注：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。3、將t<0，f(t)=0的信號(hào)稱(chēng)為因果信號(hào)，將t≥0，f(t)=0的信號(hào)稱(chēng)為反因果信號(hào)。4、階躍函數(shù)ε(t)和沖激函數(shù)δ(t)不同于普通函數(shù)，稱(chēng)為奇異函數(shù)。注：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列1二、系統(tǒng)的特性1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)3.MIMO4.線(xiàn)性系統(tǒng)與非線(xiàn)性系統(tǒng)（齊次+可加）5.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)7.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱(chēng)該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

二、系統(tǒng)的特性2三、LTI系統(tǒng)的分析方法:時(shí)域和頻域1、時(shí)域:①齊次解+特解

齊次解是齊次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，稱(chēng)為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱(chēng)為強(qiáng)迫響應(yīng)。三、LTI系統(tǒng)的分析方法:時(shí)域和頻域3對(duì)于零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)為零，故有

yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有

yf(j)(0-)=0②沖激相應(yīng)由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

輸入信號(hào)f(t)的零狀態(tài)相應(yīng)為對(duì)于零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)為零，故有4③信號(hào)卷積與卷積和③信號(hào)卷積與卷積和5

類(lèi)比：連續(xù)與離散基本信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)指數(shù)函數(shù)：復(fù)指數(shù)序列單位沖激信號(hào)：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)：正弦信號(hào)：虛指數(shù)信號(hào)：?jiǎn)挝幻}沖序列單位階躍序列正弦序列虛指數(shù)序列類(lèi)比：連續(xù)與離散基本信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)指數(shù)函數(shù)：復(fù)指數(shù)序列單位6

n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。Fn

是頻率為n的分量的系數(shù)，F(xiàn)0=A0/2為直流分量。一、周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系傅立葉變換和系統(tǒng)的頻域分析n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號(hào)f(t)7周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所示，求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形8,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫(huà)圖。零點(diǎn)為所以，m為整數(shù)。特點(diǎn)：(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線(xiàn)位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性?？傏厔?shì)減小。,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)9譜線(xiàn)的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T一定，變小，此時(shí)（譜線(xiàn)間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線(xiàn)數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。(b)一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線(xiàn)間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。（3）信號(hào)的能量主要集中在第一個(gè)零點(diǎn)以?xún)?nèi)，通常把0≤f≤1/這段頻率范圍成為周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度或信號(hào)的帶寬。譜線(xiàn)的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T一定，變小，此時(shí)（10周期信號(hào)的功率——Parseval等式含義：直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為表明：對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率與在頻域中求得的信∑號(hào)功率相等。周期信號(hào)的功率——Parseval等式含義：直流和n次諧波分11二、非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換傅里葉變換非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線(xiàn)間隔趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱(chēng)F(jω)為頻譜密度函數(shù)。二、非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換傅里葉變換非12考慮到：T→∞，Ω→無(wú)窮小，記為dω；

nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，F(xiàn)(jω)稱(chēng)為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜。∣F(jω)∣可看做是單位頻率的振幅。f(t)稱(chēng)為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)考慮到：T→∞，Ω→無(wú)窮小，記為dω；同時(shí)，∑→∫于是，F(xiàn)13門(mén)函數(shù)(矩形脈沖)帶寬△f=1//

