第二章彈塑性波基本方程2-1物質(zhì)坐標和空間坐標2-2時間微商與波速2-3物質(zhì)坐標描述的桿中縱波控制方程2-4特征線與特征線上的相容關(guān)系2-5空間坐標描述的控制方程和特征線2-6波陣面上的守恒方程第二章彈塑性波基本方程2-1物質(zhì)坐標和空間坐標12-1物質(zhì)坐標和空間坐標連續(xù)介質(zhì)力學的基本出發(fā)點之一，是不從微觀上考慮物體的真實物質(zhì)結(jié)構(gòu)，而只是在宏觀上把物體看成是連續(xù)不斷的質(zhì)點所組成的系統(tǒng)，即把物體看成是質(zhì)點的連續(xù)集合。每個質(zhì)點在空間上占有一定的空間位置，不同的質(zhì)點在不同的時間占有不同的空間位置。

構(gòu)形：一個物體中各質(zhì)點在一定時刻的相互位置的配置。2-1物質(zhì)坐標和空間坐標2如何描述質(zhì)點運動？定義坐標系（1）質(zhì)點命名（為了區(qū)別不同的質(zhì)點），如Xi(a,b,c)（2）描述質(zhì)點所占據(jù)的空間位置xi。i=1，一維；i=3，三維

（3）時間坐標t如何描述質(zhì)點運動？3

在連續(xù)介質(zhì)力學中，往往采用兩種觀點和方法來研究介質(zhì)的運動：

Lagrange方法

Euler方法。相應地，研究桿的運動時，要先選定坐標系統(tǒng)，一般對應有兩種坐標系：

Lagrange坐標（即物質(zhì)坐標，隨著介質(zhì)流動來考察）

Euler坐標（即空間坐標，固定空間位置來考察）。

在連續(xù)介質(zhì)力學中，往往采用兩種觀點和方法來研4Lagrange描述（方法）：隨著介質(zhì)中固定的質(zhì)點來觀察物質(zhì)的運動，所研究的是在給定的質(zhì)點上各物理量隨時間的變化，以及這些量由一個質(zhì)點轉(zhuǎn)到其他質(zhì)點時的變化，這種描述介質(zhì)運動的方法稱為Lagrange描述（方法）。Euler描述（方法）：在固定的空間點上來觀察物質(zhì)的運動，所研究的是在給定的空間點上以不同時間到達該點的不同質(zhì)點的各物理量隨時間的變化，以及這些物理量從一個空間點轉(zhuǎn)換到另一空間點時的變化，這種描述介質(zhì)運動的方法稱為Euler描述（方法）。Lagrange描述（方法）：5Lagrange坐標：

為了識別運動中物體的一個質(zhì)點，以一組數(shù)（a，b，c）作為其標記，不同的質(zhì)點以不同的數(shù)（a，b，c）表示，這組數(shù)（a，b，c）稱為Lagrange坐標（或物質(zhì)坐標、隨體坐標）。

Lagrange表示法：t=t0時位置來表示，Euler坐標：為了表示物體質(zhì)點在不同時刻運動到空間的一個位置，以一組固定于空間的坐標表示該位置，這組坐標稱為Euler坐標（或空間坐標）Lagrange坐標：6以長桿中一維運動為例：

X質(zhì)點命名（質(zhì)點在參考時刻的空間位置坐標）：X質(zhì)點任一時刻t在空間所占位置：x

質(zhì)點X物理含義：質(zhì)點在參考時刻t0時在參考空間坐標系中所占據(jù)的位置坐標。參考時刻可以取t0=0時刻，或其它適當?shù)臅r刻；參考空間坐標系可以與描述運動所用的空間坐標系一致，也可以不同，選取原則取決于研究問題的方便性。以長桿中一維運動為例：X質(zhì)點命名（質(zhì)點在參考時刻的空間位置7X表示法一：介質(zhì)的運動可表示為質(zhì)點X在不同的時間t占據(jù)不同的空間位置x

，即x是X和t的函數(shù)

(2-1-1)

如果固定X，上式給出了質(zhì)點X如何隨時間運動；如果固定t，上式給出了某時刻各質(zhì)點所占據(jù)的空間位置。一般來說，在給定時刻，一個質(zhì)點只能占有一個空間位置，而一個空間位置也只能有一個質(zhì)點。X表示法一：介質(zhì)的運動可表示為質(zhì)點X在不同的時間t占據(jù)不同的8表示法二：反過來只要運動是連續(xù)單值的，（2-1-1）式可反演為

(2-1-2)即X是ｘ和t的函數(shù)。

（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一維長桿中介質(zhì)運動的兩種形式，二者是可是互換的。X表示法二：反過來只要運動是連續(xù)單值的，（2-1-1）式可反演9

在一維情況下，應用Lagrange方法，可將物理量Ψ表達為質(zhì)點X和時間t的函數(shù)：Ψ

=F(X,t)。自變量X即為Lagrange坐標（物質(zhì)坐標）。應用Euler方法，可將物理量Ψ表達為空間坐標x和時間t的函數(shù)：Ψ

=f(x,t)。自變量x即為Euler坐標（空間坐標）。顯然，對于同一物理量Ψ，有Ψ

=F(X,t)

=f(ｘ,t)(2-1-3)在一維情況下，應用Lagrange方法，可將10

描述同一物理量Ψ，既可以用物質(zhì)坐標也可以用空間坐標來進行描述，二者還可以進行轉(zhuǎn)換。（1）物質(zhì)坐標系中描述的物理量空間坐標系中描述的物理量由（2-1-2）、（2-1-3）式，有

f(ｘ,t)=F[X（ｘ,t）,t](2-1-4)

