第十五章統(tǒng)計第1講隨機抽樣和樣本估計總體考綱要求考綱研讀1.隨機抽樣．(1)理解隨機抽樣的必要性和重要性．(2)會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統(tǒng)抽樣方法．2．總體估計．(1)了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點．(2)理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差．(3)能從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差)，并作出合理的解釋．(4)會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想．(5)會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.用樣本估計總體是統(tǒng)計學的重要思想．從總體中如何抽取樣本，以及如何研究樣本數據是本節(jié)需要掌握的主要內容．根據總體的特點可采取合適的抽樣方式，然后從列表，畫圖途徑來體現樣本數據特征，而樣本的數字特征則是其客觀體現，從而進一步去估計總體特征.

1．總體、個體、樣本 把所考察對象的某一個數值指標的全體構成的集合看成總體，構成總體的每一個元素為個體，從總體中隨機抽取若干個個體構成的集合叫做總體的一個樣本．2．隨機抽樣均等的

抽樣時保證每一個個體都可能被抽到，每一個個體被抽到的機會是________，滿足這樣的條件的抽樣是隨機抽樣．3．簡單隨機抽樣相等抽簽法

設一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N)，如果每次抽取時總體內的各個個體被抽到的機會都_____，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣．最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種——_______和_____________．隨機數表法

4．系統(tǒng)抽樣 (1)當總體元素個數很大時，可將總體分成均衡的若干部分，然后按照預先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個個體得到所需要的樣本，這種抽樣方式叫做系統(tǒng)抽樣．(2)步驟：①編號．采用隨機的方式將總體中的個體編號，編號的方式可酌情處理；分段③確定起始個體編號．在第1段用________________確定起始的個體編號S；簡單隨機抽樣

④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本．通常是將S加上間隔k，得到第2個個體編號S＋k，再將(S＋k)加上k，得到第3個個體編號S＋2k，這樣繼續(xù)下去，獲得容量為n的樣本．其樣本編號依次是：S，S＋k，S＋2k，…，S＋(n－1)k.5．分層抽樣明顯差異

當總體由_________的幾部分組成時，按某種特征在抽樣時將總體中的各個個體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層中獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法叫做分層抽樣．6.頻率分布直方圖(1)求極差：極差是一組數據的最大值與最小值的差．(2)決定組距和組數：當樣本容量不超過100時，常分成5～12組．組距＝______.

(3)將數據分組：通常對組內數值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間．最后一組取閉區(qū)間．也可以將樣本數據多取一位小數分組． (4)列頻率分布表：登記頻數，計算頻率，列出頻率分布表． 將樣本數據分成若干個小組，每個小組內的樣本個數稱作頻數，頻數與樣本容量的比值叫做這一小組的______．頻率反映這組數據在樣本所占比例的大小．頻率極差組數(5)繪制頻率分布直方圖：把橫軸分成若干段，每一段對應一個組距，然后以線段為底作一矩形，它的高等于該組的頻率組距，這樣得到一系列的矩形，每個矩形的面積恰好是該組上的頻率．這些矩形就構成了頻率分布直方圖． 7．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的_____，就得到頻率分布折線圖．中點

(2)總體密度曲線：隨著__________的增加，作圖時所分的組數增加，_______減小，相應的頻率折線圖會接近于一條光滑的曲線，即總體密度曲線．樣本容量組距

8．莖葉圖 在樣本數據較少、較為集中，且位數不多時，用莖葉圖表示數據的效果較好，它較好的保留了原始數據信息，方便記錄與表示．莖是中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數． 9．樣本數字特征 (1)眾數：在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數．最中間中位數

(2)中位數：將一組數據按大小依次排列，把處在_______位置的一個數據(或最中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的______．(4)方差：s2＝__________________________________.(5)標準差：s＝_______________________________________.C．都都相等等，且且為D．都都相等等，且且為1．從從2004名名學生生中選選取50名名組成成參觀觀團，，若采采用下下面的的方法選取?。合认扔煤喓唵坞S隨機抽抽樣從從2004人人中剔剔除4人人，，剩下下的2000)C人再按按系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣的方方法進進行．．則每每人入入選的的概率率(A．不不全相相等B．均均不相相等251002140解析：注意隨機抽樣，每個個體被抽到的概率都一樣．此題

