函數(shù)模型及其應(yīng)用幾類不同增長的函數(shù)模型學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長的含義．2．區(qū)分指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長速度的差異．3．會選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型分析和解決一些實際問題．‖自主導(dǎo)學(xué)‖知識點|三種函數(shù)模型的比較閱讀教材P95～P101的內(nèi)容，完成下列問題．1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性eq\x(1)增函數(shù)eq\x(2)增函數(shù)增函數(shù)圖象的變化隨x的增大逐漸與eq\x(3)y軸平行隨x的增大逐漸與eq\x(4)x軸平行隨n值不同而不同2.三種函數(shù)增長速度的比較(1)在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但增長速度不同，且不在同一個“檔次”上．(2)隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長速度eq\x(5)越來越快，會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n>0)的增長速度，而y＝logax(a>1)的增長速度則會eq\x(6)越來越慢．(3)總會存在一個x0，當(dāng)x>x0時，就有eq\x(7)ax>xn>logax.eq\a\vs4\al([思考辨析]|判斷正誤|)1．函數(shù)y＝x2比y＝2x增長的速度更快些．(×)2．當(dāng)a>1，n>0時，在區(qū)間(0，＋∞)上，對任意的x，總有l(wèi)ogax<xn<ax成立．(×)‖小試身手‖1．已知變量y＝1＋2x，當(dāng)x減少1個單位時，y的變化情況是()A．y減少1個單位 B．y增加1個單位C．y減少2個單位 D．y增加2個單位答案：C2．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中，增長速度最快的是()A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100 D．y＝100x答案：D3．某廠原來月產(chǎn)量為a,1月份增產(chǎn)10%,2月份比1月份減產(chǎn)10%，設(shè)2月份產(chǎn)量為b，則()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)>bC．a(chǎn)<b D．無法比較a，b的大小答案：B4．某細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個…這樣，一個細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是________．答案：y＝2x(x∈N*)H題型一函數(shù)模型的增長差異【例1】函數(shù)f(x)＝2x和g(x)＝x3的圖象如圖所示．設(shè)兩函數(shù)的圖象交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)請指出圖中曲線C1，C2分別對應(yīng)的函數(shù)；(2)結(jié)合函數(shù)圖象，判斷f(6)，g(6)，f(2017)，g(2017)的大?。甗解](1)C1對應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝x3，C2對應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝2x.(2)因為f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2017>x2.從圖象上可以看出，當(dāng)x1<x<x2時，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．當(dāng)x>x2時，f(x)>g(x)，所以f(2017)>g(2017)．又g(2017)>g(6)，所以f(2017)>g(2017)>g(6)>f(6)．eq\a\vs4\al(|方法總結(jié)|)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)增長差異的判斷方法(1)根據(jù)函數(shù)的變化量的情況對函數(shù)增長模型進(jìn)行判斷．(2)根據(jù)圖象判斷增長型的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)時，通常是觀察函數(shù)圖象上升的快慢，即隨著自變量的增大，圖象最“陡”的函數(shù)是指數(shù)函數(shù)；圖象趨于平緩的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)．1．當(dāng)x越來越大時，下列函數(shù)中增長速度最快的是()A．y＝100x B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))xC．y＝log2x D．y＝x100解析：選B因為指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x的增長是爆炸式的，雖然底數(shù)eq\f(e,2)較小，但是當(dāng)x越來越大時，增長速度最快，所以應(yīng)選B.2．三個變量y1，y2，y3隨著變量x的變化情況如下表：x1357911y15135625171536456655y2529245218919685177149y35則與x呈對數(shù)型函數(shù)、呈指數(shù)型函數(shù)、呈冪函數(shù)型函數(shù)變化的變量依次是()A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1 D．y3，y1，y2解析：選C觀察數(shù)表知，三個變量y1，y2，y3均是從5開始變化，變量y1，y2，y3都是越來越大，但增長速度不同，其中增長最快的y2應(yīng)呈指數(shù)型函數(shù)，y1呈冪函數(shù)型函數(shù)，y3呈對數(shù)型函數(shù)，因此應(yīng)選C.eq\a\vs4\al(題型二)函數(shù)模型的選取【例2】某汽車制造商在2022年初公告：公司計劃2022年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛．已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示：年份202220222022產(chǎn)量8(萬)18(萬)30(萬)如果我們分別將2022、2022、2022、2022定義為第一、二、三、四年．