沖激函數(shù)(t)均勻譜（白色頻譜）門(mén)函數(shù)(矩形脈沖)帶寬△f=1//沖激函數(shù)(t)均141.F變換對(duì)1.F變換對(duì)15傅立葉變換的重要性質(zhì)1、尺度變換性質(zhì)Iff(t)←→F(jω)then在時(shí)域中信號(hào)占據(jù)時(shí)間的壓縮對(duì)應(yīng)于其頻譜在頻域中信號(hào)占有頻帶的擴(kuò)展，即信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)的占有頻帶成反比。在電子技術(shù)中，有時(shí)需要將信號(hào)的持續(xù)時(shí)間縮短，以加快信息傳輸速度，這就不得不在頻域內(nèi)展寬頻帶。2、頻移（調(diào)制）性質(zhì)Iff(t)←→F(jωthen)where“ω0”isrealconstant傅立葉變換的重要性質(zhì)1、尺度變換性質(zhì)Iff(t)←16三、能量譜和功率譜能量譜1.信號(hào)能量的定義：時(shí)間（-∞,∞）區(qū)間上信號(hào)的能量。信號(hào)(電壓或電流)f(t)在1Ω電阻上的瞬時(shí)功率為|f(t)|2,在區(qū)間（-T,T）的能量為如果信號(hào)能量有限，即0<E<∞，信號(hào)稱(chēng)為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)能量信號(hào)。例如門(mén)函數(shù)，三角形脈沖，單邊或雙邊指數(shù)衰減信號(hào)等。三、能量譜和功率譜能量譜1.信號(hào)能量的定義：時(shí)間（-∞,172.帕斯瓦爾方程（能量方程）：在頻帶df內(nèi)信號(hào)的能量為E

(ω)df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率區(qū)間（-∞,∞）的總能量為：3.能量密度譜E

(ω)：(Energy-densitySpectrum)

為了表征能量在頻域中的分布情況，可以借助于密度的概念，定義一個(gè)能量密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為能量頻譜或能量譜。能量頻譜E

(ω)定義為單位頻率的信號(hào)能量。2.帕斯瓦爾方程（能量方程）：在頻帶df內(nèi)18上式與帕斯瓦爾公式進(jìn)行比較可知，能量密度譜E(ω)為：?jiǎn)挝活l率的幅度單位頻譜的信號(hào)能量上式與帕斯瓦爾公式進(jìn)行比較可知，能量密度譜E19功率譜由信號(hào)能量和功率的定義可知，若信號(hào)能量E有限，則P=0；若信號(hào)功率P有限，則E=∞。1.信號(hào)功率：定義為時(shí)間（-∞,∞）區(qū)間上信號(hào)f(t)的平均功率，用P表示。如果信號(hào)功率有限，即0<P<∞，信號(hào)稱(chēng)為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)功率信號(hào)。如階躍信號(hào)，周期信號(hào)等。如果f(t)為實(shí)函數(shù)，則功率譜由信號(hào)能量和功率的定義可知，若信號(hào)能量20功率有限信號(hào)的能量趨于無(wú)窮大，即從f(t)中截取|t|≤T/2的一段，得到一個(gè)截尾函數(shù)fT(t)，它可以表示為：如果T是有限值，則fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的能量ET可表示為：由于功率有限信號(hào)的能量趨于無(wú)窮大，即從f(t)中截取|21f(t)的平均功率為：當(dāng)T增加時(shí)，fT(t)的能量增加，|FT(jω)|2也增加。當(dāng)T→∞時(shí)，fT(t)→f(t)，此時(shí)|FT(jω)|2/T可能趨于一極限。比較得：2.功率密度譜：類(lèi)似于能量密度譜，定義功率密度譜函數(shù)P

(ω)為單位頻率的信號(hào)功率。從而平均功率：f(t)的平均功率為：當(dāng)T增加時(shí)，fT(t)22功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)P

(ω)與自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對(duì)傅里葉變換。3、功率譜函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系上式稱(chēng)為維納—辛欣關(guān)系。由于隨機(jī)信號(hào)不能用頻譜表示，但是利用自相關(guān)函數(shù)可以求得其功率譜，用功率譜來(lái)描述隨機(jī)信號(hào)的頻域特性。功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)P(ω)與自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一23四、周期信號(hào)的傅里葉變換由上式可知：周期信號(hào)的頻譜是離散的注：對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換時(shí)，得到的是頻譜密度；而將該函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，得到的是傅立葉系數(shù)，代表的是虛指數(shù)分量的幅度和相位。四、周期信號(hào)的傅里葉變換由上式可知：周期信號(hào)的頻譜是離散的24

