是對(duì)稱的，有的是非對(duì)稱的。小波的近似系數(shù)和細(xì)節(jié)系數(shù)可以通過(guò)濾波系數(shù)直接導(dǎo)出，而不需要確切知道小波基函數(shù)，這是I.

Daubechies等的重要發(fā)現(xiàn)，使計(jì)算簡(jiǎn)化，是快速小波分解和重建的基礎(chǔ)。

54小波基可以通過(guò)給定濾波系數(shù)生成小波基（尺度函數(shù)和小波函數(shù)）小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar--正交，對(duì)稱)

“近似”基函數(shù)“反變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”“細(xì)節(jié)”基函數(shù)Haar小波“正變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”55小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(Haar--正交，對(duì)稱)“近似小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db2--正交，不對(duì)稱)

“近似”基函數(shù)“細(xì)節(jié)”基函數(shù)db小波“反變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”“正變換”低頻和高頻“濾波系數(shù)”56小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db2--正交，不對(duì)稱)“近似小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db4--正交，不對(duì)稱)

57小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(db4--正交，不對(duì)稱)13小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym4--正交，近似對(duì)稱)

58小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(sym4--正交，近似對(duì)稱)1小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior2.4–雙正交，對(duì)稱)

59小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior2.4–雙正交，對(duì)稱)小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior6.8–雙正交，對(duì)稱)

60小波基函數(shù)和濾波系數(shù)(bior6.8–雙正交，對(duì)稱)2、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用小波變換就是將“原始信號(hào)s”變換成“小波系數(shù)w”，w=[wa

,wd]包括近似(approximation)系數(shù)wa與細(xì)節(jié)(detail)系數(shù)wd 近似系數(shù)wa---平均成分（低頻） 細(xì)節(jié)系數(shù)wd---變化成分（高頻）

612、小波分析在一維信號(hào)處理中的應(yīng)用小波變換就是將“原始小波原始信號(hào)分解過(guò)程：原始信號(hào)s可分解成小波近似a與小波細(xì)節(jié)d之和。s=a+d 小波系數(shù)w=[wa

,wd]

的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分解： 小波近似系數(shù)wa

×基函數(shù)A=近似分解a---平均 小波細(xì)節(jié)系數(shù)wd

×基函數(shù)D=細(xì)節(jié)分解d---變化

62小波原始信號(hào)分解過(guò)程：原始信號(hào)s可分解成小波近似a小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號(hào)小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號(hào)在小波基上，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號(hào)例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基A63小波分解和小波基一維信號(hào)小波變換例子Haar小波，例子：16點(diǎn)信號(hào):[6598378565981339]通過(guò)MATLAB實(shí)現(xiàn)(wavemenu)波形圖小波正變換：小波系數(shù)：小波近似系數(shù)（加）；小波細(xì)節(jié)系數(shù)（減）小波反變換：可以由分解信號(hào)恢復(fù)原始信號(hào)。有2種：近似分解；細(xì)節(jié)分解64一維信號(hào)小波變換例子Haar小波，例子：20一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)原始信號(hào)2級(jí)小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]*Haar是正交變換。除以常數(shù)，目的使變換后平方和不變。例如：16位2級(jí)近似系數(shù)2級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù)1級(jí)細(xì)節(jié)系數(shù)16位65一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)原始信號(hào)16位2級(jí)近似系數(shù)2級(jí)細(xì)節(jié)一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解2級(jí)近似分解（原始信號(hào)每4個(gè)平均值）2級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值）1級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值）恢復(fù)信號(hào)66一維信號(hào)的二級(jí)小波變換分解2級(jí)近似分解（原始一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解原始信號(hào)2級(jí)小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]2級(jí)近似分解（原始信號(hào)每4個(gè)平均值）2級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)每2個(gè)平均的差值）1級(jí)細(xì)節(jié)分解（原始信號(hào)單數(shù)和雙數(shù)的差值）恢復(fù)信號(hào)67一維信號(hào)的二級(jí)小波變換系數(shù)和分解原始信號(hào)232級(jí)Haar小波變換4點(diǎn)例子

序信號(hào)s1級(jí)小波系數(shù)w1=[wa1,wd1]