5025 20041002中，每人入選的概率為＝.故選C.甲乙丙丁

－平均環(huán)數x8.68.98.98.2

2方差s3.53.52.15.62．(2011年廣東東廣州州調研研)甲、乙乙、丙丙、丁丁四人人參加加奧運運會射射擊項目目選拔拔賽，，四人人的平平均成成績和和方差差如下下表所所示：：從這四四個人人中選選擇一一人參參加奧奧運會會射擊擊項目目比賽賽，最最佳人人選是()CA．甲甲B．乙乙C．丙丙D．丁丁3．(2011年廣東東廣雅雅中學學測試試)在廣雅雅中學學“十十佳學學生””評選選的演講講比賽賽中，，如圖圖15－－1－－1是是七七位評評委為為某學學生打打出的的分數數的莖葉圖圖，去去掉一一個最最高分分和一一個最低低分后后，所所剩數數據的的眾數數和中中位數分分別為為()圖15－－1－－1A．85,85B．84,86C．84,85D．85,86C4．(2011年上海海)課題組組進行行城市市空氣氣質量量調查查，按按地域域把24個城市市分成成甲、、乙、、丙三三組，，對應應城市市數分分別為為4,12,8.若用用分層層抽樣抽抽取6個個城城市，，則丙丙組中中應抽抽取的的城市市數為為____.25．某某個容容量為為100的的樣本本的頻頻率分分布直直方圖圖如圖圖15－－1－－2，，則在區(qū)區(qū)間[4,5)上的的數據據的頻頻數為為_____.30解析：：對于在在區(qū)間間的頻頻率的的數值值為0.3，而總數數為100，因此此頻數數為30.圖15－－1－－2考點1隨隨機機抽樣樣及其其應用用例1：現要完完成下下列3項抽抽樣調調查：①從10盒酸奶奶中抽抽取3盒進行行食品品衛(wèi)生生檢查查．②②科技技報告告廳有有32排排，，每排排有40個個座位位，有一次次報告告會恰恰好坐坐滿了了聽眾眾，報報告會會結束束后，，為了了聽取取意見見，需要請請32名名聽聽眾進進行座座談．．③東東方中中學共共有160名名教教職工工，其其中一般教教師120名名，，行政政人員員16名名，，后勤勤人員員24名名．．為了了了解解教職工對對學校校在校校務公公開方方面的的意見見，擬擬抽取取一個個容量量為20的的樣本本．較為合合理的的抽樣樣方法法是()A．①①簡單單隨機機抽樣樣，②②系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣，③③分層層抽樣樣B．①①簡單單隨機機抽樣樣，②②分層層抽樣樣，③③系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣C．①①系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣，②②簡單單隨機機抽樣樣，③③分層層抽樣樣D．①①分層層抽樣樣，②②系統(tǒng)統(tǒng)抽樣樣，③③簡單單隨機機抽樣樣解析：：此題主主要考考察的的是三三種抽抽樣方方法的的適用用情況況．對對①總總體個數數較少少，采采用簡簡單隨隨機抽抽樣，，對②②個體體數相相對較較多，，采用用系統(tǒng)抽樣樣，對對③個個體相相互差差異明明顯，，采用用分層層抽樣樣，故故選A.答案：：A類別共同點不同點相互聯系適用范圍簡單隨機抽樣都是等概率抽樣從總體中逐個抽取總體中個體比較少系統(tǒng)抽樣將總體均勻分成若干部分；按事先確定的規(guī)則在各部分抽取在起始部分采用簡單隨機抽樣總體中個體比較多分層抽樣將總體分成若干層，按個體個數的比例抽取在各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體中個體有明顯差異三種抽抽樣方方法的的聯系系與區(qū)區(qū)別：：【互動動探究究】1．①①某小小區(qū)有有800個個家庭庭，其其中高高收入入家庭庭200戶戶，中中等收收入家庭庭480戶戶，低低收入入家庭庭120戶戶，為為了了了解有有關家家用轎轎車購購買力的某某個指指標，，要從從中抽抽取一一個容容量為為100戶戶的樣樣本；；②從從10名名同學中抽取取3個個參加座談談會．Ⅰ.簡單隨機機抽樣方法法；Ⅱ.系系統(tǒng)抽樣)B方法；Ⅲ.分層抽樣樣方法．問問題和方法法配對正確確的是(A．①Ⅰ②②ⅡB．①Ⅲ②②ⅠC．