第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進行工作的。因此，時間特性分析法是這些方法中最常用、又是比較精確的方法，它是通過拉普拉斯反變換求出系統(tǒng)輸出量的表達式，從而提供了時間響應(yīng)的全部信息；主要分析一階和二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，最后介紹高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)；系統(tǒng)的分析主要是分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)精度和瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標這三個方面。時間特性法是分析系統(tǒng)的方法之一，而分析的基礎(chǔ)，是確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析系統(tǒng)的方法，還有頻率特性法和根軌跡法。第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進行工作的。因此，1第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1、時間響應(yīng)的概念

控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式。時間響應(yīng)可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。1）、瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。2）、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1、時間響應(yīng)的概念1）、瞬2圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。3

系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達到穩(wěn)定狀態(tài)，在t從0→ts時間內(nèi)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)；當t→∞時，系統(tǒng)的輸出即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當t→∞時，y(t)收斂于某一穩(wěn)定值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若y(t)呈等幅振蕩或發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。瞬態(tài)響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離希望輸出值的程度可以衡量系統(tǒng)的精確程度。系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達到穩(wěn)定狀態(tài)，在t4二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來評價的。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。選取輸入信號應(yīng)當考慮以下幾個方面，輸入信號應(yīng)當具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實際情況，輸入信號的形式，應(yīng)當盡可能簡單，便于分析處理，輸入信號能使系統(tǒng)在最惡劣的情況下工作。在時域分析中，經(jīng)常采用的典型輸入信號有下面幾種，其中階躍信號使用得最為廣泛。二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，5控制工程基礎(chǔ)--第三章時間特性分析法課件61.階躍信號階躍信號如圖3-2(a)所示，其函數(shù)表達式為當R=1時，叫做單位階躍函數(shù)，記為1(t)。單位階躍函數(shù)的拉氏變換為在t=0處的階躍信號，相當于一個數(shù)值為常值的信號，在t≥0突然加到系統(tǒng)上。1.階躍信號階躍信號如圖3-2(a)所示，其函數(shù)表達式為當72.斜坡信號（或速度信號）

斜坡信號如圖3-2(b)所示，其函數(shù)表達式斜坡函數(shù)的拉氏變換為當R=1時，叫做單位斜坡函數(shù)。這種信號相當于控制系統(tǒng)中加一個按恒速變化的信號，其速度為R。2.斜坡信號（或速度信號）斜坡信號如圖3-2(b)所示，其83．加速度信號加速度信號如圖3-2(c)所示，其數(shù)學(xué)表達式為加速度函數(shù)的拉氏變換為該輸入信號相當于控制系統(tǒng)中加入一恒加速度變化的信號，加速度為R，當R=1時，叫做單位加速度函數(shù)。3．加速度信號加速度信號如圖3-2(c)所示，其數(shù)學(xué)表達式為94.脈沖信號脈沖信號如圖3-2(d)所示，其數(shù)學(xué)表達式為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為其中，脈沖寬度為h,脈沖面積為1。若對實際脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖函數(shù)，記為(t),4.脈沖信號脈沖信號如圖3-2(d)所示，其數(shù)學(xué)表達式為10三.瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標

用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項參數(shù)，稱為性能指標。一般以輸入端加入單位階躍函數(shù)時的輸出響應(yīng)加以規(guī)定。因為產(chǎn)生這種響應(yīng)比較容易；而且這種輸入信號的工作狀況是最惡劣的。線性系統(tǒng)的性能指標取決于系統(tǒng)本身的特性而與輸入信號的大小無關(guān)。同一個線性系統(tǒng)對不同幅值階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)的區(qū)別，僅在于幅值成比例地變化，響應(yīng)時間完全相同，因此，對以單位階躍輸入瞬態(tài)響應(yīng)形式給出的性能指標具有普遍意義。

三.瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項參數(shù)，稱為11評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞，常以時間域的幾個特征量來表示的。由于實際的控制系統(tǒng)總具有儲能元件，所以當系統(tǒng)受到輸入信號或擾動信號的作用時，系統(tǒng)不可能立刻產(chǎn)生反應(yīng)，而表現(xiàn)出一定的瞬態(tài)響應(yīng)過程，這種瞬態(tài)響應(yīng)過程，往往以衰減振蕩的形式出現(xiàn)。為了評價控制系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)特征，通常采用下列一些性能指標。見圖3-3。評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞，常以時間域的幾個特征量來表示的。12控制工程基礎(chǔ)--第三章時間特性分析法課件131.延遲時間td

響應(yīng)曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間，叫延遲時間。2.上升時間tr響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，或從0上升到100%所需的時間都叫做上升時間。對于過阻尼系統(tǒng)（>1）,通常采用10%~90%的上升時間；對于欠阻尼系統(tǒng)（0<<1）,通常采用0~100%的上升時間。3.峰值時間tp響應(yīng)曲線超過其穩(wěn)態(tài)值而達到第一個峰值所需的時間叫做峰值時間。4.最大超調(diào)量Mp和最大百分比超調(diào)量Mp%從1開始計算的響應(yīng)曲線的最大超調(diào)量值叫做最大超調(diào)量Mp。通常采用百分比表示最大超調(diào)量Mp%，定義為：單位階躍響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大差值與穩(wěn)態(tài)值之比的百分值，即1.延遲時間td響應(yīng)曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時145.調(diào)整時間ts在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)作一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線第一次達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需要的時間，叫做調(diào)整時間。調(diào)整時間與控制系統(tǒng)的時間常數(shù)有關(guān)。允許誤差的百分比選多大，取決于設(shè)計要求，通常取±5%或±2%。調(diào)整時間是評價一個系統(tǒng)響應(yīng)速度快慢的指標。其中，y(∞)代表階躍響應(yīng)的終值，即穩(wěn)態(tài)值。最大超調(diào)量Mp的數(shù)值，直接說明了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。5.調(diào)整時間ts在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)作一15對于一、二階系統(tǒng)，確定這些指標是容易的，但對于高階系統(tǒng)則是困難的。在一定條件下，可以把高階系統(tǒng)近似作為低階（一般為二階）系統(tǒng)來研究。這樣，下面重點研究一、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)情況。對于一、二階系統(tǒng)，確定這些指標是容易的，但對于高階系統(tǒng)則是困16第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(3-1)一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)可看作積分環(huán)節(jié)被反饋通道包圍而成，見圖3-4。第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(17給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進行拉氏反變換，求出微分方程的解y(t)即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。單位階躍信號的拉氏變換為二.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

此式代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為(3-2)將（3-2）式展開成部分分式，可得(3-3)

給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進行拉氏反變換，求出18對上式進行拉氏反變換得

(3-4)

上式中的第一項為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，第二項為瞬態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)曲線如圖3-5。T稱為時間常數(shù)，它影響到響應(yīng)的快慢，因而是一階系統(tǒng)的重要參數(shù)。對上式進行拉氏反變換得(3-4)上式中的第一項為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)19

