數(shù)學(xué)A（理）§5.1平面向量的概念及線性運(yùn)算第五章平面向量基礎(chǔ)知識(shí)·自主學(xué)習(xí)題型分類(lèi)·深度剖析思想方法·感悟提高練出高分1.向量的有關(guān)概念名稱(chēng)定義備注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或稱(chēng))平面向量是自由向量零向量長(zhǎng)度為的向量；其方向是任意的記作__單位向量長(zhǎng)度等于的向量非零向量a的單位向量為±大小方向長(zhǎng)度模01個(gè)單位0平行向量方向

或

的非零向量

0與任一向量

或共線共線向量

的非零向量又叫做共線向量相等向量長(zhǎng)度

且方向

的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿坏龋荒鼙容^大小相反向量長(zhǎng)度

且方向

的向量0的相反向量為0相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)

運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(1)交換律：a＋b＝

.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝

.平形四邊形b＋aa＋(b＋c)三角形減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差

法則

a－b＝a＋(－b)三角形數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝

；(2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝__λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝_______|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μaλa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.b＝λa思考辨析判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來(lái)表示向量.(

)(2)|a|與|b|是否相等與a，b的方向無(wú)關(guān).(

)(3)已知兩向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝2.(

)×√×思考辨析(4)△ABC中，D是BC中點(diǎn)，則

.(

)(5)向量

與向量

是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上.(

)(6)當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立.(

)返回√×√題號(hào)答案解析1234DA－2

Enter解析題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.解析答案思維升華題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.解析

①不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.又∵A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；解析答案思維升華題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，③正確.∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同；又b＝c，解析答案思維升華題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.④不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，解析答案思維升華題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.解析答案思維升華題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.②③故“|a|＝|b|且a∥b”不是“a＝b”的充要條件，而是必要不充分條件.綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.解析答案思維升華題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.②③(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).解析答案思維升華題型一平面向量的概念例1給出下列命題：①若|a|＝|b|，則a＝b；②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則“

”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件；③若a＝b，b＝c，則a＝c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中正確命題的序號(hào)是________.②③(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的移動(dòng)混為一談.(4)非零向量a與

的關(guān)系：

是a方向上的單位向量.解析答案思維升華跟蹤訓(xùn)練1

下列命題中，正確的是________.(填序號(hào))①有向線段就是向量，向量就是有向線段；②向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；③向量

與向量

共線，則A、B、C、D四點(diǎn)共線；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c；⑤兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大小.解析

①不正確，向量可以用有向線段表示，但向量不是有向線段，有向線段也不是向量；②不正確，若a與b中有一個(gè)為零向量，零向量的方向是不確定的，故兩向量方向不一定相同或相反；③不正確，共線向量所在的直線可以重合，也可以平行；④不正確，如果b＝0，則a與c不一定平行；⑤正確，向量既有大小，又有方向，不能比較大??；向量的模均為實(shí)數(shù)，可以比較大小.答案

⑤題型二平面向量的線性運(yùn)算例2

(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么

等于(

)解析答案思維升華解析答案思維升華題型二平面向量的線性運(yùn)算例2

(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么

等于(

)解析答案思維升華題型二平面向量的線性運(yùn)算例2

(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么

等于(

)解析答案思維升華題型二平面向量的線性運(yùn)算例2

(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么

等于(

)D(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化.解析答案思維升華題型二平面向量的線性運(yùn)算例2

(1)如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，那么

等于(

)D解析答案思維升華解析答案思維升華A解析答案思維升華(2)用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.A解析答案思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，在正六邊形ABCDEF中，

等于(

)解析如圖，∵在正六邊形ABCDEF中，D題型三共線定理的應(yīng)用例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若

＝a＋b，

＝2a＋8b，

＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；解析思維升華解析思維升華例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若

＝a＋b，

＝2a＋8b，

＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；題型三共線定理的應(yīng)用解析思維升華例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若

＝a＋b，

＝2a＋8b，

＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；題型三共線定理的應(yīng)用解析思維升華(1)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系.當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.題型三共線定理的應(yīng)用例3設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線，(1)若

＝a＋b，

＝2a＋8b，

＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線；例3

(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解析思維升華解析思維升華解

∵ka＋b和a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a、b是兩個(gè)不共線的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0.∴k＝±1.例3

(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解析思維升華(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，否則向量a、b不共線.例3

(2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.答案

CA思想與方法系列8方程思想在平面向量的線性運(yùn)算中的應(yīng)用典例：(12分)如圖所示，在△ABO中，AD與BC相交于點(diǎn)M，設(shè)

＝a，

＝b.試用a和b表示向量思維點(diǎn)撥規(guī)范解答溫馨提醒思維點(diǎn)撥規(guī)范解答溫馨提醒(1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去.(2)既然

能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出

＝ma＋nb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解.溫馨提醒思維點(diǎn)撥3分

5分

規(guī)范解答溫馨提醒思維點(diǎn)撥7分

規(guī)范解答溫馨提醒思維點(diǎn)撥10分

規(guī)范解答12分

(1)本題考查了向量的線性運(yùn)算，知識(shí)要點(diǎn)清楚，但解題過(guò)程復(fù)雜，有一定的難度.(2)易錯(cuò)點(diǎn)是，找不到問(wèn)題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解.(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運(yùn)算的核心，向量是一個(gè)幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧.如本題易忽視A、M、D三點(diǎn)共線和B、M、C三點(diǎn)共線這個(gè)幾何特征.(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會(huì).溫馨提醒思維點(diǎn)撥返回規(guī)范解答方法與技巧1.向量的線性運(yùn)算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時(shí)，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素.向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點(diǎn)”；向量減法的三角形法則要素是“起點(diǎn)重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點(diǎn)重合”.方法與技巧2.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線.失誤與防范1.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件.要特別注意零向量的特殊性.2.在利用向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤.返回23456789101234567891011.下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是(

)①溫度、速度、位移、功這些物理量都是向量；②零向量沒(méi)有方向；③向量的模一定是正數(shù)；④非零向量的單位向量是唯一的.A.0

B.1

C.2

D.3解析

①錯(cuò)誤，只有速度和位移是向量；②錯(cuò)誤，零向量是有方向的，它的方向是任意的；③錯(cuò)誤，|0|＝0；④顯然錯(cuò)誤.A345678910122.已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，則2a－b等于(

)A.(5,7) B.(5,9)C.(3,7) D.(3,9)解析

2a－b＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7).A3.設(shè)a，b不共線，

＝2a＋pb，

＝a＋b，

＝a－2b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)p的值是(

)A.－2 B.－1 C.1 D.22456789101324567891013∴2a＋pb＝λ(2a－b)，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.答案

B235678910144.已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且

＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于(

)A.30°

B.60°

C.90°

D.120°又O為△ABC外接圓的圓心，∴△ABC為等邊三角形，A＝60°.B234678910155.在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若

則λ＋μ等于(

)23467891015答案

D234578910166.下列命題：①如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一方向相同；②三角形ABC中，必有③若

＝0，則A，B，C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；④若a，b均為非零向量，則|a＋b|與|a|＋|b|一定相等.其中假命題的序號(hào)為_(kāi)_______.23457891016解析

①若a與b長(zhǎng)度相等，方向相反，則a＋b＝0；③A，B，C三點(diǎn)可能在一條直線上；④|a|＋|b|≥|a＋b|.答案

①③④234568910177.設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且

則△AOB與△AOC的面積之比為_(kāi)_______.解析設(shè)D為AC的中點(diǎn)，連接OD，

2345691017823456910178234567810199.已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1、e2不共線，向量c＝2e1－9e2.