（2）空間坐標系中描述的物理量物質(zhì)坐標系中描述的物理量由（2-1-1）、（2-1-3）式，有

F(X,t)=f[ｘ（X,t）,t](2-1-5)描述同一物理量Ψ，既可以用物質(zhì)坐標也可以用112-2時間微商與波速三種微商：空間微商（Euler微商）物質(zhì)微商（Lagrange微商或隨體微商）隨波微商兩種波速：空間波速（Euler波速）物質(zhì)波速（Lagrange波速）2-2時間微商與波速12空間微商（Euler微商）：在給定空間位置x上，物理量Ψ對時間t的變化率，即

(2-2-1)物質(zhì)微商（Lagrange微商或隨體微商）：隨著給定的質(zhì)點X來觀察物理量Ψ對時間t的變化率，即

(2-2-2)空間微商（Euler微商）：在給定空間位置x上，物理量Ψ對時13對于（2-2-2）式應用復合函數(shù)求微商的連鎖法則，有

質(zhì)點X空間位置對時間的物質(zhì)微商，即質(zhì)點X的運動速度(2-2-3)(2-2-4)對于（2-2-2）式應用復合函數(shù)求微商的連鎖法則，有14物理量Ψ為質(zhì)點速度時，(2-2-4)式變?yōu)橘|(zhì)點加速度的表達式：

(2-2-5)(2-2-4)式中，等式右邊第一項通常稱為局部變化率，顯然在定常場中該項為零；第二項稱為遷移變化率，在均勻場中該項為零。與此相對應，(2-2-5)式中，等式右邊第一項通常稱為局部加速度，第二項稱為遷移加速度。物理量Ψ為質(zhì)點速度時，(2-2-4)式變?yōu)橘|(zhì)點加速度的表達式15物質(zhì)波速（Lagrange波速）：在物質(zhì)坐標中來觀察應力波的傳播，設(shè)在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ劫|(zhì)點X處，以表示波陣面在物質(zhì)坐標中的傳播規(guī)律，則物質(zhì)波速（Lagrange波速）可表示為：

(2-2-6)空間波速（Euler波速）：在空間坐標中來觀察應力波的傳播，設(shè)在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ娇臻g點x處，以表示波陣面在空間坐標中的傳播規(guī)律，則空間波速（Euler波速）可表示為：

(2-2-7)

物質(zhì)波速和空間波速都是對同一個應力波的傳播速度的描述，但由于選擇的坐標不同，其數(shù)值不一定相同，除非波陣面前方介質(zhì)是靜止且無變形的。物質(zhì)波速（Lagrange波速）：在物質(zhì)坐標中來觀察應力波的16隨波微商：隨著波陣面來觀察物理量Ψ對時間t的變化率。根據(jù)坐標系的不同，有兩種表達式，即在空間坐標系中有:(2-2-8)在物質(zhì)坐標系中有：

(2-2-9)(2-2-9)式中，取物理量Ψ為質(zhì)點的空間位置x，該式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

(2-2-10)隨波微商：隨著波陣面來觀察物理量Ψ對時間t的變化率。根據(jù)坐標17

設(shè)初始時刻某質(zhì)點X空間位置根據(jù)定義為X，隨后某時刻該質(zhì)點到達空間位置x，則位移為u，顯然有，故

一維長桿中X與x的相互關(guān)系ε為工程應變。則(2-2-10)式可簡化為：(2-2-11)

可以看出，只有當初始質(zhì)點速度和初始應變?yōu)榱銜r，空間波速和物質(zhì)波速值相同。

設(shè)初始時刻某質(zhì)點X空間位置根據(jù)定義為X，隨后182-3物質(zhì)坐標描述的桿中縱波控制方程2-3-1基本假定

（1）平截面假定，即假定桿在變形時橫截面保持為平面，沿截面只有均布的軸向應力。按照這一假定，桿中各運動參量（位移、質(zhì)點速度、應力等）都只是X和t的函數(shù)，應力波傳播的問題就簡化為一維問題了。但是，這一假定只有在長桿的橫向尺寸與應力波的波長相比很小時才近似成立。2-3物質(zhì)坐標描述的桿中縱波控制方程19

（2）忽略橫向慣性效應。即忽略桿中質(zhì)點橫向運動的慣性效應，忽略桿中質(zhì)點橫向膨脹或收縮對動能的貢獻。這一假定實際上與第一個假定密不可分。質(zhì)點的橫向運動必然使得動能橫向耗散，減小X方向的動能，從而導致X方向應力波陣面的彎曲。如果忽略橫向慣性效應，則和都等于零，因而處于單向應力狀態(tài)，且因為無橫向能量耗散，應力波陣面不會彎曲，保持平面狀態(tài)。（2）忽略橫向慣性效應。即忽略桿中質(zhì)點橫向運動的20

（3）應力只是應變的單值函數(shù)。對于應變率無關(guān)理論，材料的本構(gòu)關(guān)系可寫成

（2-3-1）這一假定似乎只有在彈性變形范圍內(nèi)（低應變率）才適用或?qū)兟什幻舾械膹椝苄圆牧辖瓶捎谩５梢哉J為材料在某一應變率范圍內(nèi)近似具有唯一的動態(tài)應力應變關(guān)系，在形式上是應變率無關(guān)的，但與靜態(tài)應力應變關(guān)系不同，因為它在一定意義上已考慮了應變率的影響。應變率無關(guān)理論在工程應用中具有十分重要的應用價值。（3）應力只是應變的單值函數(shù)。212-3-2控制方程組位移連續(xù)方程或質(zhì)量守恒方程——運動學條件；運動方程或動量守恒方程——動力學條件；能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）。2-3-2控制方程組22