1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點，并向時間軸t作垂線，與其交點值，即為時間常數(shù)T。2.由t=0那一點O（即原點）作響應(yīng)曲線的切線，與穩(wěn)態(tài)值交于A′點。由A′點向時間軸t作垂線，與其交點值即為時間常數(shù)T。此種方法可由下式得到證明。（3-5）當t=3T時間時，響應(yīng)已達到穩(wěn)態(tài)值的95%，當t=4T時，達到98.2%。因而一階系統(tǒng)的調(diào)整時間ts=(3~4)T，以此來評定響應(yīng)時間的長短。時間常數(shù)T可通過響應(yīng)曲線求得，可由下述兩種方法確定：(3-5)式即為斜率值，由OA′T即可知上述求時間常數(shù)的求法是正確的。1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點，并向時20三．一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為（3-6）展開成部分分式

（3-7）取（3-7）式的拉氏反變換，可得（3-8）三．一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為代入（321一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為

（3-9）當t→∞時，，因而e(∞)=T。

系統(tǒng)對單位斜坡輸入的時間響應(yīng)y(t)和輸入信號x(t)表示于圖3-6中。從圖中也可以看出，當t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的誤差等于時間常數(shù)T。一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為（3-9）當t→∞時，22四.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時式（3-2）為（3-10）取其拉氏反變換得（3-11）時間響應(yīng)曲線如圖3-7所示。四.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時23除前面分析之外，還有兩點值得提出：

1.當輸入信號不為單位值時，輸入信號的拉氏變換分別為：

階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

對應(yīng)于不同輸入時的響應(yīng)分別如下列各式階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

除前面分析之外，還有兩點值得提出：1.當輸入信號不為單位值242.當輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為

(3-12)此時，對應(yīng)于單位輸入信號時，其輸出響應(yīng)分別如下式各式所示：

階躍輸入斜坡輸入

斜坡輸入

2.當輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為25例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)仍為慣性環(huán)節(jié)，由（3-12）式可知

例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：首先求出26因此，單位階躍響應(yīng)表達式為

響應(yīng)曲線如圖3-8所示。因此，單位階躍響應(yīng)表達式為響應(yīng)曲線如圖3-8所示。27例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)2

系統(tǒng)1試比較兩個系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標是調(diào)整時間的大小，一階系統(tǒng)的調(diào)整時間是由時間常數(shù)T決定的。系統(tǒng)1的時間常數(shù)系統(tǒng)2的時間常數(shù)由于T1<T2，因此系統(tǒng)1的響應(yīng)速度快。達到穩(wěn)態(tài)值的時間，如以±2％來算，系統(tǒng)1的調(diào)整時間t1s=4T1=8(s),而系統(tǒng)2的調(diào)整時間為t2s=4T2=24(s)，因此系統(tǒng)1比系統(tǒng)2快3倍。例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標是28例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-9所示，試寫出其傳遞函數(shù)解：在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值（此值為10）的63.2％（即6.32）點，此點所對應(yīng)的時間為0.1(s），即為時間常數(shù)，而傳遞函數(shù)的增益k值，可由輸出的穩(wěn)態(tài)值10與輸入的階躍值１的比值得到，即（1／s）因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-9所示，試寫出其傳遞29例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為試用Laplace變換法，求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)和單位階躍響應(yīng)h(t)，并討論二者的關(guān)系。解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)的微分方程，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)30系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有或由此可以得出結(jié)論：系統(tǒng)對某種輸入（單位階躍）的導(dǎo)數(shù)（單位脈沖）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（h(t)）的導(dǎo)數(shù)（）；系統(tǒng)對某種輸入（單位脈沖）的積分（單位階躍）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（g(t)）的積分（）。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有31對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸入B的導(dǎo)函數(shù)，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的導(dǎo)函數(shù)；同樣的，若一個輸入A是另一個輸入B的積分，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的積分，但是，如果積分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)。對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸32一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項式s的最高冪次為2的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。無論哪一種物理形式的二階系統(tǒng)，最后傳遞函數(shù)都可以變?yōu)橄率龅臉藴市问降谌?jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3-12）式中為阻尼比、n為無阻尼自然頻率（rad/s）。二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的性能完全由與n確定,因此，與n為二階系統(tǒng)的重要參量。一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項式s的33當輸入為單位階躍信號時，代入到（3-12）式，可得到二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（3-13）對上式進行拉氏反變換，可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。從式（3-12）可求得二階系統(tǒng)的特征方程（3-14）它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點：

（3-15）當輸入為單位階躍信號時，代入34對式（3-13）進行分解得

下面分別對二階系統(tǒng)在=1，>1以及0<<1三種情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進行討論，假設(shè)初始狀態(tài)為零。

(一)重根時，

=1，s1,2=-n臨界阻尼情況

（3-16）式變?yōu)椋?/p>

（3-16）（3-17）對式（3-13）進行分解得下面分別對二階系統(tǒng)在=1，35對上式進行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到（3-18）（3-19）響應(yīng)曲線為一指數(shù)曲線形式。它單調(diào)上升、無超調(diào)、無振蕩、無穩(wěn)態(tài)誤差。對上式進行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到36(二)兩個不等的負實根時，

>1，過阻尼情況

(3-16)式可以寫成部分分式為

(3-20)(二)兩個不等的負實根時，>1，37求上式的拉氏反變換，得

(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量，響應(yīng)為指數(shù)函數(shù)曲線形式。單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長，無穩(wěn)態(tài)誤差。求上式的拉氏反變換，得(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量38（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況

由于<1，（3-12）式得，s1,2=-

n±jd

式中

，稱為阻尼自然頻率（rad／s）這時，采用部分分式法，式（3-10）變?yōu)?/p>

(3-22)（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況由于<1，39上式的拉氏反變換為

(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率d；其振幅衰減的快慢由

和n決定；振蕩幅值隨減小而加大。上式的拉氏反變換為(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；40頻率n和d的物理意義：

n是無阻尼（=0）時二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；而是欠阻尼（0<<1）時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；Td=2/d稱為阻尼振蕩周期。顯然n

<d,且隨著的增大，d的值相應(yīng)地減小。y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-24)s1,2=±jn，將=0代入式（3-15）可得（四）一對復(fù)根時，=0，零阻尼情況

二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，振蕩頻率為n

。穩(wěn)定邊界頻率n和d的物理意義：y(t)=1-cosnt（t41（五）一對正實部虛根時，<0，負阻尼情況

極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定（五）一對正實部虛根時，<0，負阻尼情況極點實部大于零42幾點結(jié)論：1、二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性：<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0時，出現(xiàn)等幅振蕩0<

<1時，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴重，但響應(yīng)愈快，

≥1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，→系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。3、工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用外，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩幾點結(jié)論：2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越43三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍響應(yīng)的同樣方法，可以得到一個隨動系統(tǒng)，其輸入端以一個連續(xù)等速信號給定時，其響應(yīng)就屬斜坡響應(yīng)。當輸入單位斜坡信號時，（一）0<<1斜坡響應(yīng)為

