第四節(jié)隨機信號分析1、隨機信號的基本概念（一）隨機變量的概率特征（二）隨機變量的統(tǒng)計特性（三）隨機過程及其統(tǒng)計特性2、隨機信號的頻譜分析（一）相關(guān)函數(shù)（二）功率譜（或稱功率譜密度函數(shù)）（一）隨機變量的概率特征概率描述某個隨機事件或隨機試驗的規(guī)律性，常用頻率測度作概率的定義，即假定某一事件A在n次獨立試驗中出現(xiàn)mA次，則其相對頻率的的極限可作為概率定義。隨機事件的概率的基本性質(zhì)：（1）非負性（2）完備性（3）蘊涵性（4）兩事件之和的概率（5）兩事件之積的概率（二）隨機變量的統(tǒng)計特性1、隨機變量的值是隨機改變的，并且有一定的概率分布規(guī)律。2、隨機變量基本上可分為離散的和連續(xù)的兩種類型。3、各種隨機變量X均有其概率特性，或稱統(tǒng)計特性，并可用概率分布和概率密度函數(shù)來表示。投擲的分幣的概率密度及概率分布連續(xù)隨機變量一維概率分布及其概率密度

高斯（正態(tài)）概率分布根據(jù)中心極限定理，由大量獨立隨機變量之和構(gòu)成的隨機變量概率密度為：m稱為隨機變量的均值（或稱數(shù)學期望值）， 稱為隨機變量的方差。相應的概率分布為：高斯概率密度函數(shù)及概率分布函數(shù)高斯（正態(tài)）概率分布歸一化形式：誤差函數(shù)：互補誤差函數(shù)：若令：則有：二維隨機變量的概率分布與概率密度函數(shù)兩個隨機變量和，其二維概率分布（或稱聯(lián)合概率分布）函數(shù)為它與二維概率密度分布（或稱聯(lián)合概率密度分布）函數(shù)的關(guān)系為：（三）隨機過程及其統(tǒng)計特性1、隨機過程隨機變量隨時間變化的函數(shù)就是隨機過程。以N臺性能完全相同，而且工作條件也完全一致的接收機輸出端的噪聲電壓波形為例，隨機過程表示為或隨機過程可以看作是一組隨機函數(shù)（時間函數(shù)）的集合，也可以看成是一組隨機變量（各個時刻）的集合，實際分析時通常是采用后一種定義。接收機輸出端噪聲電壓波形隨機過程的數(shù)字特征（函數(shù)）隨機過程的數(shù)學期望（均值）隨機過程的方差隨機過程的均方值隨機過程的數(shù)字特征（函數(shù)）隨機過程的自相關(guān)函數(shù)隨機過程的協(xié)方差函數(shù)2、平穩(wěn)隨機過程平穩(wěn)隨機過程是指它的統(tǒng)計特性與所選擇的時間起點無關(guān)，其所有N維概率密度函數(shù)經(jīng)時間平移后不變。符合這個定義的可稱為狹義平穩(wěn)隨機過程。此時2、平穩(wěn)隨機過程（1）將符合數(shù)學期望和方差是與時間無關(guān)的常數(shù)，并且其自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔有關(guān)的隨機過程，稱為廣義的平穩(wěn)隨機過程。（2）狹義平穩(wěn)隨機過程一定是廣義平穩(wěn)隨機過程，相反就不一定。在通信系統(tǒng)中，所遇到的隨機信號和噪聲絕大多數(shù)屬于平穩(wěn)隨機過程，著重分析平穩(wěn)隨機過程是具有一定的實際意義。（3）若隨機過程均值為常數(shù)（與時間無關(guān)），自相關(guān)函數(shù)僅與時間間隔值有關(guān)，而與時間t無關(guān)，則此過程為廣義平穩(wěn)隨機過程。3、平穩(wěn)隨機過程的遍歷性（1）通過大量的觀察發(fā)現(xiàn)，平穩(wěn)隨機過程具有一個非常重要的特性，即它的統(tǒng)計平均值可以用時間平均值來代替，即“遍歷性”或“各態(tài)歷經(jīng)性”。（2）當然，不是所有的平穩(wěn)隨機過程都具有歷遍性。但在通信系統(tǒng)中所遇到的隨機信號或噪聲均能滿足，因此，都可以把它們看作為具有遍歷性的平穩(wěn)隨機過程，即用時間平均值來代替統(tǒng)計平均值。（3）遍歷性平穩(wěn)隨機過程能客觀描述許多自然現(xiàn)象，它的任何一個樣本函故都具有整個過程（極大量樣本函數(shù)的集合）的全部統(tǒng)計特征，并且這種統(tǒng)計特征完全可由任何一個樣本函數(shù)的時間平均計算或測定，這就為復雜的統(tǒng)計測試找到了簡單易行的解決辦法。2、隨機信號的頻譜分析（一）自相關(guān)函數(shù)設為平穩(wěn)隨機過程，其自相關(guān)函數(shù)具有如下主要性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)與t無關(guān)，僅是時間間隔的函數(shù)。（2）當時，即為的均方值。因此，R（0）表示總平均功率。（3）當時，對于非周期性信號有（4）相當于的交流功率。（5）自相關(guān)函數(shù)為在時為最大值，即（一）自相關(guān)函數(shù)（續(xù)）（6）如果自相關(guān)函數(shù)是實函數(shù)（7）變換特性：在確知功率信號的分析中，已知功率信號的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一對傅氏變換，對于隨機過程上述結(jié)論仍然成立。即一個隨機過程的自相關(guān)函數(shù)和它的功率譜是一對傅氏變換，這個關(guān)系稱為維納-欣欽定理。即為隨機過程的平均功率S。（二）功率譜（或稱功率譜密度函數(shù)）對于平穩(wěn)隨機過程，取任意T作為周期，則在間隔 上將平穩(wěn)隨機過程截短為。對于平穩(wěn)隨機過程的一個樣本函數(shù)，則它的功率譜密度為：再通過一次統(tǒng)計平均來得到隨機過程的功率譜密度即功率譜性質(zhì)