（1）位移連續(xù)方程考察一維等截面均勻桿中微元體的縱向運動。取桿變形前（設(shè)t0=0時）質(zhì)點的空間位置作為物質(zhì)坐標，桿軸為X軸，取一微元dX作為研究對象。桿的原始截面積為A0，原始密度為ρ0。在t=t1時刻微元的兩個截面分別移動到空間位置x和x+dx，則X截面發(fā)生的位移為。（1）位移連續(xù)方程23根據(jù)位移連續(xù)條件，為連續(xù)函數(shù)，有：可得位移連續(xù)方程（或稱ε和v的相容方程）：

（2-3-2）根據(jù)位移連續(xù)條件，為連續(xù)函數(shù)，24

（2）

動量守恒方程由圖所示，根據(jù)牛頓第二定律，作用在微元體兩個截面上的作用力之差應等于微元體質(zhì)量與加速度的乘積，即引入工程應力，可得

（2-3-3）此即動量守恒方程（或稱σ和v的相容方程）。（2）動量守恒方程25

（3）

能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）由于應力波傳播速度很高，在應力波通過微元體的時間內(nèi)，微元體還來不及和鄰近的微元體及周圍介質(zhì)交換熱量，因而可視為絕熱過程，這一過程遵守能量守恒關(guān)系。（2-3-1）式給出的材料的本構(gòu)關(guān)系式實際上是絕熱過程中得到的，故無需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-3-1）~（2-3-3）可以組成關(guān)于變量σ、ε和v的封閉的控制方程組：

（2-3-4）（3）能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）26

（1）以ε和v為未知變量的控制方程組連續(xù)可微，對于連續(xù)波波速（2-3-5）則（2-3-6）代入（2-3-3）式可得

（2-3-7）上式與位移連續(xù)方程（2-3-2）式就共同組成了以ε和v為未知變量的控制方程組，即（2-3-8）（1）以ε和v為未知變量的控制方程組27

（2）以σ和v為未知變量的控制方程組

由（2-3-6）式和（2-3-2）式可以得到

（2-3-9）

它與運動方程（2-3-3）式共同組成了以σ和v為未知變量的控制方程組，即（2-3-10）（2）以σ和v為未知變量的控制方程組28

（3）以u為未知變量的二階偏微分方程由于ε和速度v都是位移u的一階微商，即，，代入（2-3-7）式，可得

（2-3-11）該方程通常稱為波動方程，描述了一維桿中應力縱波的傳播規(guī)律。（3）以u為未知變量的二階偏微分方程29不同形式表示的一維應力縱波的控制方程：不同形式表示的一維應力縱波的控制方程：30

2-4特征線與特征線上的相容關(guān)系控制方程組波陣面參數(shù)σ、ε、v和u等

隨X、t的變化規(guī)律。但是由這些偏微分方程組獲得解析解并不容易。對于一維波傳播的基本方程組，除了彈性波是線性方程外，一般都是非線性的。因此大多數(shù)實際問題，往往只能用一些近似的數(shù)值方法求解。

特征線方法是解決波傳播問題最為重要的方法之一，具有重要的應用價值，因為它是求解雙典型線型偏微分方程的主要解法之一，可以把解兩個自變量的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為解特征線上的常微分方程問題。

2-4特征線與特征線上的相容關(guān)系31

按照偏微分方程理論，對任意一個二階偏微方程：

系數(shù)A、B、C、D、E和G，都僅依賴于X和t，與u無關(guān)，則方程為二階線性偏微分方程；還與u有關(guān)時，則方程為非線性的。

G=0時，為齊次方程。按照偏微分方程理論，對任意一個二階偏微方程：32

按照方程解的特性，可以根據(jù)判別式△=B2-4AC的數(shù)值將其劃分為三種類型：（1）△<0時，稱為橢園型方程，其自變量（X，t）平面上沒有實特征線。解這類方程，其因變量及其方向?qū)?shù)在解區(qū)的整個邊界上都必須給定才行。（2）△=0時，稱為拋物線型方程，其自變量平面上只有一條實特征線。（3）△>0時，稱為雙曲線型方程，其自變量平面上有兩條實特征線。前面的波動方程（2-3-11）式就屬于雙曲線型方程。按照方程解的特性，可以根據(jù)判別式△=B2-433

何謂特征線？可用不同而又相互等價的方法來定義。物理意義上：特征線是在（X-t）平面上擾動波陣面?zhèn)鞑サ能壽E。圖中曲線上各點的斜率就是擾動波的傳播速度，式中正負號分別對應于向右和向左的傳播速度。

何謂特征線？34

在數(shù)學意義上：（1）方向?qū)?shù)法（Curant和Friedrichs提出）（2）不定線方法

方向?qū)?shù)法：如果能把某二階偏微分方程或等價的一階偏微分方程組的線性組合化為只包含自變量平面上某一曲線Γ的方向?qū)?shù)的形式時，則曲線Γ即為該方程（或方程組）的特征線，而該曲線各點的斜率dX/dt稱為該特征線的特征方向。

不定線法：如果對于自變量平面（X，t）上某曲線Γ，由沿此曲線Γ上給定的初值連同偏微分方程一起不足以確定全部偏導數(shù)的話，則此曲線Γ稱為特征線。在數(shù)學意義上：（1）方向?qū)?shù)法（Curant35

用方向?qū)?shù)法和不定線法來定義特征線，分別從不同角度反映了特征線的某種性質(zhì)，采用不同的方法所得到的特征線是相同的。控制方程特征線方程特征線上相容關(guān)系式特征線解法方向?qū)?shù)法不定線法用方向?qū)?shù)法和不定線法來定義特征線，分別從不36方向?qū)?shù)含義：

在（X，t）平面內(nèi)有一曲線Γ，函數(shù)f(X,t)在S方向上的方向?qū)?shù)定義為：

它可以給出在與曲線Γ相切方向上對S的變化率。其中S的方向即為：

方向?qū)?shù)含義：在（X，t）平面內(nèi)有一曲線Γ37例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。

