1§4-2一維周期場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的近自由電子近似主要內(nèi)容一、基本思想二、模型與微擾計(jì)算非簡(jiǎn)并情況簡(jiǎn)并情況三、能帶與帶隙2一、基本思想

這是最簡(jiǎn)單的一維模型，通過模型的計(jì)算和討論，可以了解周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子本征態(tài)的一些最基本特點(diǎn)。這個(gè)模型的基本思想是：模型認(rèn)為金屬中價(jià)電子在一個(gè)很弱的周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，價(jià)電子的行為很接近于自由電子，又與自由電子不同。這里的弱周期場(chǎng)設(shè)為，可以當(dāng)作微擾來處理，即：(1)零級(jí)近似時(shí)，用勢(shì)場(chǎng)平均值代替弱周期場(chǎng)V(x)；(2)所謂弱周期場(chǎng)是指比較小的周期起伏做為微擾處理。3晶體中電子的薛定諤方程一維情況零級(jí)近似晶體中電子的能量和波函數(shù)波函數(shù)和能量本征值4第一種情況：非簡(jiǎn)并情況分析（1）零級(jí)近似下，電子只受到作用，波動(dòng)方程及電子波函數(shù)，電子能量分別為：可見，零級(jí)近似的解為自由電子解的形式，故稱為近自由電子近似理論。5近自由電子近似（非）—修正公式（2）由微擾理論解一級(jí)修正和二級(jí)修正能量本征值零級(jí)近似一級(jí)修正二級(jí)修正電子波函數(shù)一級(jí)修正零級(jí)近似微擾理論重要公式6近自由電子近似（非）—能量一級(jí)修正(Ⅰ)能量本征值的一級(jí)修正7近自由電子近似（非）—能量二級(jí)修正(Ⅱ)能量本征值的二級(jí)修正由量子力學(xué)知識(shí)得：而8近自由電子近似（非）—能量二級(jí)修正按原胞劃分分兩種情況討論：9近自由電子近似（非）—能量二級(jí)修正第一種情況：10近自由電子近似（非）—能量二級(jí)修正第二種情況：此時(shí)：11近自由電子近似（非）—電子波函數(shù)一級(jí)修正(Ⅲ)電子波函數(shù)的一級(jí)修正由量子力學(xué)公式得：其中，12近自由電子近似——非簡(jiǎn)并情況重要結(jié)論(1)能量本征值13近自由電子近似——非簡(jiǎn)并情況重要結(jié)論(2)電子波函數(shù)14近自由電子近似——非簡(jiǎn)并情況矛盾分析可見，此結(jié)果無(wú)意義，這表明附近是發(fā)散的，前面的理論已經(jīng)不適用。15第二種情況——簡(jiǎn)并微擾理論對(duì)于接近的k狀態(tài)，可寫為：與之簡(jiǎn)并的狀態(tài)可寫為：由微擾理論可知，前面產(chǎn)生發(fā)散的結(jié)果的原因是：當(dāng)時(shí)，另有狀態(tài)與之發(fā)生簡(jiǎn)并，二者相差，可知二者能量差為零，導(dǎo)致結(jié)果的發(fā)散。因此，對(duì)接近于的k狀態(tài)采取簡(jiǎn)并微擾理論來求解。16互相影響的狀態(tài)（P163圖4-2）17近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論簡(jiǎn)并微擾理論的處理方法：將看成是簡(jiǎn)并態(tài)之間的適當(dāng)線性組合，即：將ψ代入波動(dòng)方程，并利用波動(dòng)方程確定a,b及本征值：1819近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論對(duì)(1)~(5)式求解，得到：20近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論整理得：以a,b為末知數(shù)，則上式有解的條件是系數(shù)行列式為零，即21近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論關(guān)于的討論第一種情況：22近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論23近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論這里，24近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論（1）這里考慮了k、k′在微擾中的相互影響。（2）重要是相互影響的結(jié)果：使原來能量較高的k′態(tài)提高，原來能量較低的k態(tài)下壓，這與量子力學(xué)中的規(guī)律是一致的。（3）量子力學(xué)中的一個(gè)普遍結(jié)果是：能級(jí)間的“排斥作用”，即在微擾作用下，相互影響的兩個(gè)能級(jí)總是原來較高的能量升高，而原來較低的能量下降。25近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論第二種情況：此時(shí)k很接近的情形，即這樣處理時(shí)可以對(duì)展開，26近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論27近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論考慮到：28近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾理論（2）（3）式代入（1）式中，29近自由電子近似——簡(jiǎn)并微擾結(jié)果圖示討論（這里指）：（1）兩個(gè)相互影響的狀態(tài)和微擾后能量為E+和E-；（2）態(tài)對(duì)應(yīng)的能量較低，微擾使它下降；（3）態(tài)對(duì)應(yīng)的能量較高，微擾使它上升；（4）30ii)當(dāng)接近于零0時(shí)——>0,<0兩種情形下完全對(duì)稱的能級(jí)圖——A和C、B和D代表同一狀態(tài)——它們從>0,<0兩個(gè)方向當(dāng)0的共同極限31三、能帶與帶隙1、近自由電子近似簡(jiǎn)并微擾理論的結(jié)果表明：（1）對(duì)于波矢而言，N很大，故k很密集，可以認(rèn)為是k的準(zhǔn)連續(xù)函數(shù)；（2）在處不連續(xù)（這里），且每個(gè)均含有許多能級(jí)，稱其為能帶；（3）總體稱為能帶結(jié)構(gòu)（n為能帶編號(hào)）；（4）相鄰兩個(gè)能帶與之間可以相接，重疊或是分開，對(duì)于一維周期性勢(shì)場(chǎng)來說屬于分開情況，則出現(xiàn)帶隙稱為禁帶。32E(k)圖與能帶P167圖4-5123433禁帶的寬度34例題:P578---題4.3電子周期場(chǎng)的勢(shì)場(chǎng)為:其中,a=4b,為常數(shù).(1)試畫出此勢(shì)能曲線,并求其平均值;(2)用近自由電子近似模型求出晶體的第一個(gè)及第二個(gè)帶隙寬度.35解:(1)n=0時(shí)ba-a-b2a3a4a36(1)求勢(shì)能的平均值37(2)求△E1和△E2公式:(a)n=1(b)n=2V1(x)V2(x)38能帶及一般性質(zhì)