≥0，具有非負性。，具有對稱性。是實偶函數(shù)，其平均功率可寫為高斯過程1、定義：任何n維分布都服從正態(tài)分布的隨機過程2、重要性質(zhì)：*若高斯過程廣義平穩(wěn)的，則也是狹義平穩(wěn)的。*若高斯過程中的隨機變量之間互不相關(guān)，則它們也是相互獨立的。*若干高斯過程之和仍是高斯過程。*高斯過程經(jīng)過線性變換（或線性系統(tǒng)）之后仍是高斯過程。第五節(jié)信道的加性噪聲1、信道中的噪聲加性噪聲一般可以分成三方面：（1）人為噪聲來源于無關(guān)的其他信號源；（2）自然噪聲即自然界存在的各種電磁波源；（3）內(nèi)部噪聲指系統(tǒng)設備本身產(chǎn)生的各種噪聲。確知噪聲至少在原理上可消除或基本消除。隨機噪聲則往往不能準確預測其波形。常見的隨機噪聲可分為單頻噪聲、脈沖噪聲和起伏噪聲三類。2、熱噪聲（1）熱噪聲是在電阻一類導體中，自由電子的布朗運動引起的噪聲。（2）熱噪聲是服從高斯分布。（3）在從直流到微波的頻率范圍內(nèi)，電阻或?qū)w的熱噪聲具有均勻的功率譜密度2kTG。電阻中的熱噪聲的兩種表示方法：一種是無噪聲電導G和噪聲電流源并聯(lián)，另一種無噪聲電阻和噪聲電壓源的串聯(lián)。2、熱噪聲（續(xù)）噪聲電流源及電壓源的均方根值（或稱等效的有效值）。當電阻電路的頻率范圍為B赫，則噪聲電流源實際提供的噪聲功率為，而噪聲電壓源實際提供的噪聲功率為。設噪聲的電流源及電壓源的均方根值分別為及，則有有了上述對單個電阻噪聲的表述方法，我們可以很容易地把它推廣到復雜的電阻網(wǎng)絡或其他網(wǎng)絡中去3、散彈噪聲散彈噪聲是由真空電子管和半導體器件中電子發(fā)射的不均勻性引起的。根據(jù)中心極限定理，散彈噪聲是一個高斯隨機過程。散彈噪聲電流的功率譜密度等于一個恒值qI。，其中，I。是平均電流值，q是電子的電荷，4、宇宙噪聲宇宙噪聲更指天體輻射波對接收機形成的噪聲。它在整個空間的分布是不均勻的，最強的來自銀河系的中部，其強度與季節(jié)、頻率等因素有關(guān)。實測表明，在20～300MHz的頻率范圍內(nèi)，它的強度與頻率的三次分成反比。因而，當工作頻率低于300MHz時就要考慮到它的影響。實踐證明宇宙噪聲也是服從高斯分布律的，在一般的工作頻率范圍內(nèi)，它也具有平坦功率譜密度。第六節(jié)信道容量單位時間內(nèi)信道上所能傳輸?shù)淖畲笮畔⒘糠Q為信道容量1、離散信道的信道容量在有噪聲的信道中，發(fā)送符號為而收到的符號為時所獲得的信息量等于未發(fā)送符號前對的不確定程度減去收到符號后對的不確定程度，即：

