2005年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（浙江卷）數(shù)學(xué)（理工類）第Ⅰ卷(選擇題共50分)一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。123n（）1．limn2nA．2B．1C．1D．022．點(diǎn)（1，－1）到直線xy10的距離是（）A．1B．3C．2D．322222|x1|2,|x|1,13．設(shè)f(x)1則f[f()]（）2,1|x|1,2x14C．925A．B．5D．213414．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i3i)2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）(11iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限5．在(1x)5(1x)6(1x)7(1x)8的睜開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是（）A．74B．121C．－74D．－1216．設(shè)α、β為兩個(gè)不一樣的平面，l、m為兩條不一樣的直線，且l,m.有以下兩個(gè)命題：①若//,則l//m；②若lm,則.那么（）A．①是真命題，②是假命題B．①是假命題，②是真命題C．①②都是真命題D．①②都是假命題7．設(shè)會(huì)合A{(x,y)|x,y,1xy是三角形的三邊長(zhǎng)}，則A所表示的平面地區(qū)（不含邊界的暗影部分）是（）yyyy0.50.50.50.5o0.5xo0.5xo0.5xo0.5xA．B．C．D．8．已知k4，則函數(shù)ycos2xk(cosx1)的最小值是（）A．1B．－1C．2k1D．2k19．設(shè)f(n)2n1(nN),P{1,2,3,4,5},Q{3,4,5,6,7}.記P{nN|f(n)P}，Q{nN|f(n)Q},則(PQ)(QP)（）A．{0，3}B．{1，2}C．{3，4，5}D．{1，2，6，7}10．已知向量a≠e，|e|=1滿足：對(duì)隨意tR，恒有|a－te|≥|a－e|.則（）A．a(chǎn)⊥eB．⊥（a－）C．e⊥（a－）D．（+）⊥（a－）aeeaee第Ⅱ卷（非選擇題共100分）二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分.把答案填在題中橫線上.11．函數(shù)yxR，且x2)的反函數(shù)是.(xx212．設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DE⊥AB于E(如圖).現(xiàn)將△ADE沿DE折起，使二面角A—DE—B為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為點(diǎn)B，

DCMNAEB則M、N的連線與AE所成角的大小等于.x2y2x軸的直線與雙曲線訂交于M、13．過雙曲線1(a0,b0)的左焦點(diǎn)且垂直于a2b2N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰巧過雙曲線的右極點(diǎn)，則雙曲線的離心率等于.14．從會(huì)合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2個(gè)元素排成一排（字母和數(shù)字均不可以重復(fù)）.每排中字母O、Q和數(shù)字0至多只出現(xiàn)一個(gè)的不一樣排法種數(shù)是（用數(shù)字作答）.三、解答題：本大題共6小題，每題14分，共84分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)f(x)3sin2xsinxcosx.（Ⅰ）求f25)的值；(6（Ⅱ）設(shè)(0,),f( )13的值.42,求sin216．已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)x22x.（Ⅰ）求函數(shù)g(x)的分析式；（Ⅱ）解不等式g(x)f(x)|x1|.17．如圖，已知橢圓的中心在座標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)