自由電子的能譜是拋物線型——晶體弱周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾，電子能譜在布里淵邊界產(chǎn)生了寬度的禁帶——發(fā)生能量躍變——在遠(yuǎn)離布里淵區(qū)邊界，近自由電子的能譜和自由電子的能譜相近39——每個(gè)波矢k有一個(gè)量子態(tài)，當(dāng)晶體中原胞的數(shù)目趨于無(wú)限大時(shí)，波矢k變得非常密集，這時(shí)能級(jí)的準(zhǔn)連續(xù)分布形成了一系列的能帶——各能帶之間是禁帶,在完整的晶體中，禁帶內(nèi)沒有允許的能級(jí)40——每個(gè)能帶中包含的量子態(tài)數(shù)目波矢k的取值

—k的數(shù)目每個(gè)能帶對(duì)應(yīng)k的取值范圍各個(gè)能帶k的取值數(shù)目——原胞的數(shù)目——計(jì)入自旋，每個(gè)能帶中包含2N個(gè)量子態(tài)41------電子波矢和量子數(shù)－簡(jiǎn)約波矢的關(guān)系——第一布里淵區(qū)近自由電子中電子的波矢在一維情形中

——m為整數(shù)簡(jiǎn)約波矢的取值范圍平移算符本征值量子數(shù)k（簡(jiǎn)約波矢，計(jì)為）和電子波矢k之間的關(guān)系

——l為整數(shù)可以表示為42例題:P582----題4.2請(qǐng)寫出一維近自由電子近似,第n個(gè)能帶(n=1,2,3)中,簡(jiǎn)約波矢的零級(jí)波函數(shù).解:第n個(gè)能帶的電子波矢為且有:43第一能帶:m=0第二能帶:m=-1第三能帶:m=144三、能帶與帶隙2、能帶表示圖示（）（1）分為三種類型第一種類型：簡(jiǎn)約區(qū)圖示第二種類型：擴(kuò)展區(qū)圖示第三種類型：重復(fù)區(qū)圖示45能帶表示圖示第一種類型：簡(jiǎn)約區(qū)圖示特點(diǎn):(1)k限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，此時(shí)的波矢k稱為簡(jiǎn)約波矢；(2)每個(gè)k值均有相應(yīng)的E1(k)、E2(k)、E3(k)……即每個(gè)能帶都在第一布里淵區(qū)中表示出來，簡(jiǎn)約區(qū)中能夠給出能帶結(jié)構(gòu)全貌。4647能帶表示圖示第二種類型：擴(kuò)展區(qū)圖示特征:按能量由低到高的順序，分別將能帶k限制在第一布里淵區(qū)、第二布里淵區(qū)，…等等。一個(gè)布里淵區(qū)表示一個(gè)能帶。48能帶表示圖示第三種類型：重復(fù)區(qū)圖示特征：每個(gè)布里淵區(qū)都表示出所有的能帶，即每個(gè)能帶在第一布里淵區(qū)中的圖形周期性重復(fù)在每個(gè)布里淵區(qū)。49三種能帶圖