①Ⅱ②②ⅢD．①Ⅲ②②Ⅱ2．一個單單位有職工工800人，其其中具有高高級職稱的的160人，具具有中級職稱稱的320人，，具有初級級職稱的200人人，其余余人員120人人．為了解職工工收入情況況，決定采采用分層抽抽樣的方法法，從中抽抽取容量)D為40的的樣本．．則從上述述各層中依依次抽取的的人數分別別是(A．12,24,15,9B．9,12,12,7C．8,15,12,5D．8,16,10,63．用系統(tǒng)統(tǒng)抽樣法要要從160名學學生中抽取取容量為20的的樣本，將160名學生生從1至至160編號號．按編號號順序平均均分成20組(1－8號，9－16號，，……153－160號)，若第16組組應抽出的的號碼為126，則第一組中中用抽簽方方法確定的的號碼是____.6解析：采用系統(tǒng)抽抽樣，設每每組中依次次抽出的號號碼構成一一數列{an}，首項為為a1，公差為8的等差數列列，則該數數列的通項項公式為an＝a1＋8(n－1)，依依題意則a16＝126＝＝a1＋8×(16－1)，則a1＝6.即第一組中中用抽簽方方法確定的的號碼是6.考點2頻率分布直直方圖例2：(2010年廣東佛佛山調研研)某校從參參加高一一年級期期中考試試的學生中隨隨機抽取取60名學學生，將將其數學學成績(均為整整數)分分成六段段[40,50)，[50,60)，，…，[90,100]后得得到如圖圖15－1－－3所所示的部部分頻率分布直直方圖．．觀察圖圖形的信信息，回回答下列列問題：：圖15－1－－3(1)求求分數在在[70,80)內的的頻率，，并補全全這個頻頻率分布布直方圖圖；(2)統(tǒng)統(tǒng)計方法法中，同同一組數數據常用用該組區(qū)區(qū)間的中中點值作作為代表表，據此估計計本次考考試的平平均分；；(3)用用分層抽抽樣的方方法在分分數段為為[60,80)的學學生中抽抽取一個個容量為6的樣樣本，將將該樣本本看成一一個總體體，從中中任取2人人，求至至多有1人人在分分數段[70,80)的概率率．＝1－0.7＝0.3.故0.310＝0.03，解析：(1)分數在[70,80)內的頻率率為：1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)××10如圖D33圖D33(2)平均分為：x＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.(3)由題意，[60,70)分數段的人數為：0.15×60＝9.[70,80)分數段的人數為：0.3×60＝18.∵在[60,80)的學生中抽取一個容量為6的樣本，∴[60,70)分數段抽取2人，分別記為m，n.在[70,80)分數段抽取4人，分別記為a，b，c，d.設從樣本本中任取取2人，至多多有1人在分數數段[70,80)為事件A，則基本事事件空間間包含的的基本事事件有：：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，…，(c，d)共15種，則事件A包含的基基本事件有有：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9種，，(1)頻率分布布直方圖圖的繪制制按照前前面的要要點預覽覽的步驟進進行．值值得注意意的是，，在頻率率分布直直方圖中中，縱軸軸表示“頻率組距”，數據落在各各小組內的頻頻率用小矩形形的面積表示示，各小矩形的的面積積總和和等于于1.(2)由頻率率分布布直方方圖估估計樣樣本的的數字字特征征時：：①眾眾數為為頻率率分布直直方圖圖中最最高矩矩形的的底邊邊中點點的橫橫坐標標，②②中位位數為為平分分頻率分布布直方方圖面面積且且垂直直于橫橫軸的的直線線與橫橫軸交交點的的橫坐坐標；；③平均數數等于于頻率率分布布直方方圖中中每個個小矩矩形的的面積積乘以以小矩矩形底底邊中點的的橫坐坐標之之和．．【互動動探究究】4．(2011年廣東東佛山山質檢檢)為提高高廣東東中小小學生生的健健康素素質和和體能水水平，，廣東東省教教育廳廳要求求廣東東各級級各類類中小小學每每年都都要在在體育教學學中實實施““體能能素質質測試試”，，測試試總成成績滿滿分為為100分分．