[發(fā)送收到時所獲得的信息量]=

是未發(fā)送符號前出現(xiàn)的概率；是收到而發(fā)送為的條件概率。對各和取統(tǒng)計平均，即對所有發(fā)送而收到取平均，則：平均信息量／符號

表示發(fā)送的每個符號的平均信息量；

表示發(fā)送符號在有噪聲的信道中傳輸平均丟失的信息量或當輸出符號已知時輸入符號的平均信息量。信息傳輸速率，是指信道在單位時間內(nèi)所傳輸?shù)钠骄畔⒘?，并用R表示，即：

是單位時間內(nèi)信息源發(fā)出的平均信息量，或稱信息源的信息速率。是單位時間內(nèi)對發(fā)送x而收到y(tǒng)的條件平均信息量。如果單位時間傳送的符號數(shù)為r，則有：該式表示有噪聲信道中信息傳輸速率等于每秒鐘內(nèi)信息源發(fā)送的信息量與由信道不確定性而引起丟失的那部分信息量之差。例[2.6.1]設信息源由符號0和1組成，順次選擇兩符號構(gòu)成所有可能的消息。如果消息傳輸速率是每秒1000符號，且兩符號出現(xiàn)概率相等。在傳輸中，弱干擾引起的差錯是：平均每100符號中有一個符號不正確，信道模型如圖所示，試問這時傳輸信息的速率是多少？對稱、平穩(wěn)、無記憶二進制和四進制信道對于圖示兩種信道（p+q=1），若單位時間傳送的符號數(shù)為r，則二進制情況下四進制情況下信道傳輸信息速率與單位時間傳送的符號數(shù)目r、信息源的概率分布以及信道干擾的概率分布有關(guān)。

對于給定信道，干擾的概率分布是確定的。如果單位時間傳送的符號數(shù)目一定，則信道傳送信息速率僅與信息源的概率分布有關(guān)。

離散信道容量的定義如下：對于一切可能的信息源概率分布來說，離散信道傳輸信息的速率R的最大值稱為信道容量，記之為C，即式中，max是表示對所有可能的輸入概率分布來說的最大值。2、連續(xù)信道的信道容量香農(nóng)（Shannon）定理：假設輸入信道的加性高斯白噪聲功率為N（W），信道的帶寬為B（HZ），信號功率為S（W），則可以證明該信道的信道容量為若噪聲單邊功率譜密度為，則噪聲功率N將等于香農(nóng)公式的另一形式為一個連續(xù)信道的信道容量“三要素”B、、S的限制香農(nóng)公式結(jié)論（1）提高信號與噪聲功率之比能增加信道容量。（2）當噪聲功率時，信道容量C趨于，這意味著無干擾信道容量為無窮大。（3）增加信道頻帶（也就是信號頻帶）B并不能無限制地使信道容量增大。當噪聲為白色高斯噪聲時。隨著B增大，噪聲功率n0B也增大，在極限情況下:由此可見，即使信道帶定無限增大，信道容量仍然是有限的。（4）信道容量一定時，帶寬B與信噪比S／N之間可以彼此互換。（5）若信源的信息速率R≤C，則理論上可實現(xiàn)無誤差（任意小的差錯率）傳輸，若R>C，則不可能實現(xiàn)無誤差傳輸。理想通信系統(tǒng)：實現(xiàn)極限信息速率（信道容量）且任意小的差錯率的通信系統(tǒng)。

香農(nóng)定理只證明了理想系統(tǒng)的“存在性”，卻沒有指出這種通信系統(tǒng)的實現(xiàn)方法。例[2.6.2]下面計算一個模擬電話信道的信道容量。設該信道的帶寬為3000Hz，信道上只存在加性白噪聲，信號噪聲功率比為20dB。本章基本概念與內(nèi)容要點1、信道的定義、分類、數(shù)學模型2、隨機變量的概率及其性質(zhì)3、隨機變量的統(tǒng)計特性4、隨機過程及其統(tǒng)計特性5、隨機信號的頻譜分析6、信道的加性噪聲7、信道容量8、shannon公式及其理解本章