五、LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：其基本信號(hào)為ejt1、基本信號(hào)ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號(hào)ejt時(shí)，其響應(yīng)y(t)=h(t)*ejt五、LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信25H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=H(j)ejt而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j)，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。所以：H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=H262、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j)ejtF(j)d

ejtF(j)H(j)d

ejt‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)?H(j)2、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j273、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是信號(hào)的傳輸，一類(lèi)是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則要求濾去或削弱不需要的成分，必然伴隨著失真。1、無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽螅敵鲂盘?hào)應(yīng)為

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關(guān)系為Y(j)=Ke–jtdF(j)

3、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是28系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏敚瑢?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：

(a)對(duì)h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)對(duì)H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿(mǎn)足以上條件即可。(2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：292、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱(chēng)為理想低通濾波器。c稱(chēng)為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫(xiě)為：(1)沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g2c()e-jtd]=可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)2、理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱(chēng)為理想30六、取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一、信號(hào)的取樣所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。這樣得到的離散信號(hào)稱(chēng)為取樣信號(hào)。六、取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連31沖激取樣

若s(t)是周期為T(mén)s的沖激函數(shù)序列Ts(t),則稱(chēng)為沖激取樣。如果f(t)是帶限信號(hào)[即f(t)的頻譜只在區(qū)間（-m，m)為有限值，而其余區(qū)間為0。設(shè)f(t)←→F(j)，取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)FS(j)=(1/2)F(j)*ωSωs(ω)ωS=2π/TSs(t)=Ts(t)←→ωSωs(ω)沖激取樣若s(t)是周期為T(mén)s的沖激函數(shù)序列Ts(t),32×=*=上面在畫(huà)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ωm

,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)。否則將發(fā)生混疊，而無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)?！?*=上面在畫(huà)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ω33七、序列的傅里葉分析1、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）具有周期性的離散時(shí)間信號(hào)可以表示為fN(k),其下標(biāo)N表示其周期為N，即有對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，周期信號(hào)fT(t)可以分解為一系列角頻率為nΩ(n=1,±1,±2,···)的虛指數(shù)ejnΩt(其中Ω=2π/T為基波角頻率)之和。類(lèi)似地，周期為N的序列fN(k)也可展開(kāi)為許多虛指數(shù)ejnΩk=ejn（2π/N）k（其中Ω=2π/N

為基波數(shù)字角頻率）之和。七、序列的傅里葉分析1、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）34稱(chēng)為離散傅里葉系數(shù)。稱(chēng)為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)。為書(shū)寫(xiě)方便，令并用DFS[·]表示離散傅里葉系數(shù)（正變換），以IDFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（逆變換），則有稱(chēng)為離散傅里葉系數(shù)。稱(chēng)為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)。為書(shū)寫(xiě)方便352、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)類(lèi)似，周期序列fN(k)在周期N→∞時(shí)，將變成非周期序列f(k),同時(shí)FN(n)的譜線(xiàn)間隔(Ω＝2π/N)趨于無(wú)窮小，成為連續(xù)譜。

當(dāng)N→∞時(shí)，nΩ＝n(2π/N)趨于連續(xù)變量θ(數(shù)字角頻率,單位為rad)。定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉變換(DiscreteTimeFourierTransform,DTFT)為:

可見(jiàn)，非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換F(ejθ)是θ的連續(xù)周期函數(shù)，周期為2π。通常它是復(fù)函數(shù)，可表示為：2、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)36定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉逆變換為:(InverseDiscreteTimeFourierTransform,IDTFT)通常用以下符號(hào)表示對(duì)序列f(k)求離散時(shí)間傅里葉正變換和逆變換:定義非周期序列f(k)的離散時(shí)間傅里葉逆變換為:(Inv37八、離散傅里葉變換及其性質(zhì)

離散傅里葉級(jí)數(shù)變換(DFS)無(wú)論在時(shí)域還是在頻域，只對(duì)N項(xiàng)求和，故可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算?？梢越柚x散傅里葉級(jí)數(shù)的概念，把有限長(zhǎng)序列作為周期性離散信號(hào)的一個(gè)周期來(lái)處理，從而定義了離散傅里葉變換(DiscreteFourierTransform，DFT)。設(shè)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度為N(在k=0到N-1的范圍)，則f(k)的離散傅里葉變換及其逆變換定義分別為八、離散傅里葉變換及其性質(zhì)離散傅里葉級(jí)數(shù)變換38F(n)(DFT)與F(ejθ)