（3-26）三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍44（三）>1斜坡響應(yīng)為

響應(yīng)曲線如圖3-11所示。（3-28）（二）

=1斜坡響應(yīng)為

(3-27)（三）>1響應(yīng)曲線如圖3-11所示。（3-28）（二）45控制工程基礎(chǔ)--第三章時間特性分析法課件46四.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當輸入單位脈沖信號時，X(s)=1,（3-29）（一）0<<1脈沖響應(yīng)為

（3-30）（二）=1脈沖響應(yīng)為

(3-31)四.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當輸入單位脈沖信號時，X(s)=47（三）>1脈沖響應(yīng)為

(3-32)響應(yīng)曲線如圖3-12。（三）>1脈沖響應(yīng)為(3-32)響應(yīng)曲線如圖3-148表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式49表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式50表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式51五.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點的關(guān)系

前面分析可知，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)形式與系統(tǒng)阻尼比關(guān)系極為密切，同時，又知道阻尼比取值不同，直接影響到二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點。其關(guān)系見表3-2。而極點與響應(yīng)形式的關(guān)系可見表3-3。五.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點的關(guān)系前面分析可知，二階系統(tǒng)52表3-2阻尼比與極點的關(guān)系表3-2阻尼比與極點的關(guān)系53表3-3極點與階躍響應(yīng)的關(guān)系表3-3極點與階躍響應(yīng)的關(guān)系54若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負實部，即Re[si]<0，則其系統(tǒng)會趨于穩(wěn)定，這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)存在具有正實部的特征根si，即Re[si]>0，則其系統(tǒng)會產(chǎn)生振蕩，這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一個特征根的實部為0，而其余特征根的實部均為負數(shù)，系統(tǒng)最終會變成一等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。往往也將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)看成不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負55

小結(jié)系統(tǒng)特征根的實部決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。若系統(tǒng)特征根的實部全部都小于0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)特征根的實部不全小于0，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點均分布在[s]平面的左半平面內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半平面內(nèi)存在極點，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，實部Re[si]絕對值的大小決定了系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的快慢。Re[si]絕對值越大，則它所對應(yīng)的自由響應(yīng)項衰減得越快，系統(tǒng)達到穩(wěn)定的時間越短。系統(tǒng)特征根的虛部Im[si]的分布情況在很大程度上決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的振蕩情況，決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著系統(tǒng)響應(yīng)的準確性。小結(jié)若系統(tǒng)特征根的實部全部都小于0，則系統(tǒng)穩(wěn)定56通過上面對二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的研究，可以看出，系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然頻率n對其瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。下面進一步分析和n與瞬態(tài)響應(yīng)指標的關(guān)系，以便指出設(shè)計和調(diào)整二階系統(tǒng)的方向，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)外，通常允許控制系統(tǒng)具有適度的振動特性，以求能有較短的調(diào)整時間。因此，系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。下面就二階系統(tǒng)，當0<<1時，推導(dǎo)瞬態(tài)響應(yīng)各項特征指標的計算公式。六.二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標計算通過上面對二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的研究，可以看出，系統(tǒng)的特征參量阻571.上升時間tr

根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即可得上升時間tr，即（3-33）由于≠0，為使式（3-33）成立，必須即1.上升時間tr根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即58（3-34）式中在（3-34）中，角的意義，可見圖3-13。當=0時，

=/2；當=1時，

=0。由（3-34）可知，當阻尼比一定時，若要求上升時間tr較短，需要使系統(tǒng)具有較高的無阻尼自然頻率n。

（3-34）式中在（3-34）中，角的意義，可見圖3-159令上式為零，整理可得即d

tp=n(n=0，1，2，.......k)因為峰值時間對應(yīng)于第一次峰值超調(diào)量，所以（3-35）因阻尼振蕩周期Td=2/d,故峰值時間tp等于阻尼振蕩頻率周期的一半。從式（3-35）可以看出，當一定時，n越大，tp越小，反應(yīng)越快，當n一定時，越小，tp也越小。2.峰值時間tp

根據(jù)（3-23）式，將y(t)對時間求導(dǎo)，并令其等于零，可求得峰值時間tp即令上式為零，整理可得即dtp=n(n=0，1603.最大百分比超調(diào)量Mp%最大百分比超調(diào)量發(fā)生在峰值時間tp處，所以按定義由圖3-13可知3.最大百分比超調(diào)量Mp%最大百分比超調(diào)量發(fā)生在峰值時間t61上式表明，最大百分比超調(diào)量Mp%只是阻尼比的函數(shù)，而與無阻尼自然頻率n無關(guān)，越小，Mp%越大，當=0時，Mp%=100%，而當增大到=1時，Mp%=0。所以因此（3-36）上式表明，最大百分比超調(diào)量Mp%只是阻尼比的函數(shù)，所以因此62Mp%與的關(guān)系常以曲線形式給出，見圖3-14。Mp%與的關(guān)系常以曲線形式給出，見圖3-14。634.調(diào)整時間ts為確定調(diào)整時間ts簡單起見,常用二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線代替響應(yīng)曲線。如圖3-15所示。4.調(diào)整時間ts為確定調(diào)整時間ts簡單起見,常用二階系統(tǒng)單位64曲線是該階躍響應(yīng)的包絡(luò)線。包絡(luò)線的時間常數(shù)為。瞬態(tài)響應(yīng)的衰減速度，取決于時間常數(shù)的數(shù)值。