例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特38例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特39例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。

(1)解：設(shè)在自變量平面（X，t）上有某曲線Γ（X，t），對于u的一階偏導數(shù)v、ε，沿此曲線方向的微分分別為：

(2)(3)例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特40

dX和dt是曲線Γ上微段dS在兩軸上的分量，即是曲線Γ在（X，t）點上的斜率。如果曲線Γ是二階偏微分方程(1)式的特征線，則該式能化為只包含沿此曲線的方向微分。將(2)和(3)式進行線性組合就能實現(xiàn)，即有

(4)此時，線性組合式應與(1)式等價，即(1)、(4)兩方程應等價，有：dX和dt是曲線Γ上微段dS在兩軸上的分量41可得，則

上式即為所求特征線微分方程，對其積分可得相應的特征線方程。由(4)式，可得只包含沿特征線方向微分的常微分方程：

可得，則42例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。

解：對于上式中的一階偏微分方程組，根據(jù)特征線方向?qū)?shù)法的定義，（1）式乘以λ加上（2）式進行線性組合：兩函數(shù)v、ε所對應的特征方向應當相同，即有：例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特43（特征線微分方程）（3）式可轉(zhuǎn)變?yōu)椋杭从校簭亩傻茫海ㄌ卣骶€上的相容關(guān)系）（特征線微分方程）（3）式可轉(zhuǎn)變?yōu)椋杭从校簭亩傻茫海ㄌ卣骶€44

對于一維應力縱波，特征線微分方程和特征線上的相容關(guān)系分別為：對于一維應力縱波，特征線微分方程和特征線上的相容關(guān)系45思考題：1、什么是特征線？什么類型的問題可用特征線法求解？2、特征線的物理含義是什么？3、為什么用特征線法求得的解就是原方程的解？思考題：1、什么是特征線？什么類型的問題可用特征線法求解？46作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關(guān)系：（1）一維等熵流（2）一維桿運動作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容47作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關(guān)系：（3）球面等熵流（4）二維定常等熵流作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容482-5空間坐標描述的控制方程及特征線比較2-5空間坐標描述的控制方程及特征線比較49比較比較比較比較比較比較502-6波陣面上的守恒方程運動學條件——質(zhì)量守恒方程動力學條件——動量守恒方程能量守恒方程2-6波陣面上的守恒方程51奇異面：具有導數(shù)間斷的面，在數(shù)學上稱為奇異面。

強間斷：如果位移函數(shù)u的一階導數(shù)間斷，即質(zhì)點速度和應變在波陣面上有突躍（波陣面前后參量的差值為一有限值），稱為強間斷或一階奇異面。如遞增硬化材料中的塑性波由于高幅值擾動的波速大于低幅值擾動的波速所形成的應力波的波剖面是間斷的，常稱為沖擊波。2-6-1強間斷和弱間斷奇異面：具有導數(shù)間斷的面，在數(shù)學上稱為奇異面。2-6-152

弱間斷：如果函數(shù)u及其一階導數(shù)皆連續(xù)（波陣面前后v、ε參量的差值為無窮小值），但其二階導數(shù)如加速度等發(fā)生間斷，稱為二階奇異面，依此類推，還可以有更高階的奇異面，這種二階或更高階的奇異面都稱為弱間斷。二階奇異面所對應的應力波通常稱為加速度波。弱間斷所對應的應力波其波剖面是連續(xù)的，稱為連續(xù)波。弱間斷：如果函數(shù)u及其一階導數(shù)皆連續(xù)（波陣面53彈塑性波與結(jié)構(gòu)動力學-第二章課件54彈塑性波與結(jié)構(gòu)動力學-第二章課件55令，外加載荷保持恒值，則弱間斷邊界條件便轉(zhuǎn)換成強間斷邊界條件。令，外加載荷保持恒值，則弱間斷562-6-2質(zhì)量守恒方程

上三式分別對應于ψ本身、ψ的一階導數(shù)和二階導數(shù)發(fā)生間斷情況下波陣面上運動學相容條件的通式。對于左行波，用-D替代D即可。Maxwell定理

ψ表示物理參量,[ψ]表示該參量的在波陣面前后的變化值。2-6-2質(zhì)量守恒方程上三式分別對應于ψ57

設(shè)有平面波陣面以波速D向右傳播，波陣面上的任一物理量，設(shè)波陣面之前和之后的ψ值分別表示為和，則波陣面前后參量的變化值表示為?？疾煳锢砹繉r間的變化率，即隨波微商有：

對和分別取隨波微商并相減，可得

對于一階奇異面（強間斷）有，則上式變?yōu)镸axwell定理設(shè)有平面波陣面以波速D向右傳播，波陣面上的任一58

對于二階奇異面，用ψ的一階偏導數(shù)和代替式中的ψ，有

ψ及其一階導數(shù)連續(xù)，二階導數(shù)間斷，有，，從而有：

對于二階奇異面，用ψ的一階偏導數(shù)59通式中ψ用位移u來代替，顯然有對于沖擊波波陣面：

對于加速波波陣面：

上兩式分別為沖擊波和加速度波波陣面的運動學相容條件——質(zhì)量守恒條件。通式中ψ用位移u來代替，顯然有602-6-3動量守恒方程上兩式分別為強間斷波與加速度波的動量守恒條件。2-6-3動量守恒方程上兩式分別為強間斷波與加速度波的動61

對于強間斷波，根據(jù)沖量定理，有：波速，則可得：

對于弱間斷波，有，，需要考察v和ε偏導數(shù)之間的關(guān)系，把一維縱波的動量守恒方程分別應用于波陣面的前方和后方并相減可得：對于強間斷波，根據(jù)沖量定理，有：對于弱間斷62上兩式分別為沖擊波與加速度波的速度表達式。上兩式分別為沖擊波與加速度波的速度表達式。63