(DTFT)的關(guān)系由于將有限長(zhǎng)序列f(k)看作周期為N的周期序列fN(k)的主值序列，故

與有限長(zhǎng)序列傅里葉變換的定義進(jìn)行比較得：F(n)(DFT)與F(ejθ)(DTFT)的關(guān)系39系統(tǒng)函數(shù)一、對(duì)于離散系統(tǒng)：其中：稱(chēng)H(z)的零點(diǎn)；稱(chēng)H(z)的極點(diǎn)。系統(tǒng)函數(shù)一、對(duì)于離散系統(tǒng)：其中：稱(chēng)H(z)的零點(diǎn)；稱(chēng)H402、離散系統(tǒng)H(z)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)：設(shè)H(z)的收斂域包含單位圓，對(duì)因果系統(tǒng)，H(z)的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)則令則2、離散系統(tǒng)H(z)與系統(tǒng)頻率響應(yīng)：設(shè)H(z)41二、系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性1、系統(tǒng)的因果性因果的即為物理可實(shí)現(xiàn)的

因果系統(tǒng)（連續(xù)的或者離散的）指的是，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵(lì)之前的系統(tǒng)。也就是說(shuō)，對(duì)于t=0(或k=0)接入的任意激勵(lì)，即對(duì)于任意的就稱(chēng)該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則為非因果系統(tǒng)。

如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都有二、系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性1、系統(tǒng)的因果性因果的即為42連續(xù)因果系統(tǒng)的充要條件：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋弘x散因果系統(tǒng)的充要條件：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)椋杭雌涫諗坑驗(yàn)槭諗孔鴺?biāo)以右的半平面。即其收斂域?yàn)榘霃降扔诘膱A外區(qū)域。連續(xù)因果系統(tǒng)的充要條件：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋弘x432、系統(tǒng)的穩(wěn)定性：穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：設(shè)計(jì)和分析中的關(guān)鍵問(wèn)題一個(gè)系統(tǒng)（連續(xù)的或離散的），如果對(duì)任意有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱(chēng)該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(BIBO)穩(wěn)定系統(tǒng)。2、系統(tǒng)的穩(wěn)定性：穩(wěn)定系統(tǒng)的定義：設(shè)計(jì)和分析中的關(guān)鍵問(wèn)題441.對(duì)于既是穩(wěn)定的又是因果的離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。其逆也是成立的，即若H(Z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)必是因果穩(wěn)定的。2.最小相位系統(tǒng)離散系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)。其逆系統(tǒng)也必然是最小相位系統(tǒng)。工程上用此性質(zhì)來(lái)消除失真。3.全通系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)關(guān)于單位圓鏡像對(duì)稱(chēng)，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定的全通系統(tǒng)，是最大相位系統(tǒng)。1.對(duì)于既是穩(wěn)定的又是因果的離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)極2.最小相45注：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列。②兩連續(xù)周期信號(hào)之和不一定是周期信號(hào)，而兩周期序列之和一定是周期序列。3、將t<0，f(t)=0的信號(hào)稱(chēng)為因果信號(hào)，將t≥0，f(t)=0的信號(hào)稱(chēng)為反因果信號(hào)。4、階躍函數(shù)ε(t)和沖激函數(shù)δ(t)不同于普通函數(shù)，稱(chēng)為奇異函數(shù)。注：①連續(xù)正弦信號(hào)一定是周期信號(hào)，而正弦序列不一定是周期序列46二、系統(tǒng)的特性1.連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)2.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)3.MIMO4.線(xiàn)性系統(tǒng)與非線(xiàn)性系統(tǒng)（齊次+可加）5.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)6.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)7.穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(.)也是有界時(shí)，則稱(chēng)該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定。即若│f(.)│<∞，其│yf(.)│<∞則稱(chēng)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

