專題15指數(shù)函數(shù)A組基礎(chǔ)鞏固1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，且，則=（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得函數(shù)，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，因?yàn)?，可得，解得，即，所?故選：B.2．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)且關(guān)于x的函數(shù)圖象必過(guò)定點(diǎn)(

)A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0，1)可求解.【詳解】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，故函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，過(guò)定點(diǎn)(0，1)，則過(guò)定點(diǎn)(0，5).故選：C.3．（2021·上海交大附中高一期中）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】判斷b的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的開口方向，判斷函數(shù)的圖象即可．【詳解】解：函數(shù)的是指數(shù)函數(shù)，且，排除選項(xiàng)C，如果，二次函數(shù)的開口方向向上，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且有另一個(gè)零點(diǎn)：，所以B正確；對(duì)稱軸在x軸左側(cè)，C不正確；如果，二次函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，所以D不正確．故選：B．4．（2022·浙江·高三學(xué)業(yè)考試）函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可得函數(shù)是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖像即可得出答案.【詳解】解：由，得函數(shù)是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，且函數(shù)為減函數(shù)，故D選項(xiàng)符合題意.故選：D.5．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)冪的性質(zhì)比較各指數(shù)式的大小.【詳解】由，又，而，故，綜上，.故選：B6．（2021·河北·石家莊二中高一開學(xué)考試）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】先將改寫為，再利用函數(shù)的單調(diào)性判斷即可【詳解】由題,，對(duì)于指數(shù)函數(shù)可知在上單調(diào)遞增,因?yàn)椋?，即故選：D7．（2022·山西·高二期末）已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及中間值即可求解.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，所以，即，又因?yàn)椋?故選：A.8．（2022·江西省銅鼓中學(xué)高一期末）函數(shù)，（且）的圖象必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】令指數(shù)為，求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：令，解得，所以當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)過(guò)定點(diǎn).故選：B9．（2021·安徽省定遠(yuǎn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】【分析】由每段函數(shù)單調(diào)遞增和端點(diǎn)的大小關(guān)系可得.【詳解】由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得．即的最大值為1.故選：B10．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以不等式即為，在坐標(biāo)系中作出的圖象，如圖所示：因?yàn)槎冀?jīng)過(guò)，因?yàn)榈膱D象在圖象的下方，由圖象知：不等式的解集是，故選：B11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域和值域的交集為空集，則正數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先得到函數(shù)的定義域，再分析當(dāng)時(shí)的取值，即可得到，再對(duì)時(shí)分和兩種情況討論，求出此時(shí)的取值，即可得到的值域，從而得到不等式，解得即可；【詳解】解：因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，所以；要使定義域和值域的交集為空集，顯然，當(dāng)時(shí)，若則，此時(shí)顯然不滿足定義域和值域的交集為空集，若時(shí)在上單調(diào)遞減，此時(shí)，則，所以，解得，即故選：B12．（2020·河南·登封市第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”來(lái)解題.【詳解】設(shè)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，根據(jù)“同增異減”可得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A.13．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的最小值為2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】注意觀察時(shí)，，所以讓時(shí)，恒成立即可，根據(jù)參變分離和換元方法即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)榈淖钚≈禐?，，所以需要當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在恒成立，所以在恒成立，即在恒成立，令，則，原式轉(zhuǎn)化為在恒成立，是二次函數(shù)，開口向下，對(duì)稱軸為直線，所以在上最大值為，所以，故選：D.14．（2021·上海交大附中高一期中）若指數(shù)函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則指數(shù)函數(shù)的解析式為___．【答案】【解析】【分析】設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為（a＞0且a≠1）,代入計(jì)算即可得解.【詳解】解：設(shè)指數(shù)函數(shù)的解析式為（a＞0且a≠1），∴，解得，∴.故答案為：.15．（2022·河南·汝州市第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)__________.【答案】【解析】【分析】先求出，再分和代入不同解析式解出即可.【詳解】.當(dāng)，即時(shí)，，則0，與相矛盾，舍去.當(dāng)，即時(shí)，，則，即，滿足.故.故答案為：1.16．（2022·甘肅·甘南藏族自治州合作第一中學(xué)高一期末）函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是____.【答案】【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理求解.【詳解】解：由題得函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè)函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：17．（2022·山東煙臺(tái)·高一期末）已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】【分析】由題意可得，計(jì)算不等式組即可求得結(jié)果.【詳解】∵函數(shù)的值域?yàn)?，又?dāng)時(shí)，，∴，解得.故答案為：.18．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知函數(shù)則______．