弱間斷波的波速與強間斷波的波速是不同的，因為關(guān)系與關(guān)系是不同的，這涉及到材料的物性。根據(jù)應變率無關(guān)理論，應力是應變的單值連續(xù)函數(shù)，對于弱間斷有則波速形式變?yōu)椋?/p>

這樣加速度波的波速仍然是由材料本構(gòu)關(guān)系曲線的切線斜率所確定。若應力與應變滿足線性關(guān)系，則，此時加速度波與強間斷波的波速一致。弱間斷波的波速與強間斷波的波速是不同的，因為642-6-4能量守恒方程e為介質(zhì)的比內(nèi)能（單位質(zhì)量的內(nèi)能），E為介質(zhì)的單位體積內(nèi)能，則能量守恒條件方程可表示為?；?-6-4能量守恒方程e為介質(zhì)的比內(nèi)能（單位質(zhì)量65如圖，對于沖擊波，根據(jù)能量守恒定律，應力波在dt時間內(nèi)，對dX微元內(nèi)介質(zhì)所做的功，一部分用來增加介質(zhì)的內(nèi)能，一部分變?yōu)榻橘|(zhì)的運動動能，即有：式中e為介質(zhì)的比內(nèi)能（單位質(zhì)量的內(nèi)能）。如圖，對于沖擊波，根據(jù)能量守恒定律，應力波在d66整理可得

利用和將上式展開整理可得：

引入單位體積內(nèi)能E，有，上式變?yōu)椋?/p>

整理可得67

沖擊波波陣面上的守恒條件統(tǒng)稱為沖擊突躍條件或Rankine-hugoniot關(guān)系：

或沖擊波波陣面上的守恒條件統(tǒng)稱為沖擊突躍條件68

令沖擊波波陣面上的突躍值由有限值趨于無限小，波速用C來替代D，則相應的守恒方程組變?yōu)槿蹰g斷波陣面的守恒方程組：

或令沖擊波波陣面上的突躍值由有限值趨于無限小，69

從波陣面上的相容條件的前兩式的形式可以看出，它與特征線上的相容關(guān)系正好符號相反，為什么？思考題：從波陣面上的相容條件的前兩式的形式可以看出，70第二章彈塑性波基本方程2-1物質(zhì)坐標和空間坐標2-2時間微商與波速2-3物質(zhì)坐標描述的桿中縱波控制方程2-4特征線與特征線上的相容關(guān)系2-5空間坐標描述的控制方程和特征線2-6波陣面上的守恒方程第二章彈塑性波基本方程2-1物質(zhì)坐標和空間坐標712-1物質(zhì)坐標和空間坐標連續(xù)介質(zhì)力學的基本出發(fā)點之一，是不從微觀上考慮物體的真實物質(zhì)結(jié)構(gòu)，而只是在宏觀上把物體看成是連續(xù)不斷的質(zhì)點所組成的系統(tǒng)，即把物體看成是質(zhì)點的連續(xù)集合。每個質(zhì)點在空間上占有一定的空間位置，不同的質(zhì)點在不同的時間占有不同的空間位置。

構(gòu)形：一個物體中各質(zhì)點在一定時刻的相互位置的配置。2-1物質(zhì)坐標和空間坐標72如何描述質(zhì)點運動？定義坐標系（1）質(zhì)點命名（為了區(qū)別不同的質(zhì)點），如Xi(a,b,c)（2）描述質(zhì)點所占據(jù)的空間位置xi。i=1，一維；i=3，三維

（3）時間坐標t如何描述質(zhì)點運動？73

在連續(xù)介質(zhì)力學中，往往采用兩種觀點和方法來研究介質(zhì)的運動：

Lagrange方法

Euler方法。相應地，研究桿的運動時，要先選定坐標系統(tǒng)，一般對應有兩種坐標系：

Lagrange坐標（即物質(zhì)坐標，隨著介質(zhì)流動來考察）

Euler坐標（即空間坐標，固定空間位置來考察）。

在連續(xù)介質(zhì)力學中，往往采用兩種觀點和方法來研74Lagrange描述（方法）：隨著介質(zhì)中固定的質(zhì)點來觀察物質(zhì)的運動，所研究的是在給定的質(zhì)點上各物理量隨時間的變化，以及這些量由一個質(zhì)點轉(zhuǎn)到其他質(zhì)點時的變化，這種描述介質(zhì)運動的方法稱為Lagrange描述（方法）。Euler描述（方法）：在固定的空間點上來觀察物質(zhì)的運動，所研究的是在給定的空間點上以不同時間到達該點的不同質(zhì)點的各物理量隨時間的變化，以及這些物理量從一個空間點轉(zhuǎn)換到另一空間點時的變化，這種描述介質(zhì)運動的方法稱為Euler描述（方法）。Lagrange描述（方法）：75Lagrange坐標：

為了識別運動中物體的一個質(zhì)點，以一組數(shù)（a，b，c）作為其標記，不同的質(zhì)點以不同的數(shù)（a，b，c）表示，這組數(shù)（a，b，c）稱為Lagrange坐標（或物質(zhì)坐標、隨體坐標）。

Lagrange表示法：t=t0時位置來表示，Euler坐標：為了表示物體質(zhì)點在不同時刻運動到空間的一個位置，以一組固定于空間的坐標表示該位置，這組坐標稱為Euler坐標（或空間坐標）Lagrange坐標：76以長桿中一維運動為例：