現(xiàn)在你有兩個函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪個模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系？[解]建立生產(chǎn)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過點(1,8)，(2,18)，(3,30)．①構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計劃誤差為1.②構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，將點坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得a＝eq\f(125,3)，b＝eq\f(6,5)，c＝－42，則g(x)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))x－42，故g(4)＝eq\f(125,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))4－42＝，與計劃誤差為.由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系．eq\a\vs4\al(|方法總結(jié)|)不同函數(shù)模型的選取標(biāo)準(zhǔn)不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實世界中不同的變化規(guī)律：(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律；(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律；(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.3．某債券市場發(fā)行三種債券，A種面值為100元，一年到期本息和為103元；B種面值為50元，半年到期本息和為元；C種面值為100元，但買入價為97元，一年到期本息和為100元．作為購買者，分析這三種債券的收益，如果只能購買一種債券，你認(rèn)為應(yīng)購買哪種？解：A種債券的收益是每100元一年到期收益3元；B種債券的半年利率為eq\f－50,50)，所以100元一年到期的本息和為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f－50,50)))2≈(元)，收益為元；C種債券的利率為eq\f(100－97,97)，100元一年到期的本息和為100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(100－97,97)))≈(元)，收益為元．通過以上分析，購買B種債券．H]題型三根據(jù)增大差異確定圖象并比較大小【例3】當(dāng)2<x<4時，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是()A．2x>x2>log2x B．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2 D．x2>log2x>2x[解析]解法一：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出y＝2x，y＝x2，y＝log2x在(2,4)內(nèi)的圖象，通過比較可知答案選B.解法二：(賦值法)代特殊值，如x＝3，23＝8,32＝9,1<log23<2，故可知答案選B.[答案]Beq\a\vs4\al(|方法總結(jié)|)對三種遞增函數(shù)，當(dāng)自變量足夠大時，指數(shù)函數(shù)最大，本題由于自變量x∈2，4不足夠大，所以不能主觀臆斷.4．今有一組實驗數(shù)據(jù)如下：tv12現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是()A．v＝log2t B．v＝logeq\f(1,2)tC．v＝eq\f(t2－1,2) D．v＝2t－2答案：C1．正確識別四類函數(shù)模型(1)增長速度不變的函數(shù)模型是一次函數(shù)模型．(2)增長速度最快即呈現(xiàn)爆炸式增長的函數(shù)模型是指數(shù)型函數(shù)模型．(3)增長速度較慢的函數(shù)模型是對數(shù)型函數(shù)模型．(4)增長速度平穩(wěn)的函數(shù)模型是冪函數(shù)模型．2．掌握兩個應(yīng)用原則——函數(shù)模型的應(yīng)用(1)可推演原則：建立模型，一定要有意義，既能作理論分析，又能計算、推理，且能得出正確結(jié)論．(2)反映性原則：建立模型，應(yīng)與原型具有“相似性”，所得模型的解應(yīng)具有說明問題的功能，能回到具體問題中解決問題．「自測檢評」1．下列函數(shù)中，隨著x的增長，增長速度最快的是()A．y＝50 B．y＝1000xC．y＝×2x－1 D．y＝eq\f(1,1000)ex解析：選D指數(shù)函數(shù)y＝ax，在a>1時呈爆炸式增長，而且a越大，增長速度越快，選D.2．某公司為了適應(yīng)市場需求對產(chǎn)品結(jié)構(gòu)作了重大調(diào)整，調(diào)整后初期利潤增長迅速，后來增長越來越慢，若要建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來反映該公司調(diào)整后利潤y與時間x的關(guān)系，可選用()A．一次函數(shù) B．冪函數(shù)C．指數(shù)型函數(shù) D．對數(shù)型函數(shù)解析：選D初期增長迅速，后來增長越來越慢，可用對數(shù)型函數(shù)模型來反映y與x的關(guān)系，故選D.3．甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s與時間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法正確的是()A．甲比乙先出發(fā) B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙兩人的速度相同 D．甲先到達(dá)終點解析：選D從題圖可以看出，甲、乙兩人同時出發(fā)(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用時(t1)比乙用時(t2)短，即甲比乙的速度快，甲先到達(dá)終點．4．現(xiàn)測得(x，y)的兩組對應(yīng)值分別為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測得(x，y)的一組對應(yīng)值為(3,，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．解析：把x＝1,2,3分