二、系統(tǒng)的特性47三、LTI系統(tǒng)的分析方法:時(shí)域和頻域1、時(shí)域:①齊次解+特解

齊次解是齊次微分方程

y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。yh(t)的函數(shù)形式由上述微分方程的特征根確定。特解的函數(shù)形式與激勵(lì)函數(shù)的形式有關(guān)。齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無(wú)關(guān)，稱(chēng)為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱(chēng)為強(qiáng)迫響應(yīng)。三、LTI系統(tǒng)的分析方法:時(shí)域和頻域48對(duì)于零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)為零，故有

yx(j)(0+)=yx(j)(0-)=y(j)(0-)對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有

yf(j)(0-)=0②沖激相應(yīng)由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)沖激響應(yīng)，記為h(t)。h(t)=T[{0},δ(t)]

輸入信號(hào)f(t)的零狀態(tài)相應(yīng)為對(duì)于零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)為零，故有49③信號(hào)卷積與卷積和③信號(hào)卷積與卷積和50

類(lèi)比：連續(xù)與離散基本信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)指數(shù)函數(shù)：復(fù)指數(shù)序列單位沖激信號(hào)：?jiǎn)挝浑A躍信號(hào)：正弦信號(hào)：虛指數(shù)信號(hào)：?jiǎn)挝幻}沖序列單位階躍序列正弦序列虛指數(shù)序列類(lèi)比：連續(xù)與離散基本信號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系復(fù)指數(shù)函數(shù)：復(fù)指數(shù)序列單位51

n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號(hào)f(t)可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號(hào)之和。Fn

是頻率為n的分量的系數(shù)，F(xiàn)0=A0/2為直流分量。一、周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系傅立葉變換和系統(tǒng)的頻域分析n=0,±1,±2，…表明：任意周期信號(hào)f(t)52周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形脈沖，其周期為T(mén)，如圖所示，求頻譜。令Sa(x)=sin(x)/x(取樣函數(shù)）周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)舉例：有一幅度為1，脈沖寬度為的周期矩形53,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)頻譜圖。設(shè)T=4τ畫(huà)圖。零點(diǎn)為所以，m為整數(shù)。特點(diǎn)：(1)周期信號(hào)的頻譜具有諧波(離散)性。譜線(xiàn)位置是基頻Ω的整數(shù)倍；(2)一般具有收斂性。總趨勢(shì)減小。,n=0,±1，±2，…Fn為實(shí)數(shù)，可直接畫(huà)成一個(gè)54譜線(xiàn)的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T一定，變小，此時(shí)（譜線(xiàn)間隔）不變。兩零點(diǎn)之間的譜線(xiàn)數(shù)目：1/=（2/）/(2/T)=T/

增多。(b)一定，T增大，間隔減小，頻譜變密。幅度減小。如果周期T無(wú)限增長(zhǎng)（這時(shí)就成為非周期信號(hào)），那么，譜線(xiàn)間隔將趨近于零，周期信號(hào)的離散頻譜就過(guò)渡到非周期信號(hào)的連續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小。（3）信號(hào)的能量主要集中在第一個(gè)零點(diǎn)以?xún)?nèi)，通常把0≤f≤1/這段頻率范圍成為周期矩形脈沖信號(hào)的頻帶寬度或信號(hào)的帶寬。譜線(xiàn)的結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系：(a)T一定，變小，此時(shí)（55周期信號(hào)的功率——Parseval等式含義：直流和n次諧波分量在1電阻上消耗的平均功率之和。周期信號(hào)一般是功率信號(hào)，其平均功率為表明：對(duì)于周期信號(hào)，在時(shí)域中求得的信號(hào)功率與在頻域中求得的信∑號(hào)功率相等。周期信號(hào)的功率——Parseval等式含義：直流和n次諧波分56二、非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換傅里葉變換非周期信號(hào)f(t)可看成是周期T→∞時(shí)的周期信號(hào)。前已指出當(dāng)周期T趨近于無(wú)窮大時(shí)，譜線(xiàn)間隔趨近于無(wú)窮小，從而信號(hào)的頻譜變?yōu)檫B續(xù)頻譜。各頻率分量的幅度也趨近于無(wú)窮小，不過(guò)，這些無(wú)窮小量之間仍有差別。為了描述非周期信號(hào)的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。令(單位頻率上的頻譜）稱(chēng)F(jω)為頻譜密度函數(shù)。二、非周期信號(hào)的頻譜—傅里葉變換傅里葉變換非57考慮到：T→∞，Ω→無(wú)窮小，記為dω；