X質(zhì)點命名（質(zhì)點在參考時刻的空間位置坐標）：X質(zhì)點任一時刻t在空間所占位置：x

質(zhì)點X物理含義：質(zhì)點在參考時刻t0時在參考空間坐標系中所占據(jù)的位置坐標。參考時刻可以取t0=0時刻，或其它適當?shù)臅r刻；參考空間坐標系可以與描述運動所用的空間坐標系一致，也可以不同，選取原則取決于研究問題的方便性。以長桿中一維運動為例：X質(zhì)點命名（質(zhì)點在參考時刻的空間位置77X表示法一：介質(zhì)的運動可表示為質(zhì)點X在不同的時間t占據(jù)不同的空間位置x

，即x是X和t的函數(shù)

(2-1-1)

如果固定X，上式給出了質(zhì)點X如何隨時間運動；如果固定t，上式給出了某時刻各質(zhì)點所占據(jù)的空間位置。一般來說，在給定時刻，一個質(zhì)點只能占有一個空間位置，而一個空間位置也只能有一個質(zhì)點。X表示法一：介質(zhì)的運動可表示為質(zhì)點X在不同的時間t占據(jù)不同的78表示法二：反過來只要運動是連續(xù)單值的，（2-1-1）式可反演為

(2-1-2)即X是ｘ和t的函數(shù)。

（2-1-1）式和（2-1-2）式是描述一維長桿中介質(zhì)運動的兩種形式，二者是可是互換的。X表示法二：反過來只要運動是連續(xù)單值的，（2-1-1）式可反演79

在一維情況下，應用Lagrange方法，可將物理量Ψ表達為質(zhì)點X和時間t的函數(shù)：Ψ

=F(X,t)。自變量X即為Lagrange坐標（物質(zhì)坐標）。應用Euler方法，可將物理量Ψ表達為空間坐標x和時間t的函數(shù)：Ψ

=f(x,t)。自變量x即為Euler坐標（空間坐標）。顯然，對于同一物理量Ψ，有Ψ

=F(X,t)

=f(ｘ,t)(2-1-3)在一維情況下，應用Lagrange方法，可將80

描述同一物理量Ψ，既可以用物質(zhì)坐標也可以用空間坐標來進行描述，二者還可以進行轉(zhuǎn)換。（1）物質(zhì)坐標系中描述的物理量空間坐標系中描述的物理量由（2-1-2）、（2-1-3）式，有

f(ｘ,t)=F[X（ｘ,t）,t](2-1-4)

（2）空間坐標系中描述的物理量物質(zhì)坐標系中描述的物理量由（2-1-1）、（2-1-3）式，有

F(X,t)=f[ｘ（X,t）,t](2-1-5)描述同一物理量Ψ，既可以用物質(zhì)坐標也可以用812-2時間微商與波速三種微商：空間微商（Euler微商）物質(zhì)微商（Lagrange微商或隨體微商）隨波微商兩種波速：空間波速（Euler波速）物質(zhì)波速（Lagrange波速）2-2時間微商與波速82空間微商（Euler微商）：在給定空間位置x上，物理量Ψ對時間t的變化率，即

(2-2-1)物質(zhì)微商（Lagrange微商或隨體微商）：隨著給定的質(zhì)點X來觀察物理量Ψ對時間t的變化率，即

(2-2-2)空間微商（Euler微商）：在給定空間位置x上，物理量Ψ對時83對于（2-2-2）式應用復合函數(shù)求微商的連鎖法則，有

質(zhì)點X空間位置對時間的物質(zhì)微商，即質(zhì)點X的運動速度(2-2-3)(2-2-4)對于（2-2-2）式應用復合函數(shù)求微商的連鎖法則，有84物理量Ψ為質(zhì)點速度時，(2-2-4)式變?yōu)橘|(zhì)點加速度的表達式：

(2-2-5)(2-2-4)式中，等式右邊第一項通常稱為局部變化率，顯然在定常場中該項為零；第二項稱為遷移變化率，在均勻場中該項為零。與此相對應，(2-2-5)式中，等式右邊第一項通常稱為局部加速度，第二項稱為遷移加速度。物理量Ψ為質(zhì)點速度時，(2-2-4)式變?yōu)橘|(zhì)點加速度的表達式85物質(zhì)波速（Lagrange波速）：在物質(zhì)坐標中來觀察應力波的傳播，設(shè)在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ劫|(zhì)點X處，以表示波陣面在物質(zhì)坐標中的傳播規(guī)律，則物質(zhì)波速（Lagrange波速）可表示為：

(2-2-6)空間波速（Euler波速）：在空間坐標中來觀察應力波的傳播，設(shè)在t時刻波陣面?zhèn)鞑サ娇臻g點x處，以表示波陣面在空間坐標中的傳播規(guī)律，則空間波速（Euler波速）可表示為：

(2-2-7)

物質(zhì)波速和空間波速都是對同一個應力波的傳播速度的描述，但由于選擇的坐標不同，其數(shù)值不一定相同，除非波陣面前方介質(zhì)是靜止且無變形的。物質(zhì)波速（Lagrange波速）：在物質(zhì)坐標中來觀察應力波的86隨波微商：隨著波陣面來觀察物理量Ψ對時間t的變化率。根據(jù)坐標系的不同，有兩種表達式，即在空間坐標系中有:(2-2-8)在物質(zhì)坐標系中有：

(2-2-9)(2-2-9)式中，取物理量Ψ為質(zhì)點的空間位置x，該式轉(zhuǎn)變?yōu)椋?/p>

(2-2-10)隨波微商：隨著波陣面來觀察物理量Ψ對時間t的變化率。根據(jù)坐標87

設(shè)初始時刻某質(zhì)點X空間位置根據(jù)定義為X，隨后某時刻該質(zhì)點到達空間位置x，則位移為u，顯然有，故

一維長桿中X與x的相互關(guān)系ε為工程應變。則(2-2-10)式可簡化為：(2-2-11)