【答案】【解析】【分析】直接由分段函數(shù)解析式求函數(shù)值即可.【詳解】由題意知：，則.故答案為：.19．（2021·河南·扶溝縣第二高中高一階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開________________.【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，故函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.20．（2021·云南文山·高二期末（理））當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)開__________．【答案】【解析】【分析】求出的取值范圍，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋瑒t，故.故答案為：.21．（2021·云南文山·高二期末（文））當(dāng)，函數(shù)的值域?yàn)開_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即得．【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，故函數(shù)的值域?yàn)椋蚀鸢笧椋海?2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】結(jié)合分式型，二次根號(hào)型函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題知，，所以的定義域?yàn)?，故答案為?23．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合求出的取值范圍，進(jìn)而求出的取值范圍，即可求出函數(shù)的最大值.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，所以，即的取值范圍是，所以函數(shù)的最大值為，故答案為：.24．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開__________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性分別求出在上、在上函數(shù)值集合，再求并集作答.【詳解】依題意，在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：25．（2018·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高三階段練習(xí)（理））函數(shù)的定義域?yàn)開__________【答案】【解析】【分析】利用根號(hào)的性質(zhì)及指數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】由題，即，即，因?yàn)闉閱握{(diào)遞增函數(shù)，所以，即故答案為：26．（2022·湖南邵陽(yáng)·高一期末）函數(shù)的值域?yàn)開_____．【答案】【解析】【分析】先求得的取值范圍，再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】由于，在上單調(diào)遞減，所以，所以函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若，則t的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】探討給定函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式作答.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)取“=”，在上單調(diào)遞增，，因此，函數(shù)在上R單調(diào)遞增，而，則有，解得，所以t的取值范圍是.故答案為：

B組能力提升28．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）（多選題）函數(shù)y＝(a2－4a＋4)ax是指數(shù)函數(shù)，則a的值不可以是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，列出方程，得出a的值.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的定義知a2－4a＋4＝1且a≠1，解得a＝3.故選：ACD.29．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高一期中）（多選題）下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念依次判斷即可得答案.【詳解】解：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義，形如（且）的函數(shù)，其系數(shù)為，故A選項(xiàng)不滿足形式；B選項(xiàng)的系數(shù)為；C選項(xiàng)，滿足；D選項(xiàng)滿足.故選：CD30．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市第八中學(xué)校高一開學(xué)考試）（多選題）已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的圖象可能是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】【分析】依題意可得、兩個(gè)數(shù)一個(gè)大于，一個(gè)大于且小于，再分類討論，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷即可；【詳解】解：令，解得、，根據(jù)二次函數(shù)圖形可知，、兩個(gè)數(shù)一個(gè)大于，一個(gè)大于且小于，①當(dāng)，時(shí)，則在定義域上單調(diào)遞增，且，即，所以滿足條件的函數(shù)圖形為C；②當(dāng)，時(shí)，則在定義域上單調(diào)遞減，且，所以滿足條件的函數(shù)圖形為A；故選：AC31．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．任意，函數(shù)的值域?yàn)锽．任意，函數(shù)都有零點(diǎn)C．任意，存在函數(shù)滿足D．當(dāng)時(shí)，任意【答案】BD【解析】【分析】畫出分段函數(shù)圖像，根據(jù)圖像逐項(xiàng)分析即可得到結(jié)果【詳解】設(shè)函數(shù)和的左右兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)于選項(xiàng)A，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，的值域不為，故A錯(cuò)誤對(duì)于選項(xiàng)B，由圖像可知，無(wú)論a取何值，函數(shù)都有零點(diǎn)，故B正確對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，由圖像可知所以不存在函數(shù)滿足對(duì)于選項(xiàng)D，若，，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以對(duì)于任意成立若，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，所以對(duì)于任意成立當(dāng)，不在同一區(qū)間時(shí)，因?yàn)?，所以的圖像在的圖像的上方，所以也滿足對(duì)于任意成立故D正確故選：BD32．（2021·江蘇·無(wú)錫市市北高級(jí)中學(xué)高一期中）（多選題）已知函數(shù)是上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A．4 B．3 C． D．【答案】CD【解析】【分析】由已知結(jié)合指數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)及分段函數(shù)單調(diào)性要求建立關(guān)于的不等式組，解不等式可求.【詳解】解：因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，解得.故選：CD.33．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選題）函數(shù)在下列哪些區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，由此可得到正確選項(xiàng).【詳解】由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)符合題意.故選：ACD.34．（2021·江西景德鎮(zhèn)·高一期末）函（多選題）數(shù)的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹=[1，2]，下列結(jié)論一定正確的是（