F1、F2在

x軸上，長(zhǎng)軸

A1A2的長(zhǎng)為

4，左準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為M，|MA1|∶|A1F1|=2∶1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若直線l1:xm(|x|1),P為l1上的動(dòng)點(diǎn)，使F1PF2最大的點(diǎn)P記為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用m表示）.l1lyPMA1F1oF2A2x18．如圖,在三棱錐P—ABC中,ABBC,ABBCkPA,點(diǎn)O、D分別是AC、PC的中點(diǎn),OP⊥底面ABC.（Ⅰ）求證OD//平面PAB；1（Ⅱ）當(dāng)k時(shí)，求直線PA與平面PBC所成角的大小;2（Ⅲ）當(dāng)k取何值時(shí)，O在平面PBC內(nèi)的射影恰巧為△PBC的重心?PDAoCB19．袋子A和B中裝有若干個(gè)平均的紅球和白球,從A中摸出一個(gè)紅球的概率是1，從B3中摸出一個(gè)紅球的概率為p.（Ⅰ）從A中有放回地摸球,每次摸出一個(gè),有3次摸到紅球即停止.(i)求恰巧摸5次停止的概率;(ii)記5次以內(nèi)(含5次)摸到紅球的次數(shù)為,求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)希望E.（Ⅱ）若A、B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為1∶2，將A、B中的球裝在一同后,從中摸出一2求p的值.個(gè)紅球的概率是,520．設(shè)點(diǎn)An(xn,0),Pn(xn.2n1)和拋物線Cn:yx2anxbn(nN),此中an24n1,xn由以下方法獲得：x11,點(diǎn)P2(x2,2)在拋物線2n1C1:yx2xb1上，點(diǎn)A（x，0）到P的距離是A到C上的最短距離，，11211點(diǎn)Pn1(xn1,2n)在拋物線上Cn:yx2anxbn上，點(diǎn)An(xn,0)到Pn1的距離是An到Cn上點(diǎn)的最短距離.（Ⅰ）求x2及C1的方程；（Ⅱ）證明{xn}是等差數(shù)列.數(shù)學(xué)試題（理科）參照答案一．選擇題：此題觀察基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每題5分，滿分50分。1）C（2）D（3）B（4）B（5）D（6）D（7）A（8）A（9）A（10）C二．填空題：此題觀察基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每題４分，滿分１６分。(11)y2x°(13)2(14)8424(xR,且x1)(12)901x三．解答題此題主要觀察三角函數(shù)的倍角公式、兩角和的公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本的運(yùn)算能力。滿分14分。解:(I)sin2512536,cos,262f(25)22525cos2563sin6sin066(II)3312x.f(x)cos2xsin222f()31313cossin24,222224sin110解得sin13516sin8(0,),sin0,135故sin8此題主要觀察函數(shù)圖象的對(duì)稱、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及運(yùn)算和推理能力。滿分14分。解：（I）設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象上任一點(diǎn)Q(x0,y0)對(duì)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P(x,y),x0x0,2x0x,則即點(diǎn)Q(x0,y0)在函數(shù)yf(x)的圖象上，x0yy0y.0,2y22x,即y22x,故g(x)＝x22x.xx(II)由g(x)f(x)|x1|可得。|2x2|x1|0當(dāng)x1時(shí)，2x2x10此時(shí)不等式無解。當(dāng)x1時(shí)2x2x101x12所以，原不等式的解集為[－1，1].2（17）此題主要觀察橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓方程，兩條直線的夾角、點(diǎn)的坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，觀察分析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分14分。解：（Ｉ）設(shè)橢圓方程為x2y21(ab0),半焦距為c,則|MA1|a2a2b2a，c2aa2(ac),c|A1F1|ac由題意，得2a4,a2,b3,c1.222abc.22故橢圓方程為xy143（II）設(shè)P(m,y0),|m|1,當(dāng)y00時(shí),F1PF20,當(dāng)y00時(shí),0F1PF2PF1M,只要求tanF1PF2的最大值即可.2設(shè)直線PF1的斜率k1y0,直線PF2的斜率k2y0,m1m1tanF1PF2|k2k1|2|y0|2|y0|1.2221k1k2m1y02m211|y0|m當(dāng)且僅當(dāng)21|y0|時(shí),F1PF2最大，Q(m,21),|m|1.mm此題主要觀察空間線面關(guān)系、空間線面關(guān)系、空間向量的看法與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)觀察空間想象能力和推理運(yùn)算能力。滿分14分。解：方法一：（Ｉ）O、D分別為AC、PC的中點(diǎn)。OD//PA又PA平面PAB.OD//平面PAB.(Ⅱ)ABBC,OAOCOAOBOC,又OP平面ABCPAPBPC.取BC中點(diǎn)Ｅ，連接PE,則BC平面POE.作OFPE于F,連接DF,則OF平面PBC,ODF是OD與平面PBC所成的角。又OD//PA,PA與平面PBC所成角的大小等于ODF。在RtODF中，sinODFOF210OD30PA與平面PBC所成的角為arcsin210.30（Ⅲ）由（Ⅱ）知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC內(nèi)的射影。D是PC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F是PBC的重心，則B、F、D三點(diǎn)共線，直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD。OBPCPCBDPBBC，即K1。反之，當(dāng)K1時(shí)，三棱錐OPBC為正三棱錐，在平面PBC內(nèi)的射影為PBC的重心。方法二:OP平面ABC,OAOC,ABBC,OAOB,OAOP,OBOP.以O(shè)為原點(diǎn)，射線OP為非負(fù)z軸，成立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(如圖)，設(shè)ABa，則A(222a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0).222設(shè)OPh,則P(0,0,h)D為PC的中點(diǎn)，(21PA2a,0,h)a,0,h)(OD＝42，又2,OD1OD//PAOD//平面PAB.PA2(Ⅱ)k12ah7,即PAa227PA(a,0,a),22可求得平面PBC的法向量n(1,1,1PAn),cosPA,n7|PA||n|設(shè)PA與平面PBC所成的角為,則sin|cos210PA,n|30PA與平面PBC所成的角為arcsin210

210.3030(Ⅲ)PBC2a,21OG(221的重心G(a,h),a,a,h)663663OG平面PBC.OGPB.又PB(0,2a,h)2OGPB1a21h20.h2a.PAOA2h2a,即k1.632反之，當(dāng)k1時(shí)，三棱椎OPBC為正三棱錐，在平面PBC內(nèi)的射影為PBC的重心。（19）此題主要觀察互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)希望等看法，同時(shí)觀察學(xué)生的邏輯思想能力。滿分14分。解：（I）（i）C42(1)2(2)218.33381(ii)隨機(jī)變量的取值為0,1,2,3.由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式P(k)Ckpk(1p)nk得nnP(0)C0(11)532,P(1)111)480,5243C53(124333P(2)C212(11)380,P(3)32802175( )32431243.381隨機(jī)變量的分布列是0123P3280801724324324381的數(shù)學(xué)希望是E3208018021713124324324381381（Ⅱ）設(shè)袋子A有m個(gè)球，則袋子B中有2m個(gè)球。1m2mp由32,13得p.3m530（20）此題主要觀察二次函數(shù)的求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、等差數(shù)列、數(shù)學(xué)概括法等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和解決問題的能力。滿分14分。解：（I）由題意，得A1(1,0),C1:y27xb1x設(shè)點(diǎn)P(x,y)是C1是上任意一點(diǎn)，則|AP|(x1)2y2(x1)2(x27xb)211令f(x)(x1)2(x27xb)2,1則f'(x)2(x1)2(x27xb1)(2x7).'即2(x22由題意，得f(x2)0,1)2(x27x2b1)(2x27)0.又1上，2解得x23,b114.P2(x2,2)在C27x2b1x22故C1方程為yx7x14.設(shè)點(diǎn)P(x,y)是Cn上隨意一點(diǎn)，令g(x)(xxn)2g'(x)2(xxn)2(x2anxbn)(2x由題意得g(xn1)0，即2(xn1

則|AnP|(xxn)2(x2anxbn)2an).xn