可以看出，只有當初始質(zhì)點速度和初始應變?yōu)榱銜r，空間波速和物質(zhì)波速值相同。

設(shè)初始時刻某質(zhì)點X空間位置根據(jù)定義為X，隨后882-3物質(zhì)坐標描述的桿中縱波控制方程2-3-1基本假定

（1）平截面假定，即假定桿在變形時橫截面保持為平面，沿截面只有均布的軸向應力。按照這一假定，桿中各運動參量（位移、質(zhì)點速度、應力等）都只是X和t的函數(shù)，應力波傳播的問題就簡化為一維問題了。但是，這一假定只有在長桿的橫向尺寸與應力波的波長相比很小時才近似成立。2-3物質(zhì)坐標描述的桿中縱波控制方程89

（2）忽略橫向慣性效應。即忽略桿中質(zhì)點橫向運動的慣性效應，忽略桿中質(zhì)點橫向膨脹或收縮對動能的貢獻。這一假定實際上與第一個假定密不可分。質(zhì)點的橫向運動必然使得動能橫向耗散，減小X方向的動能，從而導致X方向應力波陣面的彎曲。如果忽略橫向慣性效應，則和都等于零，因而處于單向應力狀態(tài)，且因為無橫向能量耗散，應力波陣面不會彎曲，保持平面狀態(tài)。（2）忽略橫向慣性效應。即忽略桿中質(zhì)點橫向運動的90

（3）應力只是應變的單值函數(shù)。對于應變率無關(guān)理論，材料的本構(gòu)關(guān)系可寫成

（2-3-1）這一假定似乎只有在彈性變形范圍內(nèi)（低應變率）才適用或?qū)兟什幻舾械膹椝苄圆牧辖瓶捎?。但可以認為材料在某一應變率范圍內(nèi)近似具有唯一的動態(tài)應力應變關(guān)系，在形式上是應變率無關(guān)的，但與靜態(tài)應力應變關(guān)系不同，因為它在一定意義上已考慮了應變率的影響。應變率無關(guān)理論在工程應用中具有十分重要的應用價值。（3）應力只是應變的單值函數(shù)。912-3-2控制方程組位移連續(xù)方程或質(zhì)量守恒方程——運動學條件；運動方程或動量守恒方程——動力學條件；能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）。2-3-2控制方程組92

（1）位移連續(xù)方程考察一維等截面均勻桿中微元體的縱向運動。取桿變形前（設(shè)t0=0時）質(zhì)點的空間位置作為物質(zhì)坐標，桿軸為X軸，取一微元dX作為研究對象。桿的原始截面積為A0，原始密度為ρ0。在t=t1時刻微元的兩個截面分別移動到空間位置x和x+dx，則X截面發(fā)生的位移為。（1）位移連續(xù)方程93根據(jù)位移連續(xù)條件，為連續(xù)函數(shù)，有：可得位移連續(xù)方程（或稱ε和v的相容方程）：

（2-3-2）根據(jù)位移連續(xù)條件，為連續(xù)函數(shù)，94

（2）

動量守恒方程由圖所示，根據(jù)牛頓第二定律，作用在微元體兩個截面上的作用力之差應等于微元體質(zhì)量與加速度的乘積，即引入工程應力，可得

（2-3-3）此即動量守恒方程（或稱σ和v的相容方程）。（2）動量守恒方程95

（3）

能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）由于應力波傳播速度很高，在應力波通過微元體的時間內(nèi)，微元體還來不及和鄰近的微元體及周圍介質(zhì)交換熱量，因而可視為絕熱過程，這一過程遵守能量守恒關(guān)系。（2-3-1）式給出的材料的本構(gòu)關(guān)系式實際上是絕熱過程中得到的，故無需再另外列出能量守恒方程，由方程（2-3-1）~（2-3-3）可以組成關(guān)于變量σ、ε和v的封閉的控制方程組：

（2-3-4）（3）能量守恒方程或材料本構(gòu)關(guān)系（物性方程）96

（1）以ε和v為未知變量的控制方程組連續(xù)可微，對于連續(xù)波波速（2-3-5）則（2-3-6）代入（2-3-3）式可得

（2-3-7）上式與位移連續(xù)方程（2-3-2）式就共同組成了以ε和v為未知變量的控制方程組，即（2-3-8）（1）以ε和v為未知變量的控制方程組97

（2）以σ和v為未知變量的控制方程組

由（2-3-6）式和（2-3-2）式可以得到

（2-3-9）

它與運動方程（2-3-3）式共同組成了以σ和v為未知變量的控制方程組，即（2-3-10）（2）以σ和v為未知變量的控制方程組98

（3）以u為未知變量的二階偏微分方程由于ε和速度v都是位移u的一階微商，即，，代入（2-3-7）式，可得

（2-3-11）該方程通常稱為波動方程，描述了一維桿中應力縱波的傳播規(guī)律。（3）以u為未知變量的二階偏微分方程99不同形式表示的一維應力縱波的控制方程：不同形式表示的一維應力縱波的控制方程：100

2-4特征線與特征線上的相容關(guān)系控制方程組波陣面參數(shù)σ、ε、v和u等

隨X、t的變化規(guī)律。但是由這些偏微分方程組獲得解析解并不容易。對于一維波傳播的基本方程組，除了彈性波是線性方程外，一般都是非線性的。因此大多數(shù)實際問題，往往只能用一些近似的數(shù)值方法求解。

特征線方法是解決波傳播問題最為重要的方法之一，具有重要的應用價值，因為它是求解雙典型線型偏微分方程的主要解法之一，可以把解兩個自變量的偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為解特征線上的常微分方程問題。

