§7.1引言

一、系統(tǒng)抽樣的定義系統(tǒng)抽樣（systematicsampling)是將N個總體單元按一定順序排列，先隨機(jī)抽取一個單元作為樣本的第一個單元，然后按某種確定的規(guī)則抽取其他樣本單元的一種抽樣方法。

系統(tǒng)抽樣的特點

系統(tǒng)抽樣是一種被廣泛采用的抽樣方法，系統(tǒng)抽樣比簡單隨機(jī)抽樣易于操作，但抽樣誤差的估計比較復(fù)雜。實踐中，各種抽樣調(diào)查，如人口調(diào)查、產(chǎn)品質(zhì)量調(diào)查、城鄉(xiāng)居民調(diào)查等都普遍采用系統(tǒng)抽樣。系統(tǒng)抽樣中最簡單也是最常用的規(guī)則是等間隔抽取，這種系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣。二、系統(tǒng)抽樣的一般方法1.直線等距抽樣假設(shè)總體單元數(shù)為N,樣本容量為n,N是n的整數(shù)倍.首先計算抽樣間距,把總體分為n段,每段k個單元,然后在第一段的k個單元中隨機(jī)抽出一個單元,假設(shè)為r,然后每隔k個單元抽出一個單元.即直到抽出n個單元.例如

某學(xué)院共有200個學(xué)生,要抽10個學(xué)生做樣本首先計算抽樣間距然后在1～20中隨機(jī)抽出一個數(shù)字,假設(shè)抽中排在第3位的學(xué)生，則其余樣本單元依次為第23,43,63,83,103,123,143,163,183位共10個學(xué)生抽取.2.循環(huán)等距抽樣

當(dāng)N不是n的整數(shù)倍,即抽樣間距不是整數(shù)時,實際抽取的樣本量是不確定的,每個總體單元入樣的概率也是不等的,這時用直線等距抽樣就有可能產(chǎn)生偏倚,若采用循環(huán)等距抽樣則可以解決此問題.其方法是將N個總體單元排成首尾相接的一個圓從1到N中隨機(jī)抽取一個起點作為起始單元,然后每隔k個單元抽出一個,直到抽出n個單元為止.循環(huán)等距抽樣例如總體有14個單元，欲抽取n=3，則取與之最近的整數(shù)然后在總體中隨機(jī)抽取一個單元作為起點，假設(shè)抽中3，即依次抽取直到抽滿。因此樣本的編號為：3，8，13。811101331764529123.不等概系統(tǒng)抽樣法不等概系統(tǒng)抽樣中每個單元的入樣概率不相等.最常用也是最簡單的不等概系統(tǒng)抽樣是抽樣.即入樣概率與單元大小成比例的系統(tǒng)抽樣.令表示總體所有單元大小的總和,則實施不等概系統(tǒng)抽樣最簡單的方法是代碼法:下面以例7.1來說明【例7.1】設(shè)總體由10個行政村組成,N=10,每個行政村的人數(shù)見下表.利用系統(tǒng)抽樣抽取n=3個行政村.行政村編號人數(shù)(Mi)累計人數(shù)抽中代碼12345678910103432962468473205168146317103535631877961103412391407155318701007231346用系統(tǒng)抽樣抽選行政村從[1,k]中隨機(jī)抽取一個整數(shù)r=100,則代碼為:r=100,r+k=100+623=723,r+2k=100+2×623=1346,所對應(yīng)的行政村入樣,其序號依次為1,4,8.