2級(jí)小波系數(shù)w2=[wa2,wd2,wd1]167.778214.00002512.0208-3.0000390.70710.7071480.70710.7071

wd1wa1wa2wd2wd1細(xì)節(jié)系數(shù)（wd1

）形成后不再變化。原始信號(hào)1級(jí)小波近似系數(shù)1級(jí)小波細(xì)節(jié)系數(shù)2級(jí)小波近似系數(shù)2級(jí)小波細(xì)節(jié)系數(shù)(s,w1,

w2的平方和不變)682級(jí)Haar小波變換4點(diǎn)例子序信號(hào)1級(jí)小波系數(shù)序信號(hào)s一級(jí)小波w1=[wa1,wd1]二級(jí)小波w2=[wa2,wd2,wd1]

167.778214.00002512.020811.5000397.071114.0000489.19248.0000537.7782-3.00006712.0208-1.5000782.8284-3.0000858.4853-4.0000960.70710.70711050.70710.7071119-2.8284-2.82841282.12132.12131310.70710.70711430.70710.7071153-1.4142-1.4142169-4.2426-4.2426一級(jí)、二級(jí)小波16點(diǎn)

wd1wa1wa2wd2wd169序信號(hào)一級(jí)小波二級(jí)小波

167.778214.小波去噪聲16點(diǎn)

序n信號(hào)s小波系數(shù)w1小波系數(shù)w2去噪聲小波w2去噪聲信號(hào)sdnsdn乘4取整

167.778214.000014.00007.0000282512.020811.500011.50007.000028397.071114.000014.00007.000028489.19248.00008.00007.000028537.7782-3.000005.7500236712.0208-1.500005.750023782.8284-3.000005.750023858.4853-4.0000-0.50005.750023960.70710.707107.0000281050.70710.707107.000028119-2.8284-2.828407.0000281282.12132.121307.0000281310.70710.707103.7500151430.70710.707103.750015153-1.4142-1.414203.896416169-4.2426-4.2426-0.50004.603618wd1wa1wa2wd2wd1去噪聲wd2去噪聲wd170小波去噪聲16點(diǎn)序信號(hào)小波系數(shù)小波系數(shù)w2去噪聲去噪聲s原始信號(hào)

16點(diǎn)

16點(diǎn)原始信號(hào)[6598378565981339]71原始信號(hào)16點(diǎn)16點(diǎn)原始信號(hào)[65983兩級(jí)小波系數(shù)16點(diǎn)原始信號(hào)小波系數(shù)

原始信號(hào)(紅)兩級(jí)小波系數(shù)wd1wd2|wd2||wd1|72兩級(jí)小波系數(shù)16點(diǎn)原始信號(hào)原始信號(hào)(紅)wd1wd2|w16點(diǎn)信號(hào)的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解

兩級(jí)分解7316點(diǎn)信號(hào)的Haar小波近似值和細(xì)節(jié)分解兩級(jí)分解29小波分析在圖象處理中的應(yīng)用圖象是二維信號(hào)，其小波變換相當(dāng)于二次一維信號(hào)的小波變換：。（1）第一次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于圖象的行變換。（2）第二次一維信號(hào)的小波變換相當(dāng)于圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標(biāo)準(zhǔn)如JPEG2000。74小波分析在圖象處理中的應(yīng)用圖象是二維信號(hào)，其小波變換相當(dāng)于二小波變換用于圖象特征抽取

第1級(jí)斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)第1級(jí)垂直細(xì)節(jié)水平細(xì)節(jié)近似圖象垂直細(xì)節(jié)斜線細(xì)節(jié)75小波變換用于圖象特征抽取第1級(jí)第1級(jí)第1級(jí)水平細(xì)節(jié)近似

第1級(jí)L1斜線細(xì)節(jié)第1級(jí)L1水平細(xì)節(jié)第1級(jí)L1垂直細(xì)節(jié)第2級(jí)L2細(xì)節(jié)近似圖象第3級(jí)L3小波系數(shù)分級(jí)方塊表示法76第1級(jí)L1第1級(jí)L1第1級(jí)L1第2級(jí)L2細(xì)節(jié)

第3級(jí)L3分辨率第2級(jí)L2分辨率第1級(jí)L1分辨率小波系數(shù)分級(jí)樹(shù)形表示法77第3級(jí)L3分辨率第2級(jí)L2分辨率第1小波變換用于圖象壓縮采用小波進(jìn)行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計(jì)特性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。有損壓縮：根據(jù)視覺(jué)原理，不同分辨率小波系數(shù)進(jìn)行比特分配。然后