nΩ→ω（由離散量變?yōu)檫B續(xù)量），而同時(shí)，∑→∫于是，F(xiàn)(jω)稱(chēng)為f(t)的傅里葉變換或頻譜密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)頻譜。∣F(jω)∣可看做是單位頻率的振幅。f(t)稱(chēng)為F(jω)的傅里葉反變換或原函數(shù)。根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)考慮到：T→∞，Ω→無(wú)窮小，記為dω；同時(shí)，∑→∫于是，F(xiàn)58門(mén)函數(shù)(矩形脈沖)帶寬△f=1//

沖激函數(shù)(t)均勻譜（白色頻譜）門(mén)函數(shù)(矩形脈沖)帶寬△f=1//沖激函數(shù)(t)均591.F變換對(duì)1.F變換對(duì)60傅立葉變換的重要性質(zhì)1、尺度變換性質(zhì)Iff(t)←→F(jω)then在時(shí)域中信號(hào)占據(jù)時(shí)間的壓縮對(duì)應(yīng)于其頻譜在頻域中信號(hào)占有頻帶的擴(kuò)展，即信號(hào)的持續(xù)時(shí)間與信號(hào)的占有頻帶成反比。在電子技術(shù)中，有時(shí)需要將信號(hào)的持續(xù)時(shí)間縮短，以加快信息傳輸速度，這就不得不在頻域內(nèi)展寬頻帶。2、頻移（調(diào)制）性質(zhì)Iff(t)←→F(jωthen)where“ω0”isrealconstant傅立葉變換的重要性質(zhì)1、尺度變換性質(zhì)Iff(t)←61三、能量譜和功率譜能量譜1.信號(hào)能量的定義：時(shí)間（-∞,∞）區(qū)間上信號(hào)的能量。信號(hào)(電壓或電流)f(t)在1Ω電阻上的瞬時(shí)功率為|f(t)|2,在區(qū)間（-T,T）的能量為如果信號(hào)能量有限，即0<E<∞，信號(hào)稱(chēng)為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)能量信號(hào)。例如門(mén)函數(shù)，三角形脈沖，單邊或雙邊指數(shù)衰減信號(hào)等。三、能量譜和功率譜能量譜1.信號(hào)能量的定義：時(shí)間（-∞,622.帕斯瓦爾方程（能量方程）：在頻帶df內(nèi)信號(hào)的能量為E

(ω)df，因而信號(hào)在整個(gè)頻率區(qū)間（-∞,∞）的總能量為：3.能量密度譜E

(ω)：(Energy-densitySpectrum)

為了表征能量在頻域中的分布情況，可以借助于密度的概念，定義一個(gè)能量密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為能量頻譜或能量譜。能量頻譜E

