任課教師：

馮弢辦公室：

學活十層1003辦公室電話:51685467郵箱:tfeng@數(shù)學建模導引參考教材參考教材1.數(shù)學建模的概念和步驟

1.1.數(shù)學建模的概念

1.2.數(shù)學建模的步驟1.3.一個數(shù)學建模實例

1.4.數(shù)學模型的分類

1.5.數(shù)學建模競賽介紹

數(shù)學建模，簡單地講就是用數(shù)學的知識和方法去解決實際問題.一個簡單的例：甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行要30小時，從乙到甲逆水航行要50小時，問船速、水速是多少？

解：設(shè)x為船速，y為水速，有

(x+y)30=750(x-y)50=750解之x=20，y=5.1.1

數(shù)學建模的概念原型

:人們在現(xiàn)實世界中關(guān)心、研究、或從事生產(chǎn)、管理的實際對象.模型

:為了某個特定的目的，將原型的某一部分信息進行簡縮、提煉而構(gòu)成的原型替代物.模型可以有很多類型：直觀模型、物理模型、思維模型、符號模型、數(shù)學模型等.數(shù)學模型：由數(shù)字、字母或其他數(shù)學符號組成，

描述實際對象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學公式、圖形或算法計算機模擬，一種與數(shù)學模型有密切關(guān)系的數(shù)學模擬.幾個相關(guān)的概念現(xiàn)實對象信息數(shù)學模型數(shù)學模型的解答現(xiàn)實對象的解答求解解釋驗證基于合理的假設(shè)

通過數(shù)學語言來

“描述實際現(xiàn)象”

“近似實際問題”建模的目的是解決實際問題,實踐是檢驗模型好壞的唯一標準1.2

數(shù)學建模的步驟另一個簡單的例：一個籠子裝有雞和兔若干只，已知它們共有8個頭和22只腳，問該籠子中有多少只雞和多少只兔？

解：設(shè)籠中有雞x只，有兔y

只，有

x+y=82x+4y=22

解之x=5

，y=3.根據(jù)問題的背景和建模的目的做出假設(shè)用字母表示要求的未知量根據(jù)已知的常識列出數(shù)學式或圖形等求出數(shù)學式子的解答驗證所得結(jié)果的正確性數(shù)學建模的步驟：模型準備模型假設(shè)

模型構(gòu)成

模型驗證

模型分析

模型求解

模型應用數(shù)學建模的步驟：椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動幾次，就可以使四只腳同時著地，放穩(wěn)了.使用數(shù)學的語言，解釋這種現(xiàn)象！1.3

一個數(shù)學建模實例模型假設(shè):1、椅子有四條腿且四條腿一樣長，椅子腳與地面接觸可以視為一個點，四腳連線是正方形(對椅子的假設(shè))2、地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不出現(xiàn)間斷，沒有像臺階那樣的情況，即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面(對地面的假設(shè))3、地面相對平坦，椅子放在地面上總至少可以有三只腳同時著地（對椅子和地面之間關(guān)系的假設(shè)）模型構(gòu)成:

首先用變量表示“椅子的位置”.正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示“椅子的位置”.ABCD圖中A、B、C、D為椅子的四只腳，坐標系原點選為椅子中心，坐標軸選為其對角線.模型構(gòu)成:其次用數(shù)學符號表示“椅腳著地”.椅子在不同位置時椅腳著地與地面的距離不同，所以這個距離是椅子位置變量的函數(shù).雖然椅子有四只腳，因而有四個不同的距離，但由于正方形的對稱性，只要設(shè)兩個距離就行了.

記f()為A、C兩腳與地面的距離之和；g()為B、D兩腳與地面的距離之和.ABCD模型構(gòu)成:f()：A、C兩腳與地面的距離之和；g()：B、D兩腳與地面的距離之和.

f()0、g()0，都是的連續(xù)函數(shù)(由假設(shè)2)對任意，有f()、g()中至少有一個為0(由假設(shè)3)不妨設(shè)當=0時，f()>0、g()=0故此本問題歸為證明如下數(shù)學命題：ABCD數(shù)學命題(本問題的數(shù)學模型):已知f()、g()都是關(guān)于的非負連續(xù)函數(shù)，如果對任意的，都有f()g()=0，且f(0)>0、g(0)=0，則存在0，使f(0)=g(0)=0.模型求解:證明：令h()=f()-g(),由f(0)>0，g(0)=0，有h(0)>0.ABCD由于h()是閉區(qū)間[0,/2]上的連續(xù)函數(shù)，必存在0(0,/2),使h(0)=0，即存在0,使f(0)=g(0)=0.證明：令h()=f()-g(),由f(0)>0，g(0)=0，有h(0)>0.將椅子旋轉(zhuǎn)90°，使得對角線AC與BD互換,有f(/2)=0，g(/2)>0,因此，h(/2)<0.ABCD思考題長方形的椅子結(jié)果還成立嗎？某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿；次日早8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店.某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經(jīng)過路徑中的同一地點.為什么？思考題1）按模型的表現(xiàn)特性分：離散模型確定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機性模型非線性模型多變量模型2）按時間變化對模型的影響分：靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時變模型1.4