在系統(tǒng)抽樣中,對于特別大的單元一定要注意.如果出現(xiàn),該單元肯定被抽入樣本,而且還可能被重復(fù)抽到.為了避免這種情況,可以事先將這些單元抽出直接入樣.三、總總體單單元的的排序序系統(tǒng)抽抽樣時時N個個總體體單元元的排排序情情況大致有有以下下三種種：（1））按無無關(guān)標(biāo)標(biāo)志排排隊（2））按有有關(guān)標(biāo)標(biāo)志排排隊（3））介于于上述述兩者者之間間四、系系統(tǒng)抽抽樣的的優(yōu)缺缺點系統(tǒng)抽抽樣的的優(yōu)點點：1.簡簡便易易行，，容易易確定定樣本本單元元2.樣樣本單單元在在總體體中分分布比比較均均勻系統(tǒng)抽抽樣的的缺點點:1.如果單單元的排列列存在周期期性的變化化,而抽樣樣者對此缺乏乏了解或缺缺乏處理經(jīng)經(jīng)驗，抽取取的樣本的代表性就就可能很差差。2.系統(tǒng)抽樣的的方差估計計較為復(fù)雜雜，一般不不存在無偏估計計量。五、系統(tǒng)抽抽樣、整群群抽樣和分分層抽樣的的關(guān)系系統(tǒng)抽樣既既可以看成成一種特殊殊的整群抽抽樣，又可以看成成一種特殊殊的分層抽抽樣。下面面以一般的等距抽樣樣為例說明明：假設(shè)抽樣間間距為k,總體單元元數(shù)為N=nk。將將總體的N個單元元排列成k行n列，，如下表所所示。表中中的每一行單元都都是系統(tǒng)抽抽樣的一個個樣本。系統(tǒng)抽樣的的總體單元元12jn平均12rk12jn群平均12rk層平均令得下表：如果將每一一行單元視視為一個群群，則總體體由k個群群組成每個群的大小都是n。系統(tǒng)抽樣就是從中任選～一個單元,被選中單單元所在行行的所有單單元就構(gòu)成成系統(tǒng)抽樣樣的一個樣本本?！?.2等等概率系系統(tǒng)抽樣估估計量一、符號說說明第r行第j列的單元指標(biāo)值：總體單元數(shù)數(shù)：N樣樣本本單元數(shù)：：n系統(tǒng)樣本平均數(shù)：系統(tǒng)樣本均值估計量：層均值：總體方差：系統(tǒng)樣本內(nèi)方差：樣本內(nèi)相關(guān)系數(shù)：層內(nèi)方差：同一系統(tǒng)內(nèi)對層均值離差的相關(guān)系數(shù)：二、估計量量假設(shè)起始值值為R，相相應(yīng)系統(tǒng)樣樣本的平均均值為：取系統(tǒng)樣本的平均數(shù)作為總體均值的估計量：性質(zhì)1當(dāng)N=nk時，，有k個可可能樣本：：因此是無偏估計量。是有偏的。。個可能樣本所包含的單元數(shù)不全相等，因此但是當(dāng)時，采用直線等距抽樣得到的三、估計量量方差的不不同表示形形式為方便起見，以后均假定時，系統(tǒng)樣本的平均數(shù)作為總體均值的估計是無偏的。它的方差按定定義為：下面給出方差差的三種不同同的表示形式式。形式一

用樣本內(nèi)方差表示系統(tǒng)抽樣估計量的方差。式中，為總體方差；為樣本內(nèi)方差。如果從總體N中直接抽取取樣本量為n的簡單隨機(jī)機(jī)樣本，則總體均值的估計量的方差為：式中，為總體方差；n為樣本量；f為抽樣比。

對于固定總體，總體方差是惟一確定的，因此，系統(tǒng)樣本內(nèi)的方差越大，系統(tǒng)抽樣的精度越高.為了提高系統(tǒng)抽樣的精度，總體單元的排列應(yīng)盡可能增大樣本內(nèi)方差。比較等距抽樣方差和簡單隨機(jī)抽樣方差，形式二