(ω)定義為單位頻率的信號(hào)能量。2.帕斯瓦爾方程（能量方程）：在頻帶df內(nèi)63上式與帕斯瓦爾公式進(jìn)行比較可知，能量密度譜E(ω)為：?jiǎn)挝活l率的幅度單位頻譜的信號(hào)能量上式與帕斯瓦爾公式進(jìn)行比較可知，能量密度譜E64功率譜由信號(hào)能量和功率的定義可知，若信號(hào)能量E有限，則P=0；若信號(hào)功率P有限，則E=∞。1.信號(hào)功率：定義為時(shí)間（-∞,∞）區(qū)間上信號(hào)f(t)的平均功率，用P表示。如果信號(hào)功率有限，即0<P<∞，信號(hào)稱(chēng)為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱(chēng)功率信號(hào)。如階躍信號(hào)，周期信號(hào)等。如果f(t)為實(shí)函數(shù)，則功率譜由信號(hào)能量和功率的定義可知，若信號(hào)能量65功率有限信號(hào)的能量趨于無(wú)窮大，即從f(t)中截取|t|≤T/2的一段，得到一個(gè)截尾函數(shù)fT(t)，它可以表示為：如果T是有限值，則fT(t)的能量也是有限的。令fT(t)的能量ET可表示為：由于功率有限信號(hào)的能量趨于無(wú)窮大，即從f(t)中截取|66f(t)的平均功率為：當(dāng)T增加時(shí)，fT(t)的能量增加，|FT(jω)|2也增加。當(dāng)T→∞時(shí)，fT(t)→f(t)，此時(shí)|FT(jω)|2/T可能趨于一極限。比較得：2.功率密度譜：類(lèi)似于能量密度譜，定義功率密度譜函數(shù)P

(ω)為單位頻率的信號(hào)功率。從而平均功率：f(t)的平均功率為：當(dāng)T增加時(shí)，fT(t)67功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)P

(ω)與自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一對(duì)傅里葉變換。3、功率譜函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系上式稱(chēng)為維納—辛欣關(guān)系。由于隨機(jī)信號(hào)不能用頻譜表示，但是利用自相關(guān)函數(shù)可以求得其功率譜，用功率譜來(lái)描述隨機(jī)信號(hào)的頻域特性。功率有限信號(hào)的功率譜函數(shù)P(ω)與自相關(guān)函數(shù)R(τ)是一68四、周期信號(hào)的傅里葉變換由上式可知：周期信號(hào)的頻譜是離散的注：對(duì)周期函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換時(shí)，得到的是頻譜密度；而將該函數(shù)展開(kāi)為傅立葉級(jí)數(shù)時(shí)，得到的是傅立葉系數(shù)，代表的是虛指數(shù)分量的幅度和相位。四、周期信號(hào)的傅里葉變換由上式可知：周期信號(hào)的頻譜是離散的69

五、LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信號(hào)分解為無(wú)窮多項(xiàng)不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和。對(duì)周期信號(hào)：對(duì)非周期信號(hào)：其基本信號(hào)為ejt1、基本信號(hào)ejt作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)設(shè)LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為h(t)，當(dāng)激勵(lì)是角頻率ω的基本信號(hào)ejt時(shí)，其響應(yīng)y(t)=h(t)*ejt五、LTI系統(tǒng)的頻域分析傅里葉分析是將任意信70H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=H(j)ejt而上式積分正好是h(t)的傅里葉變換，記為H(j)，常稱(chēng)為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)。所以：H(j)反映了響應(yīng)y(t)的幅度和相位。y(t)=H712、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j)ejtF(j)d

ejtF(j)H(j)d

ejt‖f(t)‖y(t)=F

–1[F(j)H(j)]Y(j)=F(j)?H(j)2、一般信號(hào)f(t)作用于LTI系統(tǒng)的響應(yīng)ejtH(j723、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是信號(hào)的傳輸，一類(lèi)是濾波。傳輸要求信號(hào)盡量不失真，而濾波則要求濾去或削弱不需要的成分，必然伴隨著失真。1、無(wú)失真?zhèn)鬏?/p>

（1）定義：信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏斒侵赶到y(tǒng)的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)相比，只有幅度的大小和出現(xiàn)時(shí)間的先后不同，而沒(méi)有波形上的變化。即輸入信號(hào)為f(t)，經(jīng)過(guò)無(wú)失真?zhèn)鬏敽?，輸出信?hào)應(yīng)為

y(t)=Kf(t–td)

其頻譜關(guān)系為Y(j)=Ke–jtdF(j)

3、無(wú)失真?zhèn)鬏斉c濾波系統(tǒng)對(duì)于信號(hào)的作用大體可分為兩類(lèi)：一類(lèi)是73系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏敚瑢?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：