數(shù)學模型的分類3）按模型的應用領(lǐng)域（或所屬學科）分:人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等.4）按建立模型的數(shù)學方法（或所屬數(shù)學分支）分:初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、統(tǒng)計回歸模型、數(shù)學規(guī)劃模型等.5）按建模目的分:描述模型、預報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等.6）按對模型結(jié)構(gòu)的了解程度分:白箱模型：其內(nèi)在機理相當清楚的學科問題，包括力學、熱學、電學等.灰箱模型：其內(nèi)在機理尚不十分清楚的現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等.黑箱模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚的現(xiàn)象，如生命科學、社會科學等.1983年，美國一些有識之士探討組織一項應用數(shù)學方面的競賽的可能性.經(jīng)過論證、爭論、爭取資金等過程，1985年舉行了美國第一屆大學生數(shù)學建模競賽,它由美國工業(yè)與應用數(shù)學學會和美國運籌學學會聯(lián)合主辦.從1985年起，每年舉行一屆，時間定為每年的二月的某個星期五到星期一舉行.美國大學生數(shù)學建模競賽歡迎其他國家的大學組隊參加，因此，某種意義上它已經(jīng)是國際賽事了.http:///undergraduate/contests1.5

數(shù)學建模競賽介紹中國大學生數(shù)學建模競賽1992年中國工業(yè)與應用數(shù)學學會(CSIAM)開始組織1994年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦(每年9月)

網(wǎng)址：

獎勵：全國一等獎(約2%)、全國二等獎(約7%)，教育部高教司和CSIAM共同簽章1999年起競賽分為甲組(本科)、乙組(高職高專組)

優(yōu)秀論文刊登于次年《工程數(shù)學學報》(

2000年前為《數(shù)學的實踐與認識》)通過數(shù)學建模競賽活動，提高學生運用數(shù)學理論和方法、利用文獻、計算機等工具分析和解決實際問題的能力，鼓勵學生踴躍參加課外科技活動，開拓知識面，豐富校園學術(shù)氛圍，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，合作精神.促進學科交叉.數(shù)學建模競賽宗旨內(nèi)容

賽題：工程、管理中經(jīng)過簡化的實際問題

答卷：一篇包含問題分析、模型假設(shè)、建立、求解(通常用計算機)、結(jié)果分析和檢驗等的論文形式3名大學生組隊，在3天內(nèi)完成的通訊比賽

可使用任何材料(圖書/互聯(lián)網(wǎng)/軟件等)，但不得與隊外任何人討論(包括上網(wǎng)討論)宗旨創(chuàng)新意識團隊精神重在參與公平競爭標準假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性。數(shù)學建模競賽內(nèi)容與形式年份A題B題C題D題2003SARS的傳播露天礦生產(chǎn)的車輛安排SARS的傳播搶渡長江2004奧運會臨時超市網(wǎng)點設(shè)計電力市場的輸電阻塞管理飲酒駕車公務員招聘2005長江水質(zhì)的評價和預測DVD在線租賃雨量預報方法的評價DVD在線租賃2006出版社的資源配置艾滋病療法的評價和療效的預測易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計煤礦瓦斯和煤塵的監(jiān)測與控制2007中國人口增長預測

乘公交，看奧運手機“套餐”優(yōu)惠幾何

體能測試時間安排

2008數(shù)碼相機定位高等教育收費標準探討地面搜索NBA賽程的分析與評價2003-2008年數(shù)學建模競賽題目北京交通大學的數(shù)學建模競賽：一年有4次：校內(nèi)競賽：每年5月下旬進行全國大學生建模競賽：每年9月下旬進行電工數(shù)學建模競賽：每年11月底進行美國大學生數(shù)學建模競賽：每年2月進行報名參賽時間：每年4月20日至5月27日，在學校的數(shù)學建模網(wǎng)站上報名思考題安全渡河問題三名商人各帶一名隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自己劃行.隨從們密約，在河的任一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨.但是如何乘船渡河的大權(quán)掌握在商人們手中.商人們怎樣才能安全渡河呢？河小船(至多2人)模型假設(shè)：問題已經(jīng)理想化了！模型構(gòu)成：xk:第k次渡河前此岸的商人數(shù)yk:第k次渡河前此岸的隨從數(shù)xk,yk=0,1,2,3;k=1,2,sk=(xk,yk):狀態(tài)S={(x

,y)x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S:允許狀態(tài)集合求dkD(k=1,2,n),使skS,并按轉(zhuǎn)移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).(當然n越小越好)故本問題歸為求解如下數(shù)學問題：uk:第k次渡船上的商人數(shù)vk:第k次渡船上的隨從數(shù)dk=(uk,vk):決策D={(u

,v)u+v=1,2}:允許決策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,