2-4特征線與特征線上的相容關(guān)系101

按照偏微分方程理論，對任意一個二階偏微方程：

系數(shù)A、B、C、D、E和G，都僅依賴于X和t，與u無關(guān)，則方程為二階線性偏微分方程；還與u有關(guān)時，則方程為非線性的。

G=0時，為齊次方程。按照偏微分方程理論，對任意一個二階偏微方程：102

按照方程解的特性，可以根據(jù)判別式△=B2-4AC的數(shù)值將其劃分為三種類型：（1）△<0時，稱為橢園型方程，其自變量（X，t）平面上沒有實特征線。解這類方程，其因變量及其方向?qū)?shù)在解區(qū)的整個邊界上都必須給定才行。（2）△=0時，稱為拋物線型方程，其自變量平面上只有一條實特征線。（3）△>0時，稱為雙曲線型方程，其自變量平面上有兩條實特征線。前面的波動方程（2-3-11）式就屬于雙曲線型方程。按照方程解的特性，可以根據(jù)判別式△=B2-4103

何謂特征線？可用不同而又相互等價的方法來定義。物理意義上：特征線是在（X-t）平面上擾動波陣面?zhèn)鞑サ能壽E。圖中曲線上各點的斜率就是擾動波的傳播速度，式中正負號分別對應于向右和向左的傳播速度。

何謂特征線？104

在數(shù)學意義上：（1）方向?qū)?shù)法（Curant和Friedrichs提出）（2）不定線方法

方向?qū)?shù)法：如果能把某二階偏微分方程或等價的一階偏微分方程組的線性組合化為只包含自變量平面上某一曲線Γ的方向?qū)?shù)的形式時，則曲線Γ即為該方程（或方程組）的特征線，而該曲線各點的斜率dX/dt稱為該特征線的特征方向。

不定線法：如果對于自變量平面（X，t）上某曲線Γ，由沿此曲線Γ上給定的初值連同偏微分方程一起不足以確定全部偏導數(shù)的話，則此曲線Γ稱為特征線。在數(shù)學意義上：（1）方向?qū)?shù)法（Curant105

用方向?qū)?shù)法和不定線法來定義特征線，分別從不同角度反映了特征線的某種性質(zhì)，采用不同的方法所得到的特征線是相同的?？刂品匠烫卣骶€方程特征線上相容關(guān)系式特征線解法方向?qū)?shù)法不定線法用方向?qū)?shù)法和不定線法來定義特征線，分別從不106方向?qū)?shù)含義：

在（X，t）平面內(nèi)有一曲線Γ，函數(shù)f(X,t)在S方向上的方向?qū)?shù)定義為：

它可以給出在與曲線Γ相切方向上對S的變化率。其中S的方向即為：

方向?qū)?shù)含義：在（X，t）平面內(nèi)有一曲線Γ107例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。

例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特108例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。例3：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特109例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。

(1)解：設(shè)在自變量平面（X，t）上有某曲線Γ（X，t），對于u的一階偏導數(shù)v、ε，沿此曲線方向的微分分別為：

(2)(3)例1：已知一維縱波的波動方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特110

dX和dt是曲線Γ上微段dS在兩軸上的分量，即是曲線Γ在（X，t）點上的斜率。如果曲線Γ是二階偏微分方程(1)式的特征線，則該式能化為只包含沿此曲線的方向微分。將(2)和(3)式進行線性組合就能實現(xiàn)，即有

(4)此時，線性組合式應與(1)式等價，即(1)、(4)兩方程應等價，有：dX和dt是曲線Γ上微段dS在兩軸上的分量111可得，則

上式即為所求特征線微分方程，對其積分可得相應的特征線方程。由(4)式，可得只包含沿特征線方向微分的常微分方程：

可得，則112例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特征線方程及特征線上的相容關(guān)系。

解：對于上式中的一階偏微分方程組，根據(jù)特征線方向?qū)?shù)法的定義，（1）式乘以λ加上（2）式進行線性組合：兩函數(shù)v、ε所對應的特征方向應當相同，即有：例2：已知一維縱波的控制方程，采用方向?qū)?shù)法求解一維縱波的特113（特征線微分方程）（3）式可轉(zhuǎn)變?yōu)椋杭从校簭亩傻茫海ㄌ卣骶€上的相容關(guān)系）（特征線微分方程）（3）式可轉(zhuǎn)變?yōu)椋杭从校簭亩傻茫海ㄌ卣骶€114

對于一維應力縱波，特征線微分方程和特征線上的相容關(guān)系分別為：對于一維應力縱波，特征線微分方程和特征線上的相容關(guān)系115思考題：1、什么是特征線？什么類型的問題可用特征線法求解？2、特征線的物理含義是什么？3、為什么用特征線法求得的解就是原方程的解？思考題：1、什么是特征線？什么類型的問題可用特征線法求解？116作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關(guān)系：（1）一維等熵流（2）一維桿運動作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容117作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容關(guān)系：（3）球面等熵流（4）二維定常等熵流作業(yè)：用方向?qū)?shù)法求求下列偏微分方程組的特征方程和特征相容1182-5空間坐標描述的控制方程及特征線比較2-5空間坐標描述的控制方程及特征線比較119比較比較比較比較比較比較1202-6波陣面上的守恒方程運動學條件——質(zhì)量守恒方程動力學條件——動量守恒方程能量守恒方程2-6波陣面上的守恒方程121奇異面：具有導數(shù)間斷的面，在數(shù)學上稱為奇異面。

強間斷：如果位移函數(shù)u的一階導數(shù)間斷，即質(zhì)點速度和應變在波陣面上有突躍（波陣面前后參量的差值為一有限值），稱為強間斷或一階奇異面。如遞增硬化材料中的塑性波由于高幅值擾動的波速大于低幅值擾動的波速所形成的應力波的波剖面是間斷的，常稱為沖擊波。2-6-1強間斷和弱間斷奇異面：具有導數(shù)間斷的面，在數(shù)學上稱為奇異面。2-6-1122

弱間斷：如果函數(shù)u及其一階導數(shù)