(a)對(duì)h(t)的要求：

h(t)=K(t–td)(b)對(duì)H(j)的要求：

H(j)=Y(j)/F(j)=Ke-jtd即

H(j)=K,θ()=–td

上述是信號(hào)無(wú)失真?zhèn)鬏數(shù)睦硐霔l件。當(dāng)傳輸有限帶寬的信號(hào)是，只要在信號(hào)占有頻帶范圍內(nèi)，系統(tǒng)的幅頻、相頻特性滿(mǎn)足以上條件即可。(2)無(wú)失真?zhèn)鬏敆l件：系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)無(wú)失真?zhèn)鬏?，?duì)系統(tǒng)h(t)，H(j)的要求是：742、理想低通濾波器

具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱(chēng)為理想低通濾波器。c稱(chēng)為截止角頻率。理想低通濾波器的頻率響應(yīng)可寫(xiě)為：(1)沖激響應(yīng)

h(t)=?-1[g2c()e-jtd]=可見(jiàn)，它實(shí)際上是不可實(shí)現(xiàn)的非因果系統(tǒng)2、理想低通濾波器具有如圖所示幅頻、相頻特性的系統(tǒng)稱(chēng)為理想75六、取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連續(xù)信號(hào)完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號(hào)的全部信息，利用這些樣本值可以恢復(fù)原信號(hào)?？梢哉f(shuō)，取樣定理在連續(xù)信號(hào)與離散信號(hào)之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。一、信號(hào)的取樣所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列s(t)從連續(xù)信號(hào)f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過(guò)程。這樣得到的離散信號(hào)稱(chēng)為取樣信號(hào)。六、取樣定理取樣定理論述了在一定條件下，一個(gè)連76沖激取樣

若s(t)是周期為T(mén)s的沖激函數(shù)序列Ts(t),則稱(chēng)為沖激取樣。如果f(t)是帶限信號(hào)[即f(t)的頻譜只在區(qū)間（-m，m)為有限值，而其余區(qū)間為0。設(shè)f(t)←→F(j)，取樣信號(hào)fS(t)的頻譜函數(shù)FS(j)=(1/2)F(j)*ωSωs(ω)ωS=2π/TSs(t)=Ts(t)←→ωSωs(ω)沖激取樣若s(t)是周期為T(mén)s的沖激函數(shù)序列Ts(t),77×=*=上面在畫(huà)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ωm

,這時(shí)其頻譜不發(fā)生混疊，因此能設(shè)法(如利用低通濾波器)，從FS(j)中取出F(j)，即從fS(t)中恢復(fù)原信號(hào)f(t)。否則將發(fā)生混疊，而無(wú)法恢復(fù)原信號(hào)?！?*=上面在畫(huà)取樣信號(hào)fS(t)的頻譜時(shí)，設(shè)定ωS≥2ω78七、序列的傅里葉分析1、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）具有周期性的離散時(shí)間信號(hào)可以表示為fN(k),其下標(biāo)N表示其周期為N，即有對(duì)于連續(xù)時(shí)間信號(hào)，周期信號(hào)fT(t)可以分解為一系列角頻率為nΩ(n=1,±1,±2,···)的虛指數(shù)ejnΩt(其中Ω=2π/T為基波角頻率)之和。類(lèi)似地，周期為N的序列fN(k)也可展開(kāi)為許多虛指數(shù)ejnΩk=ejn（2π/N）k（其中Ω=2π/N

為基波數(shù)字角頻率）之和。七、序列的傅里葉分析1、周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS）79稱(chēng)為離散傅里葉系數(shù)。稱(chēng)為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)。為書(shū)寫(xiě)方便，令并用DFS[·]表示離散傅里葉系數(shù)（正變換），以IDFS[·]表示離散傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式（逆變換），則有稱(chēng)為離散傅里葉系數(shù)。稱(chēng)為周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)。為書(shū)寫(xiě)方便802、非周期序列的離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)與連續(xù)時(shí)間信號(hào)類(lèi)似，周期序列fN(k)在周期N→∞時(shí)，將變成非周期序列f(k),同時(shí)F