若響應(yīng)曲線進入到穩(wěn)態(tài)值的±5%的范圍時，由圖3-15可得曲線是該階躍響應(yīng)的包絡(luò)線。包65解出n

ts，即為當較小時，由上式得（3-37）如果響應(yīng)曲線進入到穩(wěn)態(tài)值的±2%的范圍里，用同樣方法，可導(dǎo)出(3-38)由此可見，n大，ts就??；當n一定時，ts與成反比。這與tp、tr和的關(guān)系正好相反。通常值是根據(jù)最大百分比超調(diào)量Mp%來確定，所以調(diào)整時間ts可以根據(jù)無阻尼自然頻率n來確定。這樣，在不改變最大百分比超調(diào)量Mp%的情況下，通過調(diào)整無阻尼自然頻率n，可以改變瞬態(tài)響應(yīng)的時間。解出nts，即為當較小時，由上式得（3-37）如果響665.振蕩周期Td及振蕩次數(shù)N或而振蕩次數(shù)為當時5.振蕩周期Td及振蕩次數(shù)N或而振蕩次數(shù)為當67將二階系統(tǒng)的特征參量、n與瞬態(tài)響應(yīng)各項指標間的關(guān)系歸納如下：(1)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)特性由系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n共同決定，欲使二階系統(tǒng)具有滿意的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標，必須綜合考慮和n的影響，選取合適的和n。當時由上述分析計算可知，影響單位階躍響應(yīng)各項性能指標的是二階系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率n這兩個重要參數(shù)。將二階系統(tǒng)的特征參量、n與瞬態(tài)響應(yīng)各項指標間的關(guān)系歸納68(2)若保持不變而增大n，對超調(diào)量Mp無影響，可以減小峰值時間tp、延遲時間td和調(diào)整時間ts，既可以提高系統(tǒng)的快速性。所以增大系統(tǒng)的無阻尼自然頻率n對提高系統(tǒng)性能是有利的。(3)若保持n不變而增大值，則會使最大百分比超調(diào)量Mp%減小，增加相對穩(wěn)定性，減弱系統(tǒng)的振蕩性能。在<0.7時，隨著的增大，Mp%減小；而在>0.7時，隨著的增大，tr、ts均增大。系統(tǒng)的快速性變差。(4)綜合考慮系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和快速性，通常取=0.4~0.8，這時系統(tǒng)的最大百分比超調(diào)量Mp%在25%到2.5%之間。若<0.4，系統(tǒng)超調(diào)嚴重，相對穩(wěn)定性差；若>0.8，則系統(tǒng)反應(yīng)遲鈍，靈敏性差。當=0.707時，超調(diào)量Mp%和調(diào)整時間均ts較小，故稱=0.707為最佳阻尼比。(2)若保持不變而增大n，對超調(diào)量Mp無影響，可以69例3-4某一位置隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖3-16，當輸入為單位階躍信號時，試計算k=200時的性能指標，當k減小到13.5或增大到1500時,對系統(tǒng)有什么影響。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為例3-4某一位置隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖3-16，當輸入為單位70由上式由上式71當k=1500時,k=13.5時，按上面同樣的方法計算,其性能指標如表3-4所示。當k=1500時,k=13.5時，按上面同樣的方法計算72表3-4k值改變時，二階位置隨動系統(tǒng)性能指標表3-4k值改變時，二階位置隨動系統(tǒng)性能指標73不同k值時的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-17不同k值時的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-1774例3-5設(shè)單位反饋閉環(huán)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-18。試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。例3-5設(shè)單位反饋閉環(huán)二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-175查閱圖3-14Mp%與關(guān)系曲線，可得解：由圖3-18可見由（3-35）式查閱圖3-14Mp%與關(guān)系曲線，可得解：由圖3-18可見76因為，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋時的開環(huán)傳遞函數(shù)為因為，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為單位反饋時的開環(huán)傳遞函數(shù)為77例3-6如圖3-19(a)所示的一個機械振動系統(tǒng)。當有2N的階躍輸入力作用于系統(tǒng)時，系統(tǒng)中的質(zhì)量塊m按圖3-19(b)的規(guī)律運動，試根據(jù)這個響應(yīng)曲線，確定質(zhì)量m、粘性阻尼系數(shù)B與彈性剛度k值。例3-6如圖3-19(a)所示的一個機械振動系統(tǒng)。當有278解：此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)前面已經(jīng)推導(dǎo)過，即為由于所以

由此響應(yīng)曲線可得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：解：此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)前面已經(jīng)推導(dǎo)過，即為由于所以由此響79因此由圖3-19的響應(yīng)曲線得到由峰值時間得

因此由圖3-19的響應(yīng)曲線得到由峰值時間得80所以又因為所以由得到所以又因為所以由得到81第四節(jié)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)求高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，意味著求解高階微分方程，其數(shù)學(xué)運算是十分復(fù)雜的。如能抓住主要矛盾，忽略次要因素，就可以使問題大大簡化。本節(jié)中，將通過對高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)一般形式的分析，建立閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念，并利用這一概念對高階系統(tǒng)作近似處理。第四節(jié)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)求高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，意味著求82高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為n≥m（3-39）為確定系統(tǒng)的零點、極點，將上式分子分母分解成因式形式，則上式變?yōu)椋?-40）高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為n≥m（3-39）為83式中-z1、-z2.......-zm為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零點；-p1、-p2.......-pn為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點。瞬態(tài)響應(yīng)分析的前提是系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，全部極點都在s平面的左半部。如果全部極點都不相同（實際系統(tǒng)通常是這樣的），對于單位階躍輸入信號，式（3-40）可以寫成（3-41）式中-z1、-z2.......-zm為系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)84式中ai是極點s=-pi點的留數(shù)。若所有極點都是不同的實數(shù)極點，則有（3-42）如果Y(s)的n個極點中除包含有實數(shù)極點外，還包含成對的共軛復(fù)數(shù)極點，且一對共軛復(fù)數(shù)極點可以形成一個s的二次項，這樣式（3-41）可以寫成（3-43）式中ai是極點s=-pi點的留數(shù)。若所有極點都是不同的實85（3-44）取上式的拉氏反變換，可以得到單位階躍響應(yīng)為（3-45）式中q+2r=n,如果閉環(huán)極點是互不相同的，可將上式展成下面的部分分式a,aj為Y(s)在極點s=0和s=-pj處的留數(shù)；bk、ck是與Y(s)在極點處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。（3-44）取上式的拉氏反變換，可以得到單位階躍響應(yīng)為861、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。2、如果所有閉環(huán)極點都在s平面的左半平面，則隨著時間t→∞，y(∞)=a，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。3、極點的性質(zhì)決定瞬態(tài)分量的類型實數(shù)極點→非周期瞬態(tài)分量共軛復(fù)數(shù)極點→阻尼振蕩瞬態(tài)分量1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成87極點距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠衰減越快；（衰減系數(shù)pj、knk）極點距虛軸的距離決定了其所對應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠881、系統(tǒng)零點影響各極點處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強度），如果在某一極點附近存在零點，則其對應(yīng)的瞬態(tài)分量的強度將變小。一對靠得很近的零點和極點其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。系統(tǒng)零點分布對時域響應(yīng)的影響2、通常如果閉環(huán)零點和極點的距離比其模值小一個數(shù)量級，則該極點和零點構(gòu)成一對偶極子，可以對消。1、系統(tǒng)零點影響各極點處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強89閉環(huán)主導(dǎo)極點在高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，如果距虛軸最近的閉環(huán)極點，其周圍沒有零點，而且其他閉環(huán)極點與該極點的實部之比超過五倍以上，則這種極點稱為閉環(huán)主導(dǎo)極點。高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點，就可以忽略其它遠離虛軸的極點和偶極子的影響，近似為一階或二階系統(tǒng)進行處理。閉環(huán)主導(dǎo)極點在高階系統(tǒng)的閉環(huán)極點中，如果距虛軸最近的閉環(huán)極點90例：精確解近似解三階系統(tǒng)→二階系統(tǒng)例：精確解近似解三階系統(tǒng)→二階系統(tǒng)91高階系統(tǒng)響應(yīng)曲線的一些例子示于圖3-20中。這些響應(yīng)曲線都是由一些振蕩曲線和負指數(shù)衰減曲線疊加而成。其穩(wěn)態(tài)項由輸入量X(s)的極點決定，而響應(yīng)曲線的類型和形狀，決定于閉環(huán)極點和零點。閉環(huán)極點決定了響應(yīng)曲線的類型和衰減速度，閉環(huán)零點則影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線幅度的大小。高階系統(tǒng)響應(yīng)曲線的一些例子示于圖3-20中。這些響應(yīng)曲線都是92第五節(jié)時間特性的計算機求解可以利用MATLAB語言求解系統(tǒng)的時間響應(yīng)，下面通過例題來說明計算機的編程。1.一階系統(tǒng)的時間響應(yīng)求解系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)程序如下：....]....]第五節(jié)時間特性的計算機求解可以利用MATLAB語言求93例3-7求解一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：當T=2時num=[1]；den=[21]；titple(‘StepResponse’)step(num,den)則響應(yīng)曲線為例3-7求解一階系統(tǒng)94圖3-21的響應(yīng)曲線圖3-2195例3-8當取不同的T值時，響應(yīng)程序和曲線為T=[2:2:12]；figure(1)holdonfort=Tnum=[1]；den=[t1]；step(num,den)endtitple(‘StepResponse’)holdoff例3-8當取不同的T值時，響應(yīng)程序和曲線為T=[2:2:1296圖3-22例3-8響應(yīng)曲線圖3-22例3-8響應(yīng)曲線972.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)典型二階系統(tǒng)為其單位階躍響應(yīng)的程序為