系統(tǒng)抽樣可看作一種特殊的整群抽樣系統(tǒng)抽樣估計量的方差可以用樣本內(nèi)相關(guān)系數(shù)表示：式中，為樣本內(nèi)相關(guān)系數(shù)。系統(tǒng)樣本內(nèi)正正相關(guān)越大，，即系統(tǒng)內(nèi)單單元越相似，則估計計量方差越大大，等距抽樣樣精度越差。。形式三、系統(tǒng)抽樣可看做一種特殊的分層抽樣，系統(tǒng)抽樣估計量的方差可以用層內(nèi)方差表示：式中，為層內(nèi)方差；為同一系統(tǒng)樣本內(nèi)對層均值離差的相關(guān)系數(shù)。比較系統(tǒng)抽樣方差與比例分配的分層隨機(jī)抽樣方差，比例分配的分層隨機(jī)抽樣總體均值估計量量的方差。因此當(dāng)系統(tǒng)抽樣的精度低于分層隨機(jī)抽樣；系統(tǒng)抽樣的精度與各層抽取一個單元的分層隨機(jī)抽樣相同；系統(tǒng)抽樣的精度高于分層隨機(jī)抽樣?！纠?.3】】設(shè)某總個體N=30個單單元，總體單單元排列如下表，我們們要產(chǎn)生一個個樣本量n=5為的系統(tǒng)統(tǒng)樣本，試與其他抽樣樣方法的結(jié)果果進(jìn)行比較。。下面通過一個個模擬的例子子說明系統(tǒng)抽抽樣與其他抽抽樣方法的聯(lián)系系，并對不同同抽樣方法的的效果進(jìn)行比比較。N=30，k=6,n=45等等距樣樣本數(shù)據(jù)12345群平均群內(nèi)方差1111213141513.002.52111213141513.002.53111213141513.002.54111213141513.002.55111213141513.002.56111213141513.002.5層平均11.0012.0013.0014.0015.0013.002.5層內(nèi)方差0000002.07從上表可計算出：總體方差平均群（行）內(nèi)方差平均層（列）內(nèi)方差下面我們按不不同的抽樣方方法計算總體體均值估計量的方差差。(1)以行行為群的整群群抽樣或以行行為“系統(tǒng)樣樣本”的系統(tǒng)抽樣k=6,n=5.(1)以行行為群的整群群抽樣或以行行為“系統(tǒng)樣樣本”的系統(tǒng)抽樣k=6,n=5.(2)以列列為群的整群群抽樣或以列列為“系統(tǒng)樣樣本”的系統(tǒng)抽樣k=5,n=6.（3）以行為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=6,n=6,f=6/30.（4）以列為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=5,n=5,f=5/30.（5）簡單隨機(jī)抽樣n=5,f=5/30.（6）簡單隨機(jī)抽樣n=6,f=6/30.【評價】從上面的結(jié)果果可以看出：：（1）像整群群抽樣一樣，，系統(tǒng)抽樣的的估計精度幾幾乎完全取決于其““系統(tǒng)樣本””內(nèi)差異與總總體差異的對對比。（2）系統(tǒng)抽抽樣與其他抽抽樣方法相比比其優(yōu)劣難以以定論，可能好也可能能差，這完全全取決于其““系統(tǒng)樣本””內(nèi)差異與總體差異的的對比，而這這個對比則取取決于系統(tǒng)抽抽樣中的總體單元排排列順序。（3）另外三三種方法的比比較同樣難定定優(yōu)劣，都需需要具體情況具體分分析。我們下面將上上表中總體單單元的順序重重新排列，來來研究總體單元不不同排列對系系統(tǒng)抽樣的影影響。依某種隨機(jī)化化程序?qū)⒖傮w體單元重新排排列12345群平均群內(nèi)方差1111211121513.002.692111211121513.002.693111213141513.002.504111213141513.002.505131413141513.000.706131413141513.000.70層平均11.6712.6712.3313.3315.0013.00層內(nèi)方差1.071.071.071.07002.07從上表可計算出：總體方差平均群（行）內(nèi)方差平均層（列）內(nèi)方差下面我們按不不同的抽樣方方法計算總體體均值估計量的方差差。(1)以行行為群的整群群抽樣或以行行為“系統(tǒng)樣樣本”的系統(tǒng)抽樣k=6,n=5.(2)以列列為群的整群群抽樣或以列列為“系統(tǒng)樣樣本”的系統(tǒng)抽樣k=5,n=6.（3）以行為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=6,n=6,f=6/30.（4）以列為層的分層隨機(jī)抽樣（每層抽1個單元）L=5,n=5,f=5/30.（5）簡單隨機(jī)抽樣n=5,f=5/30.（6）簡單隨機(jī)抽樣n=6,f=6/30.【評價】將此結(jié)果與上上例結(jié)果比較較我們不難發(fā)發(fā)現(xiàn)：（1）簡單隨隨機(jī)抽樣的方方差未變，說說明簡單隨機(jī)機(jī)抽樣的結(jié)果與順順序無關(guān)；（2）系統(tǒng)抽抽樣、整群抽抽樣以及分層層抽樣都與單單元順序有關(guān)，這這表明在選擇擇抽樣方式時時，必須盡可可能多地掌握有關(guān)關(guān)單元的順序序和總體結(jié)構(gòu)構(gòu)和特點。（3）本例中中分層抽樣方方差的結(jié)果優(yōu)優(yōu)于簡單隨機(jī)機(jī)抽樣，而簡單隨隨機(jī)抽樣優(yōu)于于系統(tǒng)抽樣和和整群抽樣。。【例6.5】】設(shè)某個總體有有N=32個個單元，總體體單元排列顯然有穩(wěn)穩(wěn)定上升的趨趨勢。我們要要產(chǎn)生一個樣樣本量為4的等距距樣本，將總總體單元排列列如下表，k=8,n=4,每一一列都是一個個等距樣本。。共8個等距距樣本。層?、ⅱ＂さ染鄻颖揪幪枌悠骄?.7511.521.87532.251234567817172718182838203031120314122434514243461625367162738總數(shù)5255616574778388------N=32，k=8,n=4等等距樣樣本數(shù)據(jù)

