第七節(jié)高階線性微分方程二階線性微分方程二階線性齊次微分方程二階線性非齊次微分方程n階線性微分方程特點未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次冪本節(jié)只討論二階線性微分方程所得概念和結(jié)論很容易推廣到高階方程的情形一、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階齊次方程解的結(jié)構(gòu):證畢是二階線性齊次方程的兩個解,也是該方程的解.證:代入方程左邊,得(疊加原理)定理1.問題:不一定是所給二階方程的通解.例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解并不是通解但是則為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念.定義:是定義在區(qū)間I

上的

n個函數(shù),使得則稱這

n個函數(shù)在I

上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān).例如，

在(,)上都有故它們在任何區(qū)間I

上都線性相關(guān);又如，若在某區(qū)間

I

上則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為0,可見在任何區(qū)間

I

上都線性無關(guān).若存在不全為0

的常數(shù)兩個函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件:線性相關(guān)存在不全為0的使(無妨設(shè)線性無關(guān)常數(shù)思考:中有一個恒為0,則必線性相關(guān)定理2.是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解,則數(shù))是該方程的通解.例如,方程有特解且常數(shù),故方程的通解為推論.是

n

階齊次方程的n

個線性無關(guān)解,則方程的通解為二、線性非齊次方程解的結(jié)構(gòu)是二階非齊次方程的一個特解,Y(x)是相應(yīng)齊次方程的通解,定理3.則是非齊次方程的通解.證:

將代入方程①左端,得②①是非齊次方程的解,又Y中含有兩個獨立任意常數(shù),例如,

方程有特解對應(yīng)齊次方程有通解因此該方程的通解為證畢因而②也是通解.定理4.分別是方程的特解,是方程的特解.(非齊次方程之解的疊加原理)定理3,定理4均可推廣到n

階線性非齊次方程.定理5.是對應(yīng)齊次方程的n

個線性無關(guān)特解,給定n

階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解例1

已知求該微分方程的通解。是二階非齊次線性微分方程的三個特解，例2.

已知微分方程個解求此方程滿足初始條件的特解.解:是對應(yīng)齊次方程的解,且常數(shù)因而線性無關(guān),故原方程通解為代入初始條件故所求特解為有三常數(shù),則該方程的通解是().設(shè)線性無關(guān)函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解,是任意例3.提示:都是對應(yīng)齊次方程的解,二者線性無關(guān).作業(yè)P3001(6)(8)(10);3;4(2),(5)

第八節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、定義n階常系數(shù)線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式基本思路:求解常系數(shù)線性齊次微分方程求特征方程(代數(shù)方程)之根轉(zhuǎn)化二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-----特征方程法將其代入上方程,得故有特征方程特征根特點未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于0即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子猜想有特解:

有兩個不相等的實根特征根為兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為

有兩個相等的實根特征根為一特解為得齊次方程的通解為

有一對共軛復(fù)根特征根為重新組合得齊次方程的通解為

由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.方法步驟:①寫出特征方程②求出特征根③按特征根的三種不同情況依下表寫出齊通解

特征根

齊通解例1求通解解特征方程為特征根為齊通解為例2解特征方程為解得故所求通解為例3解特征方程為解得故所求通解為例4:則通解為:則特解為:1.已知二階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程的一個特征根為，求此微分方程及方程的通解．

練習(xí)答案:2.求方程的通解.答案:通解為通解為通解為三、n階常系數(shù)齊次線性方程解法特征方程為推廣到n階常系數(shù)線性齊次方程:特征方程注意n次代數(shù)方程有n個根,而特征方程的每一個根都對應(yīng)著通解中的一項,且每一項各含一個任意常數(shù).實重根復(fù)單根復(fù)重根實單根幾種情況每個根對應(yīng)通解中的一項其寫法與二階方程的情形完全類似具體分為例5.的通解.解:特征方程特征根:因此原方程通解為例6.解:

特征方程:特征根:原方程通解:(不難看出,原方程有特解例7解特征方程為解得故所求通解為例8.解:

特征方程:特征根為則方程通解:練習(xí)解特征方程為特征根為故所求通解為四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程