2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)典型二階系統(tǒng)為其單位階躍響應(yīng)的98例3-9求的單位階躍響應(yīng)。程序和響應(yīng)曲線為num=[4]；den=[11.64]；titple(‘StepResponse’)step(num,den)例3-9求99圖3-23例3-9響應(yīng)曲線圖3-23例3-9響應(yīng)曲線100例3-10求典型二階系統(tǒng)為試繪制出當分別為0.1,0.2,......,1.0,2.0時的單位階躍響應(yīng)。解：MATLAB的程序為例3-10求典型二階系統(tǒng)為試繪制出當101wn=6;kosi=[0.1:0.1:1.0,2.0];figure(1)holdonforkos=kosinum=wn.^2;den=[1,2*kos*wn,wn^2];step(num,den)endtitle('StepResponse')holdoff

執(zhí)行后得如圖3-24所示的單位階躍響應(yīng)曲線wn=6;執(zhí)行后得如圖3-24所示的單位階躍響應(yīng)曲線102圖3-24典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線圖3-24典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線1033.其它輸入信號的時間響應(yīng)(1)單位脈沖輸入的時間響應(yīng)....]....]3.其它輸入信號的時間響應(yīng)(1)單位脈沖輸入的時間響應(yīng).104(2)單位斜坡輸入的時間響應(yīng)....]....]單位斜坡輸入的時間響應(yīng)是和單位階躍輸入的時間響應(yīng)程序在的項中在den=[]最后加一個“0”即可。其它如單位階躍輸入。(2)單位斜坡輸入的時間響應(yīng)....1054.高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和性能指標計算例3-11已知一個單位反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制單位階躍響應(yīng)曲線并計算其性能指標。對于高于二階的系統(tǒng)，求其響應(yīng)和性能指標是較困難的。應(yīng)用MATLAB語言求解則較方便，下面舉例說明。4.高階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)和性能指標計算例3-11已知一個單106解：程序如下：num=[63];den=[11-20];s1=tf(num,den);Gc=feedback(s1,1);t=[0:0.1:30]';求階躍響應(yīng)并作圖step(Gc);y=step(Gc,t);plot(t,y);grid%CountSigmaandtp[mp,tf]=max(y);cs=length(t);yss=y(cs);計算最大百分比超調(diào)量和峰值時間解：程序如下：num=[63];den=[11-20107Sigma=100*(mp-yss)/ysstp=t(tf)%Counttsi=cs+1;n=0;whilen==0,i=i-1;ifi==1,n=1;elseify(i)>1.05*yss,計算調(diào)整時間n=1;end;end;Sigma=100*(mp-yss)/yss108t1=t(i);cs=length(t);j=cs+1;n=0;whilen==0,j=j-1;ifj==1,n=1;elseify(j)<0.95*yss,n=1;end;end;t1=t(i);109t2=t(j);ift2<tpift1>t2,ts=t1endelseift2>tp,ift2<t1,ts=t2elsets=t1endendt2=t(j);110結(jié)果為：圖3-25例3-11響應(yīng)曲線結(jié)果為：圖3-25例3-11響應(yīng)曲線111Sigma=135.5371（最大百分比超調(diào)量）

tp=1.5000（峰值時間）

ts=24.4000（調(diào)整時間）

Sigma=135.5371（最大百分比超調(diào)量）112一基本要求（１）了解系統(tǒng)時間響應(yīng)的組成；初步掌握系統(tǒng)的特征根的實部和虛部對系統(tǒng)自由響應(yīng)項的影響情況，掌握系統(tǒng)穩(wěn)定性與特征根實部的關(guān)系。（２）了解控制系統(tǒng)時間響應(yīng)分析中的常用的典型輸入信號及其特點。（３）掌握一階系統(tǒng)的定義和基本參數(shù)，能夠求解一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，單位階躍響應(yīng)及斜坡響應(yīng)；掌握一階系統(tǒng)時間響應(yīng)曲線的基本形狀及意義。掌握線性系統(tǒng)中存在微分關(guān)系的輸入，其輸出也存在微分關(guān)系的基本結(jié)論。（４）掌握二階系統(tǒng)的定義和基本參數(shù)；掌握二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)曲線，單位階躍響應(yīng)曲線的基本形狀及振蕩情況與系統(tǒng)阻尼比之間的對應(yīng)關(guān)系；掌握二階系統(tǒng)性能指標的定義及其與系統(tǒng)特征參數(shù)之間的關(guān)系。一基本要求113控制工程基礎(chǔ)--第三章時間特性分析法課件114第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進行工作的。因此，時間特性分析法是這些方法中最常用、又是比較精確的方法，它是通過拉普拉斯反變換求出系統(tǒng)輸出量的表達式，從而提供了時間響應(yīng)的全部信息；主要分析一階和二階系統(tǒng)的時間響應(yīng)，最后介紹高階系統(tǒng)的時間響應(yīng)；系統(tǒng)的分析主要是分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)精度和瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標這三個方面。時間特性法是分析系統(tǒng)的方法之一，而分析的基礎(chǔ)，是確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。分析系統(tǒng)的方法，還有頻率特性法和根軌跡法。第三章時間特性分析法控制系統(tǒng)都是在時間域內(nèi)進行工作的。因此，115第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1、時間響應(yīng)的概念

控制系統(tǒng)在典型輸入信號的作用下，輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時間響應(yīng)。描述系統(tǒng)的微分方程的解就是該系統(tǒng)時間響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式。時間響應(yīng)可分為瞬態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。1）、瞬態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)在某一輸入信號的作用下，系統(tǒng)的輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)。2）、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