顯然,層內(nèi)有正相關(guān),前4個樣本與各層均值的離差都是正數(shù),后4個樣本與各層均值的離差都是負(fù)數(shù),由性質(zhì)4,當(dāng)時,系統(tǒng)抽樣的精度低于分層隨機(jī)抽樣.層內(nèi)方差與總方差分別為:

因此,簡單隨機(jī)抽樣均值估計的方差、分層隨機(jī)抽樣均值估計的方差以及等距抽樣均值估計的方差如下：【例7.3】】利用例7.2的數(shù)據(jù),但但將第二層與與第四層的觀察值次序顛顛倒,數(shù)據(jù)見見下表:層?、ⅱ＂さ染鄻颖揪幪枌泳?.7511.521.87532.251234567811617381161836314203431220344112431582430682528772727總數(shù)7271716970676768------

顯然,等距樣本內(nèi)數(shù)據(jù)與各層均值得離差有正有負(fù),例如第一個等距樣本對各層均值的離差分別為-2.75,4.5,-4.875,5.75.該樣本內(nèi)六對離差組合中四對的乘積是負(fù)數(shù).因此,由性質(zhì)4,,系統(tǒng)抽樣的精度高于分層隨機(jī)抽樣.

數(shù)據(jù)順序的這種改變不會影響簡單隨機(jī)抽樣均值估計的方差和分層隨機(jī)抽樣均值估計的方差。這時等距抽樣均值估計的方差為：

本例中，等距抽樣比簡單隨機(jī)抽樣和分層隨機(jī)抽樣都更有效。由此可見，相對于分層隨機(jī)抽樣和簡單隨機(jī)抽樣來說，系統(tǒng)抽樣的效率很大程度上取決于總體性質(zhì)。即使是相同的總體數(shù)據(jù)，對于不同的單元排列順序，就有不同的樣本群內(nèi)方差或相關(guān)系數(shù)從而系統(tǒng)抽樣估計量的方差也就不同。因此，若要有效地采用系統(tǒng)抽樣，必須先了解總體的特征?！?.3方方差估計計及其改進(jìn)一、方差的近近似估計雖然有各種各各樣的估計量量方差的理論論公式，但難以得到抽樣樣估計量方差差的無偏估計計，這是系統(tǒng)統(tǒng)抽樣的最大的缺缺點。因此，，許多從事抽抽樣設(shè)計的業(yè)業(yè)者在決定是否采采用系統(tǒng)抽樣樣時往往猶豫豫不決。為此，我們分分別針對幾種種不同總體模模型，介紹幾種近似估計計方法，以期期選擇較為合合適的估計量量。（1）隨機(jī)次次序排列的總總體按照無關(guān)標(biāo)志志排列的總體單單元，可以看看著是隨機(jī)排列的。。在這種情況下下，系統(tǒng)抽樣樣方差與簡單單隨機(jī)抽樣方差是相相等的。即總總體單元按隨隨機(jī)排列順序序時，就可以采采用簡單隨機(jī)機(jī)抽樣的方差差作為系統(tǒng)抽抽樣的方差估計計。方差估計為：估計量的方差為：趨勢排列情形形當(dāng)總體存在或或很易找到與與研究變量相相關(guān)程度較高的輔助變量量作為排序依依據(jù)時，或是是自然的排列列順序與總體單元元的變量值的的大小分布呈呈現(xiàn)某種相依依或相悖的趨勢時時，總體單元元的排列順序序就處于趨勢勢排列狀態(tài)，其中中線性趨勢最最為典型。對于來自趨勢勢排列總體的的等概系統(tǒng)樣樣本，通常可視為分層樣樣本，其整體體均值的估計計為：抽樣方差的無偏估計為：二、線性排列列情形抽樣與與估計的改進(jìn)進(jìn)1.線性趨勢勢的總體若總體單元按指標(biāo)值從小到大順序排列或按某個與其有線性相關(guān)的輔助變量的大小順序排列,此時指標(biāo)值與單元序號也線性相關(guān).這種按有關(guān)標(biāo)志排列的總體稱為線性趨勢的總體,如下圖所示.我們先假定一種簡單的線性趨勢總體,即單元指標(biāo)值是單元序號i的線性函數(shù),即經(jīng)過線性變換換后，記以下仍用表示系統(tǒng)抽樣在具有線性趨趨勢總體下，，比較系統(tǒng)抽樣的方差、簡單隨機(jī)抽樣的方差、分層隨機(jī)抽樣的方差它們的差別。當(dāng)時，有故總體均值總體方差從而簡單隨機(jī)抽樣的方差：分層隨機(jī)抽樣的方差：系統(tǒng)抽樣的方差：比較三式可知等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立。2.