）A．-1M B．1MC．M D．M【答案】ABCD【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)的值域求出定義域，進(jìn)而作出判斷.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)值域?yàn)椋?，即，即，即，所以，函?shù)定義域?yàn)?，ABCD均正確.故選：ABCD35．（2022·廣東深圳·高一期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).(1)若，求的值；(2)若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到，即可求出，從而得到的解析式，再解方程即可；（2）首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合奇偶性與單調(diào)性得到在上恒成立，參變分離可得，恒成立，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可得解；(1)解：因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，即，解得，所以，即，則，符合題意，又，即，即，即，即，解得(2)解：因?yàn)?，所以在定義域上單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在恒成立，等價(jià)于在上恒成立，即在上恒成立，即，恒成立，令，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，、，所以，所以，即；36．（2021·四川·德陽(yáng)五中高一階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性；(2)判斷的單調(diào)性并證明；(3)若不等式在上有解，求的最大值.【答案】(1)奇函數(shù)(2)是上的增函數(shù)，證明見(jiàn)解析(3)【解析】【分析】（1）利用奇偶性定義直接判斷即可；（2）令，可得，由單調(diào)性定義可得結(jié)論；（3）將不等式化為，令，由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可求得，由此可得結(jié)論.(1)由題意知：定義域?yàn)?，，為上的奇函?shù).(2)是上的增函數(shù)，證明如下：令，則；，，，，是上的增函數(shù).(3)由得：；當(dāng)時(shí)，，令，在上單調(diào)遞增，，即，，則的最大值為.37．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)；(1)求a的值，使得f（x）為奇函數(shù)；(2)若對(duì)任意x∈R成立，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)性質(zhì)可得a的值，然后驗(yàn)證奇偶性可得；（2）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題，通過(guò)分類討論可解.(1)因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，可得因?yàn)?，所以時(shí)為奇函數(shù)，所以(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，，顯然不滿足題意.綜上所述，38．（2021·安徽宿州·高一期中）已知函數(shù)，集合．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值以及取到最大值時(shí)的取值．在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在（2）問(wèn)中的橫線上，并求解．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）令，，結(jié)合二次函數(shù)的對(duì)稱軸求解即可；（2）選擇條件后，根據(jù)的范圍和對(duì)稱軸求最大值即可.(1)由題知，令，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，等價(jià)于時(shí)函數(shù)的最小值為.易知二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為且，故函數(shù)最小值為則要求，即.(2)選擇①，由（1）知，，此時(shí)函數(shù)的最大值為，取最大值時(shí)，即.選擇②，由（1）知，，此時(shí)函數(shù)的最大值為，取最大值時(shí)，即.選擇③，由（1）知，，此時(shí)函數(shù)的最大值為，取最大值時(shí)，即.39．（2021·全國(guó)·高一課前預(yù)習(xí)）（1）已知函數(shù)．①求函數(shù)的定義域、值域；②確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（2）畫出函數(shù)的圖象，并依據(jù)圖象指出它的相關(guān)性質(zhì)．【答案】（1）①定義為，值域?yàn)椋虎谠谏鲜菧p函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2）答案見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）①利用二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求復(fù)合函數(shù)的定義域和值域，②根據(jù)指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）寫出原函數(shù)的分段函數(shù)形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象確定它的單調(diào)性、定義域、值域、對(duì)稱性等.【詳解】（1）①設(shè)，由及的定義域都是，故函數(shù)的定義為．∵，∴，又，故原函數(shù)值域?yàn)椋诤瘮?shù)在上增函數(shù)，即對(duì)任意且，有，而，即，所以原函數(shù)在上是減函數(shù)，同理：原函數(shù)在上是增函數(shù).（2），圖象和性質(zhì)如下，①對(duì)稱性：對(duì)稱軸為；②單調(diào)性：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③定義域?yàn)镽，值域：.40．（2022·河南·林州一中高一開學(xué)考試）已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為．(1)求a的值，并求出在上的解析式；(2)若對(duì)任意的，總有，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】(1)-3，；(2).【解析】【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)有即可求參數(shù)a，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)解析式即可.（2）由（1），應(yīng)用換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)可知在上恒成立，將問(wèn)題化為恒成立，求參數(shù)范圍即可.(1)根據(jù)題意，是定義在上的奇函數(shù)，則有，當(dāng)時(shí)，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，則，又為奇函數(shù)，所以，綜上，，(2)由（1），時(shí)，，設(shè)，則，則原函數(shù)可化為：，由，知：在上恒成立，要使在上恒成立，只需，解得：，所以t的取值范圍為．41．（2022·江西贛州·高一期末）已知函數(shù)的定義域是，且.(1)求函數(shù)的定義域和值域；(2)若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)，，，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)定義域?yàn)?，值域?yàn)?2)或【解析】【分析】（1）由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?，所以且，再令，可得，再根?jù)二次函數(shù)