在某一輸入信號的作用后，時間趨于無窮大時系統(tǒng)的輸出狀態(tài)稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。第一節(jié)時間響應(yīng)與典型輸入信號1、時間響應(yīng)的概念1）、瞬116圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。圖3-1表示某一系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的時間響應(yīng)的形式。117

系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達到穩(wěn)定狀態(tài)，在t從0→ts時間內(nèi)的響應(yīng)過程稱為瞬態(tài)響應(yīng)；當t→∞時，系統(tǒng)的輸出即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。當t→∞時，y(t)收斂于某一穩(wěn)定值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若y(t)呈等幅振蕩或發(fā)散，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。瞬態(tài)響應(yīng)直接反應(yīng)了系統(tǒng)的動態(tài)特性，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)偏離希望輸出值的程度可以衡量系統(tǒng)的精確程度。系統(tǒng)的輸出量在ts（調(diào)整時間）時刻達到穩(wěn)定狀態(tài)，在t118二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)來評價的。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的特性，還與外加輸入信號的形式有關(guān)。選取輸入信號應(yīng)當考慮以下幾個方面，輸入信號應(yīng)當具有典型性，能夠反映系統(tǒng)工作的大部分實際情況，輸入信號的形式，應(yīng)當盡可能簡單，便于分析處理，輸入信號能使系統(tǒng)在最惡劣的情況下工作。在時域分析中，經(jīng)常采用的典型輸入信號有下面幾種，其中階躍信號使用得最為廣泛。二、典型輸入信號控制系統(tǒng)的動態(tài)特性可以通過在輸入信號作用下，119控制工程基礎(chǔ)--第三章時間特性分析法課件1201.階躍信號階躍信號如圖3-2(a)所示，其函數(shù)表達式為當R=1時，叫做單位階躍函數(shù)，記為1(t)。單位階躍函數(shù)的拉氏變換為在t=0處的階躍信號，相當于一個數(shù)值為常值的信號，在t≥0突然加到系統(tǒng)上。1.階躍信號階躍信號如圖3-2(a)所示，其函數(shù)表達式為當1212.斜坡信號（或速度信號）

斜坡信號如圖3-2(b)所示，其函數(shù)表達式斜坡函數(shù)的拉氏變換為當R=1時，叫做單位斜坡函數(shù)。這種信號相當于控制系統(tǒng)中加一個按恒速變化的信號，其速度為R。2.斜坡信號（或速度信號）斜坡信號如圖3-2(b)所示，其1223．加速度信號加速度信號如圖3-2(c)所示，其數(shù)學(xué)表達式為加速度函數(shù)的拉氏變換為該輸入信號相當于控制系統(tǒng)中加入一恒加速度變化的信號，加速度為R，當R=1時，叫做單位加速度函數(shù)。3．加速度信號加速度信號如圖3-2(c)所示，其數(shù)學(xué)表達式為1234.脈沖信號脈沖信號如圖3-2(d)所示，其數(shù)學(xué)表達式為單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為其中，脈沖寬度為h,脈沖面積為1。若對實際脈沖的寬度取趨于零的極限，則為理想單位脈沖函數(shù)，記為(t),4.脈沖信號脈沖信號如圖3-2(d)所示，其數(shù)學(xué)表達式為124三.瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標

用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項參數(shù)，稱為性能指標。一般以輸入端加入單位階躍函數(shù)時的輸出響應(yīng)加以規(guī)定。因為產(chǎn)生這種響應(yīng)比較容易；而且這種輸入信號的工作狀況是最惡劣的。線性系統(tǒng)的性能指標取決于系統(tǒng)本身的特性而與輸入信號的大小無關(guān)。同一個線性系統(tǒng)對不同幅值階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)的區(qū)別，僅在于幅值成比例地變化，響應(yīng)時間完全相同，因此，對以單位階躍輸入瞬態(tài)響應(yīng)形式給出的性能指標具有普遍意義。

三.瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標用以衡量系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的幾項參數(shù)，稱為125評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞，常以時間域的幾個特征量來表示的。由于實際的控制系統(tǒng)總具有儲能元件，所以當系統(tǒng)受到輸入信號或擾動信號的作用時，系統(tǒng)不可能立刻產(chǎn)生反應(yīng)，而表現(xiàn)出一定的瞬態(tài)響應(yīng)過程，這種瞬態(tài)響應(yīng)過程，往往以衰減振蕩的形式出現(xiàn)。為了評價控制系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)特征，通常采用下列一些性能指標。見圖3-3。評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞，常以時間域的幾個特征量來表示的。126控制工程基礎(chǔ)--第三章時間特性分析法課件1271.延遲時間td

響應(yīng)曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時間，叫延遲時間。2.上升時間tr響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，或從0上升到100%所需的時間都叫做上升時間。對于過阻尼系統(tǒng)（>1）,通常采用10%~90%的上升時間；對于欠阻尼系統(tǒng)（0<<1）,通常采用0~100%的上升時間。3.峰值時間tp響應(yīng)曲線超過其穩(wěn)態(tài)值而達到第一個峰值所需的時間叫做峰值時間。4.最大超調(diào)量Mp和最大百分比超調(diào)量Mp%從1開始計算的響應(yīng)曲線的最大超調(diào)量值叫做最大超調(diào)量Mp。通常采用百分比表示最大超調(diào)量Mp%，定義為：單位階躍響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大差值與穩(wěn)態(tài)值之比的百分值，即1.延遲時間td響應(yīng)曲線第一次達到穩(wěn)態(tài)值的50%所需的時1285.調(diào)整時間ts在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)作一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線第一次達到并永遠保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需要的時間，叫做調(diào)整時間。調(diào)整時間與控制系統(tǒng)的時間常數(shù)有關(guān)。允許誤差的百分比選多大，取決于設(shè)計要求，通常取±5%或±2%。調(diào)整時間是評價一個系統(tǒng)響應(yīng)速度快慢的指標。其中，y(∞)代表階躍響應(yīng)的終值，即穩(wěn)態(tài)值。最大超調(diào)量Mp的數(shù)值，直接說明了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。5.調(diào)整時間ts在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分數(shù)作一129對于一、二階系統(tǒng)，確定這些指標是容易的，但對于高階系統(tǒng)則是困難的。在一定條件下，可以把高階系統(tǒng)近似作為低階（一般為二階）系統(tǒng)來研究。這樣，下面重點研究一、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)情況。對于一、二階系統(tǒng)，確定這些指標是容易的，但對于高階系統(tǒng)則是困130第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

(3-1)一、一階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型能用一階微分方程描述的系統(tǒng)稱為一階系統(tǒng)。一階系統(tǒng)的典型環(huán)節(jié)是慣性環(huán)節(jié)。這種系統(tǒng)可看作積分環(huán)節(jié)被反饋通道包圍而成，見圖3-4。第二節(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為(131給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進行拉氏反變換，求出微分方程的解y(t)即為一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。單位階躍信號的拉氏變換為二.一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