根根據廣東東省標標準，，體能能素質質測試試成績績在[85,100]之之間為為優(yōu)秀秀；在在[75,85)之間為為良好好；在在[65,75)之之間為為合格格；在在(0,60)之間間，體體能素素質為為不合格．．現從佛佛山市市某校校高一一年級級的900名名學學生中中隨機機抽取取30名名學學生的測試試成績績如下下：85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.(1)完成成頻率率分布布表和和頻率率分布布直方方圖，，并估估計該該校高高一年年級體能素素質為為優(yōu)秀秀的學學生人人數；；(2)現用用分層層抽樣樣的方方法在在該校校高一一年級級共900名名學學生中中抽取取6名名學生生，在在上述述抽取取的6名名學學生中中任取取2名名，求求恰好好抽到到1名名體能素質質為優(yōu)優(yōu)秀的的學生生的概概率；；(3)請你你依據據所給給數據據和上上述廣廣東省省標準準，對對該校校高一一學生生的體能素素質給給出一一個簡簡短評評價．．65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93，，解：：(1)的有有——×900＝300(人)．．圖D34如圖圖D34，根根據據抽樣樣，，估估計計該該校校高高一一學學生生中中體體能能素素質質為為優(yōu)優(yōu)秀秀1030(2)設在在抽抽取取的的6名學學生生中中任任取取2名，，恰恰好好抽抽到到1名體體能能素素質質為優(yōu)優(yōu)秀秀的的學學生生的的事事件件為為A，則則抽抽取取的的6名學學生生中中體體能能素素質質為為優(yōu)優(yōu)秀秀考點點3莖莖葉葉圖圖例3：(2011年廣廣東東廣廣州州綜綜合合測測試試)某工工廠廠甲甲、、乙乙兩兩個個車車間間包包裝裝同一一種種產產品品，，在在自自動動包包裝裝傳傳送送帶帶上上每每隔隔1小小時時抽抽一一包包產產品品，，稱稱其其重量量(單單位位：：克克)是是否否合合格格，，分分別別記記錄錄抽抽查查數數據據，，獲獲得得重重量量數數據據的的莖莖葉圖圖如如圖圖15－－1－－4.圖15－－1－－4(1)根根據據樣樣品品數數據據，，計計算算甲甲、、乙乙兩兩個個車車間間產產品品重重量量的的均均值值與與方方差，，并并說說明明哪哪個個車車間間的的產產品品的的重重量量相相對對較較穩(wěn)穩(wěn)定定；；(2)若若從從乙乙車車間間6件件樣樣品品中中隨隨機機抽抽取取兩兩件件，，求求所所抽抽取取的的兩兩件件樣樣品的的重重量量之之差差不不超超過過2克克的的概概率率．．∴甲甲車車間間的的產產品品的的重重量量相相對對較較穩(wěn)穩(wěn)定定．．(2)從乙車間間6件樣品中中隨機抽抽取兩件件，共有有15種種不同的的取法：：(108,109)，(108,110)，(108,112)，(108,115)，(108,124)，(109,110)，，(109,112)，(109,115)，(109,124)，(110,112)，(110,115)，(110,124)，，(112,115)，(112,124)，(115,124)．．設A表示隨機事件件“所抽取的的兩件樣樣品的重重量之差差不超過過2克”，則A的基本事事件有4種：：(108,109)，(108,110)，(109,110)，(110,112)．．明確莖葉葉圖的數數據對處處理樣本本的數據據特征顯顯得尤為重要，，而方差差可以衡衡量樣本本數據的的穩(wěn)定性性．【互動探探究】5．(2010年廣東廣廣州越秀秀區(qū)高三三摸底)甲、乙兩兩名同學學在5次數學考試中，成成績統(tǒng)計計用莖葉葉圖表示示如圖15－－1－5，若甲甲、乙兩兩)B人的平均均成績分分別用x甲，x乙表示，則則下列結結論正確確的是(A.x甲<x乙，且甲比比乙成績績穩(wěn)定B.x甲<x乙，且乙比比甲成績績穩(wěn)定C.x甲>x乙，且甲比比乙成績績穩(wěn)定D.x甲>x乙，且乙比比甲成績績穩(wěn)定圖圖15－1－5易錯、易易混、易易漏24．頻頻率分布布直方圖圖中某區(qū)區(qū)間的頻頻率誤認認為該矩矩形的縱縱坐標的值例題：(2011年浙江)某小學為為了解學學生數學學課程的的學