對線性趨趨勢總體的系系統(tǒng)抽樣法的的改進(jìn)雖然嚴(yán)格的線性趨勢排列列總體在實際際問題中很難難成立,但其其結(jié)論在定性性上還是適合合的.為了使系統(tǒng)抽抽樣法達(dá)到更更高的精度,有必要對線性趨勢總總體的系統(tǒng)抽抽樣法進(jìn)行改改進(jìn).主要有有兩個途徑:一一種是抽樣方方法的改進(jìn);(如中心位置抽樣法和對稱系統(tǒng)抽樣樣法)另一種是估估計方法的改改進(jìn)(如首尾校正法).(1)中心位置抽樣樣法初始樣本不是是隨機(jī)抽取,而是直接取取第一段的n個單元中處于于中間位置的的單元.中點取奇數(shù)時，當(dāng)k為偶數(shù)時，當(dāng)k為中點取(2)對稱系統(tǒng)抽樣法Sethi對稱稱系系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣法法（（P206））Singn對稱稱系系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣法法（（P207））(3)首尾尾校校正正法法Yates首尾尾校校正正法法Bellhouse和和Rao首尾尾校校正正法法(見見P205)Bellhouse和和Rao首尾尾校校正正法法如果果初初始始單單元元編編號號r較較大大，，滿滿足足r+(n-1)k>N,則有有越越過過單單元元N的的樣樣本本單單元元有有n2個個，，相相應(yīng)應(yīng)的的權(quán)權(quán)數(shù)數(shù)如如下下：：【例7.4】總體有23個單位,擬抽取n=5，則取與之最近的整數(shù)k=5。然后在總體中隨機(jī)抽取一個單位作為起點,假設(shè)抽中r=19,樣本單位的順序編號分別為：19，1，6，11，16。首樣本單元為，尾單元為。求相應(yīng)單元的權(quán)數(shù)。,6.4==nNk解:由于其他他3個個樣樣本本單單元元的的權(quán)權(quán)數(shù)數(shù)為為:0.2首樣本單元的權(quán)數(shù)為:尾樣本單元的權(quán)數(shù)為:三、、周周期期波波動動的的總總體體周期期性性波波動動是是指指總總體體單單元元指指標(biāo)標(biāo)值值按按其其順順序序程程周周期性性變變化化.例例如如商商店店的的日日銷銷售售額額以以7天天為為周周期期變變化化,一般般周周末末為為銷銷售售高高峰峰期期,周周一一、、周周二二下下降降；；城城市市交交通量量以以24小小時時為為周周期期變變化化，，上上下下班班時時間間為為高高峰峰期期。。對于周期性波波動總體，使使用系統(tǒng)抽樣樣一定要特別別注意。系統(tǒng)統(tǒng)抽樣的估計計效果與抽樣樣間距k及單單元指標(biāo)值的的變化周期直直接的關(guān)系。。§7.4系系統(tǒng)抽樣的的方差估計系統(tǒng)抽樣法的的缺點之一，，就是很難得得到估計方差的無偏估估計。本節(jié)介介紹幾種形式式相對簡單的估計方法，，這些方差估估計方法只能能進(jìn)行近似計算而且不同同的方法適應(yīng)應(yīng)于不同的總總體模型。一、等概系統(tǒng)統(tǒng)抽樣的方差差估計我們討論用估計總體均值時的方差的估計。（一）系統(tǒng)樣樣本來自隨機(jī)機(jī)排列總體系統(tǒng)樣本可視視為簡單隨機(jī)機(jī)樣本，從而而可用簡單隨機(jī)抽樣樣下的抽樣方方差的無偏估估計：（二）系統(tǒng)樣樣本分層隨機(jī)機(jī)抽取如果把系統(tǒng)樣本看成成從各層抽取取兩個單位分分層隨機(jī)抽樣，，可采用以下下方法。1。從第二個個樣本單元開開始，每個樣樣本單元與前前一個樣本單元組成成一對，共n-1對，，第I對的樣樣本單元的對n-1個方差估計為進(jìn)行平均，再乘以得的估計：2.設(shè)N為偶數(shù)，，將樣本單元元按順序兩兩兩分成一組，，共組，第I對樣本單元的方差估計為將這個方差估計值進(jìn)行平均，再乘以從而得到（三）系統(tǒng)樣樣本來自線性性趨勢總體設(shè)進(jìn)行Yates首尾校正法后得到估計量其方差的估計為(四)樣本量為n的的系統(tǒng)樣本分分成m個子樣樣本獨立抽取取則總體均值的估計值為：的估計為：二、不等概系系統(tǒng)抽樣的方方差估計（一）估計量量及其方差關(guān)于不等概系系統(tǒng)抽樣，對對總體總和的的估計