此式代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為(3-2)將（3-2）式展開成部分分式，可得(3-3)

給一階系統(tǒng)輸入階躍信號，根據(jù)式（3-1）進行拉氏反變換，求出132對上式進行拉氏反變換得

(3-4)

上式中的第一項為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，第二項為瞬態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)曲線如圖3-5。T稱為時間常數(shù)，它影響到響應(yīng)的快慢，因而是一階系統(tǒng)的重要參數(shù)。對上式進行拉氏反變換得(3-4)上式中的第一項為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)133

1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點，并向時間軸t作垂線，與其交點值，即為時間常數(shù)T。2.由t=0那一點O（即原點）作響應(yīng)曲線的切線，與穩(wěn)態(tài)值交于A′點。由A′點向時間軸t作垂線，與其交點值即為時間常數(shù)T。此種方法可由下式得到證明。（3-5）當t=3T時間時，響應(yīng)已達到穩(wěn)態(tài)值的95%，當t=4T時，達到98.2%。因而一階系統(tǒng)的調(diào)整時間ts=(3~4)T，以此來評定響應(yīng)時間的長短。時間常數(shù)T可通過響應(yīng)曲線求得，可由下述兩種方法確定：(3-5)式即為斜率值，由OA′T即可知上述求時間常數(shù)的求法是正確的。1.在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值的63.2%的A點，并向時134三．一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為

代入（3-1）式，可得輸出信號拉氏變換為（3-6）展開成部分分式

（3-7）取（3-7）式的拉氏反變換，可得（3-8）三．一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡函數(shù)的拉氏變換為代入（3135一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為

（3-9）當t→∞時，，因而e(∞)=T。

系統(tǒng)對單位斜坡輸入的時間響應(yīng)y(t)和輸入信號x(t)表示于圖3-6中。從圖中也可以看出，當t足夠大時，一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號輸入的誤差等于時間常數(shù)T。一階系統(tǒng)在單位斜坡輸入時的誤差為（3-9）當t→∞時，136四.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時式（3-2）為（3-10）取其拉氏反變換得（3-11）時間響應(yīng)曲線如圖3-7所示。四.一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換為這時137除前面分析之外，還有兩點值得提出：

1.當輸入信號不為單位值時，輸入信號的拉氏變換分別為：

階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

對應(yīng)于不同輸入時的響應(yīng)分別如下列各式階躍輸入

斜坡輸入

脈沖輸入

除前面分析之外，還有兩點值得提出：1.當輸入信號不為單位值1382.當輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為

(3-12)此時，對應(yīng)于單位輸入信號時，其輸出響應(yīng)分別如下式各式所示：

階躍輸入斜坡輸入

斜坡輸入

2.當輸入信號為單位值時，但如果一階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的形式為139例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。解：首先求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

因此，閉環(huán)傳遞函數(shù)仍為慣性環(huán)節(jié)，由（3-12）式可知

例3-1已知某一單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：首先求出140因此，單位階躍響應(yīng)表達式為

響應(yīng)曲線如圖3-8所示。因此，單位階躍響應(yīng)表達式為響應(yīng)曲線如圖3-8所示。141例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為系統(tǒng)2

系統(tǒng)1試比較兩個系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標是調(diào)整時間的大小，一階系統(tǒng)的調(diào)整時間是由時間常數(shù)T決定的。系統(tǒng)1的時間常數(shù)系統(tǒng)2的時間常數(shù)由于T1<T2，因此系統(tǒng)1的響應(yīng)速度快。達到穩(wěn)態(tài)值的時間，如以±2％來算，系統(tǒng)1的調(diào)整時間t1s=4T1=8(s),而系統(tǒng)2的調(diào)整時間為t2s=4T2=24(s)，因此系統(tǒng)1比系統(tǒng)2快3倍。例3-2兩個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分別為解：系統(tǒng)響應(yīng)的快慢主要指標是142例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-9所示，試寫出其傳遞函數(shù)解：在響應(yīng)曲線上，找到穩(wěn)態(tài)值（此值為10）的63.2％（即6.32）點，此點所對應(yīng)的時間為0.1(s），即為時間常數(shù)，而傳遞函數(shù)的增益k值，可由輸出的穩(wěn)態(tài)值10與輸入的階躍值１的比值得到，即（1／s）因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為例3-3某一系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-9所示，試寫出其傳遞143例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為試用Laplace變換法，求該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)g(t)和單位階躍響應(yīng)h(t)，并討論二者的關(guān)系。解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)的微分方程，可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為例3-4已知控制系統(tǒng)的微分方程為解：由傳遞函數(shù)的定義和系統(tǒng)144系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有或由此可以得出結(jié)論：系統(tǒng)對某種輸入（單位階躍）的導(dǎo)數(shù)（單位脈沖）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（h(t)）的導(dǎo)數(shù)（）；系統(tǒng)對某種輸入（單位脈沖）的積分（單位階躍）的響應(yīng)等于系統(tǒng)對該輸入的響應(yīng)（g(t)）的積分（）。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為比較g(t)和h(t)，有145對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸入B的導(dǎo)函數(shù)，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的導(dǎo)函數(shù)；同樣的，若一個輸入A是另一個輸入B的積分，則輸入A所引起的輸出就是輸入B所引起輸出的積分，但是，如果積分是不定積分，則還需要確定積分常數(shù)。對于任意線性系統(tǒng)而言，若一個輸入A是另一個輸146一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項式s的最高冪次為2的系統(tǒng)，稱為二階系統(tǒng)。無論哪一種物理形式的二階系統(tǒng)，最后傳遞函數(shù)都可以變?yōu)橄率龅臉藴市问降谌?jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一、二階系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（3-12）式中為阻尼比、n為無阻尼自然頻率（rad/s）。二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的性能完全由與n確定,因此，與n為二階系統(tǒng)的重要參量。一個系統(tǒng)能用二階微分方程描述或是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項式s的147當輸入為單位階躍信號時，代入到（3-12）式，可得到二、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)（3-13）對上式進行拉氏反變換，可得二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。從式（3-12）可求得二階系統(tǒng)的特征方程（3-14）它的兩個根，即為二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點：

（3-15）當輸入為單位階躍信號時，代入148對式（3-13）進行分解得

下面分別對二階系統(tǒng)在=1，>1以及0<<1三種情況下的瞬態(tài)響應(yīng)進行討論，假設(shè)初始狀態(tài)為零。

(一)重根時，

=1，s1,2=-n臨界阻尼情況

（3-16）式變?yōu)椋?/p>

（3-16）（3-17）對式（3-13）進行分解得下面分別對二階系統(tǒng)在=1，149對上式進行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到（3-18）（3-19）響應(yīng)曲線為一指數(shù)曲線形式。它單調(diào)上升、無超調(diào)、無振蕩、無穩(wěn)態(tài)誤差。對上式進行分部分式，可得對（3-18）式拉氏反變換，得到150(二)兩個不等的負實根時，

>1，過阻尼情況

(3-16)式可以寫成部分分式為

(3-20)(二)兩個不等的負實根時，>1，151求上式的拉氏反變換，得

(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量，響應(yīng)為指數(shù)函數(shù)曲線形式。單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長，無穩(wěn)態(tài)誤差。求上式的拉氏反變換，得(3-21)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量152（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況

由于<1，（3-12）式得，s1,2=-

n±jd

式中

，稱為阻尼自然頻率（rad／s）這時，采用部分分式法，式（3-10）變?yōu)?/p>

(3-22)（三）一對共軛復(fù)根時，0<<1，欠阻尼情況由于<1，153上式的拉氏反變換為

(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；呈現(xiàn)衰減振蕩過程，振蕩頻率是阻尼自然頻率d；其振幅衰減的快慢由

和n決定；振蕩幅值隨減小而加大。上式的拉氏反變換為(3-23)無穩(wěn)態(tài)誤差；154頻率n和d的物理意義：

n是無阻尼（=0）時二階系統(tǒng)等幅振蕩的振蕩頻率，因此稱為無阻尼自然頻率；而是欠阻尼（0<<1）時衰減振蕩的振蕩頻率，因此稱為阻尼自然頻率；Td=2/d稱為阻尼振蕩周期。顯然n

<d,且隨著的增大，d的值相應(yīng)地減小。y(t)=1-cosnt（t≥0）(3-24)s1,2=±jn，將=0代入式（3-15）可得（四）一對復(fù)根時，=0，零阻尼情況

二階系統(tǒng)在無阻尼時瞬態(tài)響應(yīng)是等幅振蕩，振蕩頻率為n

。穩(wěn)定邊界頻率n和d的物理意義：y(t)=1-cosnt（t155（五）一對正實部虛根時，<0，負阻尼情況

極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定（五）一對正實部虛根時，<0，負阻尼情況極點實部大于零156幾點結(jié)論：1、二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性：<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；=0時，出現(xiàn)等幅振蕩0<

<1時，有振蕩，愈小，振蕩愈嚴重，但響應(yīng)愈快，

≥1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速，→系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。3、工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用外，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩幾點結(jié)論：2、一定時，n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越157三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍響應(yīng)的同樣方法，可以得到一個隨動系統(tǒng)，其輸入端以一個連續(xù)等速信號給定時，其響應(yīng)就屬斜坡響應(yīng)。當輸入單位斜坡信號時，（一）0<<1斜坡響應(yīng)為

（3-26）三、二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)（3-25）按前面分析單位階躍158（三）>1斜坡響應(yīng)為

響應(yīng)曲線如圖3-11所示。（3-28）（二）

=1斜坡響應(yīng)為

(3-27)（三）>1響應(yīng)曲線如圖3-11所示。（3-28）（二）159控制工程基礎(chǔ)--第三章時間特性分析法課件160四.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當輸入單位脈沖信號時，X(s)=1,（3-29）（一）0<<1脈沖響應(yīng)為

（3-30）（二）=1脈沖響應(yīng)為

(3-31)四.二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)當輸入單位脈沖信號時，X(s)=161（三）>1脈沖響應(yīng)為

(3-32)響應(yīng)曲線如圖3-12。（三）>1脈沖響應(yīng)為(3-32)響應(yīng)曲線如圖3-1162表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式163表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式164表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式表3-1輸入信號幅值不為單位值時，響應(yīng)表達式165五.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點的關(guān)系

前面分析可知，二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)形式與系統(tǒng)阻尼比關(guān)系極為密切，同時，又知道阻尼比取值不同，直接影響到二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的極點。其關(guān)系見表3-2。而極點與響應(yīng)形式的關(guān)系可見表3-3。五.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)與極點的關(guān)系前面分析可知，二階系統(tǒng)166表3-2阻尼比與極點的關(guān)系表3-2阻尼比與極點的關(guān)系167表3-3極點與階躍響應(yīng)的關(guān)系表3-3極點與階躍響應(yīng)的關(guān)系168若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負實部，即Re[si]<0，則其系統(tǒng)會趨于穩(wěn)定，這種系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)存在具有正實部的特征根si，即Re[si]>0，則其系統(tǒng)會產(chǎn)生振蕩，這種系統(tǒng)稱為不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)有一個特征根的實部為0，而其余特征根的實部均為負數(shù)，系統(tǒng)最終會變成一等幅振蕩，這種系統(tǒng)稱為臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。往往也將臨界穩(wěn)定系統(tǒng)看成不穩(wěn)定系統(tǒng)。若系統(tǒng)的所有特征根si（i=1，2，…，n）均具有負169

小結(jié)系統(tǒng)特征根的實部決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定與否。若系統(tǒng)特征根的實部全部都小于0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)特征根的實部不全小于0，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。若系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點均分布在[s]平面的左半平面內(nèi)，則系統(tǒng)穩(wěn)定；若系統(tǒng)傳遞函數(shù)在[s]平面的右半平面內(nèi)存在極點，則系統(tǒng)不穩(wěn)定。對于穩(wěn)定系統(tǒng)，實部Re[si]絕對值的大小決定了系統(tǒng)趨于穩(wěn)定的快慢。Re[si]絕對值越大，則它所對應(yīng)的自由響應(yīng)項衰減得越快，系統(tǒng)達到穩(wěn)定的時間越短。系統(tǒng)特征根的虛部Im[si]的分布情況在很大程度上決定了系統(tǒng)自由響應(yīng)的振蕩情況，決定了系統(tǒng)的響應(yīng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的情況，這影響著系統(tǒng)響應(yīng)的準確性。小結(jié)若系統(tǒng)特征根的實部全部都小于0，則系統(tǒng)穩(wěn)定170通過上面對二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的研究，可以看出，系統(tǒng)的特征參量阻尼比和無阻尼自然頻率n對其瞬態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。下面進一步分析和n與瞬態(tài)響應(yīng)指標的關(guān)系，以便指出設(shè)計和調(diào)整二階系統(tǒng)的方向，除了那些不允許產(chǎn)生振蕩的控制系統(tǒng)外，通常允許控制系統(tǒng)具有適度的振動特性，以求能有較短的調(diào)整時間。因此，系統(tǒng)經(jīng)常工作在欠阻尼狀態(tài)。下面就二階系統(tǒng)，當0<<1時，推導(dǎo)瞬態(tài)響應(yīng)各項特征指標的計算公式。六.二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標計算通過上面對二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的研究，可以看出，系統(tǒng)的特征參量阻1711.上升時間tr

根據(jù)式（3-23），令y(t)=1，即可得上升時間tr，即（3-33）由于≠0，為使式（3-33）成立，必須即1.上升時間tr根